教具准备1、课件:
PPT、“例3”、“例3拓展”、“例3拓展”flash动画。
２、板书。
教学难点正方形格点多边形面积的计算；三角形格点多边形面积的计算。
教学重点正方形格点多边形面积的计算；三角形格点多边形面积的计算。
教学目标1.认识格点的概念；
2.会用毕格定理计算格点多边形的
面积；
3.培养学生借助格点图，很快地比
较和计算图形的面积大小。
第7讲格点与面积
内容概述1.什么是格点？
平常我们用的方格纸的方格（每个小方
格都是一个小正方形）都是由横、纵两
组平行线垂直相交构成的，其中相邻两
条平行线的距离都是相等的（通常规定
是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格
点.以格点为顶点画出的多边形称为格
点多边形.
三角形格点多边形是指：每相邻三点成
“∵”或“∴”，所形成的三角形都是
等边三角形.规定它的面积为1，以这样
的点为顶点画出的多边形为三角形格
点多边形.
2.正方形格点多边形的面积公式（毕格定
理）：
S=L÷2+N -1（S为面积；其中L为周界
上的格点数；N为图形内包含的格点数）3. 三角形格点多边形的面积计算公式：如
果用S表示面积，N表示图形内包含的
格点数，L表示图形周界上的格点数，
那么：S=2×（L÷2+N -1）。
引入
教学过程
教学目标：激发学生对格点产生浓厚的学习兴趣。
如下图，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米，分别连结
各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。找出图形外面一周的点数，中间的点数与面积三者之间的关系。
(1)
(2)
(3)
上节课回顾
所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执
行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。 本节课主要介绍：
⑴ 与数字相关的操作问题； ⑵ 染色相关的操作问题； ⑶ 计数方面的操作问题。
环节一：
引入
【讲解过程】
1、学生分小组讨论，分别派代表回答教师问题。
2、师生配合填表格：
第（1）组
图形编号①②③④
一周格点数 4 6 8 14
中间格点数0 0 0 0
面积（平方厘米） 1 2 3 6
第（2）组
图形编号⑤⑥⑦⑧
一周格点数 4 6 8 14
中间格点数 1 1 1 1
面积（平方厘米） 2 3 4 7
第（3）组
图形编号⑨⑩
一周格点数 4 6 8 14
中间格点数 2 2 2 2
面积（平方厘米） 3 4 5 8
3、师生共同总结：第一组,中间没有格点时，面积=一周格点数÷2+0-1平方厘米
第二组,中间有一个格点时，面积=一周格点数÷2+1-1平方厘米
第三组,中间有两个格点时，面积=一周格点数÷2+2-1平方厘米归纳：任何一个格点多边形的面积S都等于周界上的格点数L除以2减1再加上图形内包含的格点数N（即：S=L÷2+N -1）。
4、提示课题
师：我们今天要学的内容是：格点与覆盖。（板书课题：格点与覆盖）
教学目标：学习并区别拼割方法和毕格定理求面积。
如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。（每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位）
环节二：
毕格原理初步
例1
例2
【讲解过程】
1、师生审题，教师提问：用拼割方法算得的面积是多少？
先求长方形面积:4×3=12面积单位
再求三个直角三角形的面积：2×3÷2=3；1×3÷2=1.5；1×4÷2=2面积单位围成的三角形面积S=12-3-1.5-2=5.5面积单位
2、提问：格点问题的面积计算公式（毕格定理）是什么？
S=L÷2+N -1（S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数）3、从问题和公式入手，计算面积
S=3÷2+5-1=5.5面积单位
答：它的面积是5.5面积单位。
（巩固拓展：下列多边形的面积是________(面积单位).）
1、学生自己读题，分析题意。
2、学生根据题拼割方法求得面积。
11*7-5*5÷2-9-8-7=40.5面积单位
3、指名学生根据毕格定理求得面积。
4、列式解答
S=L÷2+N-1 =13÷2+35-1=40.5面积单位
答：多边形的面积是40.5面积单位。
在一个9 6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定
理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.
【讲解过程】
1、师生审题，教师提问：用毕格定理算得的面积是多少？
例３
2、点名学生用拼割方法求面积。
ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积
=9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2)
=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).
3、比较两者是否一致。
4、列式：
S=7÷2+25-1=27.5面积单位
答：它的面积是27.5面积单位。
(巩固拓展:如图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。)
【讲解过程】
1、师生审题，教师提问：用拼割方法算得的面积是多少？
先求正方形面积:4×6×6=144平方厘米
再求空白部分四边形的面积：4×（4×4+2×4）=96平方厘米
围成图形的面积S=144-96=48平方厘米
2、问：格点问题的面积计算公式是什么？
S=L÷2+N -1（S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数）3、从问题和公式入手，计算面积
S=4×（8÷2+9-1）=48平方厘米
答：它的面积是48平方厘米。
教学目标：进一步熟悉毕克定理，求特殊图形的面积。
右图是一个8?12面积单位的图形.求矩形内的箭形
ABCDEFGH的面积。
【讲解过程】
1、师生审题，教师提问：用拼割方法算得的面积是多少？
长方形面积为：8×12=96面积单位
环节三：
正方形格点面积
例４
三个三角形面积分别为3×4÷2=6面积单位；3×4÷2=6面积单位；
4×1÷2=2面积单位
两个相同的小长方形面积为：2×9=18面积单位
箭形的面积为：96-6-6-2-18-18=46面积单位
问：还有其他的拼割方法吗？
2、问：格点问题的面积计算公式是什么？
S=L÷2+N -1（S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数）3、从问题和公式入手，计算面积
箭形ABCDEFGH的面积=26÷2+34-1=46(面积单位).
答：箭形的面积是46面积单位。
4、比较两种面积求法的简易性。
(巩固拓展:右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?)
1、师生共同读题，分析图形周界上格点数和内部格点数。
2、点名学生回答以上问题。
3、小组讨论学生的答案正确与否。
4、解题过程：
解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19.
所以图形的面积为: 19÷2+59-1=67.5(面积单位).
答：这只“狗”所占的面积是67.5.面积单位。
右图是一个5 5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小
方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3
个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所围图形的面积是多少平方厘米？
【讲解过程】
1、师生共同审题，理解题意。
2、小组讨论，学生抒发自己观点。
例5 3、 列式解答：
这是一个5×5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4×4=16,周界上格点数最多为5×4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如下图所示,就得到了面积最大的图形.
所围成图形的最大面积为: 17÷2+16-1=23.5(平方厘米).
答：所用图形的面积是23.5平方厘米。
4、思考：这个问题可以转化为剪去最小面积取求解吗？
（巩固拓展：下图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.）
【讲解过程】
１、 学生自己读题，理解题意。 ２、
小组讨论，找出规律
３、 列式解答：
解：图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7.
图形的面积为: 7÷2+16-1=18.5(面积单位). 答：面积是18.5面积单位。
4、小结：平行四边形的格点面积公式同样满足毕格定理。（无需证明）
教学目标： 培养学生对三角形格点多边形的面积的计算。
右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的
三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC 的面积.
环节四：
三角形格点面积
例6
【讲解过程】
１、 师生共同读题，对三角形格点面积求解进行猜想：
问：可否转化成平行四边形格点面积求解？
２、 分组讨论，得出规律。
三角形格点面积可转化为平行四边形格点面积求解。 ３、 列式解答：
由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形,可以推出如下计算这类格点面积的公式:
图形面积=(周界上格点数÷2+内部格点数-1)×2. 解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.
ABC S ?=(4÷2+4-1)×2=10(面积单位). 答：ABC ?的面积为10面积单位。
（巩固拓展：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角
形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG 的面积.）
【讲解过程】
１、 师生共同读题，对三角形格点面积进行求解； ２、 分组派代表演板，写出答案； ３、
列式解答：
DEFG S 四边形=(4÷2+5-1)×2=12(面积单位).
答：四边形DEFG 的面积是12面积单位。
把等边三角形ABC 每边六等分,组成如图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm ,试求图中三角形
DEF 的面积.
【讲解过程】
１、师生共同读题，理解题意；
２、小组讨论，数出周边格点和内部格点数；
３、列出三角形格点面积公式：S=2×（L÷2+N -1）
４、列式解答：
解：图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3.
DEF
S
= 2×（3÷2+5-1）=11(2
cm).
答：图中三角形DEF的面积是112
cm。
（巩固拓展：把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.）
【讲解过程】
１、师生共同读题，理解题意；
２、小组讨论，数出周边格点和内部格点数；
３、列出三角形格点面积公式：S=2×（L÷2+N -1）
４、列式解答：
解：图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4.
图形的面积为:S=2×（4÷2+12-1）=26(面积单位).
答：所围成的三角形的面积是26面积单位。
教学目标：整理全课思路，巩固收获
1、全课你学到了什么？
2、正方形格点多边形的面积公式和三角形格点多边形的面积公式分别是什么？
3、你能想到学习和生活中有什么问题需要借助格点多边形面积求解公式吗？
环节五：
总结全课
巩固目标：熟练应用毕格定理，掌握格点面积的求解技巧。
【练习1】下图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).
【解析】①由毕克定理得:
7÷2+25-1=27.5(面积单位).
②用拼割方法得:
ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积
方
法
总
结
体
现
之
处
趣
味
性
体
现
之
处
板
书
设
计
=9×6-(6×2÷2+3×3÷2+4×3÷2+4×5÷2)
=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).
答：它的面积是27.5面积单位。
【练习2】右图是一个10 10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.
【解析】S=(6÷2+4-1)+( 8÷2+21-1)
=6+24=30(面积单位).
答：四边形ABCD的面积是30面积单位。
【练习3】右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?
【解析】图形内部格点数为7,图形周界上格点数为5.阴影部分的面积为:
5÷2+7-1=8.5(平方分米).
答：阴影部分的面积为8.5平方分米。
【练习4】求下列各个格点多边形的面积.
【解析】①∵ L=12；N=10，
∴S= L/2+N-1=10+6-1=15（面积单位）.
②∵L=10；N=16，
∴S= L/2+N-1=16+5-1=20（面积单位）.
③∵ L=6，N=12，
∴S= L/2+N-1=12+3-1=14（面积单位）.
④∵L=10；N=13，
∴S= L/2+N-1=13+5-1=17（面积单位）.
【练习5】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.
【解析】因为N=5；L=3：
所以S=2×（L÷2+N -1）
=2×（3÷2+5-1）
=11（面积单位）.
【练习6】求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.
【解析】①∵L=7；N=7，
∴S=2×（L÷2+N -1）=2×(7×2+7-1)=19（面积单位）.
②∵L=5；N=8，
∴S=2×（L÷2+N -1）=2×(8×2+5-1)=19（面积单位）.
③∵L=6；N=8，
∴S=2×（L÷2+N -1）=2×(8×2+6-1)=20（面积单位）.
④∵ L=7； N=8；
∴S=2×（L÷2+N -1）=2×(8×2+7-1)=21（面积单位）.
课后总结较为成功之处：有待改进之处：
玩是孩子的天性
不少家长对孩子的“贪玩”感到很“头痛”，有的甚至不能容忍。一些望子成龙、望女成凤心切的父母，往往把孩子正常玩乐的时间用来参加特长班学习，如学舞蹈、学画画等。当他们发现孩子丢开所谓的“正业”而玩耍时，就会大声训斥，倘若孩子因为玩闯了点“祸”，更是犯了滔天大罪，有时会免不了一顿皮肉之苦。
其实，玩是孩子的需要，是孩子的天性。玩，使孩子们精神焕发，体格健壮；在玩中，孩子不仅学到了知识，而且培养了注意力，发展了孩子观察力，强化了孩子的记忆力，丰富了想象力，锻炼了操作能力；玩，还能在孩子幼小的心灵里播下人与人之间那纯真善良的美好感情。记得一位教育家说过：“我们可以用牛奶代替母奶，而玩给孩子童年的欢乐却是任何东西也不能替代，任何时期也不能补偿的。”那些不爱玩，又不会玩的孩子才是令人担心的呢！做为家长应该支持孩子玩，给孩子留出一些玩的时间。
当然，放手让孩子玩，绝不是放任不管。怎样使孩子玩的丰富多彩，玩的有意义，还需家长们给予指导。比如，孩子喜欢收集卡片，家长最好给他准备一个纸箱，让他放他喜欢的卡片，同时还应提示他怎样收集各种卡片，教会他如何进行分类。您可以发现，在他收集的那些看起来不起眼的卡片中，孩子们编排成小图书。孩子年幼，一玩起来就会忘掉一切，家长应该帮助孩子合理的安排时间，必要时搞个“约法三章”，让孩子在玩的时间里玩个痛快。家长也应该与孩子一起玩，并鼓励孩子和其他小伙伴一块玩，让孩子在玩中学会平等的与人相处，养成助人为乐的好品质。
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
板块一正方形格点问题 在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有,这两者之间的关系能否用计算公 式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧! 用Ｎ表示多边形内部格点，Ｌ表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律:1 2 L S N =+-.这个规律就是毕克定理. ? 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 【解析】面积等于1平方厘米的三角形有３2个. 面积等于2平方厘米的三角形有8个． (1）面积等于１平方厘米的分类统计如下: ①②③ 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为1 2 L S N =+-． 例题精讲 格点型面积
底为２,高为1底为2,高为1底为１，高为2 ３×2＝6(个)3×2=６(个）3×2=6(个) ④⑤⑥ 底为1,高为2底为2,高为1底为１,高为2 3×2＝6(个）2×２＝4(个）2×２=4(个）所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有:6+６+６+6＋4＋4＝32(个）. (２）面积等于2平方厘米的分类统计如下： 3×2＝6(个）1×２=2(个) 所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有:6＋２=８(个). 【例 2】如图,44 ?的方格纸上放了1６枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个. 【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形(如右图）. ?的正方形：1个; ?的正方形:４个;33 ?的正方形:９个;22 11 以11?正方形对角线为边长的正方形：4个；以12?长方形对角线为边长的正方形:2个． 故可以组成9414220 ++++=(个)正方形. 【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【解析】根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段，顶点要在格点上!所以只有⑴是格点多边形．【例 4】如图,计算各个格点多边形的面积． 【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了． ?=(面积单位)； 方法一:图⑴是正方形，边长是４，所以面积是4416
第八讲牛吃草问题 牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 五大基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝草量差÷时间差； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 求天数 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100份或 15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：150-10×5=100份 100÷（25-5）=5天 答：这片牧草可供25头牛吃5天？
在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。 一、先讲加法的巧算，加法具有以下两个运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即： a+b=b+a 其中，a,b各表示任意数字。例如，5+6=6+5 一般地，多个数相加，任意改变相加的顺序，其和不变。例如， a+b+c+d=d+b+c+a=… 其中，a,b,c,d各表示任意一数。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即： a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
其中，a,b,c,各表示任意一数。例如： 4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7） 一般地，多个数相加，可先对其中几个数相加，再与其他数相加。把加法交换律和加法结合律综合起来运用，就得到加法的一些巧算方法。 1、凑整法。 先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其他的数相加。 例1：计算（1）23+54+18+47+82 （2）1350+49+68+51+32+1650 2、借数凑整法 有些题目直观上凑数不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976+85，可在85中借出24，即把85拆分成24+61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。 例2：计算（1）57+64+238+46
（2）4993+3996+5997+848 二、减法和加减法混合运算的巧算。 加、减法有如下一些重要性质： 1、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如： a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b 2、在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变，如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。例如： a+(b-c)=a+b-c a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c 3、在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数原来的运算符号不变，如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。例如：
板块一正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 【例 2】如图，44 ?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个． 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为1 2 L S N =+-． 例题精讲 格点型面积
【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积． 【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积． II I 【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积． 【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．
⑴ ⑵ 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴ ⑷ ⑶ 【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 【例 9】 右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积． H G F E D C B A 【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
1. 细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，粗蜡烛可以点12个小时，细蜡烛可以点7个小时，两根蜡烛同时点燃，那么多少小时后细蜡烛的长度是粗蜡烛的13？ 2. 甲乙丙丁四车同时在一条路上行驶：甲车12点追上丙车，14点与丁相遇，16点与乙相遇；乙车17 点与丙相遇，18点追上丁。那么丙和丁几点几分相遇？ 3. 甲、乙两船速度相同，同时出发向上游行驶，乙落后甲30千米。出发时甲船上一物品落入水中，10 分钟后此物距甲船3千米，甲船在共行驶10千米后折向下游追赶此物，追上时恰遇乙船，那么水流的速度为多少？ 4. 一批工人到甲、乙两个仓库进行搬运工作，甲仓库工作量是乙仓库工作量的1.2倍，第一天去甲仓库 的人数是去乙工地仓库的1.5倍，第二天甲仓库3/8的工人转移到乙仓库工作，第三天又将乙仓库现有工人的3/5转回甲仓库工作。三天过后，甲仓库还需9人再搬1天，乙仓库还需27名工人再搬1天，那么这批工人共有多少人？ 5. 工厂接到两个订单，第1个订单需要30个零件A ，x 个零件B ；第2个订单需要x 个零件A ，30个零件B 。甲车间生产零件B 的效率是生产零件A 效率的2倍；乙车间无论生产哪种零件效率都比甲高13。已知甲生产第1个订单会比乙生产第1个订单多用100分钟，甲生产第2个订单会比乙生产第2个订 单多用110分钟。求x 等于多少？ 6. 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡底为A ，坡顶为B ）．两人同时从A 点出发， 在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒6米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第2007次相遇的地点离A 点多少米？
小学奥数系统总复习Revised on November 25, 2020
《小学奥数系统总复习》试题精选——四年级 试题 1.难度：★★★★ 将1～9这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立。 【分析】①审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从1～9这九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复. ②选择解题的突破口.由①的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键. ③确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有2×3＝6和2×4＝8.如果第三式填2×3＝6.则剩下的数是1，4，5，7，8，9，共两个偶数， 四个奇数.由整数的运算性质知，两个样填：（答案不是惟一的，这里只填出一个）.如果第三式填2×4＝8，则剩下的数是1，3，5，6，7，9.其中只有一个偶数和五个奇数，由整数的运算性质知，无论怎样组合都不能填出前两个算式. 解：本题的一个答案是：
2.难度：★★★★ 数出下图中总共有多少个角. 【分析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠ C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠ C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个）. 解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 试题 1.难度：★★★★ 由数字0、1、2、3共可组成多少个三位数可组成多少个没有重复数字的三位数【解答】由乘法原理 ①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数； ②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数． 2.难度：★★★★
发车间隔 教学目标 1、熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题 2、通过左图体会发车间隔问题重点——发车间隔不变（路程不变） 3、能够熟练应用三个公式解间隔问题 知识精讲 发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进。还要理解参照物的概念有助于解题。接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和解题的关键。 一、常见发车问题解题方法 间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。 （一）、在班车里——即柳卡问题 不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 （二）、在班车外——联立3个基本公式好使 （1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 （2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 （3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （三）、三个公式并理解 汽车间距=相对速度×时间间隔 二、综上总结发车问题可以总结为如下技巧 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽 约开来的轮船？ 【考点】行程问题之发车间隔【难度】2星【题型】解答 【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：
小学奥数：格点型面积（毕克定理） 板块一正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少面积等于2平方厘米的三角形有多少个 【例 2】如图，44?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个． 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形 ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积． 【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积． 【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积． ⑴ ⑵ 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴ ⑷ ⑶ 【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少 【例 9】 右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积． H G F E D C A 【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是 多少
百度文库- 让每个人平等地提升自我 六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方 面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量 =工作效率×工作时间， 工作时间 =工作量÷工作效率， 工作效率 =工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、 分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效 例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”
例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要 甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所 以甲队实际工作了 例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张 师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者 的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发15
奥数教学简介 一、课程特色： 1、教材与现行小学奥数教程同步； 2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。 二、教学理念： 通才教育和趣味教育。 三、教学目标： 以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下坚实的基础。 如何学好奥数？ 1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。 2、倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。 3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。 4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。 5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。 6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。
九、格点与面积(B) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个 三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个 小钉之间的距离都等于1个长度单位). 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的 面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单 位). 3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形 ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼 割方法计算它的面积,看两者是否一 致. 4.右图中每个小正方形的面积都 是4平方厘米,求图中阴影部分的面 积. 5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积. 6.右图是一个8?12面积单 位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH的面积. 7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只 “狗”所占的面积是多少? 8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的 面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点. 请你在图上选7个格点,要求其中任意3个 格点都不在一条直线上,并且使这7个点用 线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1 是多少平方厘米？ 9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影 部分的面积是多少平方分米? 10.右图中每个小平行四边形 的面积是1个面积单位,求阴影部 分的面积.
二、解答题: 1.右图中有21个点,其中每相邻的 三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面 积为1的等边三角形,试计算ABC ?的 面积. 2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所 形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形 DEFG的面积. 3.把等边三角形ABC每边六等分, 组成如右图的三角形网.若图中每个小 三角形的面积均为12 cm,试求图中三角 形DEF的面积. 4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 5.5面积单位. 分析:解答这类问题可直接套用毕克定理: 格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1. 注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心. 解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位). 2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位). 3. 27.5面积单位. 解: ①由毕克定理得: 25+7÷2-1=27.5(面积单位). ②用拼割方法得: ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2) =54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位). 4. 48平方厘米. 解: ①内部格点数为: 9个; ②周界上格点数为: 8个; ③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).
牛吃草问题讲义 牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。 典例评析 例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？ 例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。 从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它， 【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份， 原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15天 例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天? 【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量 【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20 +4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。 总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。 知识衍变
第一讲速算与巧算（一） 我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用，以便提高计算的技能技巧。 一、运用加法运算定律巧算加法 1．直接利用补数巧算加法 如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。 如：28＋52＝80，49＋51＝100，936＋64＝1000。 其中，28 和52 互为补数；49 和51 互为补数；936 和64 互为补数。 在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。 例 1 巧算下面各题： （1）42＋39＋58； （2）274＋135＋326＋ 265。解：（1）原式＝（42＋ 58）＋39
＝100＋39＝139
（2）原式＝（274＋326）＋（135＋265） ＝600＋400 ＝1000 2．间接利用补数巧算加法 如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。例 2 计算 986＋238。 解法 1：原式＝1000－14＋238 ＝1000＋238－14 ＝1238－14 ＝1224 解法 2：原式＝986＋300－62 ＝1286－62 ＝1224 以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。 解法 3：原式＝（62＋924）＋238
＝924＋（238＋62） ＝924＋300 ＝1224 解法 4：原式＝986＋（14＋224） ＝（986＋14）＋224 ＝1224 以上方法是把其中一个加数拆分为两个数，使其中一个数正好是另一个加数的补数。所以可称为“拆分凑补法”。 3．相接近的若干数求和 下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。 例 3 计算 71＋73＋69＋74＋68＋70＋69。 解：经过观察，算式中 7 个加数都接近70，我们把 70 称为“基准数”。我们把这7 个数都看作70，则变为7 个70。如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。 原式＝70×7＋（1＋3－1＋4－2＋0－1）
六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效 例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15
推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材，大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社：吉林出版集团 主编：毛文凤，单墫等 华数奥赛教材.png 简介：一本有着较长历史的书，可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国著名的数学竞赛教练，同时编书很严谨。书正如其标题所示，是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事，其知识点覆盖面很全，同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题，可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点：同时解决知识框架和华赛备考 缺点：书中欠缺知识点总结 适合学员：五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度： 2、《小学奥数举一反三》 出版社：陕西人民教育出版社 主编：蒋顺，李济元 小学奥数举一反三.png 简介：也是分年级的一本书，难度相对来说较为简单，无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛，可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版，A版是教材，有知识点讲解和例题；B版是同步练习册，用于课后巩固。 优点：入门必备，编排板式不错，有单独练习册 缺点：难度、深度均不足 适合学员：1-3年级推荐使用此书进行初步学习，4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度： 3、《明心数学资优教程》 出版社：湖北教育出版社 主编：刘嘉 明星数学资优教程.png 简介：这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材，内容非常详细，每个知识点的介绍都有很多的背景介绍，不仅传授方法和知识，也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错，对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点：对于单个知识点挖掘得很深，同时有很多背景知识介绍，丰富孩子的见闻 缺点：可能这套丛书只是部分完成，很多重要专题没有涉及，另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员：对数学有较强兴趣，同时有一定数学竞赛基础的同学，此书只有4—6年级 难度：
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=， 111 246 b ++=，则： 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++，则原式化简为： 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=； 739458 358947 b +=， 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?= 【答案】9例题精讲 教学目标 换元法
抽屉原理 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 例题1： 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 练习1： 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，
为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 例题2： 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？ 例题3： 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有 人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是 平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有 个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为 人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人 . 6
9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人. 二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.