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几何概型分类题全

浅谈几何概型的分类及应用

安阳县第二高级中学分校张兴洲

摘要

本文先介绍了几何概型的定义，列举出几何概型的分类并对每种分类作详细阐述，通过实际问题，详细表明其各种分类的具体应用及优点．

关键词：几何概型；几何度量；测度．

Abstract

this article introduced first the geometry generally definition, enumerates the geometry generally classification and makes the detailed elaboration to each kind of classification, through the actual problem, indicates its each kind of classified in detail the concrete application and the merit.

Key word: Geometry generally; Geometry measure; Measure.

正文---------------------------------------------------------------------1 1几何概型的定义---------------------------------------------------------3 1.1几何概型的定义-------------------------------------------------------3 1.2几何概型的两个特点---------------------------------------------------3 1.3几何概型的三个基本性质-----------------------------------------------4 2几何概型的分类和计算---------------------------------------------------3 2.1区间模型——仅涉及一个变量x-----------------------------------------4

2.1.1测度为长度的几何模型--------------------------------------------3

2.1.2测度为角度的几何模型--------------------------------------------3 2.2平面模型——涉及两个变量y

x,-----------------------------------------3 2.3空间模型——涉及三个变量z

,----------------------------------------5

3几何概型的应用---------------------------------------------------------3 3.1几何概型在生活中的应用-----------------------------------------------3 3.2几何概型在工业中的应用-----------------------------------------------3 3.3几何概型在教学、解题中的应用-----------------------------------------3 参考文献----------------------------------------------------------------34 致谢-------------------------------------------------------------------36

1几何概型的定义

几何概型是概率与数理统计中最基本的问题之一，因而有必要进行深入探讨和归纳．

1.1几何概型的定义

设Ω是某个可度量的区域（可以是一维、二维、三维）。若一个随机试验可归纳为向Ω中随机地投入一点M ，点M 落在Ω中任一点是等可能的，即点M 落在Ω的某一子区域A 内的概率与A 的几何量成正比，而与A 的行政和位置无关，则称这样的概率模型维几何概率概型，简称几何概型．

对于几何概型试验，若记“点M 落在A 内”为事件A ，则事件A 的概率公式为

P(A)=m(A)/m(Ω),其中m 表示区域的几何度量（可以是长度、面积、体积等）．

1.2几何概型的两个特点

（1）在一次随即试验中，不同的试验结果（基本事件）有无限多个；

（2）每一个基本事件发生的可能性相等．

1.3几何概型的三个基本性质

（1）对于任何事件A,P(A)≥0;

（2）P(Ω)=1；

（3）若n A A A 21,两两互不相容，

则P ).()()()()(321321n n A P A P A P A P A A A A ++++=++++

第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的（由限）可加性．

2几何概型的分类和计算

由几何概型计算公式P(A)=的测度

的测度D d (分母不为0)可知，几何概型的计算与测度即几何度量有直接的关系，而几何度量又可分为长度度量，面积度量，体积度量，角度度量等不同情况，所以根据几何度量的不同可把几何概型分为测度为长度的几何概型，测度为面积的几何概型，测度为体积的几何概型和测度为角度的几何概型．而测度为长度的几何概型和测度为角度的几何概型都只涉及一个变量，称为区间模型；测度为面积的几何概型因涉及两个变量又称为平面模型；测度为体积的几何概型又称为空间模型．

2.1区间模型——仅涉及一个变量x

2.1.1测度为长度的几何模型

例 1 如图 1，∠AOB =060，OA = 2，OB = 5，在线段 OB 上任取一点 C ，试求：

AOC 为钝角三角形的概率．

解析先看使AOC 为直角三角形的情况：(1)若∠OCA=090，则 OC=1；(2)若∠OCA=090，则OC=4．如图，21C C 和分别是适合以上两种情况的点C ，它们均在线段OB 上，由题意知，当点C 在线段B C OC 21或内时，

AOC 为钝角三角形．故D 的测度=OB =5，d 的测度 =B C OC 21+=l+l=2．从而，AOC 为钝角三角形的概率 P=.5

点评对测度为线段长度的问题，在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段，防止遗漏或以偏盖全．

例 2 设m 在[o ，5]上随机地取值，求方程有02142=++

+m mx x 有实根的概率．解：一元二次方程02142=++

+m mx x 有实数根?△=2)214(

422--=+-m m m m =(m+1)(m-2)≥o ，则m ≤一1或m ≥2，故所求概率P=[][]5

35,05,2＝的长度的长度． 2.1.2测度为角度的几何模型

例 3 在?ABC 中，∠B =,600 ∠C =045，高 AE =3，在 ∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于M ，求 BM

解析如图2，射线AM 在∠BAC 内是等可能分布的，当AM 与高AE 重合时，BM =l ，故满足 BM

27530=

点评若将本题的 “在 ∠BAC 内作射线 AM 交BC 于M ”改为“在线段 BC 上取点M ”，则测度由“角度”变为线段的“长度”，所以对于背景相似的问题，要仔细研读，认真辨析，注意区别．

例 4 已知等腰三角形ABC ，C ＝090，在直角边BC 上任取一点M ，求CAM ∠＜030的概率．

分析如图，在CB 上取点0M ,使∠CA 0M =030，则区域D 为线段CB 的长，为线段C 0M 的长．

解：在CB 上取点0M 使∠CA 0M =030，设BC ＝a ，则C 0M ＝

a BC AC 3

33333==，故PC(∠CA 0M =030)=33330==a a CB CM ．例 5 如图，以等腰直角A 三角形的直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相关，则截得的弦长不小于直角边的概率是多少?

解设等腰直角三角形的直角边长度为1，“以其直角顶点为圆心作圆，这个圆与斜边相关，截得的弦长不小于直角边”为事件B ．要使这个圆与斜边相关，则此圆半径最短为2

2，最长为1；

要保证事件B 发生，则此圆半径最短为图4中的C N =23)22()21(22=+，最长为1，d 的测度

=231-，D 的测度=221-，∴P(B)=26322223222123

1--+=--=--

．

2.2平面模型——涉及两个变量y x , 例6在区间(0，1)上随机取两个数u ﹑v 求关于的一元二次方程02=+-u x v x 有实根的概率．

分析：设事件A 表示方程02=+-u x v x 有实根，因为u ﹑v 是从(0，1)中任意取的

两个数，所以点(u ，v )与正方形D 内的点一一对应，其中D 一{(u ，v )0

事件A ＝{(u ，v )v －4u ≥0，(u ，v )∈D)，有利事件A 的样本点区域为图1中阴影部分A ，A ＝{(u ，v )v －4u ≥0，0

1=D A S S

例 7从(0，2)中，随地取两个数；两数之和小0.8的概率．

分析：设两数分别为x ，y ，则样本空间D ＝{(x,y) 0

和小于0.8，则A ＝{(x,y) x+y ＜0.8, (x,y)∈D}(图2)，P(A)=D

A S S =0.08. 例 8 在一张打上方格的纸上投一枚直径为2的硬币，方格边长要多少才能使硬币与线不相交概率小于0.04.

分析如图7，取一个方格，设边长为x ，（x ＞2），当硬币与线不相交是，圆心到线段不超过1，即圆心只能在图中阴影部分内才与边界不相交，设有利事件A ，则

P(A)=2

)2(x x -＝方格部分阴影部分＜0.04. ∵0＜x ≤2时，硬币必与线相交．

∴只需x ＞2时，上式成立，即x x 2-＜.102 ∴当边长x ＜2.5时，才能使硬币与线不相交概率小于0.04．

例 9 设点(p ,q)在 p ≤3,q ≤ 3中按均匀分布出现，试求方程

01222=+-+q px x 的两根都是实数的概率．

解析根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p ，q 的约束条件，进而确定区域的测度，如图3，基本事件总数的区域D 的测度为正方形面积，即D 的测度 =26=36．由方程01222=+-+q px x 的两根都是实数，得0)1(4)2(22≥+--=?q p ，所以22q p +≥ 1.所以当点(p ，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域d 的测度 =--36＝园正方形S S π所以原方程两根都是实数的概率P=36

36π-．

点评本题综合了代数、几何及概率等方面的相关知识，理解和分析时要注意数与形的结合和相互转化．

例 10 在集合{(x,y)0≤x ≤5，0≤Y ≤

4}内任取一个元素，能使0121934≥-+y x 成立的概率是多少?

解：如图1，集合{(x,y)0≤z ≤5，0≤y ≤4}为矩形内点的(包括边界)suo 所有点的集合，集合{(x,y)

0121934≥-+y x }表示矩形内直线0121934:=-+y x l 上方(包括直线)所有点的集合．

故所有概率为10

3543421

＝＝矩形阴影???S S

例 11 分别在区间「1，6」和「2，4」内任取一实数，依次记为m 和n ，求m ﹥n 的概率．

分析题中涉及两个变量，议题意得到这两个变量的一组约束条件，可以考虑建立平面直角坐标系，转化为与面积有关的几何概型问题．

解：由已知得1≤m ≤6,2≤n ≤4,m ＞n.设点P 所在区域坐标为（m ，n ）（m ＞n ），则点

P 所在区域为图3中阴影部分，因此所求概率P=53

5224221=??+=）（矩形梯形ABCD EFDC S S 。答：m ＞n 的概率为53．评注：当实际问题涉及两个变量时，可利用平面坐标系来讨论

例 12 在区间(0，1)中随机地取两个数，则两数之和大于0.5且小于1．5的概多少?

分析本题是在区间 (0，1)中随机地取两个数为，且两数是相互独立的，是典型的二维空间问题．

解:设在区间(O ，1)中随机地取两个数为x,y ，即0

设阴影部分的面积为d=1-432121=?,P(A)=4

3=D d .

2.3空间模型——涉及三个变量z y x ,,

例13 正方形1111D C B A ABCD -的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥

ABCD M -的体积小于6

1的概率．分析需求四棱锥ABCD M -的高h 的变化范围．

解：设点M 到平面ABCD 的距离h ，则四棱锥ABCD M -的体积为

h S V ABCD ABCD M ?=

-矩形3

1。若ABCD M V -＜61,由1=ABCD S 底面,h ＜21,所以带你M 到平面ABCD 的距离小于21时，ABCD M V -＜6

1. ∴满足点M 到平面ABCD 的距离小于21的点组成以ABCD 为底且高为2

1的长方体，其体积为21．又正方体1111D C B A ABCD -的体积为1.

∴所求概率P=2

1121

=. 答：使四棱锥ABCD M -的体积小于61的概率为2

1．评注：为了求出所有符合条件的点，需要找到一个符合条件的界点，这里体现了点、线、面、体的相互转化．本题的测度为几何体的体积，解题的关键是对四棱锥 M —ABCD 的高 h 的变化范围的探求．

解决几何概型问题关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．

（1）当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段比计算：

（2）当考察对象为点，点的活动范围在平面区域内时，用面积计算：

（3）当考察对象为点，点的活动范围在空间区域时，用体积计算：

（4）当考察对象为线时，一般用角度比计算．

对于几何概型问题的求解,关键是理解题意,定好测度,把握所求事件对应的区域,注意与代数、几何等相关知识的联系，掌握常见数学思想方法在解题中的灵活运用．

3几何概型的应用

3.1几何概型在生活中的应用

例 14 两人约好在某地相会，两人随机地在7点到8点时间内到相会点，假设先到的人最多等对方15分钟，求两人能相会的概率．

解析：设两人到达相会点的耐问分剐7点为x 分钟和7点y 分钟，则点(x ，y)与正方形D 内点一一对应，其中D={(x ，y) {x 0

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。一基本知识剖析 1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。二常见题型梳理 1.长度之比类型例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率． 2.面积、体积之比类型例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

几何概型的常见题型

几何概型的常见题型李凌奇2017-06-26 1．与长度有关的几何概型例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3 2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 23x π ππ - ≤ ≤- 或 322x π ππ ≤ ≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 2．与面积有关的几何概型例2．ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（） A ． 4 π B.14 π - C. 8 π D.18π - 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2 π 因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2 2π -，则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A O D C B 1 图

古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（）

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（1）（2）（3）（4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0）（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

几何概型的经典题型及标准答案

几何概型的经典题型及答案

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3 几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

4 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于 0到21之间,需使 223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×3 1 =10米， ∴3 1 3010)(==E P . 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦， K K K1图1-2图1-1 O O M N E F M N E F E1F1

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167 6045602 22=-=P [例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。解：R AC AB 2||||= =. ∴ 2 1 2== = ? R R BCD P ππ圆周 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过 2 1 的概率。解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为 2 1。事件“三段的长度都不超过 21 ”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2 1 1,21,21<--<

下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均为正数的概率。 ??? ??>=?>-=+≥-=?000 42 1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m （4）n m P = （n 为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求?ABC 是锐角三角形的概率。解法1：记?ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“?ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。因为?ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当?ABC 为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时，?ABC 即为锐角三