直线与方程小结复习
教学目标:
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(4)掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
教学方法:探究、交流、讲授结合
教学计划:2课时
教学过程:
第一课时:
知识点梳理:
1.倾斜角:一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范0,π.
围为[)
斜率:当直线的倾斜角不是90?时,则称其正切值为该直线的斜率,即tan k α=; 当直线的倾斜角等于90?时,直线的斜率不存在。
说明:(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; (2) 斜率为倾斜角的函数:
2.斜率的求法:
(1)定义法:tan k α=(?≠90α)
(2)坐标法:过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率
公式:21
21
tan y y k x x α-==
- 若12x x ≠,则直线12P P 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90?.
(3)由直线方程求其斜率:直线0Ax By C ++=的斜率为B
A
k -
= 3.直线方程的几种形式:
名称 方 程 适用范围
斜截式
不含垂直于x 轴的直线
基本题型:
问题1:斜率与倾角 :
例1:已知两点()1,2A -,(),3B m .
(1)求直线AB 的斜率k ;
(2)若实数1m ??
∈-????
,求AB 的倾斜角α的范围. 例2.已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --,()1,1B -为端点的线段相交,
求直线l 的斜率及倾斜角α的范围.
问题2.直线l 的方程
例3:求满足下列条件的直线l 的方程:
(1)过两点()2,3A ,()6,5B ;(2)过()1,2A ,且斜率为2
3
=
k ;
(3)过()3,2P ,倾斜角是直线30x +=的倾斜角的2倍;
(4)过()5,2A -,且在x 轴,y 轴上截距相等;
(5)在y 轴上的截距为3-,且它与两坐标轴围成的三角形面积为6.
同步练习:
1、如右图,直线
123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则
A .123k k k <<
B .312k k k <<
C .321k k k <<
D .132k k k <<
2、下面命题中正确的是:
A .经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示.
B .经过任意两个不同的点()111,P x y ,()222,P x y 的直线都可以用方程
()()121y y x x --=()()121x x y y --表示;
C .不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示
D .经过点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
3、过点()2,1-在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有
A .1
B .2
C .3
D .4
4、已知点A (-2,4)、B (4,2),直线l 过点P (0,-2)与线段AB 相交,则直线l 的斜
率k 的取值范围是 .
5、一直线过点()3,4A -,且在两轴上的截距之和为12,则此直线方程是
6、已知点A (-2,4)、B (4,2),直线l 过点P (0,-2)与线段AB 相交,则直线l 的斜
率k 的取值范围是 .
7、已知(),3A a -,()5,B a -两点,直线AB 的斜率为1,若一直线l 过线段AB 的中点且倾斜
,求直线l 的方程; 第二课时:
4、直线与直线的位置关系
1.平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交.
(1)当直线不平行于坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定
(2)当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系.
2.点到直线的距离、直线与直线的距离:
(1)点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为:
(2)直线12l l ∥,且其方程分别为1l :10Ax By C ++=,2l :20Ax By C ++=
则1l 与2l 的距离为:d =
22(0)A B +≠
3.对称问题
(1)点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -;关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -;关
于y x =的对称点的坐标为(),b a ;关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.
(2)点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法:
①设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ,则'PP 的中点00,22a x b y ++??
???
一定在直线0ax by c ++=上.
②直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数,即
001y b a x a b -??
?-=- ?-??
(3)点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --,曲线C :(),0f x y =关于定点()
,a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.
4.直线系方程:
(1)直线y kx b =+(k 为常数,b 参数;k 为参数,b 位常数).
(2)过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =
(3)与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=(1C C ≠)
(4)与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=
(5)过直线11110l a x b y c ++=:和22220l a x b y c ++=:的交点的直线系的方程为:
()()1
1
1
2
2
2
0a x b y c a x b y c λ+++++=(不含2
l )
典例分析:
问题1. 已知两条直线1l :40ax by -+=和2l :()10a x y b -++=,求满足下列条件的,a b 值:(1)12l l ⊥,且过点()3,1--(2)12l l ∥,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
问题2. 已知两条直线1l :20x y a -+=()0a >。直线2l :4210x y -++=和直线
且1l 与2l . 求a 的值; 问题3. 一条光线经过点()2,3P ,射在直线l :10x y ++=上,反射后穿过点()1,1Q . (1)求入射光线的方程;(2)求这条光线从点P 到点Q 的长度.
问题4. 根据下列条件,求直线的直线方程
(1)求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点,且到原点距离为1;
(2)经过点()3,2A ,且与直线420x y +-=平行;
(3)经过点()3,0B ,且与直线250x y +-=垂直.
问题5. 综合问题
(1)已知直线130kx y k -+-=,当k 变化时所得的直线都经过的定点为 .
(2)求证:不论m 取何实数,直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点. (3)求点P ()1,1关于直线l :20x y ++=的对称点Q 的坐标.
(4)已知:(),P a b 与()1,1Q b a -+,()1a b ≠-是对称的两点,求对称轴的方程.
(5)光线沿直线1l :250x y -+=射入,遇到直线2l :3270x y -+=反射,求反射光线所
在的直线3l 的方程.
(6)已知点()3,5A -,()2,15B ,试在直线l :3440x y -+=上找一点P ,使PA PB + 最
小,并求出最小值.
(7)若直线l :y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限,则直线l
的倾斜角的取值范围是
课后作业:
1. 已知直线1l :()()2350m x m y +++-=和直线2l :()6215x m y +-=,求满足下列条件的实数m 的取值范围或取值:(1)1l 与2l 相交; ;
(2)1l ∥2l : ;(3)12l l ⊥; .
2. 若直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行,则实数m 的值为
.A 1 .B 2- .C 1或2- .D 1-或2-
3. 若两平行线3460x y -+=与680x y k -+=之间的距离为2,则k = .
4. 如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行,那么系数a =
5. 直线
3x y +=和直线2x y +
=的位置关系是
.A 相交不垂直 .B 垂直 .C 平行 .D 重合
6. 两条直线1110A x B y C ++=,2220A x B y C ++=垂直的充要条件是:
7. 过点()1,3-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为
8. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行,则m 的值为