2020年河北省高中数学竞赛试题
参考解答与评分标准
说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知53[
,]42
ππ
θ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ
解答：因为53[,]42
ππ
θ∈cos sin cos sin θθθθ--+
2cos θ=。正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）
A. 2
B.
C. 2±
D. ±
42a =?=±。正确答案为C 。
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）
A. 充分且必要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。
4. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45o 弦AB ，则AB 为（ C ）
解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得
21243400,33
x x x x AB -=?==
?==。正确答案为C 。 5. 函数150()51
x
x
x f x x -?-≥=?-
A. 单调增加函数、奇函数
B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数
D. 单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+
52π B. 4+32π C. 4+2
π D. 4+π 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2
π
），所以该几何体的体积为5221342
2
π
π
π??+-
=+
。正确答案为A 。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y L L 若程序运行中 输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ B ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 经计算32x =。正确答案为 B 。
8. 在平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点
(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4
B.8
C. 16
D. 32
解答：平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有
22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤
由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A 。
9. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=-
-在0,2π??
????
上有两个零点，则m 的取值范围为（ C ） A. 1, 12??
??? B 1, 12?????? C. 1, 12?????? D. 1, 12??
???
2
2 2
2
1
2
2
3
1
解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π
=-
与直线y m =在0,2π??
????
上有两个交点，所以m 的取值范围为1
, 12??????
。正确答案为C 。
10. 已知[1,1]a ∈-，则2
(4)420x a x a +-+->的解为（ C ）
A. 3x >或2x <
B. 2x >或1x <
C. 3x >或1x <
D. 13x << 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2
()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由2
2
(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>?<或3x >。 正确答案为C 。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数()2sin
2
x
f x x =的最小正周期为______4π____。 解答：最小正周期为4π。
12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=____6_______. 解答：由1513072S a d =?+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。
13. 向量(1,sin )a θ=r
，(cos b θ=r ，R θ∈，则a b -r r 的取值范围为 [1，3] 。
解答：a b -==r r
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为_90o
_。 解答：因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以 AD ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。即夹角为90o
。 15．设y x ,为实数，则
=+=+)(m ax 2210452
2y x x
y x _____4________。
解答：2
2
2
2
54104105002x y x y x x x +=?=-≥?≤≤
22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-?+≤
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2020的2020只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___300
1710C _______种。（用组合数符号表示）
解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有300
1710C 种关灯方法。 17. 设z y x ,,为整数，且3,33
3
3
=++=++z y x z y x ，则=++2
2
2
z y x _3或57_。 解答：将3z x y =--代入333
3
=++z y x 得到
8
3()9xy x y x y
=+-+
+，因为,x y 都是整数，所以 1428
,,,,25116
x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=?????
???====????前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5x y z x y z ======-。所以=++222z y x 3或57。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。 解答：当2
0,(1)1,x y x ≤=--+ 当
20,(1)1,x y x >=--
---------------------------------- 5分 由
此
可
知
max 0
y =。
---------------------------------- 10分
当2
min 12,2a y a a ≤≤=-；
当min 11,1a y ≤<=-；
当
2min 12a y a a
<=-+。
---------------------------------- 17分
19. 给定两个数列
{}
n x ，
{}
n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得
n j n x y =。
解答：由已知得到：
1112111112(1){1}n n n n n
x x x x x --=+?+=+?+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以1111
1221
n n n n x x +++=?=-。 ----------------- 5分
又由已知，222
11111
(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=?=?+=++
由011121212221
n n
n y n y y +=?+=?=
-， 所以取21n n
j =-即可。 ------------------- 17分
20. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧
一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。 解答：125
(3,0),3
F x -=-
左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。 设1122(,),(,)A x y B x y ，由?????=+
+=116
25)3(22y
x x k y 2222(1625)1502254000k x k x k ?+++-=得2222
1212121222
2
150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=-?=++=-+++ ----------------------10分
设342525
(,),(,)33
M y N y -
-。由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()a y a y y y a x a x ++==--同理。
又
131411111616
(,),(,),0
33
F M y F N y F M F N F M F N =-=-⊥??=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 由已知得，
得
A
212343412325)256,99()()
a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即22
2561625k k -?+2
12325)9()()a a x a x +--（=256,9-整理得 2
2
(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=?=±>-=又所以。
--------------17分
四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计 50 分） 21. 在锐角三角形ABC 中，3
π
=
∠A ，设在其内部同时满足PB PA ≤和PC PA ≤的点P 的全
体形成的区域G 的面积为三角形ABC 面积的3
1
。证明三角形ABC 为等边三角形。
解答：做ABC ?的外接圆O ，做,OE AB E ⊥于,OF AC F ⊥于,OM BC ⊥于M 则G 为四边形AEOF 。又
1
,2223
ABC AEO AOF AOB AOC AEOF AEOF S S S S S S S ?????==+=+四边形四边形
所以1
3
OBC ABC
S S ??=。
--------------------------10分
1
120,302BOC OBC ∠=∠=?o o 由已知则,则OM=R(R 为ABC 外接圆半径)
3
,2
AD BC D AD AO OM R ⊥≥+=作于则
13322
ABC OBC R
S BC S ??≥?=，等号成立当且仅当A 、O 、M 共线，即ABC ?为等边三角形。
--------------------------25分
22. 设+
∈R c b a ,,，且3=++c b a 。求证：
2
3
222≥+++++++++++a c a c c b c b b a b a ，
并指明等号成立的条件。
证明：由柯西不等式
2
21
11
()n
i n
i
i n
i i
i
i a a b b
===≥∑∑∑ 得到
a c a c c
b
c b b a b a +++++++++++22
22
62()
a b c ≥
+++ （1） --------------------10分
（1）式右边的分子
=2()a b c +++
=2())2())a b c a b c +++≥+++L L
22()2(3()a b c b a c a b c ≥+++++=+++
3(3)a b c =+++。
--------------------------20分
等号成立条件是1a b c ===。结论成立。 --------------------------25分
喜讯传来：我院学子在2014亚太地区数学建模竞赛中获奖居榜首 2014年1月20日- 2月20日，我院16个代表队的46名同学受邀参加了由环球竞赛网、MATHOR校苑数学建模网、APUMCM亚太数学建模网、中国教育网共同主办的2014年第三届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛。 今日，喜讯传来，我院学子在中国、新加坡、澳大利亚等亚太地区的参赛队中脱颖而出，获得一等奖3项，二等奖4项，三等奖9项，取得囊括32%全部奖项的瞩目成绩，在澳大利亚昆士兰理工大学、新加坡国立大学、新加坡南洋理工大学、北京大学、国防科技大学、东北大学、上海交通大学、武汉大学、山东大学、中国矿业大学、南京邮电大学、对外经济贸易大学、北京理工大学、华北水利水电大学等70多所参赛高校中，我院的获奖数量和质量均名列榜首。 MCM/ICM国际建模竞赛、教育部高教社杯数学建模竞赛、APMCM亚太杯数学建模竞赛、MathorCup全球数模竞赛被公认为数模领域四大赛事。其中APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛旨在为全球热爱数学建模的莘莘学子提供更好的学习资源和竞赛平台；旨在进一步普及数学建模知识，强化学生应用数学解决社会，自然的相关问题，并增强计算机的理论和编程能力,为亚太乃至全球的学生提供良好的数学建模家园，并为学生创造更多参加数学建模竞赛的机会。 多年来，院领导对数学建模教育高度重视，教务部、教学保障部、学工处、团委、知行书院等部门将数学建模教育的改革成果向全院推广，作为学院实施竞赛教育植入教育体系的重要平台，提升了轻院学子的创新、创造能力，提升了轻院学子的综合素质，为我院的品牌假设做出了重要贡献，特别是本次竞赛的突出成绩，在有力证明我院实施竞赛教育、推行品牌建设等人才培养理念成效的同时，也进一步提高了我院的知名度和影响力。 2014年第三届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛获奖名单
团情快讯 第130期 主办：河北农业大学团委 2013年4月22日本期目录： ◇农学院团委开展宿舍安全卫生系列教育活动 ◇动物科技学院团委举办卡拉OK大赛 ◇经济贸易学院团委举办百科知识竞赛 ◇艺术学院团委师生参加金钟奖大赛 ◇植物保护学院团委举行学生会换届仪式 ◇外国语学院团委举办职业生涯规划设计大赛 ◇动物科技学院团委考察并洽谈校企合作事宜 ◇现代科技学院团委学生会举办礼仪风采大赛 ◇信息科学与技术学院团委举办IT好声音活动 ◇理学院团委举办驻保高校师资礼仪大赛 ◇动物科技学院团委学生参加全国主题征文活动 ◇食品科技学院团委召开部署安全教育工作会议 ◇外国语学院团委学生参加大学生日语演讲比赛 ◇资环国土学院团委举办世界地球日活动 ◇信息科学与技术学院团委举办职业生涯规划大赛 ◇动物科技学院团委举办职业规划设计大赛 ◇现代科技学院团委社团联合会举办相声社汇报演出 ◇植物保护学院团委召开公寓安全隐患及卫生检查大会
农学院团委开展宿舍安全卫生系列教育活动4月份以来，农学院团委对全院学生宿舍进行了全方位检查，在检查中发现部分宿舍存在卫生较差现象，时值春季火灾和传染病高发季节，为消除学生公寓存在的各种安全隐患，建设良好的公寓生活环境，确保学校安全稳定，农学院团委决定对学生公寓进行安全隐患排查，对全院学生进行安全教育。正式启动“防止安全隐患保证宿舍安全”系列教育活动。 此次宿舍安全教育紧贴当前学校“安全纪律教育月”活动，对全院学生进行安全知识普及教育，教育活动把重点放在宣传公寓防火常识、预防春季流行性疾病、传染性疾病、安全用电和公寓卫生保持等几个方面。同学们不仅积极响应，更是从日常生活等方面做起，认真贯彻落实学院相关教育活动内容。 本次宿舍安全教育活动有利于提高同学们安全防范意识，为消除安全隐患，创造和谐宿舍环境奠定了基础，同时也推动了学院宿舍安全活动深入开展。（农学院团委供稿） 动物科技学院团委举办卡拉OK大赛 4月14日，由动物科技学院团委学生会主办的“唱响青春，畅想未来”主题的卡拉OK大赛在图书馆2104成功举办。 经过紧张的初赛后，10名选手脱颖而出进入决赛。决赛过程中，选手们个个精神焕发、洒脱大方，用优美的歌声积极展现当代大学生的良好风貌。古典老歌情深意浓，现代流行音乐激情四射，令在场的评委和同学们连连拍手称赞。中场时分，我院学生会、科协、就业创业协会主席的助阵演唱更是将比赛再次推向高潮。经过个人表演、听伴奏猜歌名、及两人PK三个环节的激烈角逐，动药1201班米佳飞以深厚的唱功打动了评委和在座的同学，一举夺冠。 此次比赛不仅丰富了我院学生的课余文化生活，更是给了那些喜欢唱歌表演的同学们提供了一个展示自我的舞台，同时也彰显了我院学子向上、青春、自信、乐观的精神风貌。（动物科技学院团委供稿）
高中数学知识应用竞赛试题 1、（满分15分）《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表： 后的余额。例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元。 （1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0 甲方案：从北京出发飞往美国纽约，再从纽约飞往圣地亚哥。 乙方案：从北京出发飞往澳大利亚的弗里曼特尔，再从弗里曼特尔飞往圣地亚哥。 为简单起见，我们把北京的地理位置粗略地认为是：东经120度，北纬40度；纽约的地理位置大致是：西经70度，北纬40度；澳大利亚的弗里曼特尔的地理位置大致位置是：东经120度，南纬30度：智利的圣地亚哥的地理位置大致是：西经70度，南纬30度。假设飞行航线走的都是球面距离，请你比较这两种方案哪一个飞行距离更短些？说明理由。 4、（满分15分）用车床加工某种圆柱形零件，是在圆柱形零件的轴旋转和车刀直线运动的过程中切削完成的。我们把零件放置一周车刀沿零件轴线所移动的距离称走刀量，把刀刃切削零件的深度称为吃刀深度。现在要把长800mm，直径为10mm的轴的一端加工成长为400mm，直径为8mm的轴，如图所示。 已知走刀量是0.1mm，吃刀深度是0.2mm，轴的转速是每分钟800转；工人从车床上卸下一根加工好的轴，再装上一根待加工的轴需要10秒钟；每位工人每天的有效工作时间是7.55小时。 某车间有12台车床，24名工人，现要在5天内完成加工1980个这种零件。如果加工零件过程中其余操作时间忽略不计，请你提供一个能够按时完成任务的生产方案，并说明理由。 5、（满分20分）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产用地。但根据前几年抗洪救灾的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：（1）若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+ 第二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（100名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级尤纪帆女首师大附中高二邱亦文女北京二中高二刘宇轩女首师大附中高二周钰斌男北京十五中高二李怡婷女朝阳外国语学校高二包涛尼男民大附中高二王沐烑女北京二中高二王一丁男牛栏山一中高二孙亦非男北京五中高一尹子朔男陈经纶中学高二张雨桥男北京八中高二沈畅男北京铁二中高一邓瀚辰男汇文中学高二刘曦瑞男北京八中高二潘乐怡女北京八中高一王波添男清华附中高二曲天泽男北京二中高二柳一欣女北京二中高二陈思蕊女北京十二中高二梁一栋男北京五十七中高二李宁政男陈经纶中学高二蔡恒屹男潞河中学高二辛宇正男陈经纶中学高二谭励彦男十一学校高二王筱男北京四中高二孙文杰女北京四中高二李济泽男景山学校高二董思尧男北京五中高一王燕杰男北京四中高二刘韫滕男民大附中高二李江皓男民大附中高二陈辰男景山学校高一贺禹杰男北京四中高二程锐杰男北京八中高一姚智铭男北京八中高一席浩诚男北京八中高一沈靖开男民大附中高二罗睿韬男北京九中高二杨天昊男北京一七一中高二王若晨女北京四中高一周浩男北京二中高二赵博熙男北京四中高一王震男北京二中高二都欣然女朝阳外国语学校高二刘心怡女北师大附中高一熊开元女清华附中高二刘宇轩男民大附中高一朱函琪男首师大附中高二刘发源男民大附中高二唐子涵女北京一六一中高二许一先男北京八十中高一桂子轩男北京十九中高一马欣仪女北京二中高一李藩女北京一零一中高二陆子恒男汇文中学高二王思雨女北京一七一中高二周永斌男民大附中高二蒋涵锐男八一学校高一刘逸洋女牛栏山一中高二金志扬男北京八中高一钱成男清华附中高一刘宇时男北京二中高一董子奇女北京四中高二王晨奥女北京二中高二何凯男北京五中高二马成男北京一零一中高二王秭祺男北京五中高一任悦妍女北京一七一中高二罗瑞辰男北京一六一中高二李原草男民大附中高二马礼骞男陈经纶中学高二汪之钧男大兴一中高二涂腾男景山学校高二周思耘女首师大附中高二杜鹏程男中关村中学高一张艺涵女北京四中高一阳超然男北京八十中高二于知衡男北理工附中高一付思成男北京二中高一向柯帆男民大附中高二何宜珊女北京一零一中高一王观嵘男北京二中高一康博睿男民大附中高二孙琢璠女北京五中高二韩明夏男北京十五中高一杨晨鹭女北京一七一中高二安宇佳女昌平二中高二张怡淼女牛栏山一中高二 2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数( )) ()ln 10f x ax a =+>，则()1l n l n f a f a ?? += ??? ． 答案：2 提示： ()( ) )) ()2222ln ln 2ln 12 2. f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+= 2.设A 、B 两点分别在抛物线26y x =和圆()2 2 :21C x y -+=上，则AB 的取值范围 是 ． 答案：[)1,+∞ 提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而 ()()()222 22 2 2262413, AC x y x x x x x =-+=-+=++=++ 又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα?? =<≤< ?? ? ，则αβ-的最大值为 ． 答案： 6 π． 提示： ( )2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 2 1 3tan tan tan .36αββ αβαββ β β π--= = ++= +≤ = 因为02πβα<≤<，所以0.2π αβ≤-< 所以6παβ-≤，即αβ-的最大值为.6 π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小 值为 ． 提示：由题意可知，,4 CDB π ∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为 .2 π 如图，将侧面BDA 和侧面 CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的 最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长． 由前面的分析可知， 1212 3.244 B DB B DA AD C CDB ππ π ∠=∠+∠+∠=+= 由余弦定理可得， 12B B === 所以，△BEF 5.已知函数()3 3f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()() 820x f mx f -+<恒成立， 则正实数x 的取值范围为 ． 答案：0 2.x << 提示：由于()3 3f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()() 820x f mx f -+<等价于 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 ——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门 第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分） 高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 试题 一、窗户造型（满分15分） 《中学生数学》杂志2000年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。建筑物上有一 个窗户的造型如下图所示。图中弧AB和弧AC分别是以C和B为圆心BC长为半径的圆弧．☉、☉ 和☉两两相切，并且☉、☉与弧AB相切，☉、☉与弧AC相切，☉、☉的 半径相等．如果使☉、☉充分大，记BC的长度为a，请你计算出☉的半径，并给出这个圆的作法． 二、买房贷款（满分20分） 根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》（第十一条）“借款人应和贷款银行制定还本付息计划，贷款期限在一年以上的，按月归还贷款本息”的规定，为方便贷款银行操作和选择，中国人民银行具体规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法，允许借款人和贷款银行在双方商议的基础上做出选择． 第一种办法是等额本息还款法，其还款方式已经在1999年第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题的第3题中作了介绍，并要求给出月均还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式．按照这些公式不难算出，一个人如果从银行得到买房贷款40万元，计划20年还清贷款，按规定贷款的年利率应为5.58％（折合月利率4.65％。），这时贷款人的月均还款额应为0.27696万元，还款总额为66.4717万元，利息负担总和为26.4717万元． 第二种办法是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），指在贷款期间内，每月除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金．这样一来，每月偿还的贷款的利息将随本金的减少而逐月递减．因此称之为等本不等息还款法．如果这个贷款人选择了等额本金还款法在20年内偿还他所借的40万元贷款，他只需要偿还本息总合62.413万元，其中利息负担的总合为22.413万元，比前一种还款方法少支 山西省大学生学科竞赛管理办法（试行） 第一条为进一步规范各类大学生学科竞赛活动，鼓励在校大学生踊跃参加各类学科竞赛，鼓励高校教师积极支持和指导学生参加学科竞赛活动，充分发挥学科竞赛在创新创业、人才培养中的作用，特制订本管理办法。 第二条本办法所指大学生学科竞赛是指由政府职能部门、教育部教学指导委员会、企业或行业学会及其他学术团体举办，由高校在校大学生参加的与学科专业紧密相关的课外科技竞赛和创新创业竞赛活动。 第三条山西省大学生学科竞赛，按照竞赛举办主体、赛事规模及影响力大小而划分，分为超级竞赛、一级竞赛、二级竞赛及三级竞赛。 超级竞赛：指由多个国家部委联合组织的具有超强影响力的综合性国家级竞赛，具体项目由省教育厅认定。 一级竞赛：指由国家部委、教育部教学指导委员会及国际性和全国性学术团体组织的影响力较大的学科竞赛，具体项目由省教育厅认定。 二级竞赛：指由省级政府有关部门、企业或行业学会及其他学术团体组织的具有一定影响力的学科竞赛，包括一级及以上学科竞赛的省（区）级选拔赛、省教育厅重点支持赛事及其他有关赛事，具体项目由省教育厅与各高校共同认定。 三级竞赛：指由各高校组织的校级学科竞赛，及各类各级别学科竞赛的校级选拔赛，具体项目由各高校自行认定。 第四条山西省大学生学科竞赛工作由省教育厅高等教育处指导并监督。超级竞赛和一级竞赛须成立省级竞赛工作组委会，二级竞赛首次举办应向省教育厅备案。 第五条各高校应对积极参加学科竞赛的学生、指导教师给予支持和鼓励，并对在竞赛中获奖的学生和指导教师给予一定奖励。学科竞赛中获奖级别由各高校以竞赛主办单位颁发的证书或文件为依据进行认定。一次参赛多次评奖的竞赛项目，或同一竞赛项目（参赛者）在不同级别竞赛中获奖，参赛学生或指导教师均按最高获奖等级进行一次性奖励。 （一）学生奖励 1.凡参加竞赛的学生，均可获得一定的创新实践学分奖励。创新实践学分可与教学学分进行置换互认。 2.依据获奖等级的高低，给予获奖学生相应的奖金或设定专项奖学金奖励。 3.对在二级及以上的学科竞赛中获得（省赛及以上竞赛）三等奖及以上奖项的学生，在评奖评优等环节给予相应加分。 4.对在一级及以上的学科竞赛中获得一等奖及以上奖项的学生或团队第一负责人，可授予“大学生创新创业标兵”等相应荣誉称号，符合推荐免试研究生基本条件的，可酌情给予免试推荐资格。 （二）指导教师奖励 2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。 高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、（满分汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B 两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系： 如果仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为时，它的体重大约是多少（选择答案：25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表： (1)请在坐标纸上，根据表中的数据，用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可是奖励券，或二者合计），就送励券；满，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。当日，花钱最多的一顾客用现金70000元，如果按照酬宾方式， 数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。 第二十届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（88名） 姓名性别年级学校姓名性别年级学校 林左男高二朝阳外国语学校房捷轩男高一北京一零一中周梦怡女高一北京五中李滟蔚女高一人大附中 张诗雯女高一汇文中学何凯男高一北京五中 黄天行男高一汇文中学杨浥文女高一北京二中 王思雯女高二首师大附中石玉峰男高三东直门中学 邓凌浩男高二民大附中谭励彦男高一十一学校 张子研男高一海淀进校附属实验学校李聪睿女高一北京八十中 刘向北男高一首师大附属回龙观育新学校彭江祎男高二北京十二中 许文灏女高二北京一七一中赵嘉莹女高一北京五中 孙弘业男高二牛栏山一中许轩卓男高二密云二中 刘云鹏男高二北大附中刁畅女高二牛栏山一中 臧玉喆男高二北京一七一中蔡亚伦男高一北京二中 刘雨航男高二十一学校秦梦陶女高一清华附中 王奕然男高一北师大附中孟雨凡男高二八一学校 岳璞阳男高一北京十五中张凯风男高一汇文中学 郑晏陶男高一北京二中李雪桐男高一北京五中 昕琦男高二民大附中陈瀚玮男高二牛栏山一中 屠俊天男高二北京五中张一清男高一北京一七一中冯一辰男高一北方交大附中余诗跃男高一中关村中学 付博文男高一民大附中简捷女高一京源学校 权衡男高二朝阳外国语学校周昊辰男高二北京三十五中郭世圆男高二北京一零一中夏铭轩男高二朝阳外国语学校陈冬宇男高一北京二中赵云男高一京源学校 杜懿中男高二北京一七一中李宗泽男高一北师大附中 李祥泽男高二北京二中张宇伦男高二北京一零一中宋心仪女高二北京二中程诗灏男高一北京八十中 邱亦文女高一北京二中陈柏健男高二昌平二中 李天琦男高一景山学校王斌男高二昌平二中 贾泓翰男高二密云二中张朴哲男高二牛栏山一中 魏英暄女高二民大附中史天依男高二大峪中学 李修凡男高二大兴一中李润男高一北京五十七中刘鹿鸣男高一北京四中朱玥华女高二北师大实验中学刘孟琦女高三东直门中学徐沛然男高一北京二中 袁慧华女高二北师大实验中学胡凌女高一人大附中 关美格女高一北京八中王右葭女高一北京四中 姜腾男高二北师大实验中学高楚琪女高二北京二中 张博然男高一人大附中胡茗智男高一民大附中 曹广川男高二牛栏山一中范一凡女高一朝阳外国语学校尹子朔男高一陈经纶中学李国盛男高一汇文中学 吴英图男高二北师大附属良乡中学王子睿涵女高三东直门中学 闫朔男高二延庆一中袁佳音女高二牛栏山一中 李怡然女高二大兴一中郑佳怡女高二牛栏山一中 李博文男高二北京二中刘天启男高二朝阳外国语学校唐仡夫男高一东直门中学侯东良男高二北京一七一中 河北省第十八届小学生“雏凤杯”作文竞赛征稿启事 一、参赛对象： 在校小学生。不收取任何参赛费。 二、参赛内容： 1、参赛同学可以从平时习作中选取一片自己的“得意之作”。 2、参赛同学还可以参考一下内容：（可以附上配合作文内容的照片和图画） 低年级参考内容：（1）用笔画一画他或她的样子，然后再写一写发生在他（她）身上的那些有趣的故事吧！（2）看到“小河、太阳、大山、小树”这些词语时，你的脑海里一定构成了一幅美丽的图画，请你根据画面的内容想象一个美丽的故事吧。（3）以“我是一个的孩子”为题目，写一写你自己的故事。先将题目补充完整，可填上爱看书的、贪玩的、爱吃“零食”等……然后选择具体的事例写，要求叙述清楚，语句通顺。 中年级参考内容：（1）《小镜头，大世界》我们每天看电视是，会看到记者再用自己的镜头记录着生活，向观众介绍着这个世界的角角落落发生的事。如果你是一名记者，你打算向观众介绍些什么？到处转转，走走，看看，把你看到的介绍给大家吧。（2）“你喜欢老鼠吗？”看到这个问题，同学们肯定会说：“那讨厌的东西谁喜欢它呀？”如果你喜欢度儿童文学，你会发现写老鼠的书非常多。因为老鼠有灵性、生命力强、特别是小白鼠对人类的贡献非常大。请你用老鼠作为你文章中的一个人物，写一个有 意思的童话故事。（3）请同学们联系身边的事物，写一篇观察日记。把自己做过的，看到的，听到的以及感受到的事情写下来，事情的大小、好坏并不是重要的，只要自己觉得有意思，既可以写。 要求：语言通畅，叙述清楚，表达生动，重点突出，有真情实感。高年级参考内容：（1）安徒生爷爷像一个善良的使者，他用自己手中的笔，以优美的文字，抒写出一个个美丽的童话。一只《丑小鸭》让我们看到在苦难与不幸中磨砺，最后展翅高飞的白天鹅；《海的女儿》让我们为之留下多少眼泪……你一定也十分喜欢安徒生这位老人吧！那就对安徒生爷爷诉说自己阅读他的童话时内心涌动的情感与想法，或者与他笔下的哪位主人公一起心灵对话……让我们一起用手中的笔走进一个真善美的童话世界。 要求：语句通顺，意思完整，能写出自己真情实感。题目自拟，体裁不限。 （2）冰心奶奶曾说：“童年是梦中的真，是真中的梦，是回忆时含泪的微笑。”每个人的童心世界都是五彩斑斓、真切动人的。赶快拿起手中得比告诉我们吧！可以时你童年难以忘怀、记忆犹新的事，也可以是潜藏在内心的憧憬和美妙的想象。 要求：语句通顺，意思完整，文章有一定的条理，能写出自己的真实想法，题材不限。 （3）我的绰号(网号)。提示：写请你的绰号（网号）是什么，它的由来，它给你带来了方便还是麻烦，欢乐还是痛苦。 1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（ ）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（ ） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四 面体ABCD 的体积等于（ ） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1） ，a n =1}， 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一) 高中数学竞赛讲义（一） ──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。 定义3 交集， 定义4 并集， 定义5 补集，若称为A在I中的补集。 定义6 差集，。 定义7 集合记作开区间，集合 记作闭区间，R记作 定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有： （1）（2）； （3）（4） 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即 （3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 [证明]（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。 例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足 ，求集合M（用A，B表示）。 高中数学奥林匹克竞赛 奥数学林匹克竞竞～竞称奥数。年和年～竞竞竞始在列格勒宁和莫斯科竞竞中竞竞～学数学19341935 并冠以数学奥林匹克的名～称年在布加勒斯特竞竞第一届国数学奥竞竞竞竞林匹克。竞竞竞竞国数学奥1959 林匹克作竞一竞竞性竞事～由竞国国数学教育竞家命竞。 我的高中竞竞分三竞,每年国数学月中旬的全竞竞～次年一月的国;冬令竞,～次年三10CMO月竞始的家国集竞竞的竞竞竞拔。与 “全高中竞竞国数学”;竞竞于年,～承竞方式初中竞竞相同～每年与月竞行～分竞一竞和198110二竞～在竞竞竞竞中取得竞成竞的全竞异国名生有竞格加由中主竞的“学参国数学会中林国数学奥90 匹克;,竞全中生冬令竞”;每年元月,。国学数学CMO 全竞竞分竞一竞、加竞国数学(即称俗的“二竞”)。各省自己竞竞的“初竞”、个份“初竞”、“竞竞”等等～都不是正式的全竞竞名及程序。国称一竞 全高中竞竞的一竞竞竞大竞～完全按照全日制中《大竞》中所竞定的要求国数学学数学教学教学 和容～高考所竞定的知竞范竞和方法～在方法的要求上略有提高～其中率和内即概微竞分初步 不考。 二竞 平面何几 基本要求,掌握初中竞竞大竞所定的所有容。确内 竞充要求,面竞和周竞方法。 几个重要定理,梅涅竞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极竞,到三角形三竞点距之和最小的点离——竞竞点。到三角形三竞点距的离平方 和最小的点重心。三角形到三竞距之竞最大的点重心。——内离—— 几何不等式。 竞竞的等周竞竞。了解下述定理, 在周竞一定的竞形的集合中～正竞形的面竞最大。n n 在周竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的面竞最大。 在面竞一定的竞形的集合中～正竞形的周竞最小。nn 在面竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的周竞最小。 几运何中的竞,反射、平移、旋竞。 竞数方法、向量方法。* 平面凸集、凸包及竞用。 代数 在一竞大竞的基竞上外要求的容,另内 周期函数与周期～竞竞竞竞的函的竞像。数三倍角公式～三角形的一些竞竞的恒等式～三角不 等式。 第二竞竞法。竞竞～一竞、二竞竞竞～数学特征方程法。 函迭代～求数次迭代～竞竞的函方程数。n** 个竞元的平均不等式～柯西不等式～排序不等式及竞用。n 竞的指形式～数数欧拉公式～美弗定理棣～竞位根～竞位根的竞用。竞排列～有重竞的排列竞合。竞竞的与竞合恒等式。全国大学生数学竞赛试题及答案
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