一、中考数学压轴题

1．如图1，已知点B （0，9），点C 为x 轴上一动点，连接BC ，△ODC 和△EBC 都是等边三角形．

（1）求证：DE ＝BO ；

（2）如图2，当点D 恰好落在BC 上时． ①求点E 的坐标；

②在x 轴上是否存在点P ，使△PEC 为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M 是线段BC 上的动点（点B ，点C 除外），过点M 作MG ⊥BE 于点G ，MH ⊥CE 于点H ，当点M 运动时，MH ＋MG 的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH ＋MG 的值；若会变化，简要说明理由． 2．已知：如图，AB 为

O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接

DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；

（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；

（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求

KG

AK

的值．

3．如图，AB ∥CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有一动点P ． （1）如图1，当P 点在EF 的左侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ，如图2，当P 点在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ． （2）如图3，当∠EPF ＝90°，F P 平分∠EFC 时，求证：EP 平分∠AEF ；

（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．

①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝．

②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

4．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB

折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．

（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．

（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图1，已知，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO并延长交BC于点H．

（1）求外接圆⊙O的半径；

（2）如图2，点D是AH上（不与点A，H重合）的动点，以CD，CB为边，作平行四边形CDEB，DE分别交⊙O于点N，交AB边于点M．

①连接BN，当BN⊥DE时，求AM的值；

②如图3，延长ED交AC于点F，求证：NM·NF=AM·MB；

③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．

6．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ． （1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ； （2）在上述旋转过程中，

DN

DM

的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积．

7．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=?．

（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ?的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．

（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ?的面积为8时，求t 的值．

8．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，

AF CD ⊥，垂足为F ．

（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若1

2,(33)2

ADH

a S

==

+，求sin GAB ∠的值．

9．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得

3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B

-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，

()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范

围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围． 10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

11．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．

12．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，

()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．

（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标； （Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求

ABN 的面积；

（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：

师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．

△．

小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt NAP

△．

小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt NAP

13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），AB=62，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．

（1）求点B 的坐标；

（2）设点P 的运动时间为点t 秒，△BDP 的面积为S，求S 与t 的函数关系式；

（3）当点P 与点D 重合时，连接BP，点E 在线段AB 上，连接PE，当∠BPE=2∠OBP 时，求点E 的坐标．

14．在平面直角坐标系xOy中，点A为x轴上的动点，点B为x轴上方的动点，连接OA，OB，AB．

（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点

P ，请直接写出P ∠的度数；

（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=?，求

OAB

OCB

∠∠；

（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ?内一点，点M ，N 分别是线段OA ，

OB 上一点，满足：1

902

APB AOB ∠=?+

∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=?．

以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；

④AM BN AB +=．

正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．

15．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC

（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；

（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．

①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；

②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由； （3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．

16．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与

CD 相交于点E ．

（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积； （2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．

17．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．

（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；

（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45?，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，

B '，

C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t

秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．

18．已知抛物线2

y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=?，求点Q 的坐标． 19．如图，在?ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．

20．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．

（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．

（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：

如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．

21．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠． (1)若80A ∠=?，则BDC ∠的度数为______； (2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．

①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中

NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：

③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．

22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．

（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．

（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．

（3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）．23．问题一：如图①，已知AC＝160km，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发到C地．若甲的速度为80km/h，乙的速度为60km/h，设乙行驶时间为x（h），两车之间距离为y（km）．

（1）当甲追上乙时，x＝．

（2）请用x的代数式表示y．

问题二：如图②，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB＝30°．

（3）分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动km，时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动°；

（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

24．在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，点M在CB的延长线上，且=，连接PA．

PC PM

()1如图①，求证：PA PM

=；

()2如图②，连接,

AM PM与AB交于点,120

PC AM；

∠=求证 =

O ADC?

()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是

25．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；

（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若

161A E EC

=-，求n

m 的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．E

解析：（1）见解析；（2）①E（63，9）；②存在，点P的坐标为（－33，0）或（93，0）；③不变化，MH＋MG＝9

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得

∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①由点B（0，9），得到OB=9，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根

CE=，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得63

可得到结论；

②存在，如图，当63

==时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结

CE CP

论；③不会变化，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

（1）∵△ODC和△EBC都是等边三角形

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD

即∠ECD＝∠BCO

∴△DEC≌△OBC（SAS）

∴DE＝BO

（2）①∵点B（0，9），

∴OB=9，

由（1）知△BCO≌△ECD，

∴∠CDE=∠BOC=90°，

∴DE⊥BC，

∵△EBC是等边三角形，

∴∠DEC=30°，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∴333

==，63

OC OB

BC=，

∴63

CE=，

过E作EF⊥x轴于F，

∵∠DCO=∠BCE=60°，

∴∠ECF=60°， ∵63CE BC ==， ∴33CF =，3

92

EF CE ==， ∵33CO = ， ∴63OF =， ∴E （63，9）； ②存在，如图，

当63CE CP ==时， ∵33OC =，

∴133OP =，293OP =， ∴1233030P P -（，），（9，）； 当CE=PE ， ∵∠ECP=60°， ∴△CPE 是等边三角形， ∴P 2，P 3重合，

∴当△PEC 为等腰三角形时，点P 的坐标为（－33，0）或（93，0）； ③不会变化，如图，连接EM ，

∵111

???222

BCE

S

BC DE BE GM CE MH =

=+ ∵BC=CE=BE ， ∴GM+MH=DE=9，

∴MH+MG 的值不会发生变化． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

2．A

解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1

5

KG AK = 【解析】 【分析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=?，进而得到

90AGH ∠=?，即可证明AG HD ⊥；

（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得

HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明

AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=?，再通过解ACE △得

1

tan 3CAB ∠=

，解△CDH 得1tan 2

CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=?，易求1

tan 2

KHG ∠=，1tan 3

HAG ∠=，最后求得

KG

AK

的值． 【详解】

（1）证明：如图，设HAG ∠为α，

∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，

∴90BDC DBE ∠+∠=? ∴90DBE α∠=?-，

∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=?-， ∴90AHG HAG ∠+∠=?，

∴18090AGH AHG HAG ∠=?-∠-∠=? ∴AG HD ⊥

（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，

∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，

∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，

∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=， ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=?， ∴90HDB β∠=?-，

∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=?-， ∵AB CD ⊥，

∴9090BFD αβ∠=?-=?-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=?-=?-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；

（3）如图，在DH 上截取DT HC =，

∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，

∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，

∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，

在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=?， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =

12

5k ， ∴22

9

=5

MF CF CM k -=

， ∴1

tan 2

CM CM CDF MD MF FD ∠=

==+， 解ACE △得1tan 3

CAB ∠=， 易求OF ，OH ，

由勾股定理逆定理得90HOF ∠=?， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3

HAG ∠=， ∴

1

5

KG AK =． 【点睛】

本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．

3．E

解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）

①150°，∠EQF=180°－1

2

∠EPF

【解析】

【分析】

（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；

（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；

（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出

∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；

②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出

∠PEQ+∠PFQ=180°－1

EPF

2

，最后在四边形EPFQ中得出结论．

【详解】

（1）如下图，过点P作PQ∥AB

∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD

∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC

又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC

如下图，过点P作PQ∥AB

同理，AB∥QP∥CD

∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°

∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°

（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90° ∵PF 是∠CFE 的角平分线，∴∠PFC=∠PFE 在△PEF 中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90° ∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC

∴∠PEF=∠AEP ，∴PE 是∠AEF 的角平分线

（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60° ∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300° ∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线 ∴∠PEQ=QEB ，∠PFQ=∠QFD ∴∠PEQ+∠PFQ=150°

在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF

∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF ∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线 ∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD ∴∠PEQ+∠PFQ=

()1360EPF 2∠?－=180°－1

EPF 2

∠ ∴在四边形PEQF 中：

∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－1EPF 2∠)=180°－1

EPF 2

∠ 【点睛】

本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．

4．C

解析：（1）y=﹣x 2

；（2）??

3）存在，53)或(﹣

73)

【解析】 【分析】

（1）根据折叠的性质可得OC=OA ，∠BOC=∠BAO=30°，过点C 作CD ⊥OA 于D ，求出OD 、CD ，然后写出点C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）求出直线OC 的解析式，根据点M 到OC 的最大距离时，面积最大；平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m 的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；

（3）分两种情况求出直线AP 与y 轴的交点坐标，然后求出直线AP 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P 的坐标． 【详解】

解：（1）∵Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处，