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抽象不等式的解法

抽象不等式的解答方法

一、利用单调性、奇偶性等函数的性质

模型1：()f x 在区间上单调递增，若()()f a f b >，则a b >。

模型2：奇函数()f x 在区间上单调递增，若()()0f a f b +>，则可得()()f a f b >-，∴a b >-。

例题：已知函数()sin f x x x =-，则2(2)(3)0fx x f -+->

的解集为______.

解析：()f x 为奇函数，求导得'()1cos 0f x x =-≥，()f x ∴在R 上单调递增，

由2(2)(3)0f x x f -+->得，2(2)(3)f x x f -> ，

223x x ∴->，解得，1x <-，或3x >。

总结：1、将目标写成具体不等式，则得到超越不等式，无法解答。没有具体解析式的不等式问题，结合函数的单调性、奇偶性解答。

2、考查条件函数的性质（单调性、奇偶性）和目标不等式的特点，由模型2可解答。

二、构造函数法： ——利用新函数单调性、奇偶性特殊点等性质画出图像，结合图像得不等式的解集。

这类问题的主要思想是，用x 、x e 、()f x 通过四则运算（主要是乘、除）的组合得到新函数。

模型1：()f x x

，求导得?2'()()xf x f x x -，结构特点?'()()xf x f x -。说明：由求导法则，可知是由两个函数相除求导的结果。

模型2：()xf x ，求导得?'()()xf x f x +。

模型3：2()x f x ，求导得?22'()()xf x x f x +。

特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有两个简单项。

模型4：()x e f x ，求导得?()'()(()'())x x x e f x e f x e f x f x +=+。

模型5：()x f x e ，求导得?2'()()'()()()x x x x

e f x e f x f x f x e e --=。特点：求导的结果是(),'()f x f x 的组合，只有两个简单项。

模型6：（1）()x xe f x ，求导得

?(1)()'()((1)()'())x x x x e f x xe f x e x f x xf x ++=++。

（2）()x xf x e

，求导得 ?2(()'())()()'()()()x x x x

f x xf x e xe f x f x xf x xf x e e +-+-=。（3）()x e f x x

，求导得 ?2(()'()())x

xf x xf x f x e x

+-。

特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有三个简单项。

例1、()f x 是R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则()_____0f x 。分析:条件中不等式是,(),'()x f x f x 3个组合，故函数应是,,()x x e f x 三个简单函数组合的结果。

令()()x h x xe f x =，则'()[(1)()'()]0x h x e x f x xf x =++>，

()h x 在R 上递增，又(0)0h =，

()h x ∴图像如图所示：

()()0x h x xe f x =>时，x 与()f x 同号，()0f x ∴>；

()()0x h x xe f x =<时，x 与()f x 异号，()0f x ∴>；

综上()0f x >。

例2、已知函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，若'()()01

f x f x x ->-，()x f x y e =关于直线1x =对称，则不等式22()(0)x x f x x f e

--<的解集是（） A 、(1,0)(1,2)- B 、(,0)(1,)-∞+∞ C 、

(1,2)- D 、(1,2) 分析：有条件，1x >时，'()()0f x f x ->

条件中不等式是(),'()f x f x 2个组合，故函数应是,()x e f x 2个简单函数组合的结果。令()()x f x h x e =，则2'()()'()()'()()x x x x

e f x e f x f x f x h x e e --==， 1x ∴>时，'()0h x > ，

()h x 在(1,)+∞上递增，再由()h x 关于直线1x =对称。如图，

()h x ∴图像如图所示：

不等式22()

(0)x x f x x f e --<解集，即2()(0)h x x h -<的解集，

由图，202x x <-<

解得，10x -<<，或12x <<

例3、定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意0x >，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-的解集是（）

A 、(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞

B 、(,1)(1,)-∞-+∞

C 、(1,1)-

D 、(1,0)(0,1)-

分析：根据条件和目标不等式的特点，应是2x 与()f x 组合而成的函数。

目标不等式化为22()(1)1x f x x f -<-，

令22()()h x x f x x =-，()f x 为偶函数，()h x ∴为偶函数，

下面解不等式()(1)h x h <，

又0x >时，'()[2()'()2]0h x x f x xf x =+-<

()h x ∴在(0,)+∞上递减，(0)0h =，如图

1x ∴<-，或1x >

例4、已知函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，若()'()f x f x <恒成立，且(ln 2)2f =，则不等式()x f x e >的解集是（）

A 、(1,)+∞

B 、(0,1)

C 、(ln 2,)+∞

D 、(0,ln 2)

分析：条件中不等式是(),'()f x f x 2

个组合，故函数应是,()x e f x 2个简单函数组合

的结果。令()()x f x h x e =，则2'()()'()()'()0()x x x x e f x e f x f x f x h x e e

--==>， ()h x 在R 上递增，又ln2(ln 2)(ln 2)1f h e =

=， ()h x ∴图像如图所示：

由图，ln 2x >时，()1h x >，即不等式解集为(ln 2,)+∞。

（同类题训练）已知函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，若(

)'()f x f x <恒成立，且(0)2f =，则不等式()2x f x e >的解集是（）

A 、(2,)+∞

B 、(0,)+∞

C 、(,0)-∞

D 、(,2)-∞

分析：条件中不等式是(),'()f x f x 2

个组合，故函数应是,()x e f x 2个简单函数组合

的结果。令()()x f x h x e =，则2'()()'()()'()0()x x x x e f x e f x f x f x h x e e

--==>， ∴()h x 在R 上递增，又0(0)(0)2f h e =

=， ()h x ∴图像如图所示：

由图，0x >时，()2h x >，即不等式解集为(0,)+∞。

12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(f e e =为自然对数的底数），且当0x ≥时，有()()()1'x f x xf x -<，则不等式()0x

xf x e ->的解集是（） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-

C.()1,1- D ．()()1,01,-+∞

分析:根据条件中不等式目标不等式的特点，故函数应是,,()x

x e f x 三个简单函数组合的结果，且是两个函数相除。令||

()()x xf x h x e =，()f x 为奇函数，()h x ∴为偶函数。 0x ≥时，()()x xf x h x e =

，求导，得 2(()'())()()'()()'()0()x x x x f x xf x e xe f x f x xf x xf x h x e e

+-+-==>，

()h x ∴在[0,)+∞上单调递增，又(0)0h =，(1)1h =如图，

由图，1x >或1x <-时， ()1h x >，

其他不等式的解法

主题其他不等式的解法教学内容 1. 掌握分式不等式的解法； 2. 掌握含绝对值不等式的解法。一、分式不等式：解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ，我们还可以用分类讨论的思想来求解因为满足不等式组???<->+0104x x 或???>-<+0 104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？（1）0)3)(2(>-+x x （2）0)2(<-x x （3）)(0))((b a b x a x >>-- 让学生说说是怎么讨论的，最终大家会发现，无论是哪种理解方法，最终的结论是一样的，当二次项系数为正时，小于零是两根之间，大于零是两根之外。（1） ()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？（2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？通过转化为一元一次不等式组，进而进行比较。会发现（1）的解集是相同的，（2）的解集是不同的，由于分母不能为零，分式的不等式端点2不能取等。

练习：解不等式（1） 073<+-x x （2）025152≤+-x x 解：（1）07 3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同，解(3)(7)0x x -+<得：73x -<< 所以原不等式解集为：(7,3)- （2）025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤??+≠? 的解集相同解(215)(52)0520x x x -+≤?? +≠? 得：51522x -<≤ 二、绝对值不等式： 1. a x >与a x <型的不等式的解法。当0>a 时，不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<；引导学生结合绝对值的几何意义，通过数轴求解当0的解集是 R 不等式 a x <的解集是； φ 用绝对值的非负性很容易理解 2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈