第一章 绪 论
§1-1弹性力学的内容，学习方法和地位作用。
弹性力学研究弹性体由于受外力作用，边界约束或温度改变等原因而发生的应力，应变和位移。 材料力学是基于平面假设的微段分析法。弹性力学应用高数，将弹性体划分为微元，研究其平衡方程，变形几何方程、协调方程，边界条件，物理方程，求解得到应力、应变和位移。是深入进行工程结构研究、设计、建造和管理必备的力学基础。
§1-2弹性力学中的几个基本概念
体力：分布于物体体积内（单位体积内的力） 面力：分布于物体表面（单位面积上的力） 线应变：ε=ΔL/L,单位长度线段的伸缩，以拉为正（常用单位：微应变με） 剪（切）应变：二线段间直角的改变（本书以应变减小为正）
§1-3弹性力学的基本假定
（1）连续性——致密无空隙的连续体。（2均匀性——如混凝土，只要每种材料颗粒远小于物体且在物体内均布，也可认为均匀的（3）各向同性——各方向力学性质相同。但研究方法和结果可推广运用于层状弹性体等。（4）完全弹性——应力和应变成正比，服从胡克定律。（5）小变形条件——可按照变形前的尺寸建立平衡条件。可略去高阶微量而得到一系列方程，叠加原理适用。
第二章 平面问题的基本理论
§2-1平面应力问题与平面应变问题（图2-1,图2-2）
一、平面应力问题：平板中面内受力问题，板面上无外力且板较薄，可认为0z σ= 0zx zy ττ== 仅有xy 面内的三个应力x y xy yx σσττ=,平面应力问题因此得名。
二、平面应变问题：沿轴向平行于横截面的荷载、约束无变化的无限长柱体问题。
（1）横截面都是对称面，没有z 方向位移。
（2）横截面间的距离不变，所以0z ε=，平面应变问题因此而得名（一般0z ≠σ） （3）由对称条件及剪应力互等定理00zx xz zy yz ττττ====。由上述三点，平面应变问题也可取厚变为1单位的薄片来研究。
00000C xy yx yx
x x x y xy
y y M F f x y F f y x τττσστ∑==???∑=++=????????∑=++=????().1.1().1.1.10().1.1().1.1.10yx x
x x yx yx x y xy
y y xy xy y dx dy dy dy dx dx f dxdy x y dy dx dx dx dy dy f dxdy y x τσσσττστσσττ???+-++-+=????
????
+-++-+=????§2-2平衡微分方程（图2-3）
用平行于坐标轴的一组平面截取单元体， 取任一点C 的单元体研究其平衡得：
（剪应力互等定律）
（平衡微分方程）
导出上述方程的平衡方程的展开式：
().1..1.().1..1.02222
xcy
yx xy xy yx yx dx dx dy dy
dx dy dy dy dx dx x y ττττττ??++-+-=??
§2-4 1.几何方程（图2-5）
[P 点x 方向线应变εx ，y 方向线应变εy ,剪应变γxy ]
2. 相容方程（协调方程，变形连续方程）
x ε y ε xy γ不是独立的，必须满足下列相容方程，才能保证几何方程求得的位移uv 客观存在。几何方程中x εy ε分别对y x 和求二阶导数即得：
2
2
2332222y
xy
x u v y x
x y y x x y εγε???????+=+= ???????????
§2-5物理方程（广义胡克定律）
三个弹性常数间关系：2(1)
E
G μ=
+
()[]
x u u dx u u x x dx ε?+-??==?()[]
y v
v dy v
v y y dy ε?+-??==?2()()2[]xy
u v u dy u v dx v v u y x x y dx dy γαβ?+
-+-???=+=+=+??
1()1()1()x x
y z y y z x z z x y E E E εσμσσεσμσσεσμσσ???=-+????
?
??=-+????
?
??=-+????
111xy xy yz yz zx zx G
G G γτγτγτ=== （2-10） 对平面应力问题0=z σ代入上式：
1()1()2(1)x x y x
y x xy xy E E E εσμσεσμσμγτ?=-??
?=-??
+?=??
（2-12） 用应变表示应力：并写成矩阵形式：
22
2
()1()11.12x x y x y x xy xy E E E σεμεμσεμεμμτγμ?=+?-?
?
=+?-??-=?-?
21010110
02x x y y xy xy E σεμσμεμμτγ?
?
??????
????
??
=??????
-??????-????
??
??
（2-13）
简写为[σ]=[D][ε] 式中弹性矩阵[]2101011002E D μμ
μμ??
??
?
?
=?
?-??-??
?
?
2、对平面应变问题：
由0z ε= ()z x y σμσσ=+代入得：
1111
111()1()2(1)
x
x y y y x xy xy E E E εσμσεσμσμγτ?=-???=-???+=
??
式中12
1E E μ=- 11μ
μμ=- 可见：在平面应力问题的物理方程中，用21E
μ-代替E ，用1μμ
-代替μ，即得平面应变问题的物理方程。
()()x yx x x y xy y y l m p f m l p f στστ?+=??+=??
§2-6 边界条件（图2-4）
1 应力边界条件：
由面力边界的微元平衡得出
(斜截面应力状态由内部三角形体平衡得出)
设微元斜边长ds ，各面力分量x f y f 法线
n 方向余弦l x n =),cos( m y n =),cos(
0x F =∑
1
..02x x y x x p d s
l d s m d s f l d s m d s στ
--+= 0y
F
=∑
1
02
y y xy y p ds mds lds f lds mds στ--+??= 2 位移边界条件 -
=u u -
=v v
3 混合边界条件有二：①一部分边界已知位移部分边界已知面力；②同一边界上某方向已知位移另方向已知面力。
§2-7圣维南原理 当外力等效变换，近处的应力分布有显着改变，而远处的影响可不计
据此S 次要边界S 上精确边界条件（难以满足）: ()()()()x x xy s y s f y f y στ==
可用下述近似边界条件代替（容易满足） ： 边界面力:
()()x
x s
s
s
dy f y dy σ
=??
().().x
x s s s
dy y f y dy y σ
=??
()()x y
y s
s
s
dy f y dy τ
=??
边界集中力:
()x
N s
s dy F σ
=?
().x s s
d y y M σ
=? ()xy S s
s
dy F τ=?
§2-8按位移求解平面问题 以位移uv 为基本未知量，满足平衡方程、应力边界条件和位移
边界条件，解出uv 后用几何方程求应变（相容方程自然满足），再用物理方程求应力。
几何物理方程代入平衡方程222222222
22211()0122211()0122x y E u u v
f x y x y E v v u
f y x x y μμμμμμ??-?+?+++=?-????
??-?+??+++=?-????? （2-18） 几何物理方程代入应力边界条件221()()121()()12x y E u v u v l m f x y y x E v u v u m l f y x x y μμμμμμ--?
????-??+++=???-???????
???
??-???+++=???-???????
(在s σ上)（2-19） (2-3)
(2-15)
例：图示杆件自重f y =ρg ,设泊松比μ=0，u=0，试用位移法解。
解由基本方程（2—18）E g
dy
v d ρ-=22
积分得'
g
v y A E
ρ=-
+ 再积分22g
v y Ay B E
ρ=-
++
由边界条件（2—19）第一式：0=0；第二式中y=h 得:0=??y v E
则A =h E
g
ρ 由已知位移边界条件：（V ）Y=0=0 得出B=0 代入有y E
gh
y E
g
v ρρ+
-
=22
再由几何方程得E
gh
y E g y v y ρρε+-=??=
由物理方程得：gh gy g ρρσ+-=
§2-9 按应力求解平面问题（假设全部为应力边界条件）： xy y x τσσ必须满足平衡方
程，应力边界条件和相容方程，再用物理方程求应变，几何方程求位移。（多联域中还须满足位移单值条件）
胡克定律代入相容方程，平衡方程求导后相加代入相容方程中消去含xy τ项，得应力表示的相容方程：
222()()(1)()x y fx fy
x y x y
σσμ????++=-++???? （2-21） §2-10常体力时按应力求解平面问题。艾里应力函数φ
常体力时相容方程成为2222()()0x y x y
σσ??++=??或写成2
()0x y σσ?+= (2-23)
平衡方程解=特解+齐次通解
特解： ??
???=--=--=0xy y x y y x x y f x f y f x f τσσ 或0
或00x x x y y y xy xy x y f x f y f y f x σσσσττ??=-=??
=-=????==--??
齐次方程00xy
x y xy x y y
x τσστ???+=????
????+=????通介
x y A y B x σσ??
=???
???=??? xy xy A x B
y ττ?-=??-=?则必有A y B x
φ
φ?=??=?
那未齐次通介22x y φσ?=? 22y x φσ?=? 2xy x y
φ
τ?=-?? (k)
平衡方程全解：22x x f x y φσ?=-? 22
y y f y x φσ?=-? 2xy x y
φ
τ?=-?? （2-24） 2 （2-24）代入相容方程（2-23）
2222222()()0x y x y φφ????++=????或444422420x x y y
φφφ
???++=????或40φ?= （2-25） 常体力时应力解法：应力函数φ满足相容方程（2-25），力边界条件（2-15），多连体中须满足位移单值条件，再由（2-24）求应力，物理方程求应变，几何方程求位移。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 1、逆解法：若取艾里应力函数
b ax +=φ则满足40φ?=但0x σ=0=y σ 0=xy τ
22
3则则则则ax bxy cy ay φφφφ====444
4满足 0满足 0满足 0满足 0φφφφ?=?=?=?=有0有0有有6x x x x c
ay σσσσ====2000y y y y a σσσσ====00
xy xy xy xy b ττττ==-==
叠加可求更复杂问题。
图3-1 例§3-2 §3-3
2 、半逆解法：根据弹性体的边界形状和受力情况，假设若干应力的函数形式，由相容方程求解φ表达式，再求应力分量，用边界条件确定系数（多连体还要满足位移单值条件）若某边界条件不能满足，要重新求解。确定应力的形式常用下列三种方法：
①由主要边界的荷载，确定部分分量的形式。如§3-4
②对楔形物体，由量纲分析推出应力和坐标的因次关系。如§3-5
③由材力知识确定部分应力分量。如习题3-5（有时要修正Φ以满足40?Φ=）
可求介矩形板y 方向均布拉力问题
可求介矩形板均布剪力问题
可求介矩形板x 方向均布拉力问题 可求介矩形板纯弯曲问题
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-1极坐标中的平衡方程（图4-1）
00F F ρ
??=??
=??∑∑10
210
f f ρ
ρ?ρ?ρ?ρ?ρ?
?στσσρρ?ρσττρ?ρρ
??-+++=????+++=?? （4-1） §4-2 1.几何方程：（图4-2）
()'';()11;u d d P B PB u PB d u
u ds u u
u s u ds s u u u u u u d s ρρ??????ρρ??
ρ?ρ?ρ?
ρ?
ρ?
βα?ρ?ρρ+--=?+-???===?????==-=-???引起周向应变
BB"-PP"引起周向应变PB BB'-PP'AA"-PP"
引起=引起角度改变=PB PA （4-2） 2.物理方程:(x,y)、(ρ,φ)均是正交坐标系，所以物理方程形式相同：
1()1()
12(1)E E G E ρρ???ρρ?ρ?ρ?εσμσεσμσμγττ?
=-??
?
=-??
+?==??
§4-3 极坐标中应力函数(,)φρ?和相容方程。
利用2
2
2
y x +=ρ
x
y
arctan =? c o s s i n x y ρ?
ρ?==，将φ对x y 的导数演化成对ρ?的导数，则由2-25有相容方程：222
222
11()0φρρρρ?
???++=??? （4-6） ''()11u AA PP PA u u u u u ρρρ??
ρ??ρ?ερερρ?γρ?ρρ??-==???
???=+??????=+-?????
图4-1中设ρ?和x y 重合，而使0=?，若不计体力由（2-24）写出：参见P57(a)(b)(c)
2200222220022
20011()()()()1()()()x y xy y x x y ρ?????ρ???φφφσσρρρ?φφσσρφφ
ττρρ?======????===+?????????
===????
????==-
=-???????
（4-5） §4-4应力的坐标变换（图4-3）
由A A B
F 0F 0F 0ρ???=??=??=??∑∑∑ 得2222
22
cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos ()sin cos (cos sin )x y xy x y xy y x xy ρ?ρ?σσ?σ?τ??σσ?σ?τ??τσσ??τ??=++??=+-??=-+-?? （4-7） 同样2222
22cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos ()sin cos (cos sin )
x y xy p ρ?ρ?ρ?ρ??ρ?σσ?σ?σ??
σσ?σ?σ??τσσ??τ???=+-??=++??=-+-?? （4-8）
§4-5轴对称应力和相应位移
因轴对称：)(ρφφ= 则ρ
φρσρd d 1= 22
d d ?φσρ= 0=ρ?τ （4-9） 且相容方程简化为
ρ
ρd d
1011=??
?
????????????????? ??ρφρρρρρd d d d d d 积分得 D C B A +++=22ln ln ρρρρφ （4-10）
则应力一般介：2
(12ln )2A B c ρσρρ
=
+++ 2(32l n )2A
B c ?σρρ=-+++ 0=ρ?τ (4-11) 代入物理方程再代入几何方程，其中前2式积分后代入3式，分离变量后求出前2式中积分常数，对多联域再由u ?的位移单值条件知(4-12)中0B =(常数IK 代表刚体位移，不产生应力)，则位移一般介：
1(1)2(1)B (l n 1)+(13)B 2(
1)c o s s i n 4s i n c o s A
u c I k E B u H I k E ρ?μμρρμρμρ??ρρ?ρ?????
=-++---+-++???????
?=+-+?? （4-12）
§4-6 圆环或圆筒受均布内压1q ，外压2q （图4-4）
（4-11）式代入边界条件， 并考虑位移单值条件B=0：
???
??-=-===21)()(q q R r ρρρρσσ得：2
2
1222q c R A q c r
A
-=+-=+ 解出A 、C 得22
2122222
212221*********
2
22
2
R r q q R r r R R r q q R r r R
ρ?ρρσρρσ--=---++=---(4-13) §4-7压力隧洞（图4-5）
圆筒内c A
22
+=
ρσρ 2
2A
c ?σρ=-
+
圆筒外'
2
'
2'c A +=
ρ
σρ '
'
'2
2A c ?σρ
=-
+
内边界条件：q c r
A
r -=+=
=2)(2ρρσ （e ） 无限远边界：0)('
=→∞ρρσ ()0?ρσ→∞'= 得02'=c （f ）
接触面边界条件：R R
===ρρρρσσ)()(' '2'
222c R
A c R A +=+ )(g
接触面位移条件'
()()R
R u u ρρρρ=== '222(12)0A A n c R R μ?
?--+=???
? 其中''
(1)(1)E n E μμ+=+)(i 由)(e )(f )(g )(i 解出'
',,C A C A 得应力：
2
2
2
2[1(12)]
(1)
[1(12)](1)
R n n q
R n n r
ρμρσμ+---=-+--- 2
22
2[1(12)](1
)[1(12)](1
)
R n n q
R n n r
?μρ
σμ+-+
-=+--
-
2
2
'
'
2
22(1)[1(12)](1)
R n
q
R n n r
ρ
?μρσ
σμ-=-=-+---
(4-16)
§4-8圆孔的孔口应力集中：
首先，设有矩形薄板（或长柱）在离开边界较远处有半径为r 的小圆孔，在四边受均布拉力，
集度为q ，如图坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界。
主要是考察圆孔附近的应力，所以用极坐标求解。作一个大圆R ，如虚线所示。由应力集中的局部性，大圆周处任一点A ，应力情况与无孔时相同，σx = q ，σy = q ，τxy =0。其应力园是一个点园，则任何方向应力都是σρ= q ，τρφ=0。
利用圆环受均布外压力时的解答，命q 2= -q 。于是得
2
2
2
211r q
r R ρρ
σ-
=- 2
2
22
11r q r R
?ρσ+
=- 0==?ρρ?ττ
既然R 远大于r ，可以取
0=R
r
，从而得到解答 ???? ??-=221ρσρr q ???
?
??+=221ρσ?r q 0417ρ??ρττ-＝＝（）
2、其次，设该矩形薄板（或长柱）在左右两边受有均布拉力 q 而在上下两边受有均布压力q ，也就是q =χσ，q -=γσ，
0=χγτ。利用坐标变换式（4—7），可得边界条件：
()()
???τ???σρρ?ρρ
2sin cos sin 2,2cos sin cos 2
2q q q q q R
R
-=-=-＝＝＝＝ ?
??
（a ）
在孔边，边界条件是 0()0ρρσ==
，0)(==r ρρ?τ （b ）
又由应力公式（4-5）：22211ρφφσρρρφ??=+?? ，???
?
??????-=?φρρτρ? 1， 知可以假设?φ2cos )(p f =，
（c ）
可满足（a ）（b ） ,将式（c ）代入相容方程（4—6），得
0)(9)(9)(2)(2cos 3
2223344=???
???+-+ρρρρρρρρρρ
ρ?d df d f d d f d d f d 。是欧拉方程， 设ρ=e t 得自变量为t 的常系数微分方程，解得
422
f ()D
A B C ρρρρ
=+++
其中A ，B ，C ，D 为待定常数。代入式（c ），得应力函数 代回得：???
?
??+
++=22
4
2cos ρρρ?φD C B A ， 由应力公式得： 将式（d ）代入边界条件式（a ）和（b ）,得：
????
???
???????? ??--+=???? ??++=????
?
?++-=。4622262sin ,62122cos ,6422cos 242
42ρρρ?τρρ?σρρ?σρ??ρD C B A D B A D C B （d ） 命
R r
→0, 解得。qr D qr C q B A 2,
,
2
,04
2-==-==
即：??
?
?
?
??
???????? ??+???? ??--==???? ??+-=???
? ??-???? ??-=。
22224422223112sin ,312cos ,
3112cos ρρ?ττρ?σρρ?σρ?ρ??ρr r q r q r r q （4—18） 图4—7的叠加法成立
图4—8应力可叠加得：
（4—19） 2422424224462q,266AR 2,
4620,
26620
C D
B R R
C D
B q R R
C D B r r
C D
Ar B r r +
+=-+--=-++=+--
=222222242422221cos 2113,221cos 213,22sin 21132q r q r r q r q r q r r ρ?ρ?ρ?σ?ρρρσ?ρρττ?ρρ?
??????=-+--? ? ????????????????=+-+?
? ??????
?????
?
==--+ ????????。
沿着孔边，ρ=r ，环向正应力是 (12cos 2),q ?σ?=-它的几个重要数值如下表所示。
沿着Y 轴，?=90°，环向正应力是。r r q ???
?
??
++=442223121ρρσ?它的几个重要数值如下表所示。
4—8所示。
沿着x 轴，?=0°，环向正应力是 。r r q ???
? ??--=13222
22ρρσ? 在ρ=r 处，?σ=-q ；在ρ=r 3处，0=?σ，如图4—8所示。在ρ=r 与ρ=r 3之间，压应力的合力为
()qr d P r
r
1924.030-==
?=ρ
σ??
显然，当q 为均布压力时，在ρ=r 与ρ
=r 3之间将发生拉应力，其合力为0.1924qr 。
§4-9 半平面体在边界上受集中力(单位厚度上力F 与法线夹角β)（图4-9）
量纲分析：应力取决于F
ρβ?，应力量纲为
F
N ρ
，N 是由β?组成的量纲一的量，由
前知φ应比σ中ρ因次高二次即，()f φρ?=代入相容方程得
0)()
(2)(12
2443=??
????++?????ρf d f d d f d 介出)(?f 代入得 cos sin (cos sin )可取(cos sin )A B C D C D φρ?ρ?ρ???ρ???=++++ （4-20） 则222112(cos sin )D C ρφφσ??ρρρφρ
??=+=-?? 0=?σ 0=ρ?τ (b )
上式除原点外，满足的应力边界条件2
π
?=±
：2
()
0?π
?σ=±
= 2
()
0e ?π?τ=±
=
以原点o 为圆心ρ为半径截取半圆abc 研究其平衡：（图4-9）
0x F =∑ 22
[cos sin ]cos 0d d F π
ρρ?π
σ?ρ?τ?ρρβ-
-?+=? 0cos =+βπF D 即βπ
cos F
D -=
0y F =∑
22
[sin cos ]sin 0d d F π
ρρ?π
σ?ρ?τ??β-
++=? sin 0C F πβ-+= 即sin F
C βπ
=+
00M =∑
22
c o s 0
d π
ρ?π
τ?ρ?ρ-
?=? C 、D 代入(b)则：
2(cos cos sin sin )F
ρσβ?β?πρ
=-+ 0=?σ 0=ρ?τ （4-21）
当F 垂直于直线边界0=β(图4-10)，代入(4-21)得 1) 应力 2cos 00F ρ?ρ??
σστπρ
=-
== （4-22）
坐标变换：33
2
222
2cos 2cos ()
x F F
x x y ρ?
σσ?πρ
π==-
=-+ （4-23）
2
222
22
)(2cos sin 2sin y x xy F
F y +-=-
==πρ
?
?π
?σσρ （4-24）
22222
2sin cos 2sin cos ()
xy yx F F
x y
x y ρ??
τττ??π
ρ
π===-
=-+ 2) 位移：（4-22）代入物理方程再代入几何方程，其中前二式积分，代入第三式分离变量： 2(1)
cos ln sin cos [sin ]F u I K E E ρμ?ρ????ππ-=-
-++ []2(1)(1)sin ln sin cos sin cos F F F u I H K E E E
?μμ?ρ????ρ?πππ+-=+--++
由对称条件0)(0==??u 得0==K H ,
①M 点的沉陷2
2(1)()
ln F F u E E
?π?μρππ=
+-=-
-+[I u ?在正?方向，向上] )(e ②上式中任意常数I 难确定。M 点对距离S 的基点B 的相对沉陷:（图4-11）
η=M 点沉陷-B 点沉陷=
2ln F S
E πρ
(4-25)
§4-10 半平面体在边界上受铅直分布力)(ξq ,分布宽度(-b,a)
1) 求点(,)M x y 应力：取()dF q d ξξ=，由式（4-24）
])
()()()(arctan [arctan ])([)(22
2222223a y x a y x b y x b y x x a y x b y q q y x d x q a b x -+--++++--+--+-=?-πξξξπσ常数 ])
()
()()(arctan [arctan ])([)()(22
2222222a y x a y x b y x b y x x a y x b y q q y x d y x q a b y -+-++++---+--+--=?-πξξξξπσ常数 （4-26） 222
2222222
2
()()[][()]()()a xy b
q x y d q x x q x y x y b x y a ξξξτπ
ξπ--=-
-+-+++-?
常数 （4-27）
2) 边界长度c 上分布集度c
q 1
=
，求距q 的中点为x 的一点k 的沉陷（图4-13） c dr
dF = 22ln ln ki dF s s d dr E r EC r ηππ== 1()ki ki F C E ηπ=+ 2(l n 1l n 2)s C c
=++ (4-28)
S 为微应力与某基点B 之间距离
(设S 近似为常数)
其中分二种情况：①K 在均布力中点 /204ln c ki s
dr EC r
ηπ=
?，则0ki F = ②K 在其他点22
2ln c x c ki x s
dr EC r ηπ++=?则2
2212ln ln(41)21ki x x x c
F x c c c
+=----
第五章 变形体系的虚功原理
§5-1质点系虚功原理：若质点系处于平衡状态，则对任一质点i 有F i + =0，质点i 上所有
力的虚功F i δr i +F Ni δr i =0，对所有的质点求和得：ΣF i δr i +ΣF Ni δr i =0，这就是质点系虚功原理（质点系平衡和总虚功为零是等价的）。
§5-2变形体系的虚功原理：
把变形体看成质点系，在主动力系（外力，支反力）作用下平衡
约束力（内力）记为NMQT ，给定任意的虚位移（约束允许的，满足变形协调，可以是实际的变形位移）； 主动力虚功*W ，虚位移（虚应变）产生的虚应变能*U ，则内力（约束力）虚功为-U *
（内力
总是抵抗变形和变形方向相反）；
若质点系平衡，则总虚功为零：0)(*
*
=-+U W 或写成**U W =。 （5-1） 特：1）杆系结构广义外力???21P P ，支反力???21R R 构成平衡力系
给定任意的虚位移?????21，支座位移???21C C （满足变形协调条件） 主动力虚功∑∑+?=C R P W *
虚应变能 ∑∑∑∑????+++=θγ?d T ds Q d M du N U *
杆系结构虚功原理：
∑∑∑∑???∑∑+++=+?θγ?d T ds Q d M du N C R P （5-2）
2）平面弹性体A 在一组集中力{F}={F 1 F 2 ……F n }作用下平衡，弹性体中应力为 {σ}={σx σy τxy }
T
,给定{F}={F 1 F 2 ……F n }以虚位移{δ*
}T ，相应的虚应变
{ε*
}={εx εy γ
xy }
T
，则外力虚功W *={δ*
}T {F}，虚应变能*
*{}{}T
A
U tdA εσ=
??，
代入（4-1）得集中力{F}作用的平面弹性体虚功方程**{}{}{}{}T
T A
F tdA δεσ=?? （5-3）
第六章 用有限单元法解平面问题
有限元法解弹性力学平面问题，应用广泛，且方法典型。 学好本章后，其它各种有限元位移法可触类旁通。
§6-1 结构的离散化——单元的划分
图示一深梁——弹性平板，取坐标系xoy ，把平板划分成有限个互不重叠的三角形——三角形单元，取每个三角形的顶点为节点，对所有的单元从1开始按序编号，对所有的节点从1开始按序编号。(图6-1)
§6-2 单元位移模式——节点位移表示单元内部位移
结构中任取一典型的单元e ，节点编号为i 、j 、m ，按逆时针排列，记每个节点的位移：
{}??????=i i i v u δ {}?
?????=j j j v u δ {}???
???=m m m v u δ每个节点两个独立的位移分量，称为节点自
由度。
单元e 的节点位移{}i T j i i j j m m m u v u v u v δδδδ??
??
??==????????
为基本未知量
（一）插值位移函数：选取单元位移函数为坐标的线性函数： 123u x+y ααα=+ 456v x +y ααα=+ 待定系数61αα 由节点位移值来确定，6个已知节点位移分量， 只能确定6个待定系数61αα 。
123456123456123456i i i i i i j j j j j j m
m m m m m
u x y v x y u x y v x y u x y
v x y αααααααααααααααααα=++=++??
=++=++??=++=++?
用解三元一次方程的克莱姆法则： 图6-3 有限元的几何意义
图6-1 单元划分
图6-2 单元的节点位移
○
????
?
????++=++=++=)(21)(21)(2132
1m m j j i i m m j j i i m m j j i i u c u c u c A u b u b u b A u a u a u a A ααα 式中：j
m i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a -=-=-= （m j i ,,） （6-19） 三角形面积)(21
1112
1
i j j i m
m
j j i
i
c b c b y x y x y x A -==
m j i ,,逆时针排列使三角形面积A 为正。（6-20）
将1α、2α、3α代入位移函数可得插值形式的位移函数：
m m j j i i u N u N u N u ++= 同理，m m j j i i v N v N v N v ++=
式中：()y c x b a A
N i i i i ++=
21
()y c x b a A N j j j j ++=21
也可写成m
m
j j i
i m
m
j j i y x y x y x y x y x y x
N 111
111=（m j i ,,） ()y c x b a A
N m m m m ++=21
插值位移函数写成矩阵形式：{}[]{}e
N v u d δ=???
???= （6-23）
式中形函数矩阵：[]??
?
?
??=m j
i m j i
N N N N N N N 0
000 （6-25） 它取决于单元形状，称为形状函数，简称形函数。
当节点位移确定后，单元内各点位移的分布形状由i N 、j N 、m N 来确定。（图6-5） （二）有限元的几何意义：①用单元边界(直线)逼近物体边界，②用按单元分片的位移函数逼近实际位移(,),(,)u x y v x y 。（图6-3）（图6-5）
（三）对位移模式的要求：
1、能反映单元的刚体位移；
2、能反映单元的常量应变；
3、反映位移的连续性。位移模式含一次项能满足要求。
（四）形函数的性质：（图6-5）
()1=i i N ()0=j i N ()0=m i N （m j i ,,） （6-21）
3A
dxdy N A
i =
??
?=ij i j i ds N 21 （6-22）
§6-3 单元分析
典型单元e 的特性分析：
?????
?????
（一）用单元节点位移{}e
δ表示单元应变{}ε
插值位移函数u v 代入几何方程：
{}x y xy u x v y u v y x εεεγ?????
????????
??==?????????
??????+??????
()()12i i j j m m
i i j j m m i i j j m m i i j j m m b u b u b u c v c v c v A c u c u c u b v b v b v ??++????=++????+++++????
[
]
T
m m j j i i m m
j
j
i
i m j i m j i v u v u v u b c b c b c c c c b b b A ????
?????
?=00000021 (6-26)
简写成：
{}[]{}e B δε=式中应变矩阵[][]
???
?
?????
?==m m
j
j
i
i m j i m j i
m j
i
b c b c b c c c c b b b A B B B B 000
00021 (6-28) 在此，[]B 是常数矩阵，因此同一单元中各点应变是常量，故称这种单元为常应变三角形单元。
（二）单元节点位移e
}{δ表示单元应力}{σ。单元应变{}ε代入物理方程：
e e S B D D }]{[}]{][[}]{[}{δδεσ=== (6-30)
式中]][[][B D S = 称为应力矩阵 (6-31) （三）单元刚度方程，单元刚度矩阵[]k
由上可见关键是求出单元节点位移e
}{δ
其途径是建立节点位移和节点力的关系——单元刚度方程
将单元○e 上所有作用力（集中力Ｐ，分布面力q ，体积力p 及单元之间内力）
按虚功等效原则移置到三个节点，得等效节点力T
ym xm yj xj yi xi T
m j i e
F F F F F F F F F F ][][}{==
单元○e 在节点力{}e F 作用下平衡，给节点以任意的虚位移e
}{*δ（满足变形连续条件、位移
边界条件）
引起单元内部的虚位移：e N f }]{[}{**=δ，相应的虚应变：e
B }]{[}{**=δε根据虚功原理：
节点力虚功＝虚应变能
()
{}{}{}{}T
e e T A
F tdA δεσ**=??
(){}[][][]{}T e T e A B D B tdA δδ*=?? 由于虚位移e
}{*δ的任意性，从两边消去：得单元刚度方程：{}[]{}e
e
F k δ= (6-36)
式中单元刚度矩阵：A
[][][][]T k B D B tdA =
??
(6-35)
对常应变三角形单元，且单元○e 的厚度t 为常量则：tA B D B K T
]][[][][= (d)
写成分块形式：[][][][]ii
ij
im T
i j m i j m ji
jj jm mi
mj
mm K K K K B B B D B B B tA K K K K K K ??
??
==??????
(6-37) 其中每个子块，对平面应力问题有：
()2
11,,22[][][][]11,,4122r s r s r s r s T
rS S r s r s r s r s b b c c b c c b r i j m Et K B D B tA s i j m A c b b c c c b b γμμμμμμμ--??
++??=??==?? ?--=-????++????
(6-38) 对平面应度问题上式中E 换成
2
1μ-E ，μ换成μ
μ-1 §6-4. 整体分析
（一）整体刚度方程，整体刚度矩阵（总刚变矩阵）
单元e 的刚度方程e
e
F K }{}]{[=ε（单元三个节点，6个自由度是6价方程）
或??
?
??
?????=???????????????????
?m j i m j i mm mj
mi jm jj ji
im ij ii
F F F K K K K K K K K K δδδ （1）
设结构有h 个单元n 个节点，2n 个自由度，则整体刚度方程是2n 阶的，把单元刚度方程扩
大写成2n 阶
(){
}[][][]{}T
e T e
A
B D B tdA δδ*=???
12i ii ij im i j ji jj jm j m mi
mj
mm
m n i K K K F j K K K F m K K K F δδδδδδ??
??
??????????????????????????
??????????=???????????????????????????????????????
?
??????
（2）式中[K]和{F}中的…都是零，}{δ中从n δδδ 2,都写上，可见，式（2）和式（1）是等价的。 h 个单元就有h 组如式（2）的方程，把它们叠加起来
1
1
[]{}{}
h h
e
e e k F δ===∑∑注意式中}{δ不同于e }{δ，由e
}{δ等效扩大而成，可从求和号中提出。
则整体刚度方程：[]{}{}K R δ= （4） 式中：
1
[][]h
e K k
==
∑ 称为整体刚度矩阵，由式（2）可见只要把每个单元的刚度矩阵的子块按 其
节点号()m j i ,,对号入座，填入相加即得整体刚度矩阵[K]，它是扩大了的单元刚度矩阵的和。
1
{}{}h
e e R F ==∑ 称为等效节点荷载，是各个单元等效节点力的叠加。由§2-3的分析知：
等效节点力包括外力和单元之间相互作用的内力，而相邻单元公共边内力引起的等效节点力在叠
加过程中互相抵消，只剩下外力（外部作用）引起的等效节点力，即等效节点荷载。 一（二）整体刚度矩阵的性质
1．是对称矩阵
单元刚度矩阵[][][][]T
k B D B tA =是对称阵，扩大后仍对称，其和——整体刚度矩阵必对称。 2．是稀疏阵且呈带状；最大相邻节点号差越小，带宽也越小。 3．[K]是奇异阵，排除刚体位移后，它是正定阵 （三）等效节点载荷{}R
设单元e 上作用有集中力}{P ，体积力}{p ，分布面力{}q ，按静力等效原则（虚功等效原则），将其移置为等效节点荷载，都记为e
R }{。
１．集中力?
?????=y x P P P }{作用于某点C ，给单元e 各节点的虚位移}{*
δ单元内部相应的虚位移
{}{}T d u v ***=
i j m
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
西南交通大学2008－2009 学年第(1)学期考试试卷B 课程代码 课程名称 工程力学 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总成绩 得分 阅卷教师签字: 一. 填空题(共30分) 1.平面汇交力系的独立平衡方程数为 2 个,平行力系的最多平衡方程数为 2 个,一般力系的最多平衡方程数为 3 个;解决超静定问题的三类方程就是 物理方程 、 平衡方程 、 几何方程 。(6分) 2.在 物质均匀 条件下,物体的重心与形心就是重合的。确定物体重心的主要方法至少包括三种 积分 、 悬挂 与 称重或组合 。(4分) 3.求解平面弯曲梁的强度问题,要重点考虑危险截面的平面应力状态。在危险截面,可能截面内力 弯矩 最大,导致正应力最大,正应力最大处,切应力等于 零 ; 也可能截面内力 剪力 最大,导致切应力最大,切应力最大处,正应力等于 零 。作出危险截面上各代表点的应力单元,计算得到最大主应力与最大切应力,最后通过与 许用 应力比较,确定弯曲梁就是否安全。(5) 4.某点的应力状态如右图所示,该点沿y 方向的线应变εy = (σx -νσy )/E 。(3分) 5.右下图(a)结构的超静定次数为 2 ,(b)结构的超静定次数为 1 。(2分) 6.描述平面单元应力状态{σx ,σy ,τxy }的摩尔圆心坐标为 (σx +σy ),已知主应力σ1与σ3,则相应摩尔圆的半径为 (σ1-σ3)/2 。(3分) 7.两个边长均为a 的同平面正方形截面,中心相距为4a 并对称于z 轴,则两矩形截面的轴惯性矩I z ＝ 7a 4/3 。(5分) 8.有如图所示的外伸梁,受载弯曲后,AB 与BC 均发生挠曲,且AB 班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线 σx σy
《计算机辅助工程分析技术》读书报告 姓名： 班级： 学号： 学院：机电工程学院 日期：2012年12月29日 成绩：
摘要：弹性力学是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力或温度改变等 原因而发生的应力、应变和位移。确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般采用有限元法进行分析。有限元分析的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是采用加权残值法或泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件（如ANSYS）。因此，有限元分析的主体内容包括：基本变量和力学方程、数学求解原理、离散结构和连续体的有 限元分析实现、各种应用领域、分析中的建模技巧、分析实现的软件平台。[]1关键词：弹性力学有限元计算机辅助工程分析 一、前言 工程分析是产品开发的基本任务之一，而CAE是CAD/CAM不可缺少的组成部分。弹性力学是工程分析中的一项重要内容，用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题，同时也是有限元方法的力学基础。而有限元分析方法是CAE 中的一种重要手顿。 计算机辅助工程(Computer Aided Engineering)是指用计算机对工程和产品进行性能与安全可靠性分析，模拟工程或产品未来的状态和运行状态，及早地发现设计缺陷，为优化设计提供依据。准确地说，CAE是指工程设计中的分析计算与分析仿真，具体包括工程数值分析、结构与过程优化设计、强度与寿命评估、运动/动力学仿真。 广义地讲,计算机辅助工程是有关设计制造、工程分析、仿真、实验及信息分析处理,以及相应数据库和数据管理系统(DBMS)在内的计算机辅助设计和生产的综合系统。狭义地讲,CAE主要是指CAE环节的工作和系统。 CAE的核心技术为有限元分析技术，核心应用是虚拟样机。有限元方法是用于求解各类工程问题的一种数值计算方法。应力分析之中的稳态、瞬态、线性或非线性问题以及热传导、流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分 析。[]2 本报告主要介绍了计算机辅助工程分析技术的主要内容、相关技术、计算机辅助工程分析技术的应用现状、计算机辅助工程分析技术的发展趋势，还介绍了弹性力学的基本理论、有限元法的原理、方法和特点及其举例。 二、学习内容 1、弹性力学 弹性力学是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力或温度改变等原因
2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。 证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程 ???????=+??+??=+??+??00y x xy y y x y yx x x f f τ στσ （a ） 0)1())((22 22=??+??+-=+??+??）（y f x f y x y x y x μσσ （b ） 显然（a ）、（b ）是满足的 （2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式 ?? ?? ?=+=+)()() ()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。 对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形
变分量q E x )1(-= με，q E y ) 1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得 q E x u ) 1(-=??μ，q E y v )1(-=??μ，0=??+??y u x v （e ） 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-= μ，)() 1(2x f qy E v +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx x df dy y df ) ()(21=- 等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有 ω-=dy y df )(1，ω=dx x df ) (2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω 代入（f ）得位移分量 ?? ???++-=+--=v x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。 从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确 的解答。 2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。 解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横 截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12 3 h I z =，根据材料力学公式，弯应力
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
报告编号：YT-FS-2093-74 毛概读书报告范文(完整 版) After Completing The T ask According To The Original Plan, A Report Will Be Formed T o Reflect The Basic Situation Encountered, Reveal The Existing Problems And Put Forward Future Ideas. 互惠互利共同繁荣 Mutual Benefit And Common Prosperity
毛概读书报告范文(完整版) 备注：该报告书文本主要按照原定计划完成任务后形成报告，并反映遇到的基本情况、实际取得的成功和过程中取得的经验教训、揭露存在的问题以及提出今后设想。文档可根据实际情况进行修改和使用。 ——《邓小平的三起三落》(作者: 赵晓光,刘杰出版社: 辽宁人民出版社) “我是中国人民的儿子，我深情地爱着我的祖国和人民。”相信每个人都很熟悉这句话。这两句朴实无华的话，表露了一代领袖——邓小平同志伟大而崇高的心灵，这是他波澜壮阔一生的力量源泉。邓小平领导着中国走上改革开放和社会主义现代化之路，中国从此繁荣富强，人民过上富裕美好的生活。 当然，伟大的领袖必经一番磨练，方得今日之成就。邓小平一生经历过三起三落，那时西方媒体常称他为“打不到的小个子”，除了我们通常所认为的坚韧的毅力，《邓小平的三期三落》这本书更加详细的阐述着邓老先生的平凡与伟大，阐述了他低调、坦诚、乐
观、务实、吃苦耐劳的为人，以及如何度过这三起三落的。通过阅读这本书，我更深一步的感受了这位伟人的风采，明白了邓老先生忍常人所不能忍之苦的用意，明白了这位领袖的决策、思想以及人生经历的内在联系，有利于更进一步的了解邓小平理论的形成、发展及其重要的历史地位和指导意义。 这本书分为了四个章节，每个章节的名称都直接阐明了邓老先生的人生态度：1、我的一生问心无愧，让历史评价去吧 2、我是一个军人，我正真的职业是打仗 3、我是三落三起4、对我的评价不要过分夸张。这些都是邓老自己说过的话。平淡出奇的一生，经历了三大落起却依旧有着清晰思想，绘制了新中国改革开放的蓝图，取得巨大成就却依旧的平淡谦虚务实，这是邓老这一领袖给我们新一代青年大学生的示范，留给我们的是思考。 邓小平的三起三落分别为：第一次“落起”是在30年代初期中央苏区时，由于中央临时政府推行“左”倾冒险主义，邓小平和其他一些领导人坚决支持以毛
计算结构力学读书报告 XX1 （XX大学） 摘要：本文主要叙述了在阅读与学习《计算结构力学》这本书的一些相关的心得体会；在学习由原作者所创立的样条有限点法的过程中，收获了一些新的理解与体验。 关键词：计算结构力学；样条有限点法；读书报告 Computational Structural Mechanics Reading Report （XX） Abstract: This article mainly describes some of the relevant experiences in reading and learning the book “Computational Structural Mechanics”. In the process of learning the spline point method established by the original author, some new understandings and experiences were learned. Keywords: computational structural mechanics; spline finite point method; reading report 引言 工程中的许多问题，从本质上来说都可以归结到力学问题。而这些力学问题，如果按照传统的解析求解方式，往往只能求解一些较为简单和理想化的力学问题，同时又需要专业的力学家花费大量的时间和精力推导公式，并将之记录在教科书中。而近代以来，又有许多力学数学界的专家共同努力，创造出了用于解决力学分析问题的有限单元法，随着电子计算机的发展，利用有限单元法，借助电算方式，求解工程中的力学问题已成为一种趋势。 工程中的力学问题，从本质上说是非线性的，线性假设只是实际问题的一种简化。如果工程中的结构按照线性理论设计，不仅会浪费，而且还会造成灾难。在结构工程设计中，如果考虑弹塑性问题，则可以挖掘材料潜力，提高工程结构承受能力，节约材料，正确估计工程安全度，使工程经济合理及安全可靠；如果按照线弹性理论设计，则会显得过于保守。由此可知，在各种工程设计中，只假设它为线性问题是不够的，必须进一步考虑非线性问题才能保证工程既经济合理又安全可靠。近几年来，在现代化建设中，人们面临着越来越多的非线性力学问题，结构非线性分析已成为工程设计不可缺少的一个工作。因此，结构非线性力学已成为工程设计不可缺少的一个重要学科。 1基本概念 1.1材料特性 在结构工程中，所使用的材料有很多，广泛使用的材料有钢材、混凝土、岩土以及各种砖石。 在单向拉伸状态中，材料由初始弹性状态进入塑性状态的界限是屈服极限。这被称为单向拉伸状态的屈服条件，也称初始屈服条件，它的表达式为：f(σ)=σ?σs=0。 式中，σ和σs分别为应力和屈服极限，f(σ)为屈服函数。如果σ<σs，则f(σ)<0，这时试件处于弹性状态；如果σ>σs，则f(σ)>0，这时试件进入塑性状态。 经过屈服阶段后，材料又恢复抵抗变形的能力，必须增加荷载才能产生变形，这种现象称为材料强化，也称硬化。 1.2应力与应变状态 物体的任意一点的应力状态可由九个应力分量来描述，而且这些分量构成一个二阶对称张量：
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
材料的疲劳和断裂读书报告 在这个报告里，首先阐述材料的疲劳和断裂机理、规律，其次阐述钛合金的疲劳和断裂，以及解决方法。在之前的本科课程里《工程材料力学性能》、《》、《失效分析》，对金属的疲劳、断裂、蠕变都进行了较为详细的阐述。同时，也进行了TC4合金的疲劳性能实验，因此对疲劳相关的知识有了一定的了解。 在大多数情况下，零件承受的并不是静载荷，而是交变载荷。在交变载荷作用下，材料往往在低于屈服强度的载荷下，发生疲劳断裂。例如，汽车的车轴断裂，桥梁，飞机等。因此对于疲劳断裂的研究是很有意义的。 一般来说，疲劳的定义是：金属材料或构件在变动应力和应变长期作用下，由于累积损伤而引起的断裂现象称为疲劳。断裂的定义是：由弥散分布的微裂纹串接为宏观裂纹，再由宏观裂纹扩展为失稳裂纹，最终材料发生断裂。在此，需要明确疲劳和断裂的关系。疲劳和断裂在机理研究和工程分析时是紧密相连的，只是疲劳更侧重于研究裂纹的萌生，断裂力学则侧重于裂纹的扩展，即带裂纹体的强度问题。 对于疲劳，阐述的思路是疲劳分类及特点，疲劳机理与断口，疲劳性能表征，影响疲劳的因素。对于断裂，从宏观和微观的角度分别阐述。 疲劳 疲劳分类及特点 疲劳分类方法如下： 按应力状态不同，可以分为弯曲疲劳、扭转疲劳、拉压疲劳及复合疲劳； 按环境和接触情况不同，分为大气疲劳、腐蚀疲劳、高温疲劳、热疲劳、接触疲劳； 按照断裂寿命和应力高低不同，分为高周疲劳和低周疲劳，其中高周疲劳也是低应力疲劳，低周疲劳即高应力疲劳。 疲劳特点如下： 材料在交变载荷峰值远低于材料强度极限时，就可能发生破坏，表现为低应力脆性断裂特征。这是因为，疲劳时应力较低（低于屈服强度），因此在宏观上看，材料没有塑性变形。在裂纹扩展到临界尺寸时，发生突然断裂。 材料疲劳是一个累积过程，尽管疲劳断裂表现为突然断裂，但是在断裂前经历了裂纹萌生，微裂纹连接长大，裂纹失稳扩展的过程。而形成裂纹后，可以通过无损检测的方法来判断裂纹是否达到临界尺寸，从而来判断零件的寿命。 疲劳寿命具有分散性。对于同一类材料来说，每次疲劳测试的结果都不会相同，有的时候相差很大。因此在测量疲劳寿命时，需要采用升降法和分组法来测得存活率为50%的疲劳强度。疲劳对于缺陷很敏感。这些缺陷包括材料表面微裂纹，材料应力集中部分，组织缺陷等。这些缺陷加速材料的疲劳破坏。 疲劳断口记录了疲劳断裂的重要信息，通过断口分析能了解到疲劳过程的机理。 疲劳裂纹形成和扩展机理及断口 一般把疲劳分成裂纹形成和裂纹扩展过程。而研究疲劳机理，都是借助于某一种模型来研究，这在断裂力学，蠕变过程的研究中经常看到。 裂纹形成： 资料表明，疲劳微观裂纹都是由不均匀的局部滑移和显微开裂引起的。主要包括表面滑移带开裂；第二相、夹杂物或其界面开裂；晶界或亚晶界开裂等。 裂纹形成的延性材料滑移开裂模型。 在静拉伸过程中，可以在光滑试样表面看到滑移带，这是由于位错的滑移形成的。在交变载
毛概读书报告范文3篇 《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》(以下简称毛概)课是一门政治素养较高,理论政策性较强,内容知识面 较宽的一门大学生思政必修课。*是小编为大家整理的毛概读书报告范文，仅供参考。 毛概读书报告范文篇一：轻出你的重量 【摘要】米兰〃昆德拉在本书中以其独特的生命视角、冷俊且蕴涵某种智慧的思虑，审视了人类灵魂的空虚与充盈、灵肉与轻重，诠释了生命之中某种不曾泯灭的真理。在米兰〃昆德拉看来，人生是痛苦的，这种痛苦源于我们对生活目的的错误把握。虽然世界上有许多人，每个人都在按着各自的生活目标而努力，但每个目的却都有着其本身的空虚，求名者无非镜花水月，求财者无非身外之物。 【关键字】米兰昆德拉生命媚俗负担 哑默中含有严酷的真理，雄辩中伏有美丽的谎言，困惑的目光触及到一个个辩证的难题，两疑的悖论，关于记忆和忘却，关于媚俗和抗俗，关于自由和责任
——题记 米兰昆德拉的小说情节----至少在我看来----在《不能承受生命之轻》里没有太大魅力，很俗套的故事，但他似乎也并不想以情节取胜，尽管在一些事件上的构架很精巧，却似乎根本就不想达到情节上的高潮，他只是悄悄的让那个叫做托马斯的男人默默的死去，尽管这种悄然静默几乎震惊了世界，让读者自己达到了自我想象的高潮。我更喜欢看米兰昆德拉的讨论，他总是以不同的角色参与到讨论里，把正反两方都发挥到极致的高度，然而语言的尖锐并不能到达情节的彼岸，他把不认识路的人从迷途中带出来，人们以为他会把自己带到终点，但事实是他仅仅把读者带到终点前的岔路口，之前之后的路途都明晰了，就在这个时候，米兰昆德拉，他，竟然悄然静默地走了，如同托马斯一样。 其实米兰昆德拉已经足够厚道，帮人做选择是要负责任的，没有人能对除自己之外的人担负起如此大的责任，虽然有的人为了需要某种目的，会号召广大群众为了自由，平等，正义等等高尚的理由而如何如何，但那些责任不是由他来负，而是由如何如何之后的状况来承担。革命成功之后只有生者才能论功行赏，上山下乡的知青也不能全部返城，即便获得了最好的结果，同时也失去了一样去之不返的东西----时间。即便是对于自己，这种责任本也是不想负的，但自己活着除了自己，那些或轻或重的选择带来的或轻或重的后果，谁能承担?
工程力学教程(西南交通大学应用力学与工程系著)课后答 案下载 《工程力学教程》是xx年07月高等教育出版社出版的一本图书，作者是西南交通大学应用力学与工程系。以下是由关于工程力学教程(西南交通大学应用力学与工程系著)课后答案下载地址，希望大家喜欢! 点击进入：工程力学教程(西南交通大学应用力学与工程系著)课后答案下载地址 本书是教育科学“十五”国家规划课题研究成果,根据“高等学校工科本科工程力学基本要求”编写而成,涵盖了理论力学和材料力学的主要内容。 本书共18章,包括静力学基础、平面汇交力系、力矩与平面力偶系、平面一般力系、重心和形心、内力和内力图、拉伸和压缩、扭转、弯曲、应力状态分析和强度理论、压杆的稳定性、点的运动、刚体的基本运动、点的复合运动、刚体的平面运动、质点的运动微分方程、动力学普遍定理、动静法。本书在讲述某些概念和方法的同时,给出了相关的思考题,供课堂讨论之用。本书具有很强的教学适用性,有助于培养工程应用型人才。 本书可作为高等学校工科本科非机、非土类各专业中、少学时工程力学课程的教材,也可供高职高专与成人高校师生及有关工程技术人员参考。 第1章静力学基础
1-1静力学中的基本概念 1-2静力学公理 1-3约束和约束力 1-4研究对象和受力图 习题 第2章平面汇交力系 2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法 2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法 习题 第3章力矩与平面力偶系 3-1关于力矩的概念及其计算 3-2关于力偶的概念 3-3平面力偶系的合成与平衡 习题 第4章平面一般力量 4-1力线平移定理 4-2平面一般力系向一点简化 4-3分布荷载 4-4平面一般力系的 看过“工程力学教程(西南交通大学应用力学与工程系著)课后答案下载”的人还看了： 1.水力学教程第三版黄儒钦主编课后习题答案西南交大出版社
材料成型及控制工程导论读书报告材控普0903 覃春花20094406 摘要：材料成型及控制工程导论科目上课时间：从本学期的第五周到本学期的十二周。上课地点：A106。第五、六周学习内容：本科目的学习方法、基本要求、目的、任务，材料科学与工程学科的介绍。第七周学习内容：金属塑性加工中的基础理论及现代设计分析方法运用介绍。第八、九周学习内容：焊接的相关知识。第十、十一周学习内容：体积成形技术中的锻造、轧制相关知识。第十二周学习内容：特种成形及其它成形，板料成形、模具相关知识。 本课程主要学习内容有材料加工技术的发展与现状、金属塑性加工、模具技术、焊接与连接技术等，要求学生通过学习对材料加工技术的基本方法有较全面、较概括的了解，对相关的新技术、新工艺、新材料的最新发展成果有所了解，初步掌握材料加工工程中的基本概念、基础知识及发展概况。本课程是为以后专业学习做准备的，让我们进一步了解我们的专业。 材料加工技术的发展与现状： 1．材料加工技术的发展与人类文明 我们通过学习了解了关于石器、陶瓷、青铜器相关知识，以及
对学科的历史有了一定的了解。 （1）石器——数百万年前，人开始用骨头、石头制成简单的工具，具有了材料加工痕迹。开始了人类历史达二、三百万年之久的石器时代。50万年前，北京猿人使用的石头和骨头工具，制作粗糙，无用途分化，无美的概念。 （2）陶器——六千多年前的西安半坡遗址出把锡矿石加到铜里一起熔炼，制成的物品更加土的制作十分精美的尖底陶罐、鱼纹彩陶盆等。出现了带装饰性的容器类陶制器皿。 （3）青铜器——生产力发展，古人在不断改进石器和寻找石料的劳动中，发现了天然铜块，加热锻打，加工成各种器物。我国的青铜冶炼始于夏代。青铜器是中国伟大文明历史的记载，她在记载伟大文明的同时，也见证了中国近代屈辱史。 材料加工技术的学科内涵： 材料加工技术属于材料加工工程学科，是研究控制材料的外部形状和内部组织结构，以及将材料加工成人类社会所需求的各种零部件及成品的应用技术的学科。而材料加工工程学科又属于材料科学工程学科，这是一个一级学科。其中，材料加工工程又分为以下几个方面：1、金属压力加工。2、高分子材料成型加工。3、焊接。4、铸造。5、金属材料及热处理。其中金属压力加工包括我们学校的特色：金属的轧制。
【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。 面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。 正的应力 正的面力 【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。 【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ，只存在平面应力分量,,x y xy σστ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数。可以认为此问题是平面应力问题。 【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 【解答】板上处处受法向约束时0z ε=，且不受切向面力作用，则 0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或约束，所以仅存在,,x y xy εεγ，且不沿厚度变化，仅为x ，y 的函数，故其应变状态接近于平面 应变的情况。 O z y
【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件C M 0=∑改为对角点的力矩平衡条 件，试问将导出什么形式的方程？ 【解答】将对形心的力矩平衡条件 C M 0=∑， 改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸取为单位1。 0A M =∑ 1()1()11222()1()1110 222 xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dy dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ????++??-+??-?? ????-+??++??+??-??=?? (a) 0B M =∑ ()1()1()122 111110 2222 yx y x x yx y xy x y x y dy dx dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ???+ ??++??++?????-??-??-??+??+??= (b) 0D M =∑ ()111122 1()1110 2222 y y xy x yx x x x x y dx dy dy dx dy dx dy dx dy y dx dy dy dx dx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ?+ ?? -??+??+????-??-+??-??+??=? (c) 0E M =∑ ()1111222 ()1()1110 222y y x yx y xy x x xy x y dx dy dx dy dx dy dx dy dx y dy dy dx dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ?-+ ?? +??+??+??- ???+??-+??-??+??=?? (d) 略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令2 2 ,d xdy dxd y 都趋于0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xy yx ττ=。 【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。
弹性力学简明教程（第四版） 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形
y = x - y ）右下图(a)结构的超静定次数为结构的超静定次数为 1 。(2分) 描述平面单元应力状态x , y , xy }x +y )，已知主应力1 和3 ，则相应摩尔圆的半径为1 - 3 )/2 两个边长均为的同平面正方形截面，惯性矩I z ＝(5分) 有如图所示的外伸梁，AB = BC 班 级 学 号 姓 名 σx σy
二．分析计算题（70分） 1．绘出低碳钢的应力－应变拉伸曲线，说出低碳钢拉伸经历的四个阶段以及卸载定理的意义。(15) (略) 2．如图1所示平面构架由直杆AC、AD及直角折干BED在A、B、D处用铰链连接而成，已知P=2kN，各构件自重不计。试求铰A、B及固定端C的约束反力。(10) P 图1 解：画出AD杆及整体的受力图。（受力图3分，AD方程与结果3分，BED二力杆1分，整体与结果3分）对AD杆： 对整体
3．作如图所示梁的剪力图和弯矩图。（10分） 4．等截面实心圆轴的直径d＝100mm，受力如图5所示。已知轴材料的许用剪应力 []＝60MPa。要求：①作轴的扭矩图；②校核轴的强度。(15) （1）正确作出扭矩图者3分（图的要素正确， 坐标，单位，阴影，正负号表示） （2）各杆段扭矩计算结果正确者3分 （3）最大扭矩M max正确 2分 （4）知道采用公式max<[τ]，者4分 （5）知道可以根据M max 求出max，虽不知道公式（尚未学过）可奖励2分，知道者奖励4分。 图3 图2
5．如图所示T形截面梁的弹性模量E=200GPa,求梁中心截面的最大的截面切应力max。（10分） Z轴距离底部260mm ＝(320*80*160+320*80*360)/(320*80*2) y c Iz=Iz1+Iz2 =80*320^3/12+320*80*(260-160)^2 +320*80^3/12+320*80(320-260+40)^2 图4 =320*80(320^2/12+80^2/12+100^2+100^2) 6．已知图示圆杆直径d、材料的弹性模量E 、比例极限p，求可以用欧拉公式计算临界应力时压杆的最小长度l min。 (10分) l 图5
有限单元法读书报告 摘要：有限单元法以变分原理和加权余量法为基础，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限单元法；插值函数；网格划分；实例分析 1 有限单元法概述 1.1 有限单元法的简介 有限单元法[1]是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。比如经典的Ritz法，要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。 1.2 有限单元法的基本方法简介 有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中[2]，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函