标准差与方差的说课稿
尊敬的各位领导、老师下午好！
下面我就从教材、教法、学法、教学流程和教后反思几个方面进行说课。
一、说教材
（一）教学内容分析
《标准差与方差》是人教A版普通高中实验教材必修3的第二章第二节
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》第二课时的教学内容，是在学习了
众数、中位数、平均数的基础之上引入的又一个描述了变量分布的统计量，标
准差和方差是描述变量离散程度的重要指标之一。通过本节课的学习可以使学
生学会如何运用标准差和方差去描述变量分布的离散程度，并了解它在解决实
际问题中的应用，同时还可以打开学生思路，对培养学生的逻辑思维能力也有
重要作用。
（二）教学目标分析
在分析学生及教材的基础上，我制定了本节课的教学目标：
1.知识与技能目标
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；
2.会用样本的的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理
过程进行初步评价的意识.
（二）过程与方法
通过现实生活中的例子引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征，从而展开对描述数据离散程度的探索，
并让学生“亲身经历”解决实际问题的过程。
（三）情感态度与价值观
1.通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程。
2.通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题，让学生进步一
体会分布的数字特征在实际中的应用。
（三）教学重点及难点：
根据《统计基础知识教学大纲》的要求，围绕教学目标，我制定了本课的
重点和难点：
1．教学重点：方差、标准差的概念、计算及其运用，这既是本节的重点，又是本章的重点。
2．教学难点：
（1）方差和标准差的计算及运用。我们的学生普遍存在的问题是对概念都能记的很熟，但是不知如何用，本次课通过公式推导、练习来解决这个问题。
（2）方差为什么是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数，这既是教学难点，又是教学的关键，只要把这一关键问题解决好，学生就会更好的`理解方差和标准差的概念。
（四）教材处理：
将讲解的重点放在方差的概念和计算步骤上，因为只要学生将方差理解好了，标准差的问题就会迎刃而解。
二、说教法
教法是教学中直接决定教学效果的重要因素之一，素质教育的重要内容之一是充分发挥学生的主体作用，围绕这一主题，根据本学科本节内容以及教学对象的特点，我选择了以下教学方法。
1．启发教学法：
由于教学内容比较抽象，以其自身的内容很难吸引学生，所以，我根据教学内容的内在联系，在教学中采用启发式教学，随着教学进程的需要不断提出新问题，不断设置课程中的悬念，环环相扣，让学生带着问题融入课堂，以严密的逻辑推理紧紧吸引学生，这样可以成功的激发学生探求知识的欲望，然后引导学生一步步找到答案，解决问题，这既加深了学生对所学知识的印象，又锻炼了学生的逻辑思维能力和总结能力，同时让学生在自己寻求答案的过程中充分体会到了成功的喜悦，促成了学生的主动学习。
2．结合练习法增强教学效果。我一方面采用了讲练结合的方法，以一、二个例题贯穿教学过程的始终，以例题为基础将知识串起来，边讲边练，这样可以增强知识的连贯性；另一方面采用了分组练习的方法，让每一个同学都参与到教学中来，体现了面向全体学生授课的指导思想。
3．教学过程中运用多媒体课件辅助教学，增强了教学效果。
总之，在教学中我注重了多种教学方法的综合运用，特别突出了学生课堂上的主体地位，教学中讲究一个“导”字，充分挖掘学生潜力，使其进入最佳学习状态，充分体现“教师为主导、学生为主体、练习为主线、运用为目的”的教学原则。
三、说学法
我采用了“教法中渗透学法”的方法，即在讲究教学方法的同时，对学生
进行学习方法上的指导，将学习方法渗透到课堂中，帮助学生掌握科学的学习
方法，为将来继续学习做准备。
根据本节课教学内容及学生的心理特点，我注重训练学生的逻辑思维能力，引导学生通过独立思考解决问题，虽然有些基本概念也是从正面导入的，但不
是填鸭式的灌输，而是使学生学会思考、总结的方法，比如给出方差的概念后，马上引导学生进行分解，总结出计算步骤，启发学生模仿老师的思维方法，将
知识转化为能力。
另外，学生还要学会如何利用教材去获得知识，养成爱动脑、勤思考、善
学习的良好习惯。
四、说教学程序
教学过程是教学设计的具体实施，是完成前述的教学目标，掌握重点，突
破难点，按照重新处理过的教材，贯彻落实启发教学法，讲练结合，课件辅助
教学等教学方法和学法指导的具体体现。整个课时设计为5部分。
（一）、新课导入环节（5分钟）
采用提出问题，设置悬念导入法: 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个
样本，检查它们的抗拉强度（单位：
）甲：110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙：11
5 100 125 130 115 125 125 145 125 145
问题1：那种钢筋的质量较好？
让学生分组计算甲、乙的平均分，采用分组的方法，一方面让全体同学都参与了计算，另一方面节省了时间。
计算结果为：甲乙两种的平均分均是125。
引导学生发现：虽然两种的平均分相同，但很明显两种的离散程度并不同。用哪种方法来比较。
学生可能回答：可以用极差（此时再次加以肯定），然后让学生再分组计
算甲乙的极差：课件出示结果由此引导学生得出结论：极差大，变量值离散程
度也大。
继续引导学生总结：极差有一个最大的缺点，那就是它只考虑了最大值与
最小值之差，而没有考虑其他数值，所以只能粗略反映离散状况。
此时我设计的导语为：为了把所有的变量值都考虑进去，更精确的反映离
散状况，我们就不能再用极差，而要采用其他的指标，那么我们采用一个什么
样的指标呢？带着这个问题我们共同进入今天的课堂——方差和标准差（使用
课件出示标题）。
采用这种水到渠成，非常自然的方法引入新课，主要是从学生的实际情况
出发，创设情境，使学生的思维能很快进入课堂学习状态，即加深理解了已学
的知识，又给学生留下了悬念，激发了他们进一步学习新知识的欲望，学习兴
趣一下被调动起来了。
（二）讲授新课环节：仍然采用启发教学、讲练结合的方法，运用课件作
为辅助手段，以引入新课中的例题贯穿本节课的始终。
引导学生考虑上节平均数估计的推导方法,考虑离差的概念
因为离差有正负之分，而且正离差之和等于负离差之和，正负离差相抵消
后离差之和必然等于0。
继续引导学生：开动脑筋想一想，我们应如何避免离差之和因正负抵消而
等于0呢？
如果学生能够想出：可以采用取绝对值的方法或平方的方法，我将对同学
们加以赞美，以增强学生解决这个问题的信心。
然后告诉学生采用绝对值的方法是完全可以的，形成的指标叫平均差，但是，有绝对值，运算不方便，教材上也没有涉及到这个指标，所以我们今天暂
时不讨论平均差的问题，就这个问题我们可以在课下进行交流。今天我们将采
用平方的方法解决所遇到的问题。
引导学生：刚才，我们采用了数学中平方的方法消除了离差中出现的负号，避免了离差之和因正负抵消而等于0，但这无形中就扩大了离差的倍数，既然
扩大了离差的倍数，就需要还原，那么如何还原呢？学生回答：开方（加以肯定）
采用直接点拨法指出：开方后形成的指标我们叫它标准差。
引导学生自己总结出:标准差是方差的平方根。
设置问题：以上我们学习了方差和标准差的概念和计算方法，那么，我们
如何根据方差和标准差的大小来衡量离散程度的大小呢？
引导学生观察，根据以上例题的计算结果总结出结论：
方差和标准差越大，变量值的离散程度越大，变量值越分散，平均数的代
表性越小，反之，则相反。
新课讲解结束后，课堂教学就进入了第三个环节：
（三）练习环节：
练习的目的是巩固新知识，培养学生分析问题的能力，同时可以发现学生在理解方面存在的问题，找出教学中的薄弱环节，以便及时采取相应的补救措施。
引导学生进一步验证：方差是标准差的平方，使学生进一步理解方差与标准差的关系。
（四）课后小结环节：
课后小结是教学中必不可少的一个环节，通过课后小结，总结本节课的教学内容，强调学习重点（使用课件）
联系小学统计知识，理解初中统计概念 ——《方差和标准差》衔接教学案例 一、背景分析 浙教版初中数学八年级下册第三章《数据分析初步》的第三节为《方差和标准差》。本节教学内容主要介绍了两个非常重要的统计学概念——方差和标准差。方差和标准差都反映了数据的离散程度。学生在小学阶段已经学习过一些统计学知识，学生在小学数学中所学的统计学知识相对比较简单，其包括了收集数据（调查、实验、查找资料等）、整理并描述数据（统计表、统计图等）、分析数据（比较数据、趋势分析等）。小学所学的统计学知识在浙教版初中数学七年级下册的第6章《数据与统计图表》一章已经进行了复习并强化。在《方差和标准差》一节的教学中，可以默认学生具备了简单的统计学基础知识，但是他们对统计学中抽象的概念还知之甚少。本节所学的方差和标准差就比较抽象，学生学习起来有一定难度。为了帮助学生建构对方差和标准差的理解，教师不能忽视学生已有的统计学基础知识，必须进行衔接教学。本次衔接教学，不仅仅是和初一所学的内容进行衔接，更为重要的是和小学所学过的统计学知识进行衔接。 二、衔接分析 1.教学目标 本节课主要实现五个教学目标，分别为：（1）体验方差概念的产生过程；（2）理解方差的定义和计算公式；（3）会使用方差公式比较两组数据的离散程度；（4）理解标准差的概念和计算公式；（5）会使用标准差公式来比较两组数据的离散程度。在这五个教学目标中，（1）和（4）是核心。只有学生在理解方差和标准差概念的产生过程的基础上，才可能利用方差和标准差的计算公式来分析数据的离散程度。因而，本节课在教学目标上的衔接主要集中在实现教学目标（1）和（4）上。 2.教学内容 本节课的主要教学内容有两点，分别为方差的概念和计算公式、标准差的概念和计算公式。方差和标准差来源于人们对离散数据的离散程度的分析需要，在统计学中具有重要的意义。由于这两个概念的形成过程相对比较抽象，学生难以理解。如果教师不能积极地引导学生从理解方差和标准差概念的形成过程来学习本节内容，他们肯定难以真正掌握这两个概念。在实施教学内容的教学时，教师在注意衔接的基础上，要对这两个概念进行适当的应用，以强化学生对这两个概念的认知。 3.教学方法 在《方程和标准差》的教学中，将采用体验、讨论等教学方法。将提供一些数据让学生进行分析。在分析过程中，学生会遇到一定困难，为了解决困难，必须引入方差和标准差的概念。由于方差和标准差概念比较抽象，将提供一些统计学的图形工具，让学生借助直观形象的图形工具来感受引入方差和标准差的必要性。在得到方差和标准差的概念过程中，将引导学生进行讨论，以借助学生间的思维激荡，来促进学生思考，更好地帮助学生建构对方差和标准差的理解。三、教学片断 这节课的教学内容是《方差和标准差》，我按部就班地使用课件展示情境问题：“学校将要选拔一名学生去参加市里面举行的中学生射击比赛。学校将从小
心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能说明一组数据的全貌。数据除典型情况之外，还有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。 第一节方差与标准差 方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的一个很重要的统计特征数。标准差(Standard deviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用σ表示，则是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体问题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。符号不同，其含义不完全一样，这一点望读者能够给予充分的注意。 一、方差与标准差的计算 (一)未分组的数据求方差与标准差 基本公式是： （3—l a） （3—1b）
表3—1说明公式3—1a与3—1b的计算步骤 表3—1 未分组的数据求方差与标准差 应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i -X；③求(Xi - X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和 (∑x2)；⑤代入公式3— 1a与3—1b求方差与标准差。具体结果如下： S2=10/6=1.67
(二)已分组的数据求标准差与方差 数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，若计算方差与标准差可用下式： (3—3a) (3—3b) 式中d＝(Xc - AM) / i，AM为估计平均数 Xc为各分组区间的组中值 f为各组区间的次数 N=Σf 为总次数或各组次数和 i为组距。 下面以表1—8数据为例，说明分组数据求方差与标准差的步骤:
2.3.2 方差与标准差 学习目标 1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差；2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征；3.体会用样本估计总体的思想． 知识点一 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1．样本的基本数字特征包括________、__________、__________、__________、________. 2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要刻画数据的分散程度． 3．一组数据的____________________的差称为极差，用极差刻画数据的分散程度简便易行，但集中程度差异不大时，不易得出结论． 知识点二 方差、标准差 思考 若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？ 梳理 标准差与方差： 一般地， (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示．s ＝ 1 n x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. (2)标准差的平方s 2 叫做方差． s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)． (3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x . 类型一 感受数据的离散程度 例1 分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的异同点． (1)5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2)4，4，4，5，5，5，6，6，6； (3)3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.
方差和标准差的概念和计算方差和标准差是统计学中常用的两个概念，用来衡量数据的离散程度和变异程度。本文将详细介绍方差和标准差的概念以及如何进行计算。 一、方差的概念和计算 方差是一组数据与其平均值之差的平方的平均值。它用来衡量数据的离散程度，数值越大表示数据的离散程度越高，反之则表示离散程度较低。 对于一组数据 $x_1, x_2, ..., x_n$，其平均值为 $\bar{x}$，那么方差的计算公式如下： $$ \text{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 $$ 其中，$\text{Var}(x)$ 表示方差，$n$ 表示数据的个数。 二、标准差的概念和计算 标准差是方差的平方根，用来衡量数据的变异程度。与方差相比，标准差更为直观，它具有与原始数据相同的单位。 标准差的计算公式如下： $$
\text{SD}(x) = \sqrt{\text{Var}(x)} $$ 其中，$\text{SD}(x)$ 表示标准差。 三、方差和标准差的实例 为了更好地理解方差和标准差的概念，我们以一个简单的例子来说明。 假设某班级有 5 名学生的数学成绩如下： 90, 85, 92, 88, 95 首先，我们需要计算这组数据的平均值。 $$ \text{平均值} = \frac{90 + 85 + 92 + 88 + 95}{5} = 90 $$ 然后，我们可以根据方差的计算公式计算方差。 $$ \begin{align*} \text{方差} & = \frac{(90-90)^2 + (85-90)^2 + (92-90)^2 + (88-90)^2 + (95-90)^2}{5} \\ & = \frac{0+25+4+4+25}{5} \\ & = 12.6
正负数的方差与标准差 正负数是数学中的基本概念，负数是小于零的数，正数是大于零的数。在统计学中，方差和标准差是两个重要的概念，用于描述数据的 离散程度。本文将讨论正负数的方差与标准差的计算方法以及其意义。 一、方差的计算公式及意义 方差是用来描述一组数据离均值的分散程度的统计量。对于一组正 负数数据，方差的计算公式如下： 方差 = 平均值[(数据1-平均值)² + (数据2-平均值)² + (数据3-平均 值)² + ... + (数据n-平均值)²] / 总个数 方差越大，数据的离散程度就越大，而方差越小，数据的离散程度 就越小。当所有数据都相等时，方差为0，表示数据完全集中在均值周围。 二、标准差的计算公式及意义 标准差是方差的正平方根，用来衡量数据的离散程度。标准差的计 算公式如下： 标准差 = 方差的平方根 标准差与方差具有相同的意义，用于描述数据的分散程度。标准差 越大，数据的离散程度就越大，而标准差越小，数据的离散程度就越小。 三、正负数的方差与标准差的案例分析
假设有一组正负数数据如下：-2，5，-8，3，-6，9 首先，计算这组数据的平均值。平均值 = (-2 + 5 - 8 + 3 - 6 + 9) / 6 = 1/6 = 0.167 然后，计算每个数据与平均值之差的平方，并求和。差的平方和 = (-2 - 0.167)² + (5 - 0.167)² + (-8 - 0.167)² + (3 - 0.167)² + (-6 - 0.167)² + (9 - 0.167)² = 359.5 接下来，计算方差。方差 = (359.5) / 6 = 59.92 最后，计算标准差。标准差 = 方差的平方根= √59.92 = 7.745 从计算结果可以看出，这组数据的方差为59.92，标准差为7.745，说明数据的离散程度较大。 四、结论 正负数的方差与标准差是用来衡量数据的离散程度的重要统计量。方差是描述数据分散程度的一种度量，而标准差是方差的正平方根。通过计算正负数的方差与标准差，我们可以更好地理解数据的分布情况，从而进行进一步的分析和研究。 在实际应用中，方差与标准差常常用于评估风险和判断数据的可靠性。在金融、经济学等领域，对于正负数数据的方差与标准差的计算与分析是非常重要的。 总之，正负数的方差与标准差是数学统计学中常用的概念，它们能够帮助我们更好地理解数据的离散程度，从而进行科学的数据分析和
探讨均值、方差与标准差 统计学中，均值、方差和标准差是常用的概念和指标，用于描述和度量一组数据的集中趋势和离散程度。本文将深入探讨这三个概念的定义、计算方法及其在实际应用中的意义。 一、均值（Mean） 均值是一组数据中各个数值的总和除以数据个数，常用符号为x。均值能够反映数据的中心位置，可以用来代表整体数据的典型值。其计算公式如下： x = (x₁ + x₂ + … + xn) / n 其中，x₁、x₂、…、xn代表每个观测值，n为总观测数。 例如，有一组数据：2，4，6，8。对这组数据求均值，计算过程如下： x = (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5 因此，该组数据的均值为5。 二、方差（Variance） 方差衡量了一组数据的离散程度，它是各个观测值与均值之差的平方和的平均值。方差能够反映数据的波动情况，值越大表示数据的离散程度越高。方差的计算公式如下： σ² = [(x₁ - x)² + (x₂ - x)² + … + (xn - x)²] / n
其中，x₁、x₂、…、xn代表每个观测值，x代表均值，n为总观测数。 以前面的数据为例，计算该组数据的方差： σ² = [(2 - 5)² + (4 - 5)² + (6 - 5)² + (8 - 5)²] / 4 = 5 因此，该组数据的方差为5。 三、标准差（Standard Deviation） 标准差是方差的平方根，通常用σ表示。标准差是衡量数据波动程 度的重要指标，与方差的单位相同，但相对更为直观和易于理解。标 准差的计算公式如下： σ = √( [(x₁ - x)² + (x₂ - x)² + … + (xn - x)²] / n ) 继续以上述数据为例，计算该组数据的标准差： σ = √( [(2 - 5)² + (4 - 5)² + (6 - 5)² + (8 - 5)²] / 4 ) ≈ 2.236 因此，该组数据的标准差约为2.236。 四、均值、方差与标准差在实际应用中的意义 1. 描述数据分布：均值、方差和标准差这三个指标可以帮助我们了 解数据的分布情况。均值可以告诉我们数据的中心位置，方差和标准 差则揭示了数据的离散程度和波动情况。 2. 比较数据集：通过对比不同数据集的均值、方差和标准差，我们 可以得出它们的相对差异。如果两个数据集的均值接近，但一个数据 集的方差和标准差较大，那么该数据集的观测值更分散，波动性更大。
方差与标准差 方差和标准差是统计学中常用的概念，用于描述数据集中的离散程度。它们是衡量数据分布的重要指标，对研究和分析数据具有重要意义。本文将介绍方差和标准差的概念、计算方法及其在实际应用中的 意义。 一、方差的定义和计算方法 方差（variance）是一组数据与其算术平均值之间的差异程度的度量。它描述了数据相对于其均值的散布程度。方差的计算方法如下： 1. 对于总体方差： 方差 = [(x1-μ)² + (x2-μ)² + ... + (xn-μ)²] / n 其中，x1、x2、...、xn是总体中的各个观测值，μ是总体的均值，n是总体观测值的个数。 2. 对于样本方差： 方差 = [(x1-s)² + (x2-s)² + ... + (xn-s)²] / (n-1) 其中，x1、x2、...、xn是样本中的各个观测值，s是样本的均值，n是样本观测值的个数。 方差越大，表示数据的离散程度越高；方差越小，表示数据的离散 程度越低。 二、标准差的定义和计算方法
标准差（standard deviation）是方差的平方根，它代表了数据的平均离散程度。标准差的计算方法如下： 1. 对于总体标准差： 标准差= √方差 2. 对于样本标准差： 标准差= √方差 标准差与方差具有相同的变异性度量，但由于标准差和原始观测值具有相同的单位，因此在实际应用中更常用。 三、方差与标准差的意义和应用 1. 数据分布描述：方差和标准差可用于描述数据的分布情况，通过衡量数据的离散程度，可以了解数据的集中程度和分散程度。比如，在销售额的统计分析中，方差和标准差可以反映不同产品销售的波动情况，从而帮助企业进行销售策略的制定和调整。 2. 预测及决策支持：方差和标准差还可以用于预测和决策支持。在金融领域，标准差常用于度量资产收益的风险。投资者可以通过计算不同投资组合的标准差，选择合适的投资组合，以实现资产配置的优化。 3. 质量控制：方差和标准差也被广泛应用于质量控制领域。在生产过程中，通过收集样本数据，计算样本标准差，可以评估产品质量的稳定性和一致性，发现异常变动并采取相应的控制措施。
2019-2020年高中数学 2.3.2《方差与标准差》教案苏教版必修3 学习目标 （1）通过实例理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； （2）学会计算数据的方差、标准差； （3）掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 学习重点 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差． 学习难点 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．学习过程 一、问题情境 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）, 二、学生活动 由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 三、建构数学 1．方差：一般地，设一组样本数据，，…，，其平均数为，则称为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差． 2．标准差： 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 数学运用 例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这
例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的 2．练习： （1）课本第68页练习第1、2、3、4题； （2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________. （3）若给定一组数据，，…，，方差为，则，，…，方差是 课堂小结 课外作业 课本第69页第3，5，7题．
方差和标准差 方差和标准差是统计学中常用的用来衡量数据波动性的指标，可以帮助我们了解数据分布的离散程度和稳定性。下面我们将详细介绍方差和标准差的相关概念、计算方法以及在实际应用中的意义。 1. 方差（Variance）：方差是一组数据分布离散程度的量度， 衡量了每个数据点与整体均值之间的差异。方差的计算公式为：方差 = (∑(Xi - X)^2) / n，其中Xi代表第i个数据点，X代表 均值，n代表数据点的个数。方差越大，数据点与均值之间的 差异越大，反之亦然。 2. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，可 以将方差的数值转化成与原数据量纲相同的数值，方便对数据进行比较和解释。标准差的计算公式为：标准差= √方差。标 准差越大，数据的波动性越大，说明数据的离散程度越高。 3. 方差和标准差的意义：方差和标准差作为描述数据分布特征的指标，可以在实际应用中发挥重要作用。 - 统计分析：通过方差和标准差可以帮助我们判断数据的分 布特征和数据集的异质性。在统计分析中，我们可以利用方差和标准差来计算置信区间以及进行假设检验，从而得到可靠的统计结论。 - 投资风险评估：在投资领域，方差和标准差可以用来衡量 投资组合或某只股票的风险。标准差越大，代表该投资的波动性越高，投资风险也就越大。 - 质量控制：方差和标准差可以帮助我们评估某个生产过程
的稳定性和一致性。通过监测产出的方差和标准差，我们可以判断生产过程是否正常，并及时采取措施调整生产的稳定性。 - 数据挖掘与机器学习：在数据挖掘和机器学习领域，方差和标准差常常用来筛选对结果影响较大的特征和变量。通过计算不同变量之间的方差和标准差，我们可以判断它们对模型的贡献程度，从而选择具有预测能力的特征进行进一步分析和建模。 总结来说，方差和标准差是统计学中常用的衡量数据波动性的指标，它们能够帮助我们了解数据分布的离散程度和稳定性。在实际应用中，方差和标准差可以帮助我们进行统计分析、投资风险评估、质量控制以及数据挖掘与机器学习等领域。
极差.方差与标准差(知识点讲解) 极差、方差与标准差 一、本节知识导学 本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。通 过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也 希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间 的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情 况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩” 和“平均成绩”相减。 2．为什么要“平方”。 3．为什么“求平均数”比“求和”更好。 同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。 对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算， 应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。 对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根 运算又可以将他们联系在一起。 二、例题 1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差 分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散 程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。 解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。（图（1）中数据与图（2）中前 10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。 图（1）的标准差比图（2）的标准差大。（因为图（1）中各数据与其平均值离散程 度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其 平均值的离散程度小。因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。） 2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。 分析：要求方差，必须先求平均数。 解：
《标准差与方差》数学教案设计 教学目标 1、掌握用计算器求平均数、标准差与方差的方法. 2、会用计算器求平均数、标准差与方差. 教学建议 重点、难点分析 1、本节内容的重点是用计算器求平均数、标准差与方差难点是准确操作计算器. 2、计算器上的标准差用表示和教科书中用S表示不一样但意义是一样的.而计算器上的S和我们教科书上的标准差S意义不一样.在计算器上S和是并排在一起的按同一键都是统计计算用的.因S在前在后这样要想显示出标准差就需要发挥该键的统计功能中第二功能于是就得先按键再按键. 教学设计示例1 素质教育目标 (一)知识教学点 使学生会用计算器求平均数、标准差与方差. (二)能力训练点 培养学生正确使用计算器的能力. (三)德育渗透点 培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. (四)养育渗透点
通过本节课的教学渗透了用高科技产品求方差值的简单美激发学生的学习兴趣丰富了学生具有数学美的底蕴. 重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点：用计算器进行统计计算的步骤. 2.教学难点：正确输入数据. 3.教学疑点：学生容易把计算器上的键S主认为是书上的标准差S教科书中的符号S与CZ1206计算器上的符号S的意义不同而与计算器上的符号相同. 4.解决办法：首先使计算器进入统计计算状态再将一些数据输入按键得出所要求的统计量. 教学步骤 (一)明确目标 请同学们回想一下我们已学过用科学计算器进行过些运算?(求数的方根、求角的 三角函数值等)那么用计算器和用查表进行这些运算在运算速度、准确性等方面有什么不 同(计算器运算速度快、准确性高查表慢且准确性低).这节课我们将要学习用计算器进行统计运算.它会使我们更能充分体会到用计算器进行运算的优越性. 这样开门见山的引入课题能迅速将学生的注意力集中起来进入新课的学习. (二)整体感知
课题随机事件的方差和标准差教案 备课时间：01—23 上课时间： 主备：颜笑天审核：班级姓名： [学习目标]：（1）理解随机变量的方差和标准差的含义,会求随机变量的方差和标准差,并能解决有关实际问题 （2）高考B级要求。 [学习重点]：理解随机变量的方差和标准差的含义,会求随机变量的方差和标准差, [学习难点]：综合运用所学知识求机变量的方差和标准差,并能解决有关实际问题 [学法指导]：充分理解随机变量的方差和标准差的含义 [课前预习导学]： 问题（1）：什么叫方差和标准差? 问题（2）：方差和标准差的现实意义是什么? 问题（3）：什么叫离散型随机变量方差和标准差? [课堂学习研讨]： 例1、若随机变量X的分布如表2-5-7所示,求方差V(X)和标准差V. (X )
例2、求第2.5.1节例2中的二项分布B(10,0.05)的方差和标准差. 例3求第2.5.1节例1中超几何分布H(5,10,30)的方差和标准差. [课后拓展延伸]： 例某人有几把钥匙,其中只有一把能打开房门,今任取一把试开,如不
能打开则除去,再任取一把,直至能打开为止,求打开此门所需试开次数X 的均值与方差. [课后练习]： 1.设随机变量ξ 的概率分布列为)2(,3,2,1,2)(====ξξP i a i i P 则 等于 . 2.设离散型随机变量X 的分布列如右所示,已知E(X)=0.1,V(X)=0.89,求321,,p p p 之值. [课后反思与总结]： 城西分校高二数学（理科） 随堂练21:NO 课题 ： 随机事件的方差和标准差
班级 姓名： 得分 ．填空题（每题10分） 1.某人每次射击命中目标的概率为0.8,现在连续射击3次,求击中目标的次数X 的数学期望和方差. ， 。 2.假设100个产品中有10个次品,设任取5个产品中次品的个数为X,则X 的方差为 . 3.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望 )(2X E . 4假定某射手每次射击命中目标的概率为 3 2，且只有3发子弹，该射手 一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完。设耗用子弹数为X ，求： X 的概率分布列： 均值)(X E ： 标准差)(X V 。
离散型随机变量的方差与标准差 【学习目标】 （1）理解随机变量的方差和标准差的含义； （2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 【学习重点，难点】 理解方差和标准差公式所表示的意义，并能解决一些实际问题． 【学习过程】 一．问题情境：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 二．学生活动 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 我们知道，当样本平均值相差不大时，能够利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离水准．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动水准呢？ 三．探究新知 1．离散型随机变量X 的方差： 2．方差公式 3．离散型随机变量X 的标准差： 四．例题讲解： 例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X ． 例2．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，
这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的方差和标准差． 例3．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的方差和标准差． 例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 试分析两名学生的答题成绩水平． 练习：课本 701,2 P 五．回顾小结： 1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法； 3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．【课后作业】
方差和标准差——知识讲解 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好． （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地，一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[方差和标准差公式]标准差方差 第一篇标准差方差:方差与标准差教学反思 一.教学目标 1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性. 2.掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义. 3.经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法 时以及区别，积累统计经验. 二.要点梳理 1.我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感. 2.描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组 数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3.设在一组数据某1，某2，某3，某4，某N中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(某1- )2，(某2- )2，(某3- )2，，(某n- )2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= . 4.一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。 5.方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定， 6.为什么要这样定义方差 7.为什么要除以数据的个数n 8.标准差与方差的区别和联系 三.问题探究 知识点1. 探究计算数据方差和标准差的必要性 例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球 的直径进行了检测，结果如下(单位：mm) A厂： 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.0 ，
39.9 ， 40.0 ， 40.1 B厂： 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.9 ，40.1 ， 39.8 ，40.2 ， 39.8 ， 40.2 思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差 2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗 3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗 直径/mm 直径/mm A厂 B厂 知识点2.如何计算一组数据的方差和标准差 例2.在一组数据中某1、某2、某3某n中，它们与平均数的差的平方是(某1- )2, (某2- )2 , (某3- )2 , , (某n- )2 .我们用它们的平均数，即用S2=1N [(某1- )2+(某2- )2 +(某3- )2+(某n- )2 ]来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的 . 在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是： 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好 知识点3. 例3.已知，一组数据某1,某2,，某n的平均数是10，方差是2， ①数据某1+3,某2+3,，某n+3的平均数是方差是， ②数据2某1,2某2,，2某n的平均数是方差是， ③数据2某1+3,2某2+3,，2某n+3的平均数是方差是， 你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗 四.课堂操练
标准差 公式 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图。 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、7 5、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体，标准差公式根号内除以n 如是样本，标准差公式根号内除以（n-1) 因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1) 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 [编辑本段] 标准差的意义 标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确
标准差说课稿 《标准差与方差》说课稿 尊敬的各位领导、老师下午好！下面我就从教材、教法、学法、教学流程和教后反思几个方面进行说课。 一、说教材 （一）教学内容分析 《标准差与方差》是人教a版普通高中实验教材必修3的第二章第二节《用样本的数字特征估计总体的数字特征》第二课时的教学内容，是在学习了众数、中位数、平均数的基础之上引入的又一个描述了变量分布的统计量，标准差和方差是描述变量离散程度的重要指标之一。通过本节课的学习可以使学生学会如何运用标准差和方差去描述变量分布的离散程度，并了解它在解决实际问题中的应用，同时还可以打开学生思路，对培养学生的逻辑思维能力也有重要作用。 （二）教学目标分析 在分析学生及教材的基础上，我制定了本节课的教学目标： 1.知识与技能目标 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差； 2.会用样本的的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识. （二）过程与方法 通过现实生活中的例子引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征，从而展开对描述数据离散程度的探索，并让学生“亲身经历”解决实际问题的过程。 （三）情感态度与价值观 1.通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程。 2.通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题，让学生进步一体会分布的数字特征在实际中的应用。
（三）教学重点及难点： 根据《统计基础知识教学大纲》的要求，围绕教学目标，我制定了本课的重点和难点：1．教学重点：方差、标准差的概念、计算及其运用，这既是本节的重点，又是本章的重点。 2．教学难点： （1）方差和标准差的计算及运用。我们的学生普遍存在的问题是对概念都能记的很熟，但是不知如何用，本次课通过公式推导、练习来解决这个问题。 （2）方差为什么是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数，这既是教学难点，又是教学的关键，只要把这一关键问题解决好，学生就会更好的理解方差和标准差的概念。 （四）教材处理： 将讲解的重点放在方差的概念和计算步骤上，因为只要学生将方差理解好了，标准差的问题就会迎刃而解。 二、说教法 教法是教学中直接决定教学效果的重要因素之一，素质教育的重要内容之一是充分发挥学生的主体作用，围绕这一主题，根据本学科本节内容以及教学对象的特点，我选择了以下教学方法。 1．启发教学法： 由于教学内容比较抽象，以其自身的内容很难吸引学生，所以，我根据教学内容的内在联系，在教学中采用启发式教学，随着教学进程的需要不断提出新问题，不断设置课程中的 悬念，环环相扣，让学生带着问题融入课堂，以严密的逻辑推理紧紧吸引学生，这样可以成 功的激发学生探求知识的欲望，然后引导学生一步步找到答案，解决问题，这既加深了学生 对所学知识的印象，又锻炼了学生的逻辑思维能力和总结能力，同时让学生在自己寻求答案 的过程中充分体会到了成功的喜悦，促成了学生的主动学习。 2．结合练习法增强教学效果。我一方面采用了讲练结合的方法，