二倍角的三角函数（第1课时）
一、学习目标
1．掌握从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式的过程，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用．
2．掌握二倍角公式（正用、逆用及变形）在求值、化简、证明过程中的应用，提高学生的运算和逻辑推理能力．
3．强化学生的参与意识，领会从一般到特殊的数学思想，体会公式中所蕴含的简洁美、和谐美，激发学生学习数学的兴趣．
二、教学重难点
重点：二倍角公式及变形公式的推导
难点：二倍角公式及变形公式的灵活运用
三、学法指导
让学生通过图形和公式推导，从数和形两个方面自主的探究二倍角公式，激发学生的学习欲望和学习兴趣；通过练习反馈，找出学生对知识点的掌握情况及学生间的问题、差距．
四、学习过程
（一）、情景设计
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，这些公式中的角α、β都带有一般的性质，我们说一般性中总蕴含着特殊性，比如角βα=时，公式中就只有α和α2的三角函数了，那么此时α的三角函数和α2的三角函数有什么样的关系呢，公式会显示出哪些简洁之美呢？
这就是我们今天研究的课题。
关于这个课题我们可以从“数”和“形”两个方面去研究。现在大家就把教学案上的问题1到问题3讨论组织一下，过会我们请小组成员解决一下这几个问题。
（二）、学生活动
小组讨论3分钟，请两个小组代表回答
教师完善过程与结论
（三）、构建数学
1、观察函数x y sin =与函数x y 2sin =在图像上有什么样的关系？
x y sin = 纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2 x y 2sin =
用解析式怎样表达出来呢？
显然通过“形”---图像是无法给出函数x y sin =与函数x y 2sin =的解析式关系的。 那么从“数”的角度出发，即在两角和的正弦、余弦、正切公式中取一种特殊情况， 使得αβ=，你能得到你想要的关系式吗？哪个小组帮我们解决一下这个问题。
2、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααα22sin cos 2cos -=
α
αα2tan 1tan 22tan -= 由于α2是α的二倍角，我们就把这一组公式称为二倍角公式。这就是我们今天探讨的结论“二倍角三角函数”。
从两角和的正弦、余弦、正切公式得到二倍角的公式，这体现了有一般到特殊的化归思想。那么这些表达式是恒成立的吗？
二倍角的正弦、余弦公式中R ∈α 二倍角的正切公式中Z k k ∈+≠
,2ππα,Z k k ∈+≠,22ππα 学生板演并讲解。
例1、 已知),,2
(,1312sin ππββ∈=求βββ2tan ,2cos ,2sin 的值； 本例是“给值求值”问题，直接利用倍角公式进行计算，但要注意角的范围的判断，以决定三角函数值的正负。
练习1：若5
12cos 2sin =-α
α
，则αsin =？ 本练习是为了引入公式逆用的知识点，并且在讲解中可以分析“倍角”的含义，即倍角的概念是相对的。
α2是α的二倍角：αααcos sin 22sin =
α3是α2
3的二倍角：αααα23cos 23sin 2232sin 3sin =?=
我们学习的公式有正用、逆用、妙用、巧用，各位同学仿照前面的学习过程，看一看，今天的你学习的二倍角公式有哪些比较直接的变式呢？
小组讨论3分钟
3、直接变形
ααα2sin cos sin 2= 与 ααα2sin 2
1cos sin = ααα2tan tan 1tan 22=- 与 ααα2tan 21tan 1tan 2=- ααα2cos sin cos 22=- 与 ααα2cos cos sin 22-=-
1cos 22cos sin 212cos 22-=-=ααα
α 与 αααα2cos 1cos 22cos 1sin 222+=-=
（四）、数学应用
例2、化简求值：（口答）
（1）'3022cos '3022sin
? =
（2）8cos 8sin 2
2ππ
-= （3）12cos 24cos 48cos
48sin 2ππππ= （4）0
215sin 21-=
（5）020215cos 15sin 2= （6）12
tan 112
tan
2ππ-=
本例是“给角求值”问题，其方法是直接利用公式及它的变式将非特殊角转化为特殊角或产生抵消或约分等。通过本例让学生加深对公式的记忆，进一步巩固公式。
教师板演第（3）题和第（5）题
小组探讨例3的解决方案，小组成员板演分析。教师重点分析例3。
例3求证=++-+θ
θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1θtan 重点分析左式的三种化简方法，让学生进一步加深对二倍角余弦公式的应用
本例是利用倍角公式证明三角恒等式的问题，在证明过程中要分析三角函数名和角的关系。本例等式的左边是正弦、余弦、角θ2，右边是正切、角θ，显然利用倍角公式可以把θ2转化为θ，利用同角三角函数关系θ
θθcos sin tan =
可以弦化切，所以本例采用了左边化简的思路。
（五）、练习反馈
课堂练习
练习2: 求4cos 2sin 22+-的值？ 4cos 2sin 22+-=2cos 3-
练习3：化简：
ααααcos 1cos 2cos 12sin +?+=2tan α
练习4：已知2tan =x ，求??
? ??+x 24tan π． ??
? ??+x 24tan π=71- 巩固练习
2、若x ＝
12π，则sin 4x －cos 4x 的值为 则x x 44cos sin +=？
7、不用计算器求值：=????60cos 40cos 20cos 10sin
五、回顾小结
思考题：求解下面各题，你能得到更多的与二倍角公式有关的变形公式吗？
（1） 40sin 1-（2） 20sin 1+
（3）已知2
12cos =α，求α2tan =？
这将是我们下一节课要学习的内容。好了，各位同学，今天关于二倍角的三角函数，我们就探讨到这里。
六、课堂作业
课本第106页第2题和第4题
七、教学反思
巩固练习
1、已知sin α＋cos α＝31，则sin2α＝3
2- 2、若x ＝12π，则sin 4x －cos 4x 的值为8
7 3、已知180°＜2α＜270 化简αα2sin 2cos 2-+=αcos 3-
4、求值：=?-?5.22tan 15.22tan 22
1 5、已知函数x x x x x f 22cos cos sin 2sin )(-+=，R x ∈，则)(x f 的最小正周期为π；
单调增区间为 Z k k k ∈??
????++-,23,2ππππ 6、在RT ?ABC 中，斜边AB 的长为2，则?ABC 的面积的最大值为1
7、不用计算器求值：=????60cos 40cos 20cos 10sin 16
1 8、若31sin =
α且παπ32<<，则2cos 2sin αα+的值
二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案 课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。 二、教学重点、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学过程 1、复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 2、新科探究 探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？ sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= α α － α α = α － α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= α － α 注意：要使tan2α= α － α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π ， 且α≠ π+ π ﹜ 学以致用 提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法 探究二、cos2α的变形式 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α 1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=
《§3二倍角的三角函数》教学设计 教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -
二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -
两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。 二、学情分析： 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 三、教学目标： 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 四、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。 五、教学工具：多媒体 六、教学方法：讲授法，探究法 七、教学过程：
cos(12060)-? cos120? cos60? sin120? sin 60? 12 12- 12 32 32 猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?？ 公式推导 通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。 提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？ 设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。 图1 Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？ Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？ 答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？ 通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式 O y A )sin ,(cos αα) sin ,(cos ββB x β α
教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对 知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1 、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -
二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 例题2求下列各式的值： ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -
因数和倍数 师大附中项彪 教学内容：教材P5-6 例1和例2 教学目标： 1.知识、技能目标： 使学生认识倍数和因数的含义，探索并掌握找一个数的倍数和因数的方法，发现一个数的倍数、因数中最大的数、最小的数及其个数方面的特征。 2.过程与方法目标： 使学生在认识倍数和因数以及探索一个数的倍数或者因数的过程中，进一步体会数学知识之间的内在联系，提高数学思考的水平。 3.情感、态度价值观目标： 让学生初步意识到可以从一个新的角度来研究非零自然数的特征及其相互关系，培养学生的观察、分析和抽象概括能力，体会教学内容的奇妙、有趣，产生对数学的好奇心。 教学重点：理解倍数和因数的含义与方法。 教学难点：掌握找一个数因数的方法。 教学过程： 一、导入 出示课件《爸爸去哪了》中的“林志颖与kimi”为导入 师：“他们是谁？”生：“林志颖和Kimi。” 师：“他们有什么关系？”生：“父子关系。” 师：“所以，我们可以说，林志颖是？”生：“Kimi的爸爸。” 师：“或者，Kimi是林志颖的？”生：“儿子。” 师：“那能不能说林志颖是爸爸？或者Kimi是儿子？” 生：“不能单独说，谁是爸爸，谁是儿子。因为这样不知道是谁的爸爸，谁的儿子。” 师：“因此，我们可以得到他们之间的关系是？”生：“相互依存的。” （设计意图：得出父子关系是相互依存的，为因数和倍数之间的关系做铺垫。） 师：“父子之间有相互依存的关系，那么数与数之间这种关系吗？ 今天我们一起学习因数和倍数。（板书课题：因数和倍数）师：“关于因数和倍数你想知道什么？” 生： 1.什么是因数，倍数？ 2.他们之间的关系是什么？（板书：1.是什么？2.关系？） （设计意图：带着问题去学习，更具有目的性。） 二、思 （设计意图：探究1.什么是因数，倍数？2.他们之间的关系是什么？） 1.出示一组算式。这组算式的特点是什么？ 12÷2= 8÷3= 30÷6= 19÷7= 9÷5= 26÷8=
编写时间：2014 年6月9日第二学期总第课时授课者 课题二倍角的正弦、余弦、正切公式授课班级高一（3）、（9）授课时间2014.6.12 教学目标 知识 技能 倍角公式与两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构. 过程 方法 培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角 和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。 情感 态度 价值观 通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 教学 重点 二倍角的正弦、余弦、正切公式推导和应用。 教学 难点 倍角公式的形成以及公式的变形和灵活应用。 课型新授课主要教学方法启发引导与巩固练习 教学模式合作交流 教学手段 与教具 课件和课本 板书设计 课题 （一）公式的导出（四）巩固练习提高 （二）公式应用 （五）小结、作业（三）典型例题 作业 设计 课本：第135页练习1、2、3题 教学 反思 1
2 教学过程（教师活动、学生活动） 设计意图 教学过程(师生互动) 1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。) ☆ 复习回顾： sin()αβ+= cos()αβ+= tan()αβ+= 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角的正弦、余弦、正切公式。 ☆ 双向沟通： (学生独立完成) sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= (2k παπ≠+且)()42 k k Z ππ α≠+∈ 简记：2()T α 利用 22sin cos 1αα+= ，公式 2C α 还可以变形为： cos 2α= 或 cos 2α= ☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化归为特殊) 。上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单 角的三角函数表示二倍角的三角函数。 2、公式的运用： ☆ 师生互动：教师引导启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比，学生思考并回答问题以下问题： sin 22sin cos ααα= 22 cos 2cos sin ααα=- sin α= cos 4α= sin 2 α = cos 6α= sin 4 α = cos8α= 学生自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在 联系 。让学生领悟到： 2ααα=+ 让学生自行动手体会由一 般过渡到特殊的化归思想。 ☆ 举一例引导化归思想： sin ()sin c o s c o s sin αβαβαβ+=+ 当 β 取特殊角 α 时，上 述 公 式 表 示 为 : sin 22sin cos ααα= ， 接着依此类推让学生自行动 手体会由一般过渡到特殊的化归思想 。 让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归(这里 是将一般化归为特殊)这一基 本数学思想所起的作用 。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 六、教学过程 教 学 流 程 教学内容师生互动 温故探新问题1：回顾前面学习的公式，推导二倍角的三角函数 公式。 ()β α β α β αsin sin cos cos cos = ±； ()β α β α β αsin cos cos sin sin± = ±； () β α β α β α tan tan 1 tan tan tan ± = ± 令伪=尾则有 师：前面学习过两角和差正 弦余弦正切公式，这节课学 习新的内容，请同学们先完 成做中学温故探新部分。 学生活动:自主完成复习导 入，归纳新知识。
“倍的认识”教学实录 一、教学内容：人教版小学数学三年级上册50页。 二、教材分析： “倍的认识”单元内容是在学习了表内乘法口诀和表内除法后出现的学习内容。一共三个例题，例题1通过让学生用笔圈一圈，数形结合的方式形象的理解一个数是另一个数的几倍，例题2，是以学生做教室清洁的为情境，根据所给的两个条件，通过画图理解“一个数是另一个数的几倍” 用除法计算的思路。例3，是引导学生用画图理解的方式，建立“求一个数的几倍是多少”用乘法的计算思路，为解决问题构建“思维模式”。 三、教学目标 1．通过数一数、圈一圈、画一画的方式，使学生建立“倍”的概念，理解“倍”的含义。 2.培养学生的观察、操作和有条理的语言表达能力。 3．在学习过程中让学生体验生活中处处有数学，培养学生动脑思考及主动探索的精神。 四、教学重难点 重点：通过观察、操作、初步理解“倍”的含义。 难点：建立“倍”的概念。 五、教学过程 （一）课前交流 龟兔的故事。
（二）探究新知 师：同学们，你们知道小兔子最爱吃什么吗？（生：萝卜） 请看（课件出示主题图），请你认真观察，来找一找关于萝卜的数学信息？ 师：我们今天就继续来研究他们间的数量关系。 （三）探索交流，解决问题 师：首先，我们先来研究胡萝卜和红萝卜之间的数量关系。胡萝卜有几根？（生：2根）红萝卜呢？（生：6根） 师：如果我们把2根胡萝卜看成1份，那红萝卜的根数有这样的几份呢？ 胡萝卜有2根，我们把它们看成一份，红萝卜有这样的3份，也就是有3个2根，我们就说红萝卜的根数是胡萝卜的3倍 师：谁能像老师这样再说一说？（3个同学说，同桌说） 师：我们再来一起说一说，因为胡萝卜有2根，红萝卜有3个2根，我们就说红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。 师：孩子们，我们刚才通过圈一圈知道了红萝卜的根数是胡萝卜的3倍，那你能不能也用这种方法找到白萝卜和胡萝卜之间的倍数关系呢？请你们在练习纸上动笔圈一圈，填一填，开始！ 师巡视，完成的孩子和你的同桌互相说一说你的想法。 师：老师请一个孩子来摆一摆，圈一圈，谁来？ 师：刚才咱们找到红萝卜的根数是胡萝卜的3倍，白萝卜有5个2根，白萝卜的根数就是胡萝卜的5倍，那请看（课件演示）如果