一元一次方程应用题——和、差、倍、分问题一、学习重点：
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如：“大，小，多，少，增加，减少……”，并据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程。
1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几……”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差……”来体现。
增长量=原有量X增长率现在量=原有量+增长量
一般设未知数要找跟所有关系联系最紧密的那个量。
二、基础练习题：
1、a比b多5,则a= _______ ; a比b少3,则a= _______ ; a是b的2倍，贝U a= ___ ;a增加3倍，则a= ____ ; a增加至U 3倍，贝U a= _;将a增力卩b，贝U a= __ ;将a增加至U b，贝U a= __ 。
2、已知甲数比乙数小12，甲乙两数的和为50，甲数为_______ 乙数为______ 。
3、已知甲数比乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，甲数为_______ 乙数为______ 。
4、已知甲数是10，增加40%后甲数为______ 在此基础上减少50%后甲数为________ 。
5、已知甲数的3倍是乙数与-2的和的2倍，甲数与乙数的差为5，甲数为 ______ 乙数为______ 。
6、三个连续偶数的和是360，中间的偶数为______ 。
7、三个连续奇数的和为361，中间的奇数为______ 。
8、甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为___________ 。
9、某校共有学生1049人，女生占男生的40%，则男生的人数为___________ 。
例题1 :禽养场养鸡和鸭共4600只，养的鸡比鸭的4倍还多1 00只，禽养场的鸡鸭各多少只？
练习:足球的表面是由一些呈多边形的黑白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，问两种皮块各有多少？
做题：10、11
例题2：一根电线长240米，把它截成三段，使第一段比第二段长20米，第三段长是第一段的2倍这三段电线各长多少米？练习：A,B,C三个停车场共停汽车121辆，A停车场的汽车比B停车场的汽车2倍多1辆，C停车场的汽车比A停车场的汽车多2倍，求A,B,C三个停车场各停汽车多少辆？
做题：12、13
例题3：某校住校生分配宿舍，如果每间住5人，则有2 人无处住；如果每间住6 人，则可以多住8 人。问该校有多少住校生？有多少间宿舍？练习：课外活动中一些同学分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2 组，问这些学生共有多少人？
做题：14、15
例题4：有大中小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4 倍。大中小三筐共有苹果多少千克?
练习：如果鱼尾重4 千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，这条鱼有几千克重？
做题：16、17
例题5：甲数减去878，就等于乙数；如果甲数加1142，就等于乙数的5倍。甲乙两数各是多少？
练习：小红和小明都爱画画，两人各有若干枝水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红的
一元一次方程应用题审、设、列、解、答
3 倍。如果小明给小红8 枝，则两人的水彩笔一样多。小红和小明原来各有多少枝水彩笔？做题：18
三、应用题： A 卷
10、某单位今年为灾区捐款2 万5 千元，比去年的2 倍还多1000 元，去年该单位为灾区捐款多少元？
11、两个村共有834人, 甲村的人数比乙村的人数的一半还少111 人，两村各有多少人?
12、无线电一厂，上个月生产三种型号的收音机共1156台，A型比B型的2倍还多15台，B型比E 型的2倍多21台，上个月生产A型、B型、E型收音机各多少台？
13、一筐苹果，一筐梨和一筐橘子平均重40千克，已知苹果重量是梨的2倍，梨的重量是橘子的3 倍。问苹果、梨、橘子各是多少千克？
14、初一（1）班举办了一次集邮展览。展出的邮票比平均每人3 张多24张，比平均每人4张少26 张。这个班级有多少学生？一共展出了多少邮票？
15、5台A型机器生产一天的产品装满8箱后还剩4 个, 7台B型机器生产一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比每台B型机器多生产1个产品，求每箱有多少个产品
16、三只木筏运木板，第一只木筏比第二只木筏多运30块，第三只木筏比第二只木筏少运20 块，第一只木筏比第三只木筏多运50 块。三只木筏各运多少块？
17、小明三天读完一本书，第一天比第二天少读5页，第二天比第三天少读7页，第一天比第三天少读
12 页，小明三天各读多少页？
18、姐姐和妹妹共做了340 朵小红花，后来姐姐把她做的红花送给了小明30朵，妹妹自己又做了20 朵，这时姐姐做的小红花是妹妹的5倍。问原来姐姐，妹妹各做了多少朵红花？
B卷
19、在书架上摆放着三层书，第三层比第二层的书的3倍多2本，第一层比第二层的2倍少3本，第一层比第三层的一半多19本，三层上各摆放着多少本书？
20、某中学利用暑假进行军训，晴天每日行35 千米，雨天每天行22 千米，13 天共行403 千米。这期间雨天有多少天？
21、学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖，女同学每人每次搬6块，男同学每人每次搬8块，各搬了4 次，共搬了1800块，问这些新团员中有多少名男同学？
22、盒子里有三种颜色的纽扣一共312个，其中红色纽扣的个数比蓝色的3倍还多8个，録色纽扣的个数比蓝色的少1 个，求这三种颜色的纽扣各是多少？
23、某车间共有工人77名，其中女工人数比徒工人数的2倍还多4人，男工人数比徒工和女工人数之和的2 倍少7 人，问：这个车间徒工，女工，男工各多少人？
24 、某保险公司为鼓励工作成绩好的职工，决定将4200 元奖金分给三名优秀职工，已知第一名比第二名多得800 元，第二名比第三名多得500 元，三名优秀职工各得多少元奖金？
25、一年级三个班为希望小学捐赠图书。（1）班捐了1 52册，（2）班捐书数是三个班级的平均数，
一元i次方程应用题审、设、列、解、答(3)班捐书数是年级总数的40%,三个班共捐了多少册？
26、某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？
27、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%, 这样油
箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
28、一台拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的四分之一，第二天耕了这块地的五分之一，第三夭耕T 10亩，第四天耕了这块地的三分之一，这时还剩下3亩没耕完.求这块地共有多少亩？
C卷
29、一笔奖金分甲、乙和丙三等，每个甲等是每个乙等奖金的两倍，每个乙等是每个丙等奖金的两倍。如果评甲、乙、丙等奖各两人，那么每个甲等奖金是308元；如果评一个甲，两个乙，三个丙，那么甲等的奖金是多少元？
30、李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？
31、把一个减法算式里的被减数，减数与差相加，得数是592,已知减数比差的2倍还大2,问减数是多
少？
32、做一批零件，如果每天做8个，将比每天做6个提前1天完成，求有多少个零件？
33、甲乙丙三人的平均年龄是42岁，若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的岁数缩小2 倍，则三人岁数相等，那么丙的年龄为多少岁？
34、学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的1/3少14棵，两类树各种了多少棵？
35、甲乙丙丁四个数之和为45,若将甲数加上2,乙数减去2?，丙数乘以2, 丁数除以2,则四个数恰好相等，求这四个数各是多少？
36、粗蜡烛和细蜡烛的长短一样，粗蜡烛可以点6小时，细蜡烛可以点4小时，如果同时点燃这两支蜡烛，过了一段时间后，剩余的粗蜡烛比细蜡烛长2倍，问这两支蜡烛已点燃了多少时间。
37、两桶内共有水48千克，如果甲桶给乙桶加水一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，那么两桶内的水的重量相等。问：原来甲、乙两桶内各有多少千克水？
38、7月1日红花岗中学初一师生270人准备到息烽集中营接受革命传统教育，若租一辆45座小客车租金为250元；租一辆60座大客车租金为300元。已知租用的大客车比租用的小客车多一辆，问租用大小客车各多少辆？应付租金多少元？
39、古时候有一个人，因为不懂说话的艺术，结果闹出了很大的笑话，一天这个人请客，他发现有几个客人还没来，就自言自语说：“怎么该来的还没来呢？”其他客人一听，心想：这么说我们是不该来的了。于是，有一半的客人走了，这个人一看客人走了，急忙说：“怎么不该走的走了。”利下的客人一听，这
么说我们是该走的了，于是又有三分之二的客人走了，这个人一看，又有客人走了，心里很着急急忙说：“我没说你们。”剩下的三人一听，这么说是说我们了？于是，这三个人也走了。这个人一看，客人全都
走了，叹气的说：“真是鸡鸭鱼肉全白做，客人全部走光光。”你知道原来有多少客人么？
一元一次方程的应用——和差倍分问题专题练习 一、选择题 1、在一次美化校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是（）． A. 32+x=2×18 B. 32+x=2（38-x） C. 52-x=2（18+x） D. 52-x=2×18 答案：B 解答：设支援拔草的有x人， 则支援植树的有（20-x）人， 由题意得：32+x=2（18+20-x） 32+x=2（38-x）． 故符合题意的为B选项． 2、某物流中心的A仓库有货物180吨，B仓库有货物120吨，现在需把B仓库一部分货物运到A仓库，使B仓库货物占A仓库货物总量的30%．设把B仓库的货物运送x吨到A仓库，则可列方程（）． A. 120-x=30%×180 B. 120-x=30%（180+x） C. 120+x=30%×180 D. 180-x=30%（120+x） 答案：B 解答：设把B仓库的货物运送x吨到A仓库， 根据题意得，120-x=30%（180+x）． 选B. 3、某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）． A. 2×1000（26-x）=800x B. 1000（13-x）=800x C. 1000（26-x）=2×800x D. 1000（26-x）=800x 答案：C
解答：∵安排x名工人生产螺钉，∴安排（26-x）名工人生产螺母，则每天生产螺钉800x个，每天生产螺母1000（26-x）个，根据“螺母个数=2×螺钉个数”可列方程为1000（26-x）=2×800x．选C. 4、已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（）． A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 答案：B 解答：设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x-1）cm．则（x+1）+x+（x-1）=12， 解得：x=4， 则最短的边长是：4-1=3cm． 选B. 5、甲、乙、丙三种商品单价的比是6：5：4，已知甲商品比丙商品的单价多12元，则三种商品的单价之和为（）． A. 75元 B. 90元 C. 95元 D. 100元 答案：B 解答：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为6x，5x，4x， 则6x-4x=12， 解得x=6，∴三种商品的单价之和为6×6+5×6+4×6=90． 6、父亲现在32岁，儿子现在5岁，x年前，父亲的年龄是儿子年龄的10倍，则x应满足的方程是（）． A. 32-x=5x B. 32-x=10（5-x） C. 32-x=5×10 D. 32+x=5×10 答案：B 解答：x年前，父亲年龄是：32-x，儿子年龄是5-x，父亲的年龄=10×儿子的年龄，列式为：32-x=10（5-x）． 7、我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）．
角的和差倍分专项训练题2 1.如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？ 2.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）如果∠AOB=50°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AOE=160°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？ 3.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线．∠DOE= －（1）∠AOC= ＋；∠BOD= ＋；∠DOE= －；∠AOB= －；（2）如果∠AOB=400，∠DOE=300，那么∠BOD是多少度？（3）如果∠AOE=1400，∠COD=300，那么∠AOB是多少度？ 4.如图，已知∠AOC：∠BOC=1：3，∠AOD：∠BOD=5：7，若∠COD=150，求∠AOB的度数
5.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.（1）如果∠DCE=36°，则∠ACB的度数为；（2）写出图中相等的角．如果∠DCE≠36°，它们还会相等吗？（3）若∠DCE变小，∠ACB如何变化？（4）在下图中利用能够画直角的工具再画一个与∠DCB相等的角 6.如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起．（1）若∠BOC=400，试求∠AOD的度数．（2）若∠AOD=1350，试求∠BOC的度数．（3）若∠BOC=α，∠AOD=β，请写出α与β的大小关系式，并说明理由 7.如图，将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若∠BOC=700，则∠AOD= ；（2）如图2，若∠BOC=500，则∠AOD= ；（3）如图1，请猜想∠BOC与∠AOD 的关系，并写出理由 8.如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合，（1）写出以C为顶点的相等的角；（2）若∠A=1500，求∠DCE的度数；（3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；（4）当三角尺ACD不动，将三角尺ECB的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠ACE（00＜∠ACE ＜900）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠ACE角度的所有可能值，不用说明理由
试卷第1页，总7页 绝密★启用前 2018-2019学年度???学校11月月考卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明
试卷第2页，总7页 ……装…………○…………订…………※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※……装…………○…………订…………第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 一、解答题 1．暑假期间，七（2）班的张明、王强等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，张明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： ⑴张明他们一共去了几个成人，几个学生？ ⑵请你帮助张明算一算，用哪种方式购票(团体购票还是非团体购票)更省钱？说明理由. ⑶正要购票时，张明发现七（3）班的张小毛等15名同学和他们的2名家长共17人也来购票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的购票费用. 2．如图是某月的月历，用带阴影的方框任意框九个数. （1）图中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明你的理由？ （2）若这9个数之和是81，你能说出这9个日期吗？只要回答能或不能，且说明为什么？ （3）这9个数之和可能会是100吗？如果可能，请计算出这9个日期，如果不可能，请说明为什么？
试卷第3页，总7页 …线…………○………线…………○…… 3．在甲处劳动的有 人，在乙处劳动的有 人，现要赶工期，总公司另调 人去支援，使甲处的人数为乙处人数的 倍，应分别调往甲处，乙处各多少人？ 4．(1)A ，B 两地相距450千米，甲，乙两车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行．已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，经过多少小时两车相距50千米？ (2)某中学举行校运会，七年级(1)班同学准备用卡纸制成乒乓球拍和小旗作道具．若一张卡纸可以做3个球拍或6面小旗，用21张卡纸，刚好能够让每位同学拿一个球拍和一面小旗． ①应用多少张卡纸做球拍，多少张卡纸做小旗？ ②若每个人的工作效率都相同，一个人完成道具制作要6个小时，先安排2个人做半小时，再增加几个人做1小时可以刚好完成？ 5．将若干枚棋子平均分成三堆(每堆至少2枚)，分别放在左边、中间、右边，并按如下顺序进行操作： 第1次：从右边一堆中拿出2枚棋子放入中间一堆； 第2次：从左边一堆中拿出1枚棋子放入中间一堆； 第3次：从中间一堆中拿出几枚棋子放入右边一堆，并使右边一堆的棋子数为最初的2倍. (1)操作结束后，若右边一堆比左边一堆多15枚棋子，问共有多少枚棋子； (2)小明认为：无论最初的棋子数为多少，按上述方法完成操作后，中间一堆总是剩下1枚棋子，你同意他的看法吗？请说明理由. 6．现有甲、乙、丙等多家食品公司在某市开设蛋糕店，该市蛋糕店数量的扇形统计图如图所示，其中统计图中没有标注相应公司数量的百分比．已知乙公司经营150家蛋糕店，请根据该统计图回答下列问题：
专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62] 一线段的和差倍分计算 教材P153作业题第4题) 已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1 2AB.D为线段BC的中点． (1)求CD的长； (2)若AD＝3 cm，求a的值． 在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC 的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是() A．6 cm B．8 cm C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm 如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B， AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在() A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm， 求线段CD的长度． 如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB 的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．
如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点， 且MN ＝2 cm ，求AB 的长． 如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝ 2 cm ，求AB 的长． 如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段 AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋???? ??b 2－4＝0.求线段MN 的长度． 二 角的和差倍分计算 如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数． 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小 30°，求∠α，∠β. 如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠ 的度数．
北京市陈经纶中学分校 课时教案活页纸 总课题 列一元一次方程解应用题 总课时 6课时 第 1 课时 课题 和差倍分问题 课型 新授课 2011年10月24 教材 分析 在运用一元一次方程解决实际问题的处理上，教材力求体现实际问题转化为数学问题的过程，分析问题、解决问题的过程，使学生在解决数学问题的过程中学习、并形成解决问题的策略，理解数学的思想和方法，学会数学地思考。在教科书的第四节安排了“问题解决的基本步骤”，初步介绍了波利亚的解决问题模式（四个步骤），这样的处理方式既符合学生的认知特点，又突出了问题解决的过程和方法。当然，这种方法在后续内容的学习中会不断加以渗透和应用，在九年级上、下各设置一章予以阐述。 学情 分析 学生在基本掌握一元一次方程的解法后，教科书通过几个典型例子，引导学生把实际问题转化为数学问题，建立方程的模型，体验一元一次方程与实际的密切联系。通过例题的教学，使学生逐步掌握运用方程解决实际问题的一般过程；通过画线段示意图、列表等手段使学生初步学会分析问题、寻找等量关系的方法；通过不同的设元方法、变换问题的条件、根据方
程设计问题情境等内容，培养学生思维的灵活性、发散性，最终达到提高解决问题能力的目的。 教学 目标 熟悉一元一次方程的应用中的“和差倍分问题”，体会借助图表分析复杂问题中的数量关系，提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程解决问题的作用，树立把实际问题转化为数学问题的思想。 教学 重点 让学生进一步体会方程是刻画现实世界的重要数学模型，而解方程是解决实际问题的重要组成部分； 在学习移项法则的基础上，学习含有括号的一元一次方程的解法。 教学 难点 探索列方程解决问题的过程； 教学 方法 启发式讨论 教具 PPT和导学案 教师活动 学生活动 时间
和、差、倍、分问题例1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多 少元？ 例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%， 这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 练习：1.小丽在水果店花18元，买了苹果和橘子共6千克，已知苹果每千克3.2元，橘子每千 克2.6元，小丽买了苹果和橘子各多少千克? 2、甲、乙、丙三种货物共有167吨，甲种货物比乙种货物的2倍少5吨，丙种货物比甲种货物的1 5 多3吨，求甲、乙、丙三种货物各多少吨？3.某班女生人数比男生的 2 3 还少2人，如果女生增加3人，男生减少3人，那么女生人数等于男生人数的 7 9 ，那问男、女生各多少人？ 4、有水桶两只，甲桶的容量是400升，乙桶的容量是150升，如果从甲桶放出的水是乙桶放出的2倍，那么甲桶剩的水是乙桶所剩的4倍。问每桶放出了多少升水？ 5、用化肥若干千克给一块麦田施肥，每亩用6千克，还差17千克；每亩用5千克，还多3千克，这块麦田有多少亩？ 6、毕业生在礼堂入座，1条长凳坐3人，有25人坐不下；1条长凳坐4人，正好空出4条长凳，则共有多少名毕业生？长凳有多少条？
7、将一批货物装入一批箱子中，如果每箱装10件，还剩下6件；如果每箱装13件，那么有一只箱子只装1件，这批货物和箱子各有多少？ 8.将一箱本子分给若干个同学，若每人分5本，则还剩12本；若每人分8本，则还差6本。求着一箱本子的数量与同学的人数？ 9.海尔集团如果平均每天生产20台冰箱，在规定天数内比订货任务少生产100台；如果平均每天生产23台，在同样天数内科超过订货任务20台。问这批冰箱的订货任务是多少台？规定多少天完成？ 10.有一堆面值为1元、2元、5元、10元的钞票，共计58张，200元。其中面值1元的20张，面值10元的7张，剩下的均为2元和5元的，你能否用所学的方程算出2元和5元的钞票各有多少张？11.已知5台I型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台II型机器一天的产品装满11箱后还剩一个，每台I型机器比II型机器一天多生产1个产品，求每箱有多少个产品？ 12、初一（四）班发作业本，若每人发4本，则还余12本，若每人5本则 还少18本，则全班共有______ 人，一共有__________本作业本。 13、七年级举行数学竞赛，学校购买日记本和练习本两种奖品共花65.6元，已知日记本每本2.4元，练习本每本0.7元，练习本比日记本多14本，则购买日记本多少本？ 14、把2000元奖学金发给全校25名三好学生，其中市级三好学生每人奖金200元，校级三好学生每人奖50元，问：全校市级三好学生、校级三好学生各多少人？
角的和差倍分专题 教学目标： 1.使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法. 2在现实情境中，进一步丰富对角与锐角、钝角、直角、平角、周角极其大小关系的认识. 3.在操作活动中认识角的平分线，能画出一个角的平分线. 解决有关角的实际问题。 4.培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力. 教学重点与难点: 教学重点：角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义. 教学难点：角平分线定义的各种数学表达式. 教法及学法指导：教法：启发式教学法． 学法：自主探索、合作交流． 课前准备：多媒体课件． 教学过程： 一、创设情境，趣味导入 一.类比联想，提出问题，探索解决问题的方法 1.类比联想，提出问题 前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题. 上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，以及角的和、差、倍、分的画法问题.(板书课题) 2.类比联想，探索解决问题的方法(1)师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法. (2)分组讨论，发现方法. 二．例题 1. 已知一条射线OA，若从点O再顺次引出
两条射线OB和OC， ∠AOB=50°，∠BOC=80°, 求∠AOC的度数。 2.已知一条射线OA，若从点O再引出两条 射线OB和OC，∠AOB=50°， ∠BOC=80°,求∠AOC的度数。 3.已知一条射线OA，若从点O再引两条 射线OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=80°， OE平分∠AOB，求∠COE的度数？ 4.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC， 使∠AOB=50°，∠BOC=80°， OE平分∠AOB，OF平分∠BOC， 求∠EOF的度数？ .教学反思：本课时设计的主导思想是：将数形结合的思想渗透给学生，使学生对数与形有一个初步的认识．为将来的学习打下基础，它为学生的思维开拓了一个新的天地．不应只是交给学生比较线段的方法，而要从数形结合的高度去认识．在教知识的同时，交给学生一种很重要的数学思想．与学生之间的互动与交流要加强，要鼓励学生，发现他们的闪光点，给他们信心，让他们能够自主地融入课堂，快乐的学习
角的单位及和差倍分（总第71课时） 执笔人：鲁贤聪 教学目标 1.了解角的单位的意义，并能进行角的单位之间换算 2.经历角的单位的换算过程，理解角的单位互化的程序（分段进行） 3.通过角的单位的互化和角的四则运算，提高计算能力，培养学生一丝不苟的学习精神。 教学重难点 重点：角的度量单位及角的单位之间的换算，角的四则运算 难点：角的减法、除法运算 教学过程 1.角的度量单位——度、角、分 角的度量单位是“度、分、秒”。把1个周角360等分，每一等分是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等分就是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等分就是1秒的角，1秒记作1″。即 1°=60′， 1′=60″ 1′=???? ??601 '?? ? ??="6011 注：要类比时间单位记忆 2.角的单位的互换 例1 （1）用度、分、秒表示° 解：因为°=60′×=′ （度 退位 分） ′=60″×=36″ （分 退位 秒） 所以°=30°15′36″ （2）42°18′15″等于多少度 '=?'?? ? ??="25.01560115 （秒进位 分）
?≈???? ? ??='304.025.1860125.18 （分进位 度） 所以42°18′15″≈42°＋°≈° 注：（1）是将高级单位化为低级单位，乘以60（退位×60） （2）是将低级单位化为高级单位，除以60（进位÷60） P145练习1 3.角的四则运算 例2计算 （1）25°23′17″＋46°53′43″ 解：25°23′17″＋46°53′43″ =71°76′60″ =72°17′ （2）19°20′24″×4 解：19°20′24″×4 =76°80′96″ =77°21′36″ （3）75°23′12″－46°53′43″ 解：75°23′12″－46°53′43″ =74°83′12″－46°53′43″ =74°82′72″－46°53′43″ =28°29′29″ 分析：被减数的分不够减，向度借1算60分；被减数的秒不够减，向分借1算60秒. （4）把一个周角17等分，每份是多少（精确到1′） 解：360°÷17=21°＋3°÷17=21°＋180′÷17≈21°11′. 思考：若精确到1″，答案约为多少（21°10′35″）
实际问题与一元一次方程(一)(基础)知识讲解 【学习目标】 1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤; 2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题??? →分析 抽象方程???→求解检验 解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答． 要点诠释: (1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； (3）“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一; (4）“解”就是解方程，求出未知数的值. （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时，及时指出,舍去即可； （６）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚． 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续) １．和、差、倍、分问题 （１）基本量及关系:增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量＋增长量，现有量＝原有量－降低量． (2)寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2.行程问题 （１）三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 （2)基本类型有： ①相遇问题(或相向问题)：Ⅰ．基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离． ②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程. ③航行问题:Ⅰ.基本量及关系：顺流速度=静水速度＋水流速度， 逆流速度＝静水速度-水流速度， 顺水速度－逆水速度=2×水速; Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考 虑. （３)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. ３.工程问题 如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2）总工作量=各单位工作量之和. 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
第八章二元一次方程组 8.3实际问题与二元一次方程组 8.3.1 和差倍分问题 一、学习目标 1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的等量关系，列出方程组。 2.掌握用二元一次方程组解决实际问题的步骤，体会用二元一次方程组比一元一次方程简便。 3.通过方程模型建立二元一次方程组，培养学生运用方程组思想分析问题、解决问题的能力。 二、自主学习 自学指导1（8分钟） 学生自主学习阅读课本p99页【探究1】，完成下面问题： 1.问题中有哪些已知量？那些未知量？ 2.问题中等量关系有哪些？ 3.本题的等量关系： 大牛的饲料量+小牛的饲料量=1天总的饲料量 原来： 30只大牛1天所需饲料+15只小牛1天所需饲料＝675； 后来： 42只大牛1天所需饲料+20只小牛1天约需饲料＝940 4.数学建模----列方程组解决实际问题
设未知数：设一只大牛1天需要饲料 x kg ，一只小牛1天需要饲料y kg. 列方程组： 解方程组： 对实际问题作答: 每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg 和5kg 自学检测1（5分钟） 只列方程组不求解： 某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元．学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住．求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷？ 分析：大帐篷居住人数*数量+小帐篷居住人数*数量=安置总人数 大帐篷单价*数量+小帐篷单价*数量=花去捐款数 解：(1)设该校采购了x 顶3人小帐篷，y 顶10人大帐篷， 答：该校采购了100顶3人小帐篷，200顶10人大帐篷 . 3015675, 4220940. x y x y +=??+=????==520y x
线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A
5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D
一元一次方程应用题——和、差、倍、分问题 一、学习重点： 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如：“大，小，多，少，增加，减少……”，并据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程。 1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几……”来体现。 2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差……”来体现。 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 一般设未知数要找跟所有关系联系最紧密的那个量。 二、基础练习题： 1、a比b多5，则a=______；a比b少3，则a=______；a是b的2倍，则a=____；a增加3倍，则a=_____；a增加到3倍，则a=_____；将a增加b，则a=_____；将a增加到b，则a=_____。 2、已知甲数比乙数小12，甲乙两数的和为50，甲数为_____；乙数为_____。 3、已知甲数比乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，甲数为_____；乙数为_____。 4、已知甲数是10，增加40%后甲数为______；在此基础上减少50%后甲数为_______。 5、已知甲数的3倍是乙数与-2的和的2倍，甲数与乙数的差为5，甲数为_____；乙数为_____。 6、三个连续偶数的和是360，中间的偶数为_____。 7、三个连续奇数的和为361，中间的奇数为_____。 8、甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为_________。 9、某校共有学生1049人，女生占男生的40%，则男生的人数为__________。 例题1:禽养场养鸡和鸭共4600只，养的鸡比鸭的4倍还多100只，禽养场的鸡鸭各多少只？ 练习:足球的表面是由一些呈多边形的黑白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，问两种皮块各有多少？ 做题：10、11 例题2：一根电线长240米，把它截成三段，使第一段比第二段长20米，第三段长是第一段的2倍。这三段电线各长多少米？ 练习：A,B,C三个停车场共停汽车121辆，A停车场的汽车比B停车场的汽车2倍多1辆，C停车场的汽车比A停车场的汽车多2倍，求A,B,C三个停车场各停汽车多少辆？ 做题：12、13 例题3：某校住校生分配宿舍，如果每间住5人，则有2人无处住；如果每间住6人，则可以多住8人。问该校有多少住校生？有多少间宿舍？ 练习：课外活动中一些同学分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 做题：14、15 例题4：有大中小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。大中小三筐共有苹果多少千克? 练习：如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，这条鱼有几千克重？ 做题：16、17 例题5：甲数减去878，就等于乙数；如果甲数加1142，就等于乙数的5倍。甲乙两数各是多少？ 练习：小红和小明都爱画画，两人各有若干枝水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红的3倍。如果小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多。小红和小明原来各有多少枝水彩笔？做题：18
例2：甲种铅笔每只0.3元，乙种铅笔每只0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20只，两种铅笔各买了多少支？ 练习：用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 例3：把一根长100cm的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的2倍少5cm，应该在木棍的哪个位置锯开？ 练习：一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是402 cm，求上底 二、数字问题 例1.用式子表示下列两位数或三位数: (1)一个两位数,个位数字是a,十位数字是b:____________ (2)一个两位数,个位数字是a,十位数字比个位数字小1:__________ (3)一个两位数,个位数字是a,比十位数字小1:__________ (4)一个两位数,十位数字是a,个位数字比十位数字的2倍多3; (5)一个三位数,十位数字是a,比百位数字大1,比个位数字少1. 练习:(1)一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大 2 个位与十位上的数字之和是10,求这个两位数. (2)一个两位数个位上的数是1，十位上的数是，把1与x对调，新的两位数比原两位 数小18，求十位上的数。
例2：有一列数,按一定规律排列成1，-3,9，-27,81，-243……,其中某三个相邻数的和是-1701这三个数各是多少? 例3：一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个数分别是多少？ 三、数学作业 1、某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为 550万元，前年的产值是多少？ 2、买两种布料共138m，花了540元，其中蓝布料每米3元，黑布料每米5元，两种布料各买了多少m？ 3、用一根长60m的绳子围出一个长方形，是他的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？ 4、一个两位数的个位上的数的3倍加1是十位上的数，个位上的数与十位上的数的和是9， 这个两位数是多少 5.一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和是7, 若把个位与十位数字对调,则所得 的两位数比原两位数大27,求这个两位数.
一元一次方程应用题——和、差、倍、分问题一、学习重点： 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如：“大，小，多，少，增加，减少……”，并据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程。 1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几……”来体现。 2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差……”来体现。 增长量=原有量X增长率现在量=原有量+增长量 一般设未知数要找跟所有关系联系最紧密的那个量。 二、基础练习题： 1、a比b多5,则a= _______ ; a比b少3,则a= _______ ; a是b的2倍，贝U a= ___ ;a增加3倍，则a= ____ ; a增加至U 3倍，贝U a= _;将a增力卩b，贝U a= __ ;将a增加至U b，贝U a= __ 。 2、已知甲数比乙数小12，甲乙两数的和为50，甲数为_______ 乙数为______ 。 3、已知甲数比乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，甲数为_______ 乙数为______ 。 4、已知甲数是10，增加40%后甲数为______ 在此基础上减少50%后甲数为________ 。 5、已知甲数的3倍是乙数与-2的和的2倍，甲数与乙数的差为5，甲数为 ______ 乙数为______ 。 6、三个连续偶数的和是360，中间的偶数为______ 。 7、三个连续奇数的和为361，中间的奇数为______ 。 8、甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为___________ 。 9、某校共有学生1049人，女生占男生的40%，则男生的人数为___________ 。 例题1 :禽养场养鸡和鸭共4600只，养的鸡比鸭的4倍还多1 00只，禽养场的鸡鸭各多少只？ 练习:足球的表面是由一些呈多边形的黑白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，问两种皮块各有多少？ 做题：10、11 例题2：一根电线长240米，把它截成三段，使第一段比第二段长20米，第三段长是第一段的2倍这三段电线各长多少米？练习：A,B,C三个停车场共停汽车121辆，A停车场的汽车比B停车场的汽车2倍多1辆，C停车场的汽车比A停车场的汽车多2倍，求A,B,C三个停车场各停汽车多少辆？ 做题：12、13 例题3：某校住校生分配宿舍，如果每间住5人，则有2 人无处住；如果每间住6 人，则可以多住8 人。问该校有多少住校生？有多少间宿舍？练习：课外活动中一些同学分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2 组，问这些学生共有多少人？ 做题：14、15 例题4：有大中小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4 倍。大中小三筐共有苹果多少千克? 练习：如果鱼尾重4 千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，这条鱼有几千克重？ 做题：16、17 例题5：甲数减去878，就等于乙数；如果甲数加1142，就等于乙数的5倍。甲乙两数各是多少？ 练习：小红和小明都爱画画，两人各有若干枝水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红的
【初三】线段、角的和 差倍分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学竞赛专题选讲 线段、角的和差倍分 一、内容提要 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。 一.转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化 1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长 补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个 小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化 1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和 的一半 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一 半
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍 6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 7.有关比例线段定理 二.用代数恒等式的证明 1.由左证到右或由右证到左 2.左右两边分别化简为同一个第三式 3.证明左边减去右边的差为零 4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 二、例题 例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高 求证：DC＝AB＋BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD 相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。 分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。 1
一元一次方程解应用题 一.和差倍分的问题 问题的特点:已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。基本方法：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出 方程。 1. 一个数的 2 倍与10 的和等于 18，设这个数为x，可列方程_______ 分之一与 3 的差等于2，设这个数为x，可列方程_______ 2，设这个数为 x，可列方程_______ 。。一个数 的 。一个数的二 3 倍比10 大 2．一个机床厂今年第一季度生产机床180台，比去年同期的二倍多36台，去年一季度产量多少台？设去年一季度产量为x台,可列方程_______ 。 3.一群老人去赶集，集上买了一堆梨，一人1个多一个，一人2个少2个，几位老人几个梨？ 4.某学校组织10名优秀学生春游，预计费用若干元，后来又来了 可以少摊 3元，则原来每人需要付费多少元？2名同学，原来的费用不变，这样每 人 5.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的 有20人，问参加书画社的有多少人？ 二.等积变形问题 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形” 是以形状改变而体积不变为前提。 1. 把内径为 200mm，高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm，高为400mm的空木 桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？ 2.要锻造一个直径为 8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm。 三.相遇问题（相向而行）： 这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。 对应公式：路程=速度×时间快者路程+慢者路程=总路程 （慢者速度+快者速度）×相遇时间=相遇路程 1. 甲、乙两车从相距264 千米的A、B两地同时出发相向而行，甲速是乙速的 1.2 倍，4 小时相遇， 求乙速？ 2. 甲、乙两站相距600 千米，慢车从甲地出发，每小时 行40 千米，快车从乙地出发，每小 时行 60 千 50 3.A 度从、B两地相距75 千米，一辆汽车以50 千米/时的速度 从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相距 A地出发，另一辆汽车 以 30 千米？ 40 千米/时速
线段的和差倍分问题的证明 在初中几何中，证明线段的相等关系是一个重要的教学内容，而有关线段的和、差、倍、分问题，则是其中的教学难点。如何搞好线段的和差倍分的教与学？本文通过一些例题，谈谈它的一般证明方法。 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 21AB 分析：如图，因为2 1AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。 说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍
分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。 例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE 分析：本题的关键在于构造一条线段， 使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线 段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化 为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。 例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90° ∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP 说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。 从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，