第十一章全等三角形综合复习
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：
ACF BDE ???。
例 2. 如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=o 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。
例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：
BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。
例7. 如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。
同步练习
一、选择题：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=o
C. 60C ∠=o
，45B ∠=o
，4AB =
D. 90C ∠=o
，6AB =
3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠
B. CE DE =
C. DEA ?不全等于CBE ?
D. EAB ?是等腰三角形
5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=o
，则D ∠等于( )
A. 67o
B. 46o
C. 23o
D. 无法确定
二、填空题：
6. 如图，在ABC ?中，90C ∠=o
，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；
7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若
100AEB ∠=o ，30ADB ∠=o ，则BCF ∠=____________；
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；
9. 如图，在等腰Rt ABC ?中，90C ∠=o
，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，
DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ?的周长等于____________；
10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若
10BD =，2BF =，则EF =___________；
三、解答题： 11. 如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数。
12. 如图，90ACB ∠=o
，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。求证：BF CE =。
答案
例1. 思路分析：从结论ACF BDE ???入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。
由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=o
，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ???，从而得到A B ∠=∠。
解答过程：Q AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=o 在Rt ACE ?与Rt BDF ?中 Q AE BF AC BD =??=? ∴Rt ACE Rt BDF ???(HL) ∴A B ∠=∠
Q AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =
在ACF ?与BDE ?中 Q AF BE A B AC BD =??
∠=∠??=? ∴ACF BDE ???(SAS)
解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。
例2. 思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。
那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。
解答过程：延长AD 交BC 于F 在ABD ?与FBD ?中
Q 90
ABD FBD BD BD ADB FDB ?∠=∠?
=??∠=∠=?o ∴ABD FBD ???(ASA ∴2DFB ∠=∠
又Q 1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。
解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE 为边的ABE ?绕点B 顺时针旋转90o
到CBF ?的位置，而线段CF 正好是
CBF ?的边，故只要证明它们全等即可。
解答过程：Q 90ABC ∠=o ，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠=o 在ABE ?与CBF ?中 Q AB BC ABC CBF BE BF =??
∠=∠??=? ∴ABE CBF ???(SAS) ∴AE CF =。
解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。
小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。
解答过程：连接AC Q AB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠
在ABC ?与CDA ?中 Q 1243AC CA ∠=∠??
=??∠=∠? ∴ABC CDA ???(ASA) ∴AB CD =。
解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 例5. 思路分析：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”
，也需要作出点P 到两外角两边的距离。 解答过程：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F
Q AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ∴PD PE =
Q CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ∴PE PF =
Q PD PE =，PE PF =
∴PD PF =
Q PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6. 思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于
AC 。因此，延长AE 至F ，使EF AE =。
解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ?与FDE ?中
Q AE FE AEB FED BE DE =??
∠=∠??=? ∴ABE FDE ???(SAS)
∴B EDF ∠=∠
Q ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠
又Q ADB BAD ∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠ Q AB DF =，AB CD = ∴DF DC =
在ADF ?与ADC ?中 Q AD AD ADF ADC DF DC =??
∠=∠??=? ∴ADF ADC ???(SAS) ∴AF AC =
又Q 2AF AE = ∴2AC AE =。
解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
例7. 思路分析：欲证AB AC PB PC ->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC -。而构造AB AC -可以采用“截长”和“补短”两种方法。
解答过程：法一：
在AB 上截取AN AC =，连接PN 在APN ?与APC ?中 Q 12AN AC AP AP =??
∠=∠??=? ∴APN APC ???(SAS) ∴PN PC =
Q 在BPN ?中，PB PN BN -<
∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。
法二：
延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM 在ABP ?与AMP ?中 Q 12AB AM AP AP =??
∠=∠??=? ∴ABP AMP ???(SAS)
∴PB PM =
Q 在PCM ?中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。
解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。
小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。
同步练习的答案
一、选择题： 1. A
2. C
3. B
4. C
5. C
二、填空题： 6. 4
7. 70o
8. 90o
9. 10 10. 6
三、解答题：
11. 解：Q ABC ?为等边三角形
∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=o
在ABM ?与BCN ?中 Q AB BC ABC C BM CN =??
∠=∠??=?
∴ABM BCN ???(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=o 。
12. 证明：Q AE CD ⊥，BF CD ⊥ ∴90F AEC ∠=∠=o
∴90ACE CAE ∠+∠=o Q 90ACB ∠=o
∴90ACE BCF ∠+∠=o ∴CAE BCF ∠=∠ 在ACE ?与CBF ?中 Q F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠??
∠=∠??=?
∴ACE CBF ???(AAS) ∴BF CE =。