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2015艺术生高考数学[文理]复习学案(3)

§84数系的扩张与复数的四则运算⑴

【考点及要求】了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。理解复

数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

【基础知识】

1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ? ? ，实际上前者是后者的真子集.

2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做，其中a b 与分别为它的和 .

⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则，②若(,)a bi a b R +∈为虚数，则，

③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则；

⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈? ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈?与共轭；

3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z|）则 ⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ?=+?+＝；

⑷乘方： m

z z ?= ；()m n

z = ；12()n z z ?= ；

⑸除法：

12z a bi z c di +==+12z a bi z c di

+==+ ＝； 4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做，叫做实

轴，叫做虚轴；实轴上的点表示，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5.复数的模：向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的（或），

记作（或），即||||z a bi =+＝；

复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2222

||||||||z z z z z z ====?； 6. 常见的结论： ⑴4411n

n i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律：i

，i ＝i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0；

⑵2

(1)i ±= ；

11i i +=- ；11i

-=+ ；

⑶1,22

ωω-

±3设＝则＝；2ω＝；21ωω++＝；【基本训练】

1．若i b i i a -=?-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22

a b +等于． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于． 3．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使2

1z =-的θ值可能是． 4．

2)1(1)1(1i i

i i -++

+-等于______________. 5．已知复数032z i =+，复数z 满足025z i z z -?=，则复数z = _______________. 6．i 是虚数单位，2

82348i i i i i +++++ = ____________.

【典型例题】

例1．已知：复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为： ⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；

练习：复数z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z 10是实数，1 < z + z

10≤6，求复数z.

例2.计算下列各题： ⑴ 5

4)31()22(i i -+ ⑵

2007

)12(321,

32i i

i -+++- ⑶ )125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷i

i i 2332)11(6-++

【课堂检测】

1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵z m ni =+，当且仅当0,0m n =≠时，z 为虚数；⑶如果22120z z +=，则120z z ==；⑷如果123,,z z z C ∈，则221223()()0z z z z -+-≥，其中正确的的命题的个数是． 2．

321i

i ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4

)11(i +＝________；复数z =i

-11

的共轭复数是______；

3．已知复数z =,2

321i +-

则2320081z z z z +++++= ．

4．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________. 5．设)()11()11(

)(Z n i

i i i n f n

n ∈--+-+=，则集合中的元素个数为．

6．已知复数1z i =+，如果i z z b

az z -=+-++11

2，求实数a 、b 的值.

§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵

【基础训练】

1．若复数2

(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数，则实数m 的值为． 2．复数z =

111-++-i

在复平面内所对应的点在． 3．若u =,2321i +-

v =,2

21i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+v u ;⑷2u v =其

中正确的命题是．

4．如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=，则12||z z += ．【典型例题】

例3．设z 为虚数，z

z 1

=ω是实数，且21<<-ω， ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设z

z u +-=

11，求证：u 为纯虚数；⑶求2

u -ω的最小值．

练习：设x 、y 是实数，且i

i y i x 315211-=---，求x y +的值.

例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根.

练习：关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ，设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、

n 的值及复数z 的值．

例5．设关于x 的方程2

(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.

（1）若方程有实数根，求锐角θ和方程的实根；（2）证明：对任意()2

k k Z π

θπ≠+∈，方程无纯虚数根.

练习：已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈.

（1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程；（2）若方程有实根，求此实根的取值范围.

【课堂小结】

【课堂检测】 1．复数

+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2．复数(m 2

– 3m – 4) + (m 2

– 5m – 6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是___________. 3．若复数z 满足|z| - z =

2110

-，则z = _____________. 4．若复数z 满足方程2

20z +=，则3

z = _______；

5．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位），则q = ．

6．设2

86z i =+，求3

100

16z z z

的值.

【课堂作业】

1．已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1，且z 1 + z 2 = i ，求z 1、z 2 .

2．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值.

3．已知复数z 、w 满足w = i

+2，(1+3i)z 为纯虚数，|w| = 52，求w.

4．已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.

5．已知关于x 的方程x 2

– (6 +i)x + 9 + ai = 0（a ∈R ）有实数根b. （1）求实数a 、b 的值；

（2）若复数z 满足|z - a – bi| - 2|z| = 0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.

§85 复数的几何意义⑴

【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义；理解复数及复数加、减运算的几何意义，并能根据几

何意义解决简单问题。

【基础知识】

1.复平面内两点间的距离公式：

两个复数的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离；设两个复数12z z 、在复平面内对应点分别为12,Z Z d 、为点12Z Z 、间的距离，则d = ； 2.常见的复数对应点的轨迹有：已知复平面内定点12z z 、，及动点z ①方程12||||z z z z -=-表示； ②1||(0z z r r -=>为常数）表示；

③12||2(z z z a a -+-=12｜z ｜为正常数，2a>|z -z|）表示； ④12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z|）表示；【基础训练】

1．满足条件|z – i| = |3 + 4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 2.若关于x 的方程x 2

– mx + 2 = 0有一个虚根1 + i ，则实数m 的值为__________. 3．已知3z ai =+，且|2|2z -<，则实数a 的取值范围是_____________.

4．已知复数z 满足|z + 1| + |z – 1| = 2，则z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 5．“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”是“0a =”的条件． 6．若35(

,)44

ππ

θ∈，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在第_________象限. 7．ABC ?三个顶点所对应的复数1z 、2z 、3z ，复数z 满足123||||||z z z z z z -=-=-，则复数z 对应点的是ABC ?的．

8．非零复数12z z 、满足关系1212z z z z ｜+｜＝｜-｜，则1

z z 一定是__________. 【典型例题】

例1．已知复数z 满足2z i +、

z -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2

()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．

练习：已知集合}{

}{

(3)(1),8,3,(1)(2)M a b i N i a b i =++-=-++，同时满足

M ∩

,M N M M N ?≠Φ，求整数a 、b ．

例2.已知四边形OABC ，顶点O 、A 、C 对应的得数为0、32i +、24i -+，试求： ⑴AO 表示的复数， BC 表示的复数；⑵对角线CA 表示的复数；⑶求B 点对应的复数．

练习：1.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ，5 + 2i ，则A 、B 、C 所构成的三角形是____________. 2.复平面内有三点A 、B 、C ，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为12i +，向量BC 对应的复数是3i -，求C 点对应的复数．【课堂检测】 1．若|z| = 1，则

1z z

+一定是___________. 2．如果ABC ?是锐角三角形，则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于． 3．已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 分别对应复数0，1 + i ，3 – i. 试求：（1）和表示的复数；（2）点B 对应的复数.

§86复数的概念及几何意义⑵

【典型例题】

例3．设复数(,)z x yi x y R =+∈，在下列条件下求动点(,)Z x y 的轨迹．

⑴ |2|2z i +=; ⑵|1||1|z i z i ++=--; ⑶|5||5|8z i z i +--=;

⑷ |1|2|1|z z +=-; ⑸||||z i z i ++-=; ⑹||1||1|z z +--=⑺ 3z i =-; ⑻ 3cos 4sin z i θθ=+．

例4．已知z ∈C ，|z – 2| = 1，求|z + 2 + 5i|的最大值和最小值.

练习：1．已知复数z 满足|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为． 2．已知复数(2)(,)z x yi x y R =-+∈的模为3，则1

++x y 的最大值和最小值分别为．

例5．设复数1(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，2cos sin ()z i R ααα=+∈，且2112z z R +∈，1z 在复平面上所对应的点在直线y x =上，求12||z z -的取值范围．

例6．已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足方程||||6z z ++-=， ⑴．求动点(,)P x y 的轨迹方程；

⑵．试问是否存在直线l ，使l 与动点(,)P x y 的轨迹交于不同的两点M N 与，且线段MN 恰被直线12

x =-平分？若存在，求出直线l 的斜率取值范围；若不存在，请说明理由；