燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=．
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==
S 3
S 1S 4S 2E
D
C
B
A
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，
所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形
CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.
【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△
::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】27:16
例题精讲
燕尾定理
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△
【答案】10:9
【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =
G
F E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△ 【答案】5:2
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△
::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】15:8
【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?
35
30
4084
O F
E
D C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得
::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33
(84)6344
ACO S x x =?+=+△，
再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3
(84):(4030)(6335):354
x x ++=+-解得56x =
:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△
所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=
【答案】315
【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交
于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛 【解析】 方法一：连接CF ，
根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE
S EC
==△△,
设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标
所以55
1212
DCEF ABC S S ==△
方法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33ABD ABC S S ==△△，
1121
2233
ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以
11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111
22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，
而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5
12
．
【答案】5
12
【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积
.
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，
所以1103ABE ABC S S ==△△，1
152
ABD ABC S S ==△△．
根据燕尾定理，
12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD
S CD
==△△, 所以1
7.54
ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，
所以阴影部分面积是30107.512.5--=．
(法二)连接DE ，由题目条件可得到1
103
ABE ABC S S ==△△，
112
10223
BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以
11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111
2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，
而21
1032
CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5．
【答案】12.5
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，
AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
A
B
C D
E
F F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ，
根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36
510
ABF CBF S AE S EC ===△△,
设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =?=+△份，3
10623
CDF S =?=+△份，
所以24545
200(6910)(
6)8(6)93(cm )88
DCFE S =÷++?+=?+= 【答案】93
【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △
面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
13.5
4.59
2
1121
3
O E D C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部
分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59
,,,30306030103020
+===
【答案】9
20
【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，
则ABX △的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C X
Q
P
A
B
C
4
4
11
X
Q
P
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛 【解析】 方法一：连接PQ ．
由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =，11
26
BPQ BCQ ABC
S S S
==．
由蝴蝶定理知，21
:::4:136
ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，
所以44122
6 2.455255
ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?=．
方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=
△
【答案】2.4
【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，
三个三角形的面积 分别是3，7，7，
则阴影四边形的面积是多少？
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，
则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18． 方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=
【答案】18
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分
的面积各是多少?
A
B
C
D
E F
4
8
621
A
B
C
D
E
F
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242
217
FDCE S +==
【答案】
27
【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC
的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．
A B
C
D
E F
A B
C
D
E
F 2.41.62A B
C D
E F 12
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，
2
3
ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，2
4 1.623
AEF S =?=+△ 份,3
4 2.423
EFC S =?
=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC
S =÷?=△
【答案】45
【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影
部分)的面积为多少？
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BN ．
ABC △的面积为3223?÷=
根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△
设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224?=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷?=．
【答案】0.3
【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．
F
E D C B A
F
E D
C
B A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CD ．
由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，
根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．
【答案】3:4
【巩固】在ABC ?中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？
A B
C
D
E O
A
B
C
D
E O
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接OC ．
因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ??==，即3
2
AOB AOC S S ??=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ??=
．则334
2223AOB AOC AOE AOE S S S S ????==?=， 所以::2:1AOB AOE
OB OE S S ??==．
【答案】2:1
【巩固】在ABC ?中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？
A B C
D
E O
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积
比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．
A B C
D
E O
因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ??==，即2AOB AOC S S ??=；
又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ??=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ????==?=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ??==．
【答案】8:1
【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交
于点F ，则四边形DEFC 的面积等于
。A
F
B
E
D
C
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第二十题，6分 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上式比例的关系，由此我们初步可以
判断这道题不应该通过面积公式求面积。又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
方法一：连接CF ，因为AE EC =,2DC BD =，三角形ABC 的面积是1，
所以1111
,3322
ABD ABC ABE ABC S S S S ====。
根据燕尾定理，1,12ABF ABF ACF CBF S BD S AE
S DC S EC ====,
所以11111
,44244
ABF ABC AFE S S S ===-=,
所以阴影部分的面积分面积是115
13412
--=。
方法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33
ABD ABC S S ==，
1121111
22323212ADE ADC XXX ABC S S S S ==??=???=，
而211323CDE ABC S S =??=。所以阴影部分的面积为5
12
。
【答案】5
12
【例 6】 如图1，ABC ?中，点E 在AB 上，点F 在AC 上，BF 与CE 相交于点P ，如果
4BEP CFP AEPF S S S ??===四边形，则BPC S ?= .
P
F E
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接EF ,AP .
根据题意，不难得出EF BC ∥,那么::CF FA BE EA =; 而::BPC BPA CF FA S S ??=;::BPC APC BE EA S S ??=;
所以，BPA APC S S ??=;所以，AP 平分四边形AEPF ，那么:2:1BE EA =.
::2:1BPC APC S S BE EA ??==,12BPC S ?=
【答案】12
【例 7】 如图4，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF ＝
DC ，且AD ＝2DE 。则两块田地ACF 和CFB 的面积比是___________。
F E D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，复赛，第十一题，5分 【解析】 方法一、ACF 和CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比AF :FB 。
过F 作BC 的平行线，交AE 于G ，则因为DF =DC ，所以三角形CED 和FGD 全等，GD =DE 。又因为AD =2DE ，所以D 和G 是AE 的三等分点，所以AF :FB =AG :GE =1:2。
F E D
C
B
A
方法二、连接BD ，设1CED
S =△(份)，则2ACD ADF S S ==△△。
设BED S x =△，BFD S y =△，则有122x y x y +=??=+?，解得3
4x y =??=?
，
所以:(22):(431)1:2ACF CFB S S =+++=△△。
【答案】1:2
【例 8】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米
?
y B C
D E
G
E D C
B
A
E
D
B A
【考点】燕尾定理 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55
1212
BCD S S ==△阴影平方厘米. 【答案】
5
12
【例 9】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四
边形BODC 的面积为________．
O
F
E D
C
B
A
68
46
2
1
O F E D
C
B A
【考点】燕尾定理 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==?=. 【答案】24
【例 10】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边
形AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
G
F
E D C
A
【考点】燕尾定理 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++?=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷?=
【答案】96
【例 11】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的
面积是_____平方厘米．
E
D
C
B
E
D
C
B
【考点】燕尾定理 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，
因此122)210S =
++?=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以7
12010146
BFHG S =÷?=(平方厘米). 【答案】14
【例 12】 如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，1
4
CF BC =，AF 与
CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ?与CGF ?的面积之和为 ．
B
E
H B
E
B
E
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，
所以1
22
AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，
所以12231
1033942AEG ABF ABCD S S S ??=??=??=．
且22313342EG HF EC EC ==?=，故CG GE =，则1
152
CGF AEG S S ??=??=．
所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．
根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ??==，::2:1BCG ACG S S BE AE ??==，
而1
602
ABC ABCD S S ?==，
所以3321ABG S ?=++，160302ABC S ?=?=，2321BCG S ?=++，1
60203ABC S ?=?=，
则1103AEG ABG S S ??==，1
54
CFG BCG S S ??==，
所以两个三角形的面积之和为15．
【答案】15
【例 13】 正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正
六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
A 4
B 5A 3
A 4
5A 3
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛 【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可
得231233311
7732
A A G A A A S S S ==??△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，
连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A G S =△份，则233A A G S =△份,313
A A G S =△份，所以2312333111
773214A A G A A A S S S S ==??=△△正六边形正六边形，
因此14
1620091148147
S S =-?=?=阴影正六边形（）（平方厘米）
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正
六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为8
2009114814
?=（平
方厘米）
F
A 3
A
【答案】1148
【例 14】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =
b
a
H
F
E
D
b
a
M
E
D
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，
根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△
所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF
∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲
∴:1:2a b =
【答案】1:2
【例 15】 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的
字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.
方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（
），解得2S =阴影. 【答案】2
【例 16】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角
形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I H
G
F
E
D
C
B
A
I H
G F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级 【分析】 连接AH 、BI 、CG ．
由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =
，故2255
ABE ABC S S ??==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ??==，::3:2BCG ABG S S CE EA ??==，所以
::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=，则419ACG S ?=，9
19
BCG S ?=；
那么2248
551995
AGE AGC S S ??==?=；
同样分析可得9
19
ACH S ?=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ??==，::4:19ACG ACB EG EB S S ??==，所以
::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，
所以5521101055BIE BAE S S ??==?=，5511
1919519
GHI BIE S S ??==?=．
【答案】1
19
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形
ABC 的面积．
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BG ，AGC S △=6份
根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△
得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6
19
AGC ABC S S =△△,
同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,6
19
BIC ABC S S =△△,
所以1966611919
GHI ABC S S ---==
△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【答案】19
【巩固】如图，ABC ?中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ?的面积是阴影三角形面积的
倍．
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【分析】 如图，连接AI ．
根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ??==，::1:2BCI ABI S S CF AF ??==，
所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ???=，
那么，22
1247
BCI ABC ABC S S S ???==++．
同理可知ACG ?和ABH ?的面积也都等于ABC ?面积的
2
7
，所以阴影三角形的面积等于ABC ?面积的21
1377
-?=，所以ABC ?的面积是阴影三角形面积的7倍．
【答案】7
【巩固】如图在ABC △中，1
2
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,
得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此2
7
AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得
27ABH ABC S S =△△,2
7
BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线. 【答案】1
7
【巩固】如图在ABC △中，1
3
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,
得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此3
13
AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得
13ABH ABC S S =△△,3
13
BIC ABC S S =△△, 所以1333341313GHI ABC S S ---==△△
【答案】
413
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI
的面积．
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BG ，AGC S △=12份
根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△
得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此12
37
AGC ABC S S =△△,
同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =△△,12
37BIC ABC S S =
△△, 所以
371212121
3737
GHI ABC S S ---==
△△ 三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是1
74237
?
= 【答案】2
【例 17】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面
积．
F C
B
A
F C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．
在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,
所以1
3
ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△
由于11
22
AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =
在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△ 设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，
所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,11
48BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,
所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==?=△△△△,1111
2248
BFN BNC ABC S S S ==?=△△△,
所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ??
=+==?= ???
△△阴影(平方厘米)
【答案】3.125
【例 18】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF
与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？
N M G
A B
C
D E
F
N
M
G
A B
C
D E
F
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以1
5
ABM ABC S S =△△；
再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以
:4:3AN NF =，那么
1422437ANG AFC S S =?=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ??
=-=?= ???
△△△．
根据题意，有1
5
7.25
28
ABC
ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米) 【答案】336
【巩固】如图，ABC ?中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ?的面积为1，那么
四边形CDMF 的面积是_________．
F A
B
C
D
E
M N
F
A
B
C
D
E
M
N
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】四中，分班考试 【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，
那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ??==，而2ACM ADM S S ??=，所以24ABM ACM ADM S S S ???==，那
么4BM DM =，即4
5
BM BD =．
那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ??=??=??=，147
21530
CDMF S =-=
四边形． 另解：得出24ABM ACM ADM S S S ???==后，可得1111
55210
ADM ABD S S ??==?=，
则117
31030
ACF ADM CDMF S S S ??=-=-=四边形．
【答案】7
30
【例 19】 如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于是
整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________． （36）
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第11题
【解析】 方法一：如图（1）延长AD 交BC 于G ；如图（2）根据燕尾定理，得到F :2:30.4:0.6??==DEG D G S S ；
如图（3）；:0.4:2.41:6==GD GA ，由于ED ∥BA ，那么:1:6=EG GB ，同理:1:6=FG GC ，那么△ABC
的面积为（1+2+3）?6=36。本题使用了燕尾定理、相似三角形等性质，学生不需要进行严格地证明，知道结论并会使用它解题即可。
方法二：因为三角形DEF 所给条件最多，先来关注这一三角形。由4个同样大小的三角形可以组
成如下图的正方形，面积为4，所以边长为2，故EF =2。要使已知条件与三角形ABC 产生联系，则将三角形AEF 视为一个整体，面积为EF ×h ÷2=6，所以三角形ABC 的高h =6。再观察下面的正方形，可以发现，对于等腰直角三角形，从顶点做的高为斜边长度的一半，故BC =2h =12，所以三角形ABC 的面积=BC ×h ÷2=12×6÷2=36
【答案】36
【例 20】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请
写出这9部分的面积各是多少?
G
F
E D C
B
A
N M
Q
P
G
F E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，
CQ ，CM ，CN ．
根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则
1225ABC S =++=△(份)，所以1
5
ABP S =△
同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，121
3721AQG S =-=△．
同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239
273570PQMN S =--=
四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115
321642
GFNQ S =--=四边形
【答案】5
42
【巩固】如图，ABC ?的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四
边形JKIH 的面积是多少？
K J
I H
A
B
C D E
F G
K
J
I H
A B
C D E F
G
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．
根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ??==，::1:2ABK CBK S S AG CG ??==，
所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ???=，那么111247ACK S ?==++，11
321
AGK ACK S S ??==．
类似分析可得2
15
AGI S ?=．
又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ??==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ??==，可得1
4
ACJ S ?=．
那么，1117
42184
CGKJ S =-=．
根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17
84
，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为
172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ???++=?++=，所以四边形JKIH 的面积为619
17070
-=．
【答案】9
70
【例 21】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，
求阴影部分面积．
C
B
B
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ， IF ．
∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，9
16
AIF ABC S S ∴=△△
∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△，
∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴3
64
AHM ABC S S =△△，
∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴3
16
AHF ABC S S =△△ ．
同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33
::1:46416
HM HF ==，
∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==， ∴IF BC ∥ ，
又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==，
∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==，
同理 :2:3HN ND =，∵:1:4HM HF =，∴:2:5HN HD =，
∴177
10160160
HMN HDF ABC S S S ===
△△△． 同理 6个小阴影三角形的面积均为7
160
．
阴影部分面积721
616080
=?=．
【答案】21
80
【例 22】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部
分面积.
G
C
B
A
G
C
B
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP
⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，
::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△
设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),
所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,1
12AIM ABC S S =△△,
所以111
()12126
ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的1
6
⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理
::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,
所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==?=△△△△,同理1
21
BEQ ABC S S =△△
在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△
所以1
5
ABP ABC S S =△△
所以11
11152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ??=--=--=
???△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11
105
所以11113
133610570
S =-?-?=
阴影 【答案】13
70
【例 23】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六
边形面积.
G
C
B
A
G
C B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△
所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,2
7CQB ABC S S =△△
所以2221
17777RQS S =---=△
同理1
7
MNP S =△
根据容斥原理，和上题结果11131
777010
S =+-=六边形
【答案】1
10
平均数问题 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 【例1】★有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【解析】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 【小试牛刀】一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 【解析】甲113 丁77 【例2】★一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。 【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？ 【解析】9人 【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。 【小试牛刀】五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=， 111 246 b ++=，则： 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++，则原式化简为： 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=； 739458 358947 b +=， 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?=例题精讲 教学目标 换元法
鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨
【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++，则22481610242048a =++++++，两式相减，得 204812047a =-=。 方法二：找规律计算得到102421=2047?- 【答案】2047 【例 2】 在一列数：135********，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1 1000 ？ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜1 1000 ，解出n ＞999.5， 从n ＝1000开始，即从 1999 2001 开始，满足条件 【答案】1999 2001 【例 3】 计算：111 112123122007 + ++? +++++? 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项公式1211 2()12(1)1n a n n n n n ===-++?++ 原式111 12(21)3(31)2007(20071) 222 =++++?+?+?+ 222212233420072008=++++ ???? 200722008=? 2007 1004= 【答案】2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 ++++ +++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项：()() ()111 1352122132 n a n n n n n ===+++++?++? 原式111111 132435469111012 =++++++ ?????? 1 111111335 91124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175 264 = 例题精讲 通项归纳
定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）
整数计算综合 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个 数相加，再与第一个数相加，它们的和不变. 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即a b b a ?=?,其中a ，b 为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即()()a b c a b c a b c ??=??=?? . 解题时需要注意的几点： 1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。 2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。 【例1】★19199199919999199999++++ 【解析】原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 ----- =20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215 -- 【小试牛刀】898998999899998999998+++++= 【解析】1111098 【例2】★10099989796321+-+-++-+L 【解析】暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。 原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+L 100491=++ 150= 【小试牛刀】989796959493929190894321+--++--++---++L 【解析】99 【例3】★1111111111? 【解析】1111111111123454321?=
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 + +?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a + ++=，111 246 b ++=，则： 原式11()()6 6 a b a b =-?-?- 1166 ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166 =?= 【答案】16 例题精讲 教学目标 换元法
【巩固】 11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 + ++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a = ++，则原式化简为：111 1(1555 a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947???????? ++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令 621739458126358947a ++=；739458 358947 b +=， 原式378378207207a b a b ????=?+-+? ? ? ? ???()3786213789207126207a b =-?=?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++， 原式=(0.1x +)y ?-(0.1y +)0.1x ?=?(y x -)0.054321= 【答案】0.054321 【巩固】 计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式 a =?(10 b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=?(a b -) 10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= 【答案】0.2
比和比例 【例1】★已知3 :（x -1）=7:9，求x . 【解析】7 64=x 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。 【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人， 现在男女人数之比24:20=6:5 【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？ 【解析】长+宽相等。甲的长:宽=6:4，乙的长:宽=7:3. 所以甲乙的面积比为(64):(73)8:7??= 【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？ 【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精:水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9 【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。问:水果店运来的西瓜有多少个？ 【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。 【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？ 【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比21 2331=：：，平均价格为6223 3.623 ?+?=+(元/千克) 【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？ 【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工5340010053-?=+（个） 【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲? 【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x 分追上甲，则甲用(5+x )分，3(5+x )=4x ，x =15 【例6】★★甲走的路比乙多31，乙用的时间却比甲多4 1，则甲乙两人的速度比是多少? 【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3 【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达A 地比甲到达B 地晚多少分钟？
溶液浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量 乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z y %浓度x 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 1、“稀释”问题：把浓度高的溶液经过添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。特点是加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例1、典型例题2 练习1、要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水，须加水多少克？ 练习2、治棉铃虫须配制0.05%的“1059”溶液，问在599千克水中，应加入30%的“1059”溶液多少千克？ 练习3、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥，现在含氨16%的氨水30千克，配置时需加水多少千克？
2、“浓缩”问题：把浓度低的溶液经过减少溶剂变为浓度高的溶液的过程称为浓缩。特点是减少溶剂，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例2、在含盐0.5%的盐水中蒸去了236千克水，就变成了含盐30%的盐水，问原来的盐水是多少千克？ 练习4、要从含盐12.5%的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水？ 3、“加浓”问题：把浓度低的溶液经过增加溶质变为浓度高的溶液的过程称为加浓。特点是增加溶质，解题关键是找到始终不变的量（溶剂）。 例3、有含盐8%的盐水40千克，要配制成含盐20%的盐水，须加盐多少千克？ 例4、典型例题3 练习5、有浓度为7%的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10%，需要加盐多少克？ 解：变化前溶剂的重量为600×（1-7%）＝558（克）， 变化后溶液的重量为588÷（1-10%）＝620（克）， 于是，需加盐620-600＝20（克）， 答：需加盐20克。 4、配制问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品），解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。 例5、典型例题1 练习6、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200ml清水，乙瓶里装了200ml纯酒精，第一次把20ml 纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20ml溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含酒精多，还是乙瓶里含水多？ 5、混合问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品），解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。 例6、把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克，分别应取两种食盐水各多少千克? 例7、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？
5-4-4.完全平方数及应用（一） 教学目标1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-例题精讲 模块一、完全平方数计算及判断
还原问题 还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算，即原来是加的，运算时就减；原来是减的，运算时就加；原来是乘的，运算时就除；原来是除的，运算时就乘。列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使用括号。 如小莉要把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔。妈妈说，这礼物是送给大学老师的，要小莉把它重新包装起来。小莉是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。 小莉重新包装的步骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还原问题”。在数学中，还原问题也很多。 【例1】★小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？ 【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 【小试牛刀】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？ 【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。 【例2】★小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。【小试牛刀】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。 【例3】★两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系． 3.培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯． 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了． 二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么 一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法． 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条． 三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 个必要步骤； 2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘 7-2-1.简单乘法原理 知识要点 教学目标
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法． 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成． 【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？ 【解析】奇点：J D H F偶点：A E B C G I 【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画． N M L K F D E C B A 图b O D C B A 图c G F E D C B A 例题精讲 奇妙的一笔画
【解析】图a能，因为有2个奇点， 图b不能，因为图形不是连通的， 图c能，因为因为图中全是奇点 【例 3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 【解析】图1能因为图中全是偶点， 图2能因为图中全是偶点， 图3不能因为有4个奇点． 【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 【解析】第1个能，2、3不能 【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图． 【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出． 【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？ 该怎样爬？ 【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够． 【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 【解析】可以．
比和比例 【例 1】★已知 3 : （x-1 ） =7:9 ，求x. 6 7 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2 ，又来了 4 名女生后，全班共有 人数之比。 【解析】原有40 人，男生有40×3÷5=24 人，女生40-24=16 人， 现在男女人数之比24:20=6:5 【例 2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2 那么甲与乙的面积之比是多少？ 【解析】长 +宽相等。甲的长: 宽 =6:4 ，乙的长 : 宽 =7:3. 44 人。求现在的男、女生 ，乙的长与宽之比是7:3 ， 所以甲乙的面积比为(6 4) : (7 3) 8: 7 【例 3】★★ 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1 ，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4:1 ，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？ 【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精: 水 =3:1=15:5 ，第二个瓶子酒精 : 水 =4:1=16:4 ，于是混合后酒精 : 水 =(15+16):(5+4)=31:9 【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5. 如果每天卖白兰瓜40 个，西瓜 50 个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36 个。问 : 水果店运来的西瓜有多少个？ 【解析】卖的瓜的总数比为西瓜: 白兰瓜 =5:4=25:20, 原有西瓜 : 白兰瓜 =7:5=28:20, 西瓜剩 3 份 36 个 , 每份 12 个，所以原有西瓜 28×12=336 个。 【例 4】★★ 商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1 ，甲种糖果每千克 6 元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？ 【解析】费用比2:1 ，单价比3:1 ，重量比2 1 2：3 ，平均价格为 6 2 2 3 ( 元 / 千克 ) 3 ： 2 3 3.6 1 【例 5】★★甲乙二人共加工零件400 个，甲加工一个零件用9 分钟，乙加工一个零件用15 分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？ 400 5 3 100 【解析】工效之比 15:9=5:3 ，甲比乙多加工 5 3 （个） 【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40 分和 30 分，甲先走 5 分后乙再追，乙几分钟才能追上甲 ? 【解析】甲乙速度之比3:4 ，设乙 x 分追上甲，则甲用(5+ x ) 分， 3(5+ x )=4 x ， =15 x 【例 6】★★甲走的路比乙多1 ，乙用的时间却比甲多 1 ，则甲乙两人的速度比是多少 ? 3 4 【解析】甲乙路程之比是4:3 ，甲乙时间之比是4:5 ，所以甲乙速度之比是5:3 【例 7】★★ 从 A 地到 B地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5 ，如果甲、乙两人同时分别从 A、 B 两地相对骑出，40 分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达 A 地比甲到达 B 地晚多少分钟？
4-1-3.角度计算 知识点拨 一、角 1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角 2、表示角的符号：∠ 3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种 （1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 （2）直角：等于90°的角叫做直角。 （3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 （4）平角：等于180°的角叫做平角。 （5）优角：大于180°小于360°叫优角。 （6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。 （7）周角：等于360°的角叫做周角。 （8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。 （9）正角：逆时针旋转的角为正角。 （10）0角：等于零度的角。 4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大， 角就越大，相反，张开的越小，角则越小。 二、三角形 1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 2、内角和：三角形的内角和为180度； 外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 3、三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。 直角三角形：有一个角等于90度。 钝角三角形：有一个角大于90度。 注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 （2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。 模块一、角度计算 【例 1】有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角， (2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角． (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角． (4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角． (7)25?的角用10倍的放大镜看就变成了250? 其中，正确说法的个数是
1 看谁算得巧（一） 知识要点：凑整求和 重点及难点：灵活地进行凑整 我们知道，学数学，离不开算。要想学好数学，首先要会算，也就是能正确地算出结果；其次要算得巧、算得快。在一年级学习一位数加法时，我们曾学习过凑十法，现在我们在计算两位数的加法时，也可以采取类似的方法，把其中的一个两位数凑成几十。 例1： 计算：38+47 (⊙o ⊙) 哦 这样想：为了把38凑成40，我们可以把47分成2和45，然后把38和2先相加凑成40，再与45相加。 38+47 =38+2+45 =40+45 =85 例2：计算： 19+27+21+13 这样想：观察算式中的4个加数，我们发现这4个加数的个位数字有这样的特点：9+1=10，7+3=10，即两数相加和是整十数。整十数相加比较简单，所以我们可以把能凑成整十数的两个加数先相加，用小括号将其括起来，表示计算时先要计算括号中的两数的和。 19+27+21+13 =（19+21）+（27+13） =40+40 =80 例3：计算：9+19+29+39 这样想： 观察算式中的各个加数，容易发现每个加数的个位数字都是9，我们可以给每个加数都加上1，使其变成整十数，然后计算这些整十数的和，最后再减去多加的1。 9+19+29+39 =10+20+30+40-4 =100-4
2 =96 第一讲 一笔画问题 小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？ 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么 是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。 典型例题 例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1） （2） （3） （4） 分析 图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。 经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。 图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点 出发都可以。 通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出 有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇 点。 再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画 起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。 这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底 存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。 例【2】 下面各图能否一笔画成？ （1） （2） （3） 分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的 偶点。
教学目标 1、利用生活的相等关系进行推理，并进行等量代换 2、通过等量代换思想学习图文算式，培养学生的逆向思维和发散思维 3、在代换中锻炼学生的分析问题能力和推理判断能力 知识精讲 生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案. 这一节课我们就引导学生来学习等量代换中推理的方法，让学生能对较复杂的物体进行代换，在代换的过程中培养学生的思维能力. 模块一、看的见的等量代换 【例1】看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡. 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】1只小兔的重量等于6 只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡. 【答案】6 【巩固】下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡? 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】1个香蕉的重量=3个方块的重量，右边要放3个方块天平才能保持平衡. 【答案】3 【巩固】下图中0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9十个兄弟玩跷跷板，8和6先坐在一头，让哪两个兄弟 坐在另一头，才能使跷跷板平衡？ 等量代换
【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】右边8+6=14，左边只能放9和5，9+5=14. 【答案】14 【巩固】一个苹果等于（）个草莓. 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】一个苹果等于4个草莓. 【答案】4 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】第三个盘子应放6个玻璃球才能保持平衡． 【答案】6个 【巩固】巳知＝60克，求＝？克． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量，也就是等于6060120 ÷=（克）， +＝（克），120340所以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量，一个白球的重量等 ?=（克）． 于40克，1个正方体的重量就是：404160 【答案】160克 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡？ 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答
和倍问题 a、通过直观演示的教学，让学生理解和倍问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。 b、解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性. c、通过合作探究，让学生知道用不同的方法解决同一个问题，进而提高解决问题的能力；培养学生全面解决问题的习惯和灵活解决问题的能力，培养学生与他人相互交流，合作的意识。 知识点说明： 和倍问题就是已知大小两数的和，以及大小两数的倍数关系，求大小 两数的问题．和倍问题的特点与和倍问题类似。 解答和倍问题的关键是要确定两个数量的和及相对应的倍数和，一般情况 下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的 数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数或和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l份数×(倍数－1)=两数差. 1、小卫家里养了20只兔子，其中大兔只数是小兔的4倍，问小卫家养的小兔和大兔各有多少只？ 2、被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，被除数和除数各是多少？ 3、某校四、五年级共有学生218人，五年级学生人数比四年级的2倍少22人。问四、五年级各有学生多少人？
4、两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除数。 5、姐姐有连环画38本，妹妹有连环画52本，姐姐要给妹妹多少本连环画，才能使妹妹的本数是姐姐的2倍？ 6、两箱茶叶共176千克，从甲箱取出30千克放乙箱，乙箱的千克数就是甲箱的3倍。两箱原有茶叶多少千克？ 1.甲数是乙数的3倍，丙数是乙数的4倍，丁数是丙数的一半，四个数的和是1040，丁数是多少？ 2. 一个长方形，周长是48厘米，长是宽的3倍，求这个长方形面积 3、有俩堆木料，第一堆50根，第二堆70根，从第一堆拿多少根木料到第二堆，才能使第二堆木料数是第一堆的3倍？ 4.哥哥有700元钱，弟弟有300元钱，弟弟给哥哥多少钱后，哥哥的钱是弟弟的钱的4倍 5.师傅和徒弟共加工零件100个，师傅加工的零件数是徒弟的2倍少20，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 6.李新有邮票45张，王磊有邮票30张，要是李新的邮票数是王磊的2倍，那么王磊要给李新多少张邮票？ 1.俩个数相除，商为8，被除数除数和商的和为170，求被除数是多少。 2.五年一班原来有42名学生，开学时又转来3名男生，这时男生人数是女生的2倍，原有男生多少人。 3.甲乙俩数之和是99，乙数末尾添上0后就和甲相等。甲乙各是多少？ 4.陈军和张军俩人公用72元购买体育彩票，陈军买彩票的钱数是张军的3倍少8元，问俩人购买彩票各用多少元