标准 方程
（焦点在x 轴）
)0(122
22>>=+b a b
y a x （焦点在
y 轴）
)0(122
22>>=+b a b
x a y 定 义
第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做
椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
{}a MF MF
M 221
=+()
2
12F F a >
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
范 围
x a ≤ y b ≤ x b ≤ y a ≤
顶点坐标
)0,(a ± (0,)b ±
),0(a ± (,0)b ±
对 称 轴
x 轴，y 轴；长轴长为a 2，短轴长为b 2
对称中心
原点
(0,0)O
焦点坐标
1(,0)F c 2(,0)F c -
1(0,)F c 2(0,)F c -
焦点在长轴上，
22c a b =-； 焦距：122F F c =
M
1F 2
F x
y
M
M
1F
2F
x
y M
M
1
F 2
F x
y
O
M
1F
2F
x
y
O
离 心 率
a c e = (01e <<) ,a
b a a
c e 2
2222-=
=
e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆。
准线方程
c
a x 2
±
=
c
a y 2
±
=
准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：
c
a 2
2
顶点到准线的
距离
顶点1A （2A ）
到准线1l （2l ）的距离为a c
a
-2
顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2
焦点到准线的
距离
焦点1F （2F ）
到准线1l （2l ）的距离为c c
a -2
焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c
a +2
椭圆上到焦点的最大（小）距
离
最大距离为：
a c +最小距离为：a c - 相关应用题：远日距离a c + 近日距离
a c
-
椭圆的参数方
程
cos sin x a y b ?
?
=??
=?（?为参数）
cos sin x b y a ?
?=??
=?
（?为参数） 椭圆上的点到给定直线的距
离
利用参数方程简便：椭圆cos sin x a y b ?
?
=??=?（?为参数）上一点到直线0Ax By C ++=的距
离为：2
2
|cos sin |
Aa Bb C d A B
??++=
+
直线和椭圆的
位置
椭圆122
22=+b
y a x 与直线y kx b =+的位置关系：
利用22
221
x y a b y kx b ?+=???=+?
转化为一元二次方程用判别式确定。
例1．已知椭圆 )0,(122
22>=+b a b
y a x 长半轴的长等于焦距,且 4=x 为它的右准线,
椭圆的标准方程为：______________
例2．椭圆 上一点
P 到左准线的距离为10，F 1是左焦点，O 是坐
标原点，点M 满足 ，则 2
.
,0,,)0(1)06.(3212122
22的范围求椭圆离心率使若椭圆上存在一点的两焦点为设椭圆模拟例e PF PF P
F F b a b y a x =?>>=+
相交弦AB 的弦长221212
1()4AB k x x x x =++-
通径：
21AB y y =-
过椭圆上一点
的切线
12020=+b
y
y a x x 利用导数 00221y y x x
a b
+= 利用导数 116
252
2=+y x )
(2
11OF OP OM +=
=
||OM 1342
2=+y x P
x
y
M
o
2F 1
F
2
212
22
1212121020100|
|||||,0,
2||,||,||),
,(解法一F F PF PF PF PF PF PF c F F ex a PF ex a PF y x P =+⊥∴=?=-=+= 则：设
)1,2
2
[
200,024)()(2
2222
022202
22
0222020∈∴<-≤∴<≤∴<≤∴-==-++e c a c c x e a x x p a c x e c ex a ex a 轴上
在椭圆上但不在即
12
22,.,022222
2
2
212121<≤?≤∴≤-∴≤?≤∴⊥∴=?e c a c c a c b c b P F F P PF PF PF PF ，椭圆有又在椭圆上，所以圆与而为直径的圆上，
在以所以解法二：公共点
P
x
y
o
2
F 1
F x
y
o
1
F 2
F P
x
y
o 1
F 2
F
35
7||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1415251626172717161514131211132512261127252627==++++++=++++++∴===a F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P ，，，，由题意知，，，解法二：连接
.
?|F P ||F P ||,F P ||,F P |, P ,P ,811625181211108017212
2差说明理由，若是求出公，是否为判断长轴与椭圆交于是椭圆的左焦点七个点，，，半部分于轴的垂线交椭圆上
等分，过每个分点作的长轴分成把椭圆等差数列:变式练习 F P P P x y x ??=+
___||||||8116
25)06.(417121117212
2=+??++??=+F P F P F P F P P P x y x 则是椭圆的左焦点，七个点，，，于的垂线交椭圆上半部分轴
等分，过每个分点作的长轴分成把椭圆四川例35
7)(7|
|||||||||732117161312117
6543217654321==+++++=+++++a x x x x e a F P F P F P F P F P x x x x x x x P P P P P P P ，，，，，，的横坐标分别为，，，，，，解法一：设}{x :n 810
810????x x x P P P 为等差数列，
，，的横坐标为，设解0
P 8
P 1P 2P 3P 4P 5P 6
P 7P y
x
2
F 1
F o
1P 2P 3P 4P 5P 6P 7
P y
x
2
F 1
F o
3P 2P 1P 4P 5P 6
P 7
P 1x 2x 3x 4
x 5x 6x 7
x y
1．下列命题是真命题的是 （ ）
A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B ．到定直线c a x 2
=
和定点F(c ，0)的距离之比为a
c 的点的轨迹是椭圆
C ．到定点F(－c ，0)和定直线c a x 2
-=的距离之比为a
c (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 D ．到定直线c a x 2
=
和定点F(c ，0)的距离之比为c
a (a >c>0)的点的轨迹是椭圆 2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是
（ ）
A ．14
82
2=+x y
B ．
16
102
2=+x y C ．18
42
2=+x y
D ．16102
2
=+y x
3．若方程x 2
+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为
（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1）
4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(9
21>+
=+a a
a PF PF ，则点P 的轨迹是
（ ） A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k b
y a x =+22
22()0>k 具有
（ ）
A ．相同的离心率
B ．相同的焦点
C ．相同的顶点
D ．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为
（ ） A ．
4
1 B ．
2
2 C ．
42 D ．
2
1 7．已知P 是椭圆136
1002
2=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是
（ ）
A ．
5
16
B ．
5
66 C ．
8
75 D ．8
77 8．椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ ）
A ．3
B ．11
C ．22
D ．10
9．在椭圆13
42
2=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是
（ ） A ．
25
B ．
2
7 C ．3
D ．4
10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆12
22
=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率
为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为
（ ）A ．2 B ．－2
C ．
2
1
D ．－2
1
15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3
2=
e ，短轴长为58，求椭圆的方程．
16．已知A 、B 为椭圆22a x +2
2
925a
y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23
，求该椭圆方程．
17．过椭圆4:),(14
8:22002
2=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、 B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．
（1）若0=?PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点） 18．椭圆122
22
=+b
y a x
(a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求
2
211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足
33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围 19．一条变动的直线L 与椭圆
4
2
x +2
y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状． 20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22
，相应于焦点F （c ，0）
（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 . （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=?OQ OP ，求直线PQ 的方程； （3）设
AQ AP λ=（1>λ）
，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明
FQ FM λ-=.（14分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
D
D
A
A
D
B
D
C
D
15．(12分) [解析]:由 2
2232
5
4c b a a c e b =-===?
8
12==c a ，∴椭圆的方程为：18014422=+y x 或18014422=+x y . 16．(12分) [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=
e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 5
8
，∴x 1+x 2=a 21， 即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴2
3
4541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为
x 2+9
25y 2=1．
17．(12分)
[解析]：（1）PB PA PB PA ⊥∴=?0 ∴OAPB 的正方形
由8432148
8
2020
202
020==??????=+
=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±） （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x 0，y 0）
即x 1x 0+y 1y 0=4，x 2x 0+y 2y 0=4，∴AB 的直线方程为：x 0x +y 0y=4
（3）由)0,4(40
0x M y y x x 得=+、)4,0(0y N |
|18|4||4|21||||210000y x y x ON OM S MON
?=?=?=?
22)48(22|222|
24||202000
00=+≤?
=y x y x y x 22228
||800=≥=
∴?y x S MON 当且仅当2
2,|2
||2
2|m in 00==?MON S y x 时.
18．（12分）[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ
? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
①
01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y -=1 12222=+b y a x 0)1(2)(2
22222=-+-+?b a x a x b a ，,2,02
2221b a a x x +=+∴>? 2
2
2221)
1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112
2=+b a . (2) ,3221211311222222222
≤≤?≤-≤∴-==a b a
b a b a
c e 又由（1）知12222-=
a a
b 2
6
252345321212122
≤≤?≤≤?≤-≤∴
a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 19．(14分)
[解析]：设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组???=-++=042,2
2y x m x y 的解，
消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－
6 m 4， x 1x 2=3 4m 22 -，又∵|MP|= 2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x －x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13 423422=-++ m mx x ∵m=y －x ，∴|x 2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2 －4=3，得椭圆17 272 2=+x x 夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1． 20．(14分) [解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得?? ???-==-). (2,2222c c a c c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为1262 2=+y x ，离心率3 6=e . （2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组?? ???-==+)3(,126 2 2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=?k ，得3 636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①1 36272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得 )3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=?OQ OP ，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152 =k ，从而)3 6,36 (55-∈± =k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x . （2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由已知得方程组 ?????????=+=+=-=-. 126 ,126 , ),3(32 222212121 21y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λ λ2152 -=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21 (),21(21y y λ λλλ--=--= . 而),21(),2(2 22y y x FQ λ λ-=-=，所以FQ FM λ-=. （教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标 椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 例5 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内 切，求动圆圆心P 的轨迹方程 例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过()12， A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=?OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程． 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程． 例9 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范 例10 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 椭圆练习题 一、选择题 1.椭圆2x m +2 4 y =1的焦距为2，则m 的值为（ ） A .5 B .3 C .5或3 D .8 2.设椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 的离心率为e=12,右焦点为F （c ,0)，方程ax 2+bx -c =0的两 个实根分别为x 1和x 2,则点P （x 1,x 2)（ ） A .必在圆x 2+y 2=2内 B .必在圆x 2+y 2=2上 C .必在圆x 2+y 2=2外 D .以上三种情形都有可能 3．在椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦 点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ） A ．123,,r r r 成等差数列 B ． 123 112 r r r += C ．123,,r r r 成等比数列 D ．以上结论全不对 4．椭圆22 1 4x y m +=的离心率e 满足方程2 2520x x -+=，则m 的所有可能值的积为 （ ） A ．3 B ． 316 C ．16 D ．-16 5．已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2, 1( D ]2,1( 6. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 32 B. 22 C. 21 D. 3 2 7.过原点的直线l 与曲线C:13 22 =+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 8.椭圆)10(,2 222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为 ( ) 椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3 椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541= PF ，3 5 22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ， 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴333 1-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的 齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 212 2 21024x x y y x --=- 又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()212125259 x y -= ( ) 2 2 222525 9x y -= ∴ ()()21212 221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得25 36 40- =-x ∴ 4 5 40 590=--=x k BT ． 典型例题五 例5 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题：教材P.37 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x （1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点） （0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22 =-+-y x C ）（ . 若直线过点） （0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭圆 1、椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有 21||||2MF MF a +=. 注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程 椭圆方程为12 2 222=-+c a y a x ，设2 2c a b -=，则化为()012222>>=+b a b y a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=. 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的 标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． 椭圆标准方程：22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上） 《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ， 其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331- = e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4 1 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 25 4 5x CF - =． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=- 椭圆的经典例题 1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )． (A)6x+y-17=0 (B)6x+y-17=0(x ≥3) (C)6x+y-17=0(x ≤3) (D)6x+y-17=0(2≤x ≤3) 2.（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求曲线的方程． 3.（相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹． 4．已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 5. 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 6.已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 7.已知M 是椭圆14 92 2=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ?的最大值是（ ） A 、4 B 、6 C 、9 D 、12 8.点P 为椭圆22 154 x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是 （A ）(±2, 1) （B ）(2, ±1) （C ）(2, 1) （D ）(±2 , ±1) 9.已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 10.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 11.已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 12.已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 13.已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程． 14.如果椭圆22 1369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e （教师版)椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0,２)求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值. 解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2 262=-m ,5=m 适合．故5=m . 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b )的值，即可求得椭圆的标准方程． 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y . 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ,故椭圆的方程为198122=+x y ． 例３ ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解． (２)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： (１）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． (２)设()y x A ，,()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. （2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10. 【答案】 （1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方 程为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴所求双曲线方程为. （2）由已知设, ,则() 依题意，解得. ∴双曲线方程为或. 学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 ? 上课时间 2014年12月13日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 椭圆 教学目标 # 教学重点与难点 选修2-1椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 、 的距离之和等于常数( )，这个动 点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若 ，则动点 的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 １．方程 ()()10222 22 2=+++ +-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ; 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为， 。 讲练结合二．利用标准方程确定参数 1.若方程25x k -+2 3 y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , " 3．椭圆22 14x y m + =的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。 讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程 1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为 4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； X 1 X 2 2 x y 1 由 ~2 a 0 ，得 2x 2 2a 2x a 2 y M 1 X M 1 TV ， 《椭圆》方程典型例题 20例 典型例题一 例1椭圆的一个顶点为A 2,0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 2 2 椭圆的标准方程为：— 1; 4 1 (2)当A 2,0为短轴端点时，b 2 , a 4, 2 2 椭圆的标准方程为：— 1 ； 4 16 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不 能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率. 解：2c a 1 2 2 2 — 二 3c 2 a 2, c 3 1 」3 e 3 3 . 说明：求椭 附圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a ，求c ,再求 比?二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可. 典型例题三 例3已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x y 1 0交于A 、B 两点, M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 2 X 2 —y a 解：由题意，设椭圆方程为 1, 1为所求. 说明： 题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 2 -1上不同三点A* y 1，B 4,9 ，C X 2，氐与焦点F 4,0的 9 5 距离成等差数列. 若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . (1)由椭圆方程知a 5 , b x 1 x 2 8 y 1 y 2 y "V 又???点T 在x 轴上，设其坐标为X o ,O ，代入上式，得 2 y 2 2 % x 2 (1) 求证x 1 x 2 8 ； 同理 CF AF CF 2BF ，且BF 5 4 5 x 1 5 4 5X 2 5 18 k OM y M ??? a 2 4， X M (1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；(2)直线与曲线的综合问 2 例4椭圆— 25 (2) 证明: 由圆锥曲线的统一定义知: AF 2 a X i AF a ex 1 5 4 5X 1. (2) 因为线段AC 的中点为4,笃 亚，所以它的垂直平分线方程为 椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、 题面：集合}12|),{(}4|),{(2 2 2 2 =+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（ ）. A.A B A =I B.A B ? C.B A ? D.A ∩B = ? 答案：D. 变式一 题面： 设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( ) A ．在线段MN 的内部 B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部 C ．点N 或点M D ．以上三种情况都有可能 答案：C. 详解： 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 变式二 题面： 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多1个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案：B. 详解： 由题意得 4 m 2＋n 2 ＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 2 4＝1的内部． 题2、 题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。 若容器底面与桌面成角为60o ，则这个椭圆的离心率是 。 答案： 解题步骤： 由图，短轴就是内径2r ，长轴为4r ， 即：2,,a r b r c ===， 2 e =. 变式一 题面： 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是 以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A. 3－1 2 B.5－1 2 C.1＋54 D. 3＋1 4 答案：B. 详解： 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±5 2. 又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－1 2 . 变式二 题面： 60o 4r 2r 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 椭圆标准方程典型例题 例１ 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（０,2)求m 的值． 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值. 解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m . 又2=c ，所以2 262=-m ,5=m 适合．故5=m ． 例２ 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法, 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又b a 3=,代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y . 例３ ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析:（１）由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解. （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程． 解: (１)以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由 20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (２）设()y x A ，，()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ①高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)
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