第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2
+ca 2
+ab 2
-ac 2
-ba 2
-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3
-(x +y )3
-x 3
=3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3
=-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为
2
)
1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)
(6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n ) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ?
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?,
(2n -1)(2n -2) (n -1个)
4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ? ? ? ? ? ?
(2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个)
3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为
(-1)t
a 11a 23a 3r a 4s ,
其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.
所以含因子a 11a 23的项分别是
(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,
(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:
(1)7
110
025*******
214
; 解
7
1
1002510202142140
10
142310
20211021473234-----======c c c c 34)1(14
3102211014+-?---=
143102211014--=014171720010
99323
211=-++======c c c c . (2)2
605
232112131412-; 解
2
6
05232112131412-2
60
50321221
3041224--=====c c 0
41
20321221
3041224--=====r r 00
00
0032122130
41
214=--=
====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解
ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b a d f ---= a b c d e f a d f b c e
41111111
11=---=. (4)d
c b a 100
110011001---. 解
d c b a 100110011001---d
c b a ab ar r 10011001101021---++=====
d
c a ab 10110
1)
1)(1(1
2--+--=+
1011123-+-++=====cd c ad a ab dc c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad
+1. 5. 证明:
(1)1
11222
2b b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1
112222b b a a b ab a +0
012222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)
1(2
221
3-----=+2
1))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .
(2)
x z z y y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++
bz
ay by ax x by
ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz ay y x by ax x z bx
az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a 33+=
y
x z x z y z
y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
222
2222
2
222
2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;
证明
2
2222
2222
2222222
)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)
5
232125232125
2321252321222
22++++++++++++=d d d d c c c c b b b b
a a a a (c 4-c 3,
c 3-c 2得)
02
212221222122
2122
222=++++=d d c c b b a a .
(4)4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明
4
444
22221111d c b a d c b a d c b a
)
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=
)
()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=
)
)(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b
d b c a d a c a b ++-++------= )
()(11)
)()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(5)1
22
1 1 000 0
0 1000 01a x a a a a x x x n n n +?
??-?????????????????????-???--- =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明. 当
n =2
时
,
2121
221
a x a x a x a x D ++=+-=
, 命题成立.
假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x
n -1
+a 1 x n -2
+ ? ? ? +a n -2x +a n -1,
则D n 按第一列展开, 有
1
1
1 00 1
00 0
1)1(11-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n
+a 1x
n -1
+ ? ? ? +a n -1x +a n .
因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转, 依次得
n nn n a a a a D 11111 ???????????????=, 1
1112 n nn
n a a a a D ???????????????= ,
11
113 a a a a D n n
nn ???????????????=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以
n
nn n n n n
nn
n a a a a
a a a a a a D 221
1
111
111111 )1( ?
?????????????????-=???????????????=- ???=?
????????????????????--=-- )1()1(331
1
221
1112
1n
nn n n
n n n a a a a a a a a
D D n n n n 2
)
1()1()2( 21)
1()1(--+-+???++-=-=.
同理可证
nn
n n n n a a a a D ????
???????????-=- )1(11
112)1(2D D n n T n n 2
)1(2
)1()
1()
1(---=-=.
D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)
1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
(1)a
a
D n 1
1
?
??=
, 其中对角线上元素都是
a , 未写出的元素都是0; 解
a
a a
a a D n 0 0
010 000 0
0 0000 0010 00?????????????????????????????????=
(按第n
行展开)
)
1()1(1
0 000 00 00
00 0010 000)1(-?-+????
??????????????????????????-=n n n a
a a )
1()1(2 )1(-?-?
???-+n n n a a
a
n n n n
n a a a
+?
??-?-=--+)
2)(2(1 )1()1(=a n -a
n -2
=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a a x a a a x D n ?????????????????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a
x x a a
x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=00
0 0 00
, 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -??????????????????-???-???-+=00
00 0 000
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1
.
(3)1
11 1 )( )1()( )1(1
1
11???-?
????????-?
?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n
n n n ; 解 根据第6题结果, 有
n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()
( )1( 11 1
1)1(112)1(1-???--?????????-?
?????-???-???-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)
1(1)]
1()1[()
1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=1
12
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++???+-++-
?
-?-=1
12
1
)1(2
)
1()()
1()
1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=1
1)(j i n j i .
(4)n n n
n
n d c d c b a b a D ?
???????????=
1
1112;
解
n
n n
n
n d c d c b a b a D ?
???????????=
1
1112(按第1
行展开)
n
n n n n n
d d c d c b a b a a 0
00 011111
111----????????????=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+?
?????
??????-+.
再按最后一行展开得递推公式 D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即
D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2.
于是 ∏=-=
n
i i i i
i
n D c b d
a D 2
22)(.
而 11111
11
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=
n
i i i i
i
n c b d
a D 1
2)(.
(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |;
解 a ij =|i -j |, 0
4321 4 01233 1012
2 21011 3210)d e t (???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n
0 4
321 1 1
1111 11
111 111
11 1
111 2132???----???????
??????????????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r
1
5
242321 0 22210 0221
0 0021
0 0
001 1213-???----???????
??????????????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c
=(-1)
n -1
(n -1)2
n -2
.
(6)n
n a a a D +??????????????????+???+=
1 1
1 1
111
112
1, 其
中a 1a 2 ? ? ? a n ≠0.
解
n
n a a a D +??????????????????+???+=
1 1
1 1 111
112
1
n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-???????????????????
????????-???-???-???-=
====--10 0
001 000 100 0100 0100 00
1133
2
212
132
1
1
11
3
1
2
1
121110
000
11 000 00 110
00 011
00 001 ------+-???-????
???????????????????????-???-??????=n
n
n a a a a a a a a
∑=------+?????????????????????????
??????????????=n i i n
n a a a a a a a a 1
1
11
131********
00
1
0 000
00 100
00 01000 001
)11)((1
21∑
=+=n
i i
n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)?????=+++-=----=+-+=+++01123253224254
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
213513241211
111-=----=D , 14211
2
10513241221
1151-=------=D ,
284112
3
51224121
1
1512-=-----=D , 42611
1
3523242211
5113-=----=D ,
14202
1
3
21322121
5
1114=-----=D , 所以 111==
D D x , 222==D D x ,
333==
D
D x , 144-==
D
D x .
(2)??
?
????=+=++=++=++=+1506506506516554543432321
2
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为
6655
10006510006510
0651
00065
==D , 15075
1
16510006510
0650
000611==D ,
114551
010
6510006500
0601000152-==D , 7035
1
1006500006010
0051
001653==D ,
39551
000
6010000510
0651010654-==D , 2121
1
000
0510006510
0651
100655==D , 所以
66515071=
x , 665
11452-=x , 665703
3=x , 665
3954-=x , 6652124=x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组
?????=++=++=++0
200321321321
x x x x x x x x x μμλ有非零解？ 解 系数行列式为
μλμμμλ
-==1
21111
1D .
令D =0, 得 μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组
???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011
124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
?????++=++=++=3
21332123211
3235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
?
???
?????? ?
?=???? ??221321323513122y y y x x x ,
故
?
???
?????? ?
?=???? ??-3211
221323513122x x x y y y ???
? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3
21332123211
423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
?????++=++-=+=32133
212311
542322y y y x y y y x y y x ,
?????+-=+=+-=3
23312211
323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知
?
??? ?????? ?
?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???
?
?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z
???? ?????? ??----=321161109412316z z z ,
所以有?????+--=+-=++-=3
21332123211
1610941236z z z x z z z x z z z x .
3.
设
??
?
?
??--=111111111A ,
???
?
??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解
??
?
? ??---???? ??--???? ?
?--=-111111111215042132111111
111
1323A AB
??
??
??----=???? ?
?---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,
??
?
?
??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T .
4. 计算下列乘积:
(1)???
?
?????? ??-127075321134;
解
????
?????? ??-127075321134???
? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374???
? ??=49635. (2)????
??123)321(;
解 ???
?
??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).
(3))21(312-?
??
?
??;
解
)21(312-????
?????? ???-??-??-?=23)
1(321)1(122)1(2????
??---=632142.
(4)???
?
? ??---??? ??-20
4
131
210131
43110412 ; 解
????
?
??---??? ??-20
413121013
143110412??
? ??---=6520876.
(5)?
??
? ?????? ??321332313
232212*********)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
???
? ?????? ??32133231323221213121132
1)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3
a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3
a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???
?
??321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设???
??=3121A , ??
? ??=2101B , 问:
(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为??? ??=6443AB , ??
? ??=8321BA , 所以
AB ≠BA .
(2)(A +B )2
=A 2
+2AB +B 2
吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为??
? ??=+5222B A ,
??? ????? ??=+52225222)(2
B A ???
?
?=2914148,
但
?
?
?
??+??? ??+??? ??=++4301128861148322
2
B AB A ??
?
??=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?
解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2
. 因为??? ??=+5222B A , ??
? ??=-1020B A ,
??
?
??=??? ????? ??=-+906010205222))((B A B A ,
而
??
? ??=??? ??-??? ??=-71824301114832
2B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A 2=0, 则A =0; 解 取???
??=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.
(2)若A 2
=A , 则A =0或A =E ; 解 取??
?
??=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E .
(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取 ??
?
??=0001A ,
??
?
??-=1111
X ,
??
? ??=1011Y ,
则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7. 设?
?
?
??=101λA , 求A 2, A 3, ? ? ?, A k . 解 ??
? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA ,
??
?
??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A ,
? ? ? ? ? ?,
??
? ??=101λk A k . 8. 设???
?
?
?=λλλ
0010
01A , 求A k . 解 首先观察
???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ???
? ??=222
002012λλλλλ,
???? ??=?=3232323003033λλλλλλA A A ,
???
?
??=?=4342
3
4
3
4
004064λλλλλλA A A ,
???
?
??=?=545
345450050105λλλ
λλλA A A , ? ? ? ? ? ?,
?
?=k
A k
k k
k k k k k k k λλλλλλ0002)1(12
1----????
?
. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，
???? ???????
? ??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002
)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A
?????
?
??+++=+-+--+1
11
11100)1(02
)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,
由数学归纳法原理知:
?????
?
??-=---k k k
k k k k k k k k A λλλλλλ0002
)1(1
21. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T
=A , 所以
(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.
10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .
证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA ,
所以
(AB )T
=(BA )T
=A T B T
=AB , 即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以
AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1)??? ??5221; 解 ??? ??=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为
???
??--=???
??=1225*22122111A A A A A ,
故 *||11A A A =-??
?
??--=1225.
(2)??
?
??-θ
θθθcos sin sin cos ;
解 ??
?
??-=θθθθc o s s i n
s i n c o s A . |A |=1≠0, 故
A -1存在. 因为
??? ??-=???
??=θθθθc o s s i n s i n c o s *22122111A A A A A ,
所以 *||11A A A =-??
?
??-=θ
θθ
θcos sin sin cos .
(3)???
?
??---145243121;
解 ???
?
??---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1
存
在. 因为
????
??-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,
所以 *||11
A A A =-????
?
??-----=17162
13213012. (4)?
???
? ??n a a a 002
1(a 1a 2? ? ?a n ≠0) .
解 ?
???
? ??=n a a a A
002
1
, 由对角矩阵的
性质知
?????
??
?
??=-n a a a A 100112
11 .
12. 解下列矩阵方程:
(1)??
? ??-=???
??12643152X ;
解
??? ??-??? ??=-126431521
X ?
??
??-??? ??--=12642153??
? ??-=80232.
(2)?
?? ??-=???
?
??--234311*********X ;
解 1
111012112234311-?
???
??--?
?? ??-=X ?
??
?
??---?
?? ??-=03323210123431131 ?
???
??---=3253
8
122. (3)??
? ??-=??? ??-??? ??-101311022141X ;
解 1
1110210132141--??
? ??-??? ??-???
??-=X
??
? ????? ??-??? ??-=
210110131142121 ??? ????? ??=21010366121?
??
? ??
=04111.
(4)???
?
??---=???? ?????? ??021102341010100001100001010X . 解
1
1010100001021102341100001010--???
?
?????? ??---???? ??=X
??
?? ?????? ??---???? ??=010100001021102341100001010
???
? ??---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)???
??=++=++=++3
532522132321321321x x x x x x x x x ;
解 方程组可表示为
????
??=???? ?????? ??321153522321321x x x ,
故 ?
??? ??=???? ?????? ?
?=???? ??-0013211535223211
321x x x , 从而有 ???
??===0
01
321x x x .
(2)???
??=-+=--=--0
5231322321321321x x x x x x x x x .
解 方程组可表示为
????
??=???? ?????? ??-----012523312111321x x x ,
故 ???
?
??=???? ???
??? ?
?-----=???? ??-3050125233121111
321x x x , 故有 ???
??===3
05321x x x .
14. 设
A k =O (k
为正整数), 证明
(E -A )-1
=E +A +A 2
+? ? ?+A k -1
.
证明 因为A k
=O , 所以E -A k
=E . 又因为 E -A k
=(E -A )(E +A +A 2
+? ? ?+A k -1
), 所以 (E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.
证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k
=O , 有
E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-? ? ?-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2
+? ? ?+A
k -1
)(E -A ),
故 (E -A )-1
(E -A )=(E +A +A 2
+? ? ?+A k -1
)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有
(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.
15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.
证明 由A 2
-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-?
)(2
1
, 由定理2推论知A 可逆, 且)(2
1
1E A A -=-. 由A 2
-A -2E =O 得
A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,
或 E A E E A =-?+)3(4
1
)2(
由定理
2
推论知(A +2E )可逆, 且
)3(4
1
)2(1A E E A -=
+-.
证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得
|A 2
-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,
所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆.
由 A 2-A -2E =O ?A (A -E )=2E ?A -1A (A -E )=2A -1E ?)(2
1
1
E A A
-=
-, 又由 A 2-A -2E =O ?(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ? (A +2E )(A -3E )=-4 E ,
所以 (A +2E )-1
(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1
,
)3(4
1
)2(1
A E E A -=
+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 2
1
||=A , 求|(2A )-1-5A *|.
解 因为*|
|1
1A A A =-, 所以
|||52
1||*5)2(|11
1----=-A A A A A |2
521|
11---=A A
=|-2A -1
|=(-2)3
|A -1
|=-8|A |-1
=-8?2=-16.
17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*|
|1
1A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有
|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.
因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(|
|11
11
---==
A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:
(1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明
(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得
A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,
所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.
(2)由于*|
|1
1A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到
|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;
若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.
19. 设???
?
??-=321011330A , AB =A +2B , 求B .
解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故
???
?
??-????
?
?---=-=--32101133012101
133
2)2(1
1A E A B ???
? ??-=011321330. 20. 设???
?
??=101020101A , 且
AB +E =A 2+B , 求
B .
解 由AB +E =A 2
+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).
因为010
010101
00||≠-==-E A , 所以
(A -E )可逆, 从而
???
?
??=+=201030102E A B .
21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1
=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )
-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1
=4(E +A )-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1
)2
1 ,1 ,21
(d i a g
4-= =2diag(1, -2, 1). 22.
已知矩阵
A
的伴随阵
????
?
?
?-=80
30010100100001
*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .
解 由|A *|=|A |3
=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,
B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)2
1
(3---=-=A E A E
???
?
?
??-=???
??
?
?--=-10
3
0060
6006000
6603
0010100100001
61
. 23. 设P -1AP =Λ, 其中?
?
?
??--=1141P ,
??
? ??-=Λ2001, 求A 11
.
解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,
?
?
?
??-=1141*P ,
??
?
??--=-1141311P ,
而 ??
? ??-=??? ??-=Λ1111
1120 012001,
故
?
???
?
??--??? ??-??? ??--=31313431200111411111
A ??
? ??--=68468327322731.
24. 设AP =P Λ, 其中???
?
??--=111201111P ,
?
??
? ??-=Λ511,
求?(A )=A 8
(5E -6A +A 2
).
解 ?(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58
)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ?(A )=P ?(Λ)P -1
*)(|
|1
P P P Λ=
?
???
? ??------???? ?????? ??---=1213032220000000011112011112
???
?
??=1111111114.
25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1
+B -1
也可逆, 并求其逆阵.
证明 因为
A -1(A +
B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1, 而A -1
(A +B )B
-1
是三个可逆矩阵的乘积, 所以
A -1
(A +B )B -1
可逆, 即A -1
+B -1
可逆.
(A -1
+B -1)-1
=[A -1
(A +B )B -1]-1
=B (A +B )-1
A .
26. 计算???
?
? ??---?????
?
?300032001210130130
0012001010
0121
.
解 设??? ??=10211A ,
??? ??=30122A ,
??? ??-=12131B , ?
?
? ??--=30322B ,
则
??? ????? ??2121B O B E A O E A ??? ??+=2
22111B A O B B A A ,
而
?
?
?
??-=??? ??--+??? ??-??? ??=+4225303212131021211B B A ,
??
?
??--=??? ??--??? ??=90343032301222B A ,
所
以
??? ????? ??2121B O B E A O E A ???
??+=2
22111B A O B B A A ???
?
?
?
?---=9000340042102521, 即
????? ??---????? ?
?30003200121013013000120010100121
???
?
? ?
?---=900
0340042102521.
27. 取??
?
??==-==1001D C B A , 验证
|
|||||||
D C B A D C B
A ≠. 解
41
00120021
1
010100200
00
21010
0101
1010
0101
==--=--=D C B A ,
而 0111
1||||||||
==D C B A , 故 |
||||||| D C B A D C B A ≠.
28. 设?
??
?? ?
?-=220
23443O O A , 求|A 8|及A 4
. 解 令??? ??-=34431A , ??
? ??=22022
A ,
则 ??
?
??=21A O O A A ,
故 8
218
??? ??=A O O A A ??
? ??=828
1A O O A ,
1682818
281810||||||||||===A A A A A .
?
???? ?
?=??? ??=464
4442414
22025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求
(1)1
-??
? ??O B A O ;
解 设??
?
??=??? ??-43211
C C C C O B A O , 则
??
? ??O B A O ??
?
??4321C C C C ??? ??=??
? ??=s n E O O E BC BC AC AC 2143.
由此得 ?????====s
n E BC O BC O
AC E AC 2143??????====--12141
3B C O C O C A
C ,
所以 ??
? ??=??
? ??---O A B O O B A O 111
.
(2)1
-??
?
??B C O A .
解 设??
?
??=??? ??-43211
D D D D B C O A , 则
?
?=??? ??
++=??? ????? ??BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321
. 由
此
得
?????=+=+==s n
E BD CD O
BD CD O
AD E AD 423121??????=-===----1
4113211B D CA B D O D A D , 所以 ??
? ??-=??? ??-----11111
B CA B O A B
C O A .
30. 求下列矩阵的逆阵:
(1)????
?
?
?25
00380000120025
; 解 设??? ??=1225A , ?
?
? ??=2538B , 则
??
?
??--=???
??=--522112251
1A ,
?
?
? ??--=??? ??=--853225381
1B .
于
是 ?
???? ?
?----=??? ??=??? ??=????
? ?
?----850032000052002125
003800001200251111
B A B A .
(2)????
?
?
?41
2103120021000
1
. 解 设??? ??=2101A , ?
?
? ??=4103B ,
??
? ??=2112C , 则
??? ??-=??? ??=????
? ?
?------111111
41
21031200210001
B CA B O A B
C O A
???????
?
??-----=41121
2458
1031
6121002
1210001
.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1)???
?
??--340313
021201; 解 ????
??--340313
021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. ) ~???
?
??---020*********(下一步: r 2÷(-1),
r 3÷(-2). )
~????
??--01003100
1201
(下一步: r 3-r 2. ) ~???
?
??--30003100
1201
(下一步: r 3÷3. )
~????
??--10003100
1201
(下一步: r 2+3r 3. ) ~???
?
?
?-10000100
1201
(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )
~????
?
?100001
0000
01. (2)???
? ?
?----174034
301320; 解 ???
?
??----174034301320(下一步: r 2?2+(-3)r 1,
r 3+(-2)r 1. )
~???
?
??---3100310
01320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )
~????
??00003100
10020
(下一步: r 1÷2. ) ~???? ??00003100
5010
. (3)???
??
?
?---------124
3
302322145333431
1;
解 ???
?
?
?
?---------1243
30232214533
34311
(下一步: r 2-3r 1,
r 3-2r 1, r 4-3r 1. )
~???
?
? ??--------1010500663008840034
311(下一步:
r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )
~???
?
?
?
?-----22
100221002210
034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )
~???
??
??---00000000002210032011.
(4)????? ??------34732038234202173132.
解 ???
?
? ??------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2,
r 3-3r 2, r 4-2r 2. )
~???
?
?
??-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1,
r 3-8r 1, r 4-7r 1. )
~???
?
?
?
?--410
00410002020
111110(下一步: r 1?r 2,
r 2?(-1), r 4-r 3. )
~???
?
?
??----000004100011110
20201(下一步: r 2+r 3. )
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
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同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2