等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见
常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、
“勾股比1:1：√2”、“45°好角辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。
今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有
些难度，非常漂亮。经过“见招拆招”+“破解分解”竟然可以“获得”一连串
等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，
结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何题！
题目：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点，点E 在AC上，点F在BC上，∠EDF=90°，边AF，若∠CAF=2∠BDF，
AE=3，则DF=_________
下面就如何“真实而自然”利用“基本图形”去“拆解破解”这道题！
1.看到“AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点”，马上想到连接CD，得
到“直角三角形斜边中线等于斜边一半：CD=AD=BD”,CD三线合一垂直AB；再结合“∠EDF=90°”马上能得到“两组全等”，如图，同色三角形全等。证明方法很多，也不太困难，若用“旋转思想”，则可以“秒证”！而且由DE=DF，可以得到直角三角形△DEF是等腰直角三角形！如图：
2.连接EF，可以得到“8字型相似”：两个45°角相等+对顶角相等。右图可得图上有三个α相等。
3.将直角三角形△FEC沿着CF向外“翻折”，可得：①第四个α角相等（如图）；②CF=CE，且和AE“共线”（垂直邻补角）
4.如上面第3点，∠GAF=∠EFG,并∠G=∠G,显然这又是“偏A型相似”，如图：染色两个三角形相似。而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF 也是等腰三角形！漂亮！“竟然”有如此漂亮的美丽结论在后面等着！
5.“谋定后动”后面可以“定量计算”了！如图，设EC=CF=x,则等腰△AGF中AF=AG=AE+EF=3+2x，而“旋转全等”（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3,又AC=AE+EC=3+x;显然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以计算出：x=1.
6.如上，x=1求出来后，就可以“发起最后的冲锋了”！在直角三角形△CEF 中，EF=√（1+3^2）=√10，而直角三角形△DEF是等腰直角三角形！
DF=EF/√2=√5，口算解决！
本题解法一路“翻山越岭”，解题过程一路“忍难拼搏”，“一曲肝肠断”，殊为不易！
上述解题过程6大步骤，“起承转合”做到“润滑自然”要费点“几何功力”+“大胆尝试”。
更多是基于对“常见图形，基本结论”的“敏感性”+“合理想象”+“辅助线补全构建”+“对接促成”让题目所有条件都能“有机关联”起来。
当然本题，还可以从∠CAF=2∠BDF的“半倍角”入手去“巧妙构造”，那是另一番解题境界，限于篇幅，在此不表。
《等腰三角形》教学设计 【教材分析】 1、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位， 是构成复杂图形的基本单位 2、本节内容是《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学 已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角 度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用 3、等腰三角形是在《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学 习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特 殊结果的重要之处。 4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出 发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。 【教学对象分析】 1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分 发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。 3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以 兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。 【教学目标】 知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。 技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。 情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。 【教学重点、难点】 重点：1、等腰三角形对称的概念。 2、“等边对等角”的理解和使用。 3、“三线合一”的理解和使用。 难点：1、等腰三角形三线合一的具体应用。 2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析。 【教学手段】 1、使用导学法、讨论法。 2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论。 3、运用多媒体辅助教学。 【教学过程设计】 1、学生活动 预习相关概念及定理 【教学设想】培养学生良好的学习习惯 教师活动 课题引入：让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了 角度不同外还有什么区别”在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。 【教学设想】在小学知识和第八章三角形知识的基础上，学生比较容易得到结论。
全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）
3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找
全等三角形、轴对称测试题 一、选择题1、下列说法正确的是（ ）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 C ．所有直角三角形都不是轴对称图形 D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ． A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 5、如图：D E 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28 6、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫 做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 8、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是 ( ) ． A C B A ' ' C ' 图2 图1 E D C A l O D C B A
知识链接：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的较复杂的题目是很有帮助的. 等腰三角形课后提高 一基本图形 1.（1）已知：OD 平分∠AOB ，ED ∥OB .请说明：EO=ED . （2）已知：OD 平分∠AOB ，EO=ED .请说明：ED ∥OB. （3）已知：ED ∥OB ，EO=ED .请说明：OD 平分∠AOB . 2如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数． 改编为： (1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角． (2)你能求出各角的度数吗? 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形． 1．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D .求：∠ADB 和∠CDB 的度数. 2．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD =30°，AD=AE . 求：∠EDC 的度数. 3．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 1
E D C B A 4．等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（） A.顶角 B.顶角的两倍 C.顶角的一半 D.底角的一半 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20o， AD＝AE，则∠EDC= ． 6．如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证BD=CE 7如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，猜想∠ABC和∠C的关系，并说明理由． 8．如图，已知在△AB C中，在AB上取一点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于点G，有DG=GE，试说明：AB=AC. 小贴士：线段和差的问题通常可通过在长边上 截取和短边上补长的方法构造全等三角形来解 决，我们把这种方法称为截长补短法.
全等三角形与轴对称图形测试题(1) 姓名：_____________ 1. 下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等 的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有()A 、3 个B 、2 个C 、1 个D 、0 个 2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS'来判定全等，那么一定也可以依据“ASA来判 定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要 判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 3. 已知：在厶ABC中，AD为/ BAC的角平分线，DE丄AB, F为AC上一点，且/ DFA=100°,贝U ( ) A.DE>DF B. DE 第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形（第1课时） 会宁县桃林中学王伟彦 一、教学目的 1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。 二、教学过程 ⑴（整体浏览课本，确定学习目标） 1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。 2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。掌握等边三角形的相关特征。 ⑵创设情境导入新课 1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。 ⑶动手操作探求新知 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 1. 思考 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 （2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ （3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？ 2.归纳 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高 (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。 等腰三角形的特征： 1）.等腰三角形是轴对称图形 2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）.等腰三角形的两个底角相等。 3.推理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 （也称为“三线合一”）. 证明：因为AD是角平分线, 所以∠BAD= ∠ CAD 在ΔABD和ΔA CD中, 因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD 所以ΔABD ≌ΔACD 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90? 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 ⑷知识推广 1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？ ⑸知识应用 9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 全等三角形轴对称测试题 班级：_________ 姓名：___________ 小组：__________ 分数：___________ 【错题滚动】 1.锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ） A.6090α?≤2b ），以a 、b 为边作等腰三角形，则（ ） A. 只能作以a 为底边的等腰三角形 B. 只能作以b 为底边的等腰三角形 C. 可以作分别以a 、b 为底的等腰三角形 D. 不能作符合条件的等腰三角形 6.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8：00的是（ ） A. B. C. D. 7.如右图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（ ）． A. 18° B. 20° C. 22.5° D. 30° 8.如图，在△ABC 和△FED 中，AC=FD ，BC=ED ，要利用“SSS”来判定△ABC 轴对称图形与等腰三角形 一、选择题 1．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．正方形的对称轴的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．C．D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6 C．9 D．3 6．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（） A．B．1 C．D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．C．D． 9．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（） 等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． ` 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（) A．30°D．32° C 36°D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． \ 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 初中数学 轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y） 9、等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2. 如图，已知：ABC ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D 师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？ 生：回答 师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？ 生：回答 师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。 一、认识三角形 1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形。“三角形”可以用符号“Δ”表示。 2 、三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180度。 3、三角形外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。 （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。 4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。 5、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、 等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的三条中线交于一点。这个点是三角形的重心。 全等三角形及图形轴对称 7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个 角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于 一点。 8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足 之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形三条高所在直线交于 一点。 9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。 直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于 直角顶点。 钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部， 三条高所在直线交于一点。 10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △ =1/2×底×高。 11、三角形具有稳定性 二、图形的全等 1、全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。全等图形的形状和大都相同。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 记作：△ABC≌△A 1B 1 C 1 要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全能三角形的对应顶点、对应边、对应角 对应顶点：互相重合的顶点叫对应顶点。点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：互相重合的边叫对应边。AB和A 1B 1 ，AC和A 1 C 1 ，BC和B 1 C 1 对应角：互相重合的角叫对应角。∠A和∠A 1，∠B和∠B 1 ，∠C和∠C 1 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三、探索三角形全等的条件 （1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 《轴对称图形与等腰三角形》单元测试题 姓名：_______ 学号：_____ 分数：_____ 一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共24分） 1.下列图形不一定是轴对称图形的是 ( ) A.半圆 B.梯形 C.直角 D.矩形 2.( ) A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个 3.若等腰三角形的一个底角为α，则( ) A.0°＜α＜90° B.90°＜α＜180° C.α≤45° D.α≤90° 4.等腰三角形的边长是3和8，则它的周长是( ) A.11 B.14 C. 19 D.14或19 5.小明从平面镜中看到背后墙上的电子钟显示的时间为15∶21，这时的实际时间是( ) A.15∶12 B.21∶15 C.15∶21 D.12∶15 6.等腰三角形的周长为24，其中一边的长为7，则与它相邻的另一边的长是( ) A.7或10 B.7或8.5 C. 8.5或10 D.7或8.5或10 7.下列说法错误的是( ) A.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 B.等边三角形是轴对称图形 C.轴对称图形的对应边相等，对应角相等 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 8.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形( ) A.是直角三角形 B.是锐角三角形 C.是钝角三角形 D.其形状无法确定 二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共24分） 9.汉字、英文字母和阿拉伯数字0～9中有不少是轴对称图形，如“中”、“A”、“8”，请再写出三 个是轴对称图形的汉字：_____，_____，_____；三个是轴对称图形的英文字母：_____，_____，_____；三个是轴对称图形的数字_____，_____，_____. 10.如图1，△ABC是轴对称图形，MN是它的对称轴；MN将△ABC分成△ABE和△ACE，△ ABE和△ACE关于直线_____成轴对称. 11.如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，则∠ADC的度数是_____， ∠BAD的度数是_____. 12.在图3中分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N. 若P1P2=8cm，则△PMN的周长是_____. 13.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，∠CAE∶∠BAE =1∶2，则∠B的度数是_____. 14.等腰三角形的一个底角为50°，则这个等腰三角形的顶角平分线与一腰的夹角是______. 15.等边三角形的两条高相交所成钝角的度数是________________. 16.将一张正方形白纸，沿对角线对折后得到一个等腰直角三角形，在这张重叠的纸上剪出一朵 1.主要知识点： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边） 2.主要性质： （1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 （2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 （3）.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 3.判定： （1）两边相等的三角形为等腰三角形 （2）两底角相等的三角形为等腰三角形 （3）中线和高合一的三角形为等腰三角形 （4）角平分线和高合一的三角形为等腰三角形 （5）一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形 4.特殊的等腰三角形------等边三角形 4.1定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三 角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则 说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 4.2性质： ⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互 相重合。 ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条 边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.3判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。 4.4反证法： 4.4.1定义：假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 4.4.2一般步骤： 应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 5.直角三角形中，30度锐角的性质： 直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 典例分析 例１.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，求此三角形的周长 第15章轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 专题一轴对称性质的应用 1.如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（） 2.已知，如图（1），Rt△ABC ≌Rt△ADE，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的 点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后 选择一种关系予以证明． 专题二规律探究题 3.通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形. 4.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐 标是（a，b），则经过第2019次变换后所得的A点坐标是________． 专题三操作题 5.小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图 形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是 ．．轴对称图形的是( ). 6.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你 用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形. C A B D F E y x O A B C y x O y x O y x O y x O 第1次 关于x轴对称 第2次 关于y轴对称 第3次 关于x轴对称 第4次 关于y轴对称 B Ａ D C 图甲 图乙 专题四 图案设计题 7.用四块如图a 的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图b 、图c 、图d 中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）. 15.2 线段的垂直平分线 专题一 线段垂直平分线知识的应用 1.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ， 求证：BE +CF ＞EF ． 2.△ABC 中，∠A =90°,AB =AC ,D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且AD =AE ，CD 为EF 的中垂线，求证BF =2AD . 3.已知，如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE =DF ．求证：AD 垂直平分EF ． 合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下： 学生甲：因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上（?到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD 垂直平分EF ． 学生乙：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，DE =DF ，AD =AD ，?所以Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）,所以AE =AF （全等三角形的对应边相等），所以A 点在图 a 图c 图 d 图b M xx .. .. yy............................................................................................................................................................................................... 第15章小结与复习 【学习目标】 1．通过巩固复习，对本章知识有整体认识； 2．熟练应用与线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形、等边三角形相关的性质与判定解决问题． 【学习重点】 掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用． 【学习难点】 轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用 ． xx .. .. yy...............oo............................hh.................................................................................................................................................... 行为提示： 创设情境，引导学生探究新知． 情景导入生成问题 说明： 引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，教学时，边回顾边建立知识框图． 行为提示： 教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 学习笔记： 行为提示： 找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决． 积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．自学互 研生成能力 知识模块一轴对称与轴对称图形 一．选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1. 下图中的轴对称图形有（ ）． A ．（1），（2） B ．（1），（4） C ．（2），（3） D ．（3），（4） 2．下列两个三角形中，一定全等的是（ ）． （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 3．下列条件中不能作出唯一直角三角形的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 4．如图4所示，共有等腰三角形（ ） Ａ．4个 Ｂ．5个 Ｃ．3个 Ｄ．2个 图7 5．如图5，在直角ABC △中，90C =∠，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，且 2E B C E B A =∠∠，则A ∠等于（ ） Ａ．20 Ｂ．22.5 Ｃ．25 Ｄ．27.5 6．如图6所示，已知AB=AC ，PB=PC ，下面的结论：①BE=CE ； ②AP ⊥BC ；③AE 平分∠BEC ；④∠PEC=∠PCE ，其中正确结论 的个数有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个 7．如图7,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使ΔABC ≌ΔAED 的条件有( )个. A.4 B.3 C.2 D.1 8．平面内点A （-1，2）和点B （-1，6）的对称轴是（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y=4 D ．直线x=-1 9. △ABC 中，AB ＝AC ，三条高AD ，BE ，CF 相交于O ，那么图8中全等的三角形有（ ） 2 1 E D C B A 第十三章 轴对称 第一节 轴对称与轴对称图形 一、课标导航 二、核心纲要 1．线段的垂直平分线（中垂线） （1）定义：经过线段的重点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （3）判定：到一条线段两个端点距离相等的店，在这条线段的垂直平分线上． （4）画法：分别以线段AB 两个端点为圆心，大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧交于两点C 、D ，作直线CD ，则直线CD 是线段AB 的垂直平分线（如右图所示）． 2．轴对称 （1）轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形就叫做轴对称图形．这条直线是对称轴． 注：①轴对称图形指的是一个图形，它被对称轴分成的两部分互相重合； ②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条； ③对称轴是一套直线． （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就说 这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． （3）轴对称、轴对称图形的性质 ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； ③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称． （4）轴对称作图 ①画图形的对称轴：找出轴对称图形的任意一组对称点，连接对称点，得到一条线段， 作这条线段的垂直平分线即可． ②画某点关于某直线的对称点 过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，在这条直线的另一侧从垂足出发在垂线上截取与已知点到垂足的距离相等的线段，截点就是这点关于该直线的对称点． ③画已知图形关于某直线的对称图形 画出图形的某些特殊点关于这条直线的对称点，把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． （5）图形对称轴的作法：要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连接它们，得到一条线段，再作出这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴． 3．常见的轴对称图形 （1）线段：两条对称轴，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在直线． （2）角：一条对称轴，对称轴是角平分线所在直线． （3）圆：无数条对称轴，对称轴是经过圆心的直线． （4）正方形：四条对称轴，对角线所在直线及对边中点连线所在直线． （5）矩形：两条对称轴，对边中点连线所在直线． （6）菱形：两条对称轴，对角线所在直线． （7）等腰三角形：一条对称轴，底边中线（底边高线或顶角平分线）所在直线． （8）等边三角形：三条对称轴，三边中线（高线或内角平分线）所在直线． 本节重点讲解：两个性质（线段垂直平分线的性质，轴对称及轴对称图形的性质），三个定义（线段垂直平分线的定义，轴对称及轴对称图形）．简单的轴对称图形(等腰三角形)
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