新课程中“单位圆与三角函数线”的教学作用
高一数学组 刘华泉
在三角函数的教学中，三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）一直是与三角函数图像并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结合思想的完美体现。但学生往往重后者而疏前者，因此老师们在“三角函数线的解题功能”方面有较多的探讨。如今，随着新课程改革三角函数定义的单位圆化，给了三角函数线更宽的舞台，在三角函数这一章节知识的展开中，三角函数线起到了前所未有的作用。本文旨在挖掘“单位圆——三角函数线”在教学中的功能。
教学作用一．三角函数“单位圆定义法”与原教材“终边定义法”之比较：
“终边定义法（r
y =
αsin 等）”源于锐角三角函数，“终边定义法”需要经过“取
点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．
（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角α，它的终边与单位圆交点P(x ，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即
角α（弧度）对应于点P 的纵坐标y ──正弦， 角α（弧度）对应于点P 的横坐标x ──余弦，
可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cos α，y= sin α是单位圆的自然的动态（解析）描述，其中，单位圆上点的坐标随着角
α每隔2π（圆周
长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．所以作为任意角三角函数的定义，当然是选择能够表现周期性的单位圆更为恰当。 另外，该定义可以在学诱导公式前求特殊角的三角函数值，也可以判断三角函数在各象限内的符号。
教学作用二．单位圆中理解弧度制：
学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用圆的半径来度量角，当此圆为单位
圆时，由扇形弧长公式r l ?=α知，α=l 。所以，在单位圆中，角度α就
是弧长l 。这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数
（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了我们还可以这样来理解三角函数中自变量与
函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A （1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）α被缠绕到单位圆上的点P(cos α，sin α)．
教学作用三． “同角三角函数的基本关系”中的公式推导和应用（求值、证明）： 1．公式推导：如图2，关系式一“1cos sin 22=+αα”，即OMP RT ?中
的勾股定理“122=+OM MP ”。关系式二“ααα
tan cos sin =”
，即相似三角 形比式“
AT OA
AT OM
MP ==
教学作用四．诱导公式的推导：
举两例，如图3，观察三角函数线可知，απ-与α 的正弦线相等，余弦相反；
所以 对于y 轴的轴对称性
sin(π－α)=sin α，
cos(π－α)=－cos α；
如图4，
απ-2
3的正弦线等于α的余弦线的相反数，
关于y=-x 对称
ααπsin )2
3cos(
-=-ααπcos )2
3sin(
-=-。
同理以下结论都可以在单位圆中体现
● 对于圆心的中心对称性sin(π+α)=－sin α，cos(π+α)=－cos α； ● 对于x 轴的轴对称性
sin(－α)=－sin α，cos(－α)=cos α；
● 对于直线y=x 的轴对称性sin(
－α)=cos α，cos(－α)=sin α；
教学作用五．利用正弦函数线作正弦曲线：
教材中采用将单位圆十二等份，然后平移出十二条正弦线，连接十二个平移出的P 点，得]2,0[,sin π∈=x x y 的图象。即描出了12个点。
问题：如何给图5中的钝角α描点)sin ,(αα？ 横坐标α=x 等于劣弧OP 的长（由功能二可知），用一条柔软 的细线将劣弧OP 平展到射线Ox 上，得横坐标α=x 对应的点。然 后，将α=x 的正弦线平移过去得纵坐标αsin ，得点)sin ,(αα。
教学作用六．三角函数的性质：“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．
如图6，当角x 的终边绕原点从x 的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，
自变量x 的终边按照0→2
π
→π→2
3π→π2→…的规律周而复始变化着，
所以三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调性…一目了然
教学作用七：其它解题功能：主要功能：等式与不等式、比较大小。
1．由于单位圆中弧长||||x r x l =?=，从图6中易知当2
0π
<≤x 时，
x x x tan sin <<。此不等式能指导作图7，三者唯一的交点是原点。
2．解不等式组??
??
?
-
≤≥)
2(21
cos )1(21sin x x
(1)、(2)式的解x
8、9所示。取公共部分得解集},26
523
2|
{Z k k x k x ∈+≤≤+ππ
ππ
从这个角度来看，新课程或许在告诉我们，可以将三角函数统一在单位圆
与三角函数线之下，让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生 学会用联系的观点看三角函数，数形结合地研究三角函数的定义、公式、图象与 性质，明白单位圆与三角函数线可以研究什么问题、怎样研究这些问题，动态地 分析问题。
图7
x
=
y
课题：二倍角的三角函数 本节考试要求为B 级 一、知识梳理 1、二倍角公式 =α2sin ；=α2cos ；=α2tan ． 2、公式变形 =α2sin ；=α2cos ；=-αcos 1 ； =+αcos 1 ；=-α2sin 1 ；=+α2sin 1 ． 3、技巧：（1）巧变角；（2）切化弦；（3）变逆用；（4）幂升降；（5）变结构；（6）1代换；（7）三兄妹． 二、三基能力强化 1、已知5 3 )4sin( = -x π ，则=x 2sin ． 2、已知θ是第三象限角，且9 5cos sin 4 4=+θθ，那么θ2sin ＝ ． 3、在ABC ?中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C sin 的值为 ． 4、教材习题改编）已知1tan 2tan 1=+-θθ，则=++)4 tan(42tan π θθ ． 5、已知βα,均为锐角，且α αα αβsin cos sin cos tan +-=，则=+)tan(βα ． 三、典例互动 三角函数式的化简：化简的要求 例1：（1）化简)4 cos(6)4sin( 2x x -+-π π ； （2）α αααα2sin ) 1cos )(sin 1sin (cos +--+ 规律总结： 三角函数式的求值：求值的方法 例2：求值：0 01000 1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 又如： 78sin 66sin 42sin 6sin ＝
例3：已知),43(ππα∈，3 10 tan 1tan =+αα，求 ) 2 sin(28 2 cos 112 cos 2 sin 82 sin 52 2 π αα α α α --++的 值。 变题：本题条件不变，求 ) 3 sin(cos 22sin 2π ααα- -的值。 例4：已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αtan ，y =βtan ，记)(x f y = （1）求)(x f 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)(x f 的值域 四、课堂反馈 1．已知cos2α＝1 4 ，则sin 2α＝________． 2．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α 等于________． 3．已知α，β，γ∈(0，π 2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于________． 4．定义运算a b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________． 5．(原创题)已知sin θ＝4 5 ，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________． 6．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan(π4－x )·sin 2(π 4＋x ) .
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
三角函数线及其应用 【知识梳理】 1．有向线段 带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线 图示 正弦线 α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，有向线段MP 即为正弦线 余弦线 有向线段OM 即为余弦线 正切线 过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T ，有向线段AT 即 为正切线 题型一、三角函数线的作法 【例1】 作出3π4 的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4 的终边(如图)与单位圆的交点为P . 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ， 与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4 的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 【类题通法】 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 【对点训练】 作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示， －9π4 的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二、利用三角函数线比较大小 【例2】 分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π5 的大小． [解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边 作2π3 的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3 ＝AT . 同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5 ＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5 ；AT 第4章 第7节 一、选择题 1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( ) A ．a B.2a C ．2a D.3a [答案] D [解析] 依题意得∠ACB ＝120°. 由余弦定理 cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2????－1 2＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D. 2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π 3 ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >3 2 ，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝1 2 . (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ； 当a cos A ＝b cos B 时， 由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ，第四章 三角函数与三角形4-7应用举例