2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若函数c o s ()(0)6
y x π
ωω=-
>最小正周期为
5
π
，则ω= .
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 3．若将复数
11i i
+-表示为(,,a b i a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ．
4．若集合2
{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 个元素.
5．已知向量
a 和
b 的夹角为0
120，||1,||3a b =
=，则|5|a b -
= ．
6．在平面直角坐标系xo y 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 8．设直线b x y +=
2
1是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，
则实数b 的值是
9．如图，在平面直角坐标系xo
y 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B
a A ，点
(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别
与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的
方程为01111=?
??
?
??-+???
??-
y a p x c b
，请你完成直线OF 的方程：
( )0
11=????
??-+y a p
x 。
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则
2
y
x z
的最小值是
12．在平面直角坐标系x O y 中，椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为
半径作圆M ，若过2
0a P c ??
?
??
，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为
13．满足条件BC
AC AB 2,2=
=的三角形A B C 的面积的最大值
14．设函数3
()31()f x a x x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在平面直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别交单位圆于A B ，两点．已知
A B ，
两点的横坐标分别是
10
，
5
．
（1）求tan ()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
A B
C D E
F B
16．如图，在四面体A B C D 中，C B C D A D B D =⊥，，点E F ，分别是A B B D ，的中点．求证：
（1）直线//E F 面A C D 。 （2）平面E F C ⊥面B C D ．
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i ）设B A O θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；
（ii ）设O P x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的
位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
18．在平面直角坐标系x O y 中，记二次函数2
()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有
三个交点．经过三个交点的圆记为C ． （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．
19．（1）设12,,,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数
列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i ）当4n =时，求
1a d
的数值；
（ii ）求n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
12b b ，，
，
n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
20．已知函数1
1()3
x p f x -=，2
2()23
x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对
每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()
f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?
>?若若
（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；
（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
2
b a -（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -）
数学附加题
21：从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分 A ．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2
E D E B E C =．
B ．选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系x O y 中，设椭圆22
41x y +=在矩阵?
??
?
2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．
C ．选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系x O y 中，点()P x y ，是椭圆2
2
13
x
y
+=上的一个动点，求S x y =+的最大
值．
D ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ，b ，c
为正实数，求证：3
3
3
111a
b
c
+
+
+a b c ≥
B C E
D A
22．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-A B C D A B C D 的对角线1B D 上一点，记
11D P D B
λ=．当A P C ∠为钝角时，求λ的取值范围．
23．【必做题】．请先阅读：
在等式2
c o s 22c o s 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2
(c o s 2)(2c o s 1) x x ''=-，
由求导法则，得(sin 2)24co s (sin ) x x x -=-，化简得等式：sin 22co s sin x x x =．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x )=C C C C n n n
n n n n x x x
+++
+ （x ∈R ，
正整数2n ≥），证明：1
1
2
[(1)
1]C n
n k k n k n x k x
--=+-=
∑
．
（2）对于正整数3n ≥，求证：
（i ）1
(1)C 0n
k
k
n k k =-=∑； （ii ）2
1
(1)C 0n
k
k
n k k =-=∑； （iii ）1
1
12
1
C 1
1
n n
k
n k k n +=-=
++∑
．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学参考答案
一、填空题 1、10； 2、
112
； 3、1； 4、6； 5、7； 6、
16
π
； 7、6.42； 8、ln2－1；
9、
11c
b
-
； 10、2
6
2
n n -+； 11、3； 12、
2
；13、 14、4；
2、【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故3166
12
P =
=?
6、【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区
域E 表示单位圆及其内部，因此．2
1
44
16
P ππ
?==
?
7、【解析】由流程图
112
2334
45
5S G F G
F G F G
F G
F =++++
4.50.12
5.50.20
6.50.40
7.50.2
8.50.08=?+?+?+?+?
6.42=
9、【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填
11c
b
-
．事实上，由截距
式可得直线AB ：
1x y b
a
+
=，直线CP ：
1x y
c
p +
= ，两式相减得11110x y b c p
a ????
-+-= ? ?????，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
10、【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即
2
2
n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第
2
2
n n -＋3个，即为
2
6
2n n -+．
11、【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32
x z y +=
，代入
2
y
x z
得
22
9666344x z x z
x z x z
x z
x z
+++≥
=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．
12、【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所
以△OAP 是等腰直角三角形，故
2
a
c
=
，解得2
c e a
=
=
．
13、【解析】设BC ＝x ，则AC
，根据面积公式得：
A B C S ?
=
1s in 2
A B B C B =.
根据余弦定理得：
2
2
2
22
42c o s 24A B
B C
A C
x x
B A B B C
x
+-+-=
=
2
44x x
-=
，代入上式得
A B C
S ?
=
=
由三角形三边关系有2
2x x ?+>??+>
??
解得22x -<<
，
故当x =A B
C S ?最大值14、【解析】若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，
()3
31f
x a x x =-+≥0可化为，2
3
31a x
x
≥
-
设()2
3
31g x x
x
=
-
，则()()'
4
312x g x x
-=
， 所以()g x 在区间10,2
?? ??
?
上单调递增，在区间
1,12??
????
上单调递减，因此()
m a x
142g x g ??
== ???
，从而a ≥4；
当x ＜0 即[)1,0-时，()3
31f x a x x =-+≥0可化为a ≤
2
3
31x
x
-
，()()'
4
312x g x x
-=
0>
()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()
()m a 14n
g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4
二、解答题
15
、（1
）由已知条件即三角函数的定义可知c o s c o s 10
5αβ=
=
，
因α为锐角，故sin
0α>
，从而s in 10
α==
同理可得
s in 5
β==
，因此1ta n 7,ta n 2
αβ==
.
所以tan ()αβ+=
17ta n ta n 2311ta n ta n 172αβαβ
++=
=---?
;
（2）132ta n (2)ta n [()]111(3)2αβαββ-+
+=++==---?
,
30,0,02,2
2
2π
π
παβαβ<<
<<
<+<
又故
从而由 tan (2)1αβ+=- 得 324
π
αβ+=
.
16、证明：（1）∵E,F 分别是A B B D ，的中点．
∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，
∵E F ∥?面ACD ，AD ?面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，
∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ?面BCD ，∴面E F C ⊥面B C D
17、【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10c o s c o s A Q O A θ
θ
=
=
, 故
10c o s O B θ
=
，又OP ＝1010tan θ-，
所以10101010ta n c o s c o s y O A O B O P θθ
θ
=++=
+
+-，
所求函数关系式为2010s in 10c o s y θ
θ-=
+04πθ?
?≤≤ ???
②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以
=
所求函数关系式为)010y x x =+≤≤
（Ⅱ）选择函数模型①，()()
()
'
2
2
10c o s c o s 2010s in 102s in 1c o s c o s s in y θθθ
θθθ
θ
-----=
=
令'
y =0 得sin 12
θ=
，因为04
π
θ<<
，所以θ=
6
π
，
当0,
6πθ?
?
∈ ??
?
时，'
0y < ，y 是θ的减函数；当,
6
4ππθ??
∈
???
时，'
0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ
=
6
π
时，m in 101y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距
离AB 3
km 处。
18、解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）； 令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2
x 20y D x E y F ++++=
令y ＝0 得20x D x F ++=这与2
2x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．
令x ＝0 得2
y E y +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．
所以圆C 的方程为22
2(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于 ，将该点的坐标代入圆C 的方程，
并变形为22
000002(1)0x y x y b y ++-+-= （*）
为使（*）式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合（*）式得
2
2
000020x y x y ++-=，解得000
02 11x x y y ==????==??，
－，
或
，， 经检验知，点(0,1),(2,0)-均在圆C 上，因此圆C 过定点。
19、解：（1）①当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成
等比数列，则推出d =0。
若删去2a ，则2314a a a =?，即2
111(2)(3)a d a a d +=?+化简得140a d +=，得
14a d
=-
若删去3a ，则2214a a a =?，即2
111()(3)a d a a d +=?+化简得10a d -=，得
11a d
=
综上，得
14a d
=-或
11a d
=。
②当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项。 若删去3a ，则1524a a a a ?=?，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+?+化简得2
30d =，因为
0≠d ，所以3a 不能删去；
当n ≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --中，由于
不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -?=?，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也
有132n n a a a a -?=?，这与0≠d 矛盾；若删去32,
,n a a -中任意一个，则必有121n n a a a a -?=?，
这与0≠d 矛盾。(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，4n =。
（2）假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21，其中111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列，则2111y x z b b b +++=?，即
2
111()
()(
)b y d b x d b z d +
=
+?+，化简得2
2
1()(2)y x z d
x z y b d
-=+- （*）
由10b d ≠知，2
y x z -与2x z y +-同时为0或同时不为0 当2
y x z -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾。
故2
y x z -与2x z y +-同时不为0，所以由（*）得
2
12b y xz d
x z y
-=
+-
因为01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1
b d
为有理数。
于是，对于任意的正整数)4(≥n
n ，只要
1b d
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n
项数列1，1+1+1(n +-
20、解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于
()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于1
2
3
23
x p x p --≤，即
12
3lo g 2
3
3
2x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*）
由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于12
32
p p -≤，即
123lo g 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i ）当1232p p lo g -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）
则由()()f a f b =及1a p b <<易知12
a b p +=
，
再由1
1
1113
,()3
,p x
x p x p f x x p --?
函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度 为2
2
a b b a b +--
=（参见示意图1）
（ii ）1232p p lo g ->时，不妨设12,
p p <，则213lo g 2p p ->，于是
当1x p ≤时，有1212()3
3
()p x
p x
f x f x --=<<，从而1()()f x f x =；
当2x p ≥时，有31
212
21
2
2
lo g 2
12()33
3
3
3
3
()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=
从而 2()()f x f x = ；
当12p x p <<时，1
1()3
x p f x -=，及22()23
p x
f x -=?，由方程1
2323
x p p x
--=?
解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12
031lo g 22
2
p p x +=+ ⑴
显然10221321[()lo g 2]2
p x p p p p <=-
--<， 这表明0x 在1p 与2p 之间。由⑴易知
10
102
2(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤?=?<≤?
综上可知，在区间[,]a b 上，0
102
(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤?=?<≤? （参见示意图2）
故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12
3
23
p a
b p --=?，得
123lo g 2p p a b +=++ ⑵
故由⑴、⑵得 012
1
23
1()()[l o g 2]2
2
b a
x p b p
b p p --+-=-
+-= 综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2
a b -。
21：A ．选修4—1 几何证明选讲
证明：如图，因为A E 是圆的切线， 所以，A B C C A E ∠=∠,
又因为A D 是B A C ∠的平分线， 所以 B A D C A D ∠=∠
从而 A B C B A D C A E C A D ∠+∠=∠+∠ 因为 A D E A B C B A D ∠=∠+∠, D A E C A D C A E ∠=∠+∠ 所以 A D E D A E ∠=∠,故E A E D =.
因为 E A 是圆的切线，所以由切割线定理知,
2
E A E C
E B
=?, 而E A E D =,所以2
E D E C E B =
B ．选修4—2 矩阵与变换
解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点
'
'
'
00(,)
P x y 则有
'
00'0020 01x x y y ??????=??????????????
，即'
00
'
00
2x x y y ?=??=??，所以'
0'0
02x x y y ?=???=? 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'2
00()()1x y +=
所以，曲线F 的方程是 22
1x y +=
C ．选修4—4 参数方程与极坐标 解： 因椭圆
2
2
13
x
y
+=
的参数方程为o s (s in x y φ
φφ?=??=??
为参数）
故可设动点P
的坐标为o s ,s in φφ），其中02φπ≤<.
因此1o s s in 2o s s in )2s in ()2
2
3
S x y π
φφφφφ=+=+=+=+
所以，当6
π
φ=
时，S 取最大值2
D ．选修4—5 不等式证明选讲
证明：因为,,a b c 为正实数，由平均不等式可得
3
3
3
3
111a
b
c
c
+
+
≥
即 3
3
3
1113
a
b
c
a b c
+
+
≥
所以
3
3
3
1113a b c a b c a
b
c
a b c
+
+
+≥
+，
而
3
2
3a b c a b c a b c
c
+≥
= 所以
3
3
3
111
a
b
c
+
+
+
a b c ≥
22、解：由题设可知，以D A 、D C 、1D D 为单位正交基
底，建立如图所示的空间直角坐标系D x y z -，则有
(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0
,1,0)C ,(0,0,1)D
由1(1,1,1)D B =-
，得11(,,)D P D B λλλλ==-，所以
11(,,)(1,0,1)(1,,1)P A P
D D A λλλλλλ=+=--+-=---
11(,,)(0,1,1)(,1,1)P C P
D D C λλλλλλ=+=--+-=---
显然A P C ∠不是平角，所以A P C ∠为钝角等价于 c o s c o s ,0P A P C A P C P A P C P A
P C
∠=<>=
<，则等价于0P A P C <
即 2
(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113
λ<<
因此，λ的取值范围是1
(,1)3
23、证明：（1）在等式0122
(1+x )=C C C C n n n
n n n n x x x
+++
+两边对x 求导得
1
12
1
2
1
(1)
2(1)n n n n
n n n n
n n x C C x n C x
n C x
----+=++
+-+
移项得： 1
1
2
[(1)
1]n
n k k n k n x k C x
--=+-=
∑
（*）
（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得
11
(1)0n
k k
n k k C -=-=
∑
所以
1
(1)0n
k k
n k k C =-=∑
（ii ）由（1）知112
1
2
1
(1)2(1),3n n n n n n n n
n n x C C x n C x
n C x
n ----+=++
+-+≥
两边对x 求导，得223
2
(1)(1)
232(1)n n
n n n n n n x C C x n n C x
---+=+++-
在上式中，令1x =-
23
22
0232(1)(1)(1)
n n n n C C n n C -=+-+
+--
即
2
2
(1)(1)
0n
k k n k k k C -=--=∑
，
亦即
22
(1)()0n
k k
n k k k C =--=
∑
（1）
又由（i ）知
1
(1)0n
k k
n k k C =-=
∑
（2）
由（1）+（2）得21
(1)C 0n
k k
n k k =-=∑
（iii ）将等式0122
(1+x )=C C C C n n n
n n n n x x x
+++
+两边在[0,1]上对x 积分
1
1
0122
(1)(C C C C )n
n
n
n n n n x d x x x x d x +=
+++
+?
?
由微积分基本定理，得
111
10
11(1)
()
1
1
n
n k k n k x C x
n k ++=+=++∑
所以 1
12
1
1
1
n n
k
n k C k n +=-=
++∑
【必考题】数学高考试题(及答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 56 5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22 221x y a b += (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ， 使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．2,13?? ???? B ．1,32???? C ．1,13?? ???? D ．10,3 ?? ?? ? 6．函数3 2 ()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,2) 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 8．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8 B ．9，5，6 C ．7，5，9 D ．8，5，7 9．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ． 12 B ． 512 C ． 14 D ． 16 10．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是． 5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=． 6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是． 7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是． 9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是． 11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是． 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=， 其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是． 二.解答题 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
2020年高考数学真题汇编答案及解析 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( ) A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{3} 【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}； 若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3} 若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D. 【答案】 D 2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个 【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A. 【答案】 A 3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图
所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A．3个B．2个 C．1个D．无穷多个 【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个． 【答案】 B 4．给出以下集合： ①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}； ②N＝{x|－x2＋x－2＞0}； ③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}； ④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}， 其中一定是空集的有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个 【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0?x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B. 【答案】 B 5．如右图所示
【常考题】数学高考试题(含答案) 一、选择题 1．123{3x x >>是12126 {9 x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 6．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为 ( ). A B C D ．6 7．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b = c =( ) A ． B ．2 C D ．1 8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，
cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；
绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12 ,,,n x x x L 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若复数 12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积 =g a b ★ . 【答案】3 【解析】232=?=g a b 。 3.函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)- 【解析】 2 ()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数 sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如 图所示，则ω= ★ . 【答案】3 【解析】3 2T π =， 23T π =，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s = ★ . 【答案】2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ . 【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线 3 :103C y x x =-+上， 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】 (2,15)- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 10.已知 51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大 小关系为 ★ . 【答案】m n < 0S ← 结束
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。 圆锥的体积公式：V 圆锥 1 3 Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是________▲________. 4.已知一组数据4.7,4.8, 5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =2 32x x -- 的定义域是 ▲ . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ . 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ . 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ . (第10题)
2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理 科数学(江苏卷) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.(2010江苏,1)设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a 的值为_______.答案:1 2.(2010江苏,2)设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为_______.答案:2 3.(2010江苏,3)盒子中共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是_______. 答案: 2 14.(2010江苏,4)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间［5,40］中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有_______根棉花纤维的长度小于20mm. 0. 0.0.0.0.0.m m ) 答案:30 5.(2010江苏,5)设函数f (x )=x (e x +a e -x )(x ∈R )是偶函数,则实数a 的值为_______.答案:-1 6.(2010江苏,6)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线42x -12 2 y =1上一点M 的横坐标为3,则 点M 到此双曲线的右焦点的距离为_______. 答案:4 7.(2010江苏,7)下图是一个算法流程图,则输出S 的值是_______. 答案:63 8.(2010江苏,8)函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,其中k ∈N *.若a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是_______. 答案:21 9.(2010江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2=4上有且只有四个点到直线12x -5y +c =0的距离为1,则实数c 的取值范围是_______. 答案:(-13,13)
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
2005年高考数学江苏卷试题及答案 源头学子小屋 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的 1.设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{ }3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(32 1R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ） A ．32log 2 -=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．x y -=32 log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 4.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ） A ． 43 B ．23 C ．4 3 3 D ．3 5.ABC ?中，3 π =A ，BC=3，则ABC ?的周长为 （ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6.抛物线2 4x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ． 16 17 B ．1615 C ．87 D ．0 7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A ．484.0,4.9 B ．016.0,4.9 C ．04.0,5.9 D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α?m ，α?n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α?l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则
数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 渐近线的距离为2 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32 ()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上 的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
新高考数学试题(带答案) 一、选择题 1．定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ． C ． D ． 2．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 3．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001
参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 5．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 6．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 8．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 2 D 9．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．6 D ．2 10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
2019·江苏卷(数学) 1.A1[2019·江苏卷]已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= . 1.{1,6}[解析] 由题易知A∩B={1,6}. 2.L4[2019·江苏卷]已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是. 2.2[解析] (a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i.因为该复数的实部为0,所以a=2. 3.L1[2019·江苏卷]图1-1是一个算法流程图,则输出的S的值为. 图1-1 3.5[解析] 由图可得,x=1,S=0+=;x=2,S=+1=;x=3,S=+=3;x=4,S=3+2=5,退出循环,输出的S的值为5. 4.B1[2019·江苏卷]函数y=-的定义域是. 4.[-1,7][解析] 由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7]. 5.I2[2019·江苏卷]已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是. 5.[解析] 这组数据的平均数为=8,所以方差为=. 6.K2[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 6.[解析] 3名男同学记为A,B,C,2名女同学记为D,E. 基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个,其中至少有1名女同学的基本事件有7个,故所求概率为. 7.H6[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程 是. 7.y=±x [解析] 将(3,4)代入双曲线方程可得b=,所以该双曲线的渐近线方程是y=±x. 8.D2[2019·江苏卷]已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.
2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（含答案解析） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i 【答案】D 【难度】容易 【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
【好题】数学高考试题带答案 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( ) A．B．C．D． 2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A．B．C．D． 3．如图所示的组合体，其结构特征是（） A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A．B． C．D． 5．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A 53 B ． 532 C 53 D ． 132 10．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ?=则BC=______ A 3B 7 C 2 D 2311．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．32 二、填空题 13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2 21y ax a x =+++相切,则a= ． 14．设n S 是等差数列{}* ()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 ．若某人满足上述两个黄金分割
新数学高考试题带答案 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 2．设函数()()21,0 4,0 x log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15 3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． 1 9 B ． 29 C ． 49 D ． 718 4．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A 2 B 3 C 5 D ．6 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x C ．3 5y x =± D ．53 y x =± 6．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ?