高三文科数学概率统计专题

一、 选择题

1．为了了解参加某运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法中正确的是（ ）

A.2000名运动员是总体

B.每个运动员是个体

C.100名运动员是所抽取的一个样本

D.样本的容量是100 2．(文)(2011·山东实验中学期末)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是( )

A ．①简单随机抽样，②系统抽样

B ．①分层抽样，②简单随机抽样

C ．①系统抽样，②分层抽样

D ．①②都用分层抽样

3．为了了解某地区参加数学竞赛的1005名学生的成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（ ）

A.

100550,10055 B. 100550,10051000 C.

100050,10055 D. 1000

50

,10051000 4．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于1

3的概率为

A ．

1718 B ．79 C ．29 D ．118

5．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )

A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6

6．(2011·江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )

X 3 4 5 6 y

25

t

4

45

A.4.5 B ．3.5 C ．3.15

D ．3

二．解答题

1．(本小题满分13分)已知关于x 的方程0)4(4

1)3(2

2

=--

-+c c x b x （1）c b 和分别是抛掷两枚骰子得到的点数，求上述方程有实数根的概率。 （2）若60,60,≤≤≤≤∈c b R c b 且，求上述方程有实数根的概率。

2.(本小题满分12分) 已知集合{2,0,2},{1,1}A B =-=-，设M ={(,)x y |x ∈A ,y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(,)x y .

（1）求以(,)x y 为坐标的点落在圆2

2

1x y +=上的概率；

（2）求以(,)x y 为坐标的点位于区域D ：20,20,1x y x y y -+??

+-??-?

≥≤≥内（含边界）的概率.

3．（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

（Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.

4．（本题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计 男生 5 女生 10 合计

５０

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35

． （1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，

123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓

球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．

下面的临界值表供参考：

2

()p K k ≥ 0.15 0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

12

乙

图4

24

43115

2

79

8

10

11

甲

5. （本小题满分12分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.

(1)根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品

的重量相对较稳定；

(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的

概率.

6．(本小题满分12分)(文)(2011·湖南长沙一中期末)某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

7．（本小题满分14分）已知函数31

3

f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．

（1）已知{}0 1 2a ∈，，

，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]1 1-，上的最小值，求当1a ≥时

g a ()的解析式．

1-1

2

-2y=-1

x-y+2=0

x+y-2=0

o

y

x

高三文科数学概率统计专题答案

1.解：由方程0)4(4

1)3(2

2

=--

-+c c x b x 有实数根 得4)2()3(,0)4)(4

1(4)3(2

2

2

2≥-+-≥--?--=?c b c c b 即 设事件A 为“方程0)4(4

1)3(2

2

=---+c c x b x 有实数根”， 则事件A 为“方程0)4(4

1)3(2

2=--

-+c c x b x 没有实数根”。 -----------------------4分 （1）以),(c b 表示抛掷两枚骰子得到的点数，则总的基本事件数共有3666=?个，

即)6,6(),3,1(),2,1(),1,1(

其中A 中包含的基本事件为)3,4(),2,4(),1,4(),3,3(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(共9个，

4

3

3691)(1)(=-

=-=∴A P A P 。 ---------------------------9分 （2）由于试验的全部结果组成的区域为}60,60|),{(≤≤≤≤c b c b ，

事件A 组成的区域为}4)2()3(60,60|),{(2

2

≥-+-≤≤≤≤c b c b c b 且，

916

26)(2

22π

π-=?-=∴A P 。 ---------------------------13分 2．解：（1）集合M 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6个，记“以(,)x y 为坐标的点落在圆2

2

1x y +=上”为事件A ，则基本事件总数为6.

因落在圆2

2

1x y +=上的点有(0, -1)，(0, 1)2个，即A 包含的基本事件数为２， 所以21

()63

P A =

= （2）记“以(x ，y )为坐标的点位于区域D 内”为事件B . 则基本事件总数为6.

由右图知位于区域D 内（含边界）的点有：(-2, -1)，(2, -1)， (0, -1)，(0, 1)共４个，即B 包含的基本事件数为4，---------------10分 故42

()63

P B =

=.-----------------------------------------12分 3．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++?=，所以高为

0.3

0.065

=．频率直方图如下：

-------------------------------2分

第一组的人数为

1202000.6=，频率为0.0450.2?=，所以200

10000.2

n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300?=，所以

1950.65300

p ==．

第四组的频率为0.0350.15?=，所以第四组的人数为10000.15150?=，所以1500.460a =?=．

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为

60:302:1=，所以采

用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人.

设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、

(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)

岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种.

所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为8

15

P =. 4．解：(1) 列联表补充如下：-----------------------------------------------------3分

喜爱打篮球 不喜爱打篮球

合计 男生 ２０ ５ ２５ 女生 １０ １５ ２５ 合计

３０ ２０ ５０

（2）∵2

2

50(2015105)8.3337.87930202525

K ??-?=

≈>???------------------------5分 ∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.------------------------------------------6分 （3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切

可能的结果组成的基本事件如下： 111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，

132(),A B C ，，

211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，231()A B C ，，，232()

A B C ，，，

311312321()()()

A B C A B C A B C ，，，，，，，，，

332()A B C ，，,322331()()A B C A B C ，，，，，，

411412421()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，422431432()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，511512521()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，

522531532()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，

基本事件的总数为30， 用M 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“11B C ，全被选中”这一事件，

由于M 由111211311()()()A B C A B C A B C ，，，

，，，，，,411511(,,),(,,)A B C A B C 5个基本事件组成， 所以51

()306

P M =

=，由对立事件的概率公式得15()1()166P M P M =-=-=.

5．（本小题满分12分）

(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)

解

：

()1

1071111111131141221136

x =

+++++=甲,

()1

1081091101121151241136

x =

+++++=乙,

()()()()()()222222

211071131111131111131131131141131221136S ??=

-+-+-+-+-+-?

?甲=21

,

()()()()()()222222

2

11081131091131101131121131151131241136S ??=

-+-+-+-+-+-??乙 883

=,

∵x =甲x 乙, 22

S S <甲乙 ,

∴甲车间的产品的重量相对较稳定. (3) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取

法:

()()1089108110，10，，，()()108112108115，，，，()()108124109110，，，

，()()109112109115，，，，()()109124110112，，，

，

()()110115110124，，，，()()112115112124，，，

,()115124，. (4) 设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则A 的基本事件有4

种

:

()()1089108110，10，，

,

()109110，，()110112，

.

故所求概率为()4

15

P A =

. 6.[解析] (1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，

所以全班人数为2

0.08

＝25.

(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4， 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为4

25

÷10＝0.016.

(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是9

15

＝0.6.

7.【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.

解：(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个：

(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分 其中事件A “1

(1)03

f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分

故62

()93

P A =

=．…………………………6分 答：事件“(1)0f ≥”发生的概率2

3

.………………7分 (2) 3

1(),3

f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==………………8分 ∴3

1(),3

f x x ax =

- 2()f x x a '=-, ………………………9分 ① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 从而1

()(1)3

g a f a ==

-；……………………11分 ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，

从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分

综上，知1

,13

().1,13a a g a a a ?-≤-??=?

?-+≥??

……………………14分