直线与直线方程经典题型
题型一：倾斜角与斜率
【例1】下列说法正确的个数是( )
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②倾斜角为300的直线有且仅有一条；
③若直线的斜率为tan「则倾斜角为二
④如果两直线
平行，则它们的斜率相等'」
A. 0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个h\/ 2
【练习】如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C=0不通过( 、；'、、、A.第一象限 B. 第二象限C.第三象限 D.第四象卩―方/\ ；【例2】如图，直线I经过二、三、四象限，I的倾斜角为a,斜率为％,则() A. ksin a >0 B . kcos a >0 C . ksin a< 0 D. kcos a< 0
【练习】图中的直线I1 , I2 , I3的斜率分别为k1, k2, k3，则()
A. k1 v k2 v k3
B. k3 v k1 v k2
C. k3 v k2 v k1
D. k1 v k3 v k2
【例3】经过点P1,2作直线I，若直线I与连接A0,—1 , B4,1的线段总有公共点，求直线I的倾斜角:与斜率k的取值范围。
【练习】已知两点A-3,4 , B 3,2 ,过点P2,-1的直线I与线段AB有公共点，求直线I的斜率k的取值范围。
【例4】若直线I的方程为y二xtan：?2，则( )
A.—定是直线I的倾斜角
B. :- 一定不是直线I的倾斜角
C.n—一定是直线I的倾斜角
D.:不一定是直线I的倾斜角
【练习】设直线ax by c 0的倾斜角为「，且
A.a b=1
B. a —b=1
C. a b=0
D. a —b=0
题型二：斜率的应用
【例5】若点A(2,2 ) B(a,0)C(0,4 )共线则a的值为 ___________________
【练习】若三点A(2,2 ) B(a,0)C(0,b) (ab#0 共线，则丄+丄的值为 a b
【例6】已知实数x、y满足2x + y=8，当2兰x兰3时，求*的最大值为 ______ ，最小
x
值为___________________
【练习】1、若a二哑小二也，?心，则( )
1 2 4
A. a : b c
B. c : b a
C. c : a b
D. b a c
2、求函数y二三二1的值域.
2 +1
题型三：两直线位置关系的判断
已知，两直线l i,l2斜率存在且分别为k i,k2 ,若两直线平行或重合则有k i ___________________________ k2 , 若两直线垂直则有k i ___________________ k2.
【例7】已知直线l i的倾斜角为60，直线12经过点A1，,3，B —2,—2 3，判断直线h与12的位置关系.
【练习】1、已知点P 2,3，Q 4,5 , A —1，a，B 2a,2当a为何值时，直线PQ与直线AB 相互垂直？
2、已知直线g经过点A 3，a，B a —2,3，直线经过点M3, a , N 6,5，若m2，求a的值.
【例8】在平面直角坐标系中，对R，直线1i：x —2ay i=0和12 : 2ax y —^0 （）
A.互相平行
B.互相垂直
C.关于原点对称
D.关于直线y=—x对称
【练习】直线3a 2 x 1 —4ay 8=0与5a —2x a 4 y —7=0垂直，求a的值.
题型四：求直线方程
（一）点斜式
【例9】根据条件写出下列直线的方程：
（1）经过点A（1,2）,斜率为2；
（2）经过点B （—1,4 ），倾斜角为135 ；
（3）经过点C（4,2 ），倾斜角为90 ；
（4）经过点D （—3，—2），且与x轴平行.
已知直线过一点，可设点斜式
【练习】已知ABC中，A1,—4，B 2,6，C —2,0，AD _ BC于D,求AD的直线方程.
（二）斜截式
【例10】根据条件写出下列直线的方程:
（1）斜率为2,在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150 ?，在y轴的截距为一2;
（3）倾斜角为45 ,在y轴上的截距为0.
已知斜率时，可设斜截式：
【练习】求斜率为？，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线I的方程.
4
（三）截距式
【例12】根据条件写出下列直线的方程：
在x轴上的截距为一3,在y轴上的截距为2；
（1）
⑵在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为一4；与截距相关的问题，可设截距式
【练习】直线I过点P 4,3，且在x轴、y轴上的截距之比为1:2，求直线I的方程.
（四）两点式
【例11】求经过下列两点的直线方程：
（1）A（2,5）,B（4,3）（2）A（2,5）,B（4,5）（3）A（2,5）,B （2,7）
适时应用“两点确定一条直线”
【练习】过点M 0,1作直线I，使他被两条已知直线l1：x —3y 10和l2：x y ^0所截得的线段AB被点M平分.求直线I的方程.
【例12】1、已知点A（3,3 ）和直线I : y=3x —仝求：
4 2
（1）经过点A且与直线I平行的直线方程；
（2）经过点A且与直线I垂直的直线方程.
2、已知三角形三个顶点的坐标分别为 A （—1,0），B（2,0），C（2,3 ），试求AB
边上的高的直线方程.（思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）
【例13】已知直线I的斜率为2，且I和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线
l 的方程为 _________________ .
【练习】已知，直线I 经过点（一5,— 4）,且与两坐标轴所围成的三角形面积为 5,则直线I 的方程为 ___________________
【例14】直线I 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （骨0），则 k_0且b ：：0 C. k - 0且b 0 D. k ? 0且b . 0
y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是
五、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
1 例（
1）若三条直线： 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+ky+k+ 2 =0 相交于 点，贝U k=
（2）已知直线I1 : x+y+2=0, I2 : 2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线
3x+y-仁0平行的直线I 的方程
2、两点间的距离公式丨P1P2| =（区-为亍+⑴-力）2
例（1）已知点A （a,-5 ）与B （0,10 ）间的距离是17,求a 的值。
例（2）已知点 A （-1,2 ）, B （2，石），在x 轴上求一点 P ,使丨PA 丨，并求的丨PA|值。
例.直线 I 的方程为（a - 2）y = （3a - 1）x - 1（a € R ）. 1 3
（1）求证：直线I 必过定点；（答案：（？））
5 5
⑵ 若直线I 在两坐标轴上的截距相等，求 I 的方程；（答案：5x + 5y -4 = 0）
（3）若直线I 不过第二象限，求实数a 的取值范围.（答案：分斜率存在与不存在）
六、点到直线的距离
例1 :求点A （-2,3）到直线I:3x+4y+3=0 的距离d=
例2：已知点（a,2 ）到直线I: x-y+仁0的距离为2,则a= v 0）
PB
(a A . k 乞0且b 0 B. 【练习】两条直
例3:求直线y=2x+3关于直线I: y=x+1 对称的直线方程。 练习：
1. 已知△ ABC 中，A( - 2, 1), B(3 , - 3), C(2, 6)，试判断厶 ABC 的形状
2. 求过点M(-2，1)且与A(-1, 2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程.
3. 已知点A(a , 2)(a > 0)到直线I : x -y + 3= 0的距离为1,贝U a 等于( )
A. ；2
B. 2— 2
C. 2-1 D/ 2+ 1
4. 已知点 A(1 , 3) , B(3, 1), C( - 1, 0)，求△ ABC 的面积.
七、两平行直线间的距离
例1:求平行直线l1:2x-7y-8=0 与I2:6x-21y-仁0 的距离
例 2:已知直线 I1 : (t+2 ) x+(1-t)y=1 与 I2 : (t-1 ) x+(2t+3)y+2=0 相互垂直, 求t 的值。
例3:求点A (2,2 )关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。 练习：
1. 两条互相平行的直线分别过点 A(6 , 2)和B( — 3,- 1)，如果两条平行直线间
的距离为d ,
求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程.
2. 求与直线I : 5x - 12y + 6= 0平行，且到I 的距离为2的直线的方程.
三、课后练习
< 一 >选择题：
1、若直线I : y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线
I 的倾斜 角的取值范围(
) 2、 已知直线 I1 : (k-3 ) x+ (5-k ) y+1=0 与 I2 : 2 (k-3 ) x-2y+3=0 垂直,贝U K 的 值是( )
A. 1 或 3 B . 1 或 5 C . 1 或 4 D . 1 或 2
3、 直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位，所得到的直线为
( )
1 1
1 A. y = — x B . y = — x 1 C . y=3x — 3 D . y=3x1 3
3 3 V 二 >填空题:
1、在平面直角坐标系中，如果 x 与y 都是整数，就称点(x , y )为整点，下列 命题中正确的是 ___________________________ (写出所有正确命题的编号).
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
② 如果k 与b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点
③ 直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点
④ 直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数 A [n , n ) B (n n ) (n , n ) D [n n ]
⑤存在恰经过一个整点的直线.
2、若点P。, —2在直线I上的射影为Q(—1,1)，则直线I的方程为 __________________ .
3、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)= ?的图象交于P、
x
Q两点，则线段PQ长的最小值是__________________.
＜三＞解答题：
仁设直线I i : y = k)x ? 1 , l2: y = k2x —1，其中实数k1,k2满足&?k2? 2 = 0，证明I i与l2相
2、已知直线方程为y二kx b，当X，—3,4时,y —8,131，求此直线的方程
3、当0 ：：：a ：：：2 时，直线l1: ax —2y=2a —4与I2: 2x a2y = 2a2 4 和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形的面积最小？并求出最小面积.
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 必修2直线与方程知识点总 结与题型 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 必修2 第3章 直线与方程 理论知识： 1直线的倾斜角和斜率 1、倾斜角： 2、 倾斜角α的取值范围： .. 3、直线的斜率: k = 记住特殊角的正切值 ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k = 2两条直线的平行与垂直 1，L1∥L2则 注意: 2、 则 注意： 3.直线方程 1、 直线的点斜式方程： 2、、直线的斜截式方程： 3 直线的一般式方程： 4.了解斜率和截距的性质 4.两条直线的交点坐标求法：联立方程组。 5.距离 1.两点间的距离公式： ． 2.点到直线距离公式： 3、两平行线间的距离公式： 6.对称问题 1.中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为 2.若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称；求解方法： 3.点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，求解方法： 直线与方程测试题 题型一（倾斜角与斜率） 1.直线053=-+y x 的倾斜角是( ) A.120° B.150° C.60° D.30° 2．若直线x ＝1的倾斜角为 ，则( )． A ．等于0 B ．等于 C ．等于2π D ．不存在 3．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )． A ．k1＜k2＜k3 B ．k3＜k1＜k2 C ．k3＜k2＜k1 D ．k1＜k3＜k2 4.求直线3x ＋ay ＝1的斜率为 题型二（直线位置关系） 1．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l1∥l2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 2．已知直线l 与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π 3.设直线 l1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m 的值 4.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时l1与l2①相交②平行 5.. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a —2)x+(a+4)y —7=0垂直，求a 值。 题型三（直线方程） 1：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是1 2-，经过点A(8，—2)； . (2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； . (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3 ,32-； . 4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； . 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 直线与方程复习A 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(2 2=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3． 若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。 4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2 2 x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD Y 的面积，若平行四边形的两个顶点为 (1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。 第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450 , 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-, *8．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，－1），则直线l 的斜率是（ ） A ．－23 B ．23 C ．－32 D ．32 9．两平行线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213 13 ，则c ＋2a 的值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 **11．点P 到点A ′（1，0）和直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于 2 2 ，这样的点P 共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 *12．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0） 有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ） 高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.１ 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角: 2．直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ）． A. ６0° B. 3０° C ． 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转４5°,得到直线1l ,则1l 的倾斜角为（ )。 Ａ. 45α+? B. 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α<135°时为45α+?,当135°≤α<18０°时，为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 2如图所示菱形ABC Ｄ中∠BA Ｄ＝60°,求菱形ＡB ＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值． 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为ｋ1、ｋ２、k 3,则( ). A .k 1＜k 2 变式训练: 若三点P (２,3），Q (３,a ）,R (４,b )共线，那么下列成立的是（ ）． A.4,5a b == Ｂ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 ５ 已知两点A （－2，－ 3) , B (3, ０) ,过点P (-１， 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练： 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 ６ 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练: 利用斜率公式证明不等式：(0a m a a b b m b +><<+且0)m > ３．1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 直线与方程经典例题 【考点指要】 关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。 【综合例题分析】 例1. 已知圆2 2 440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 __________。 答案： 22 解析：由题意圆的方程22 440x x y --+=可化为() 2 228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得2 2)1(1| 1-(-1)012|d 2 2=-+?+?= 例2.若曲线2 1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。 答案：k=0且-1 直线与方程小结复习 教学目标： （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． （3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． （4）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系． （5）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标． （6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 教学方法：探究、交流、讲授结合 教学计划：2课时 教学过程： 第一课时： 知识点梳理： 1．倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范0,π. 围为[) 斜率：当直线的倾斜角不是90?时，则称其正切值为该直线的斜率，即tan k α=; 当直线的倾斜角等于90?时，直线的斜率不存在。 说明：（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； （2） 斜率为倾斜角的函数： 2．斜率的求法： （1）定义法：tan k α=（?≠90α） （2）坐标法：过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率 公式:21 21 tan y y k x x α-== - 若12x x ≠，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90?. （3）由直线方程求其斜率：直线0Ax By C ++=的斜率为B A k - = 3.直线方程的几种形式： 名称 方 程 适用范围 斜截式 不含垂直于x 轴的直线 基本题型： 问题1：斜率与倾角 ： 例1：已知两点()1,2A -，(),3B m . （1）求直线AB 的斜率k ； （2）若实数1m ?? ∈-???? ，求AB 的倾斜角α的范围. 例2．已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为端点的线段相交， 求直线l 的斜率及倾斜角α的范围. 问题2．直线l 的方程 例3：求满足下列条件的直线l 的方程： 第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =， 12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直， 斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 第三章：直线与方程的知识点 姓名 班别 学号 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上 两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴 垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 直线与方程 一、知识要点： 1、直线的斜率：倾斜角不是90°的直 线． 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜 率． 直线的斜率常用k表示，即α tan = k 2、直线的斜率公式：在坐标平面上， 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)， 由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是 确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2 和P1的坐标来表示这条直线的斜率？ P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么： α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠ P2P1Q(图乙) 在图甲中： 1 2 1 2 1 2 tan x x y y Q P QP - - = = α 在图乙中： x x y y QP QP Q P P --== <-=21 21212tan tan α 如果P 1P 2向下时，用前面的结论课得：x x y y x x y y --=--= 21 22121tan α 综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式： 3、直线的点斜式方程： 00()y y k x x -=- ………… ① 其中(00,x y )为直线上一点坐标，k 为直线的斜率。 方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜 式方程，简称点斜式。 4、直线斜截式方程： b kx y += ………… ② 我们把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。 x y o b l 数学必修2---直线与方程典型例题(精) 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线 l 的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线 l，则1l的 1 倾斜角为（）。 A. 45 α+? B. 135 α-? C. 135α ?- D. 当0°≤α＜135°时为45 α+?，当135°≤ α＜180°时，为135 α-? 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中 ∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和 两条对角线所在直线的倾斜角和斜 率. 变式训练：已知过两点22 (3,2) --的直 B m m m +-, 2 A m m (2,3) 线l的倾斜角为45°，求实数m的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2 拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（）. A．4,5 ==B．1 a b a b -= -=C．23 b a D．23 -= a b 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段 AB始终有公共点，求直线l的斜 率k的取值范围. 高中数学必修2知识点——直线与方程 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用k 表示。即0 tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈时，0数学必修2---直线与方程典型例题
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