第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、填空题
1.设函数()y y x =由方程sin()y x y =+所确定，则d d y x =cos()1cos()
x y x y +-+. 2.设函数()y y x =由方程e xy
y x =+所确定，则(0)y '= 2 . 3.设函数()y y x =由方程y x y =所确定，则d d y x =1(1ln )x y +. 4.由参数方程(1sin )cos x y θθθθ
=-??=?所确定的函数的导数0y θ='= 1 . 5.曲线2
31x t y t ?=+?=?
在2t =处的切线方程为37y x =-. 二、单项选择题
1.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d y x
= B . A.22
()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+ C.22
2()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 2.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =??=?
的函数()y y x =的二阶导数22d d y x = B . A.2csc b t a - B.32csc b t a - C.2csc b t a D.32csc b t a
3.设()y y x =由参数方程2e 321πsin 02
x t t t y y ?=++??-+=??所确定，则0d d t y x == B . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23
三、解答题
1.
求由方程arctan
ln y x =()y y x =的导数d d y x
. 解：对方程两边同时求导，得
2221xy y
x y x '-'=+， 化简得：xy y x yy ''-=+，即x y y x y
+'=-. 2.2ln(1)arctan x t y t t
?=+?=-?，求d d y x ，22d d y x . 解：22d 11d d 1d 2d 2d 1y y t t t x t x t t -+===+ ，2222
d d d d 111d 2d d d 241y y t t x t x t x t
t +=?=?=+ . 3.
设y =d d y x
. 解：两边取对数得：()()1ln ln 1ln 12y x x x =+--???
?，两边求导得: 2111211x xy y y x x x '-???=- ?+-??,
故
21y y y x x '=-=-.
4.一正圆锥体的底部半径以5cm/s 速率增加，而它的高以24cm/s 的速率减小，求该圆锥在半径为30cm ，高为70cm 时的体积变化率.
解：底部半径()r r t =，高()h h t =，且有()5r t '=，()24h t '=-，
锥体体积为 2π()()3V r t h t =，22d ππ(2)d 33
t V r h rr h r h t '??''==+ ???， 将30r =，70h =代入得23d π[23057030(24)]200π(/)d 3
V cm s t =???+-=-， 故体积变化率为3200π/cm s -.
淮北师范大学 2011届学士学位论文 由参数方程确定的函数 的性质及应用 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向函数论 学生姓名陈涛 学号20071101015 指导教师姓名周光辉 指导教师职称副教授 2011年04 月10日
由参数方程确定的函数的性质及应用 陈 涛 (淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000) 摘 要 本文重点论述了利用极限和导数的基本理论和基本方法，首先阐述了参数的实际意义及参数方程的概念；其次对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨 论，得出了t x '和t y '都存在、t x '和t 'y 中有一个不存在的情况、t x '和t y '都不存在三种情况下导数存在性；给出三个例题分别说明由求参数方程所确定函数极值点应注意的问题及拐点应注意的问题；最后系统的介绍了几种由参数方程确定的函数的导数求法，通过几个典型例题说明了利用复合函数求导法则、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数. 关键词：参数方程,函数,存在性,极值,导数
Properties and Applications of the Function Determined by The Parametric Equation Chen Tao (School of Mathematical Sciences ，Huaibei Normal University ，Huaibei ，235000) Abstract This paper mainly discusses the basic theory and basic method of limit and derivative. First, it illustrates the practical meaning of parameter and the conception of parametric equation. Second, it discusses the existence of derivative of the function determined by the parametric equation, and concludes there are three cases of both t x 'and t y 'exit, neither exits, one exits and the other not. It gives three examples separately to illustrate what should be paid attention in extreme value point and flecnode of the function which determined by parametric equation. Finally, this paper systematically introduced several methods to solve derivative of the function determined by parametric equation, and illustrate how to solve derivative of the function determined by parametric equation by five methods of principle of compound function derivation, differential, parameter, formula and derivative definition through several typical examples. Keywords: Parametric equation, Function, Existence, Extreme value, Derivative
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F
由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此 由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函
5.3 隐函数与参数方程求导法则 一、隐函数求导法则 表示函数f （对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x 与因变量y 的对应关系f 是由二元方程F （x ，y ）=0所确定。 定义 设有两个非空数集A 与B.若A x ∈?，F （x ，y)=0对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f （或写为y=f （x))是二元方程F(x ，y)=0确定的隐函数。 由隐函数的定义看到，二元方程F(x ，y)=0确定的隐函数y=f （x)（A x ∈，B y ∈）必是二元方程F(x ，y)=0的解，因此，A x ∈，有 F[x ，f(x)]=0 (或F[x ，f(x)]≡0 ）. 例如，二元方程F(x ，y)=2x-3y-1=0在R 确定（从中解得）一个隐函数。 事实上，R x ∈?，由二元方程对应唯一一个312-= x y R ∈,且 F （x , 312-x )=2x-33 12-x -1≡0. 二元方程F(x ，y)=x 2+y 2-a 2=0(a>0)在A=[-a ，a]确定两个连续的（B 1=[0 ，+∞)与 B 2=（-∞ ，0])隐函数。 事实上，],[a a x -∈?，由二元方程对应唯一一个1y =],0[122+∞=∈-B x a ,且 0),(),(221≡--=x a x F y x F 与]0,(2222-∞=∈--=B x a y ，且 0),(),(222≡--=x a x F y x F 于是，二元方程F(x ，y)=x 2+y 2-a 2=0在A=[-a ，a]确定了两个连续的隐函数。 ],0[221a x a y ∈-= 与]0,[222a x a y -∈--=。 这两个隐函数的图像是以原点为心以a 为半径的在区间],[a a -的上半圆周与下半圆周，如图5.5 由此可见，所谓隐函数就是对应关系f 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数 教学重点：隐函数求导 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法 教学内容： 一、隐函数的导数 函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。这样的函数称为隐函数。 一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y） = 0在该区间内确定了一个隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。 例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。 解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。方程左边对x求导得 dx V dx dx 方程右边对求导得（0）' = 0。 由于等式两边对x的导数相等，所以 4+y + Q = 0, dx dx 从而—= ------ - （X + ￡ ' 工0）。 dx兀 + 0、
1、填空题 1）设函数()x y y =由方程() x y x y x sin ln 3 2 +=+确定，则()= '0y 1 2）设()()???-=-=13t e f y t f x π，其中()t f 可导，且()00≠'f ，则= =0 t dx dy 3 3）设()0,0>>? ? ? ????? ????? ??=b a a x x b a b y b a x ，则=dx dy ()??? ? ????? ??-+??? ??---1ln a b x a b x b a x a b a b a b x a b a b 2、求下列方程所确定的隐函数()x y 的导数 1）xy x y e += 解：方程两边关于x 求导得：()1 11xy xy xy ye y e y xy y xe -'''+=+?=-。 2）()tan cos y x x y =+ 解：方程两边关于x 求导得：()()2 tan sec 1sin y x y x y x y ''+=-++?。 ()()2sin sec sin tan x y y x y x y x -+-'=++ 3 ()0a =>上任意一点处的切线在坐标轴上的截距和为常数 a 。 证明：方程两边关于x 0y y ''+=?=()00,x y 为曲线上 任意一点，此点处切线方程为)00y y x x -=-，其对应截距式方程为 1= a == 4、求下列函数的导数dx dy 1） y xe =
解：方法一、 22cos 1x x e x y e xe -'= 方法二、y xe = ()21 ln ln ln sin 12 y x x x =++- 两边关于x 求导得：()() 22 cos 111 1sin 1x x y y x x -'=+ +- ()()2 2 cos 111sin 1x x y xe x x ?-'?=++?-? 2）()()x y y x sin cos = 解：()()x y y x sin cos =两边取对数得： y x x y sin ln cos ln = 两边关于x 求导得：y y x y x y x y '?+=-'cot sin ln tan cos ln y x x y x y y cot cos ln sin ln tan -+= ' 5、求下列参数方程所确定函数的导数 dx dy 1）()32 ln 1x t t y t t ?=-+??=+?? 解： () ()()()()322323211ln 111t t dy t t t t dx t t t '++===++'-+-+ 2）()?? ?=-=θ θθθcos sin 1y x 解：()()()θ θθθθθθθθθcos sin 1sin cos sin 1cos ---='-'=dx dy 6、求三叶玫瑰线()()03sin >=a a r θ上对应于4 π θ=点处的切线方程（直角坐标形式）。 解：?? ?====θ θθθθθsin 3sin sin cos 3sin cos a r y a r x ，θθθθθ θθθsin 3sin cos 3cos 3cos 3sin sin 3cos 3a a a a dx dy -+=
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间确定 了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy = ) 1,(!y x =1
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (6) 1.公式法 (6) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，
显函数.隐函数.参数方程求导总结 我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。 如：()sin cos x x '=` ()x x e e ' =` ()2 1arcsin 1x x '= -等等。刚开始的时候是一 些很明显的函数。如：sin y x =. 2 455y x x =++ x y e =等。而后来的我 们又学习了一些复合函数。如 x y e = 1 sin y x =等。这时我们就必须 设()y f u =，而()u x ?=则复合函数()y f x ?=????的导数为dy dy du dx du dx =，或()( )()y x f u x ? '''=。 等到了大学我们就碰到了像 3 10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。这样就可以用显函 数的求导方法了。例如310x y =-=可以化为3 1y x =-。但实际问题中， 有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 方程0y e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx 。 解 方程两边分别对x 求导
( )()0y d e xy e dx '+-= y dy dy e y x dx dx ++= 从而y dy y dx x e =-+ y x e +=() 例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22 d y dx 。 解 方程两边对x 求导 ()1cos 02x y y '??' -+= ??? 11cos 02dy dy y dx dx -+= 22cos dy dx y = - 方程两边再对x 求导 ()()223 22sin 4sin 2cos 2cos dy dx d y y y dx y y --== -- 之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 已知参数方程为sin cos x t y t =?? =?（t 为参数），求dy dx 。 解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt t t dy dy dt t dx dt dx t t '=== =- ' 例 已知参数方程2 21t x y t ?=?=-?（t 为参数），求2 2 d y dx 。 解 由公式 ()()2 2 11dy dt dx t dt t dy dy dt dx dt dx t '-====- '
·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1
隐函数的求导方法汇总
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河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (6) 一．隐函数的概念 (6) 二．隐函数求偏导 (6) 1.隐函数存在定理1 (6) 2.隐函数存在定理2 (7) 3.隐函数存在定理3 (8) 三. 隐函数求偏导的方法 (9) 1.公式法 (9) 2.直接法 (10) 3.全微分法 (10) 参考文献 (12)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数 dx dy 在x=1处的值。
河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一
第10讲 隐函数组的导数及其几何应用 讲授内容 一、几何应用 1.平面曲线的切线与法线 若平面曲线方程0),(=y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为 切线：,0))(,())(,(000000=-+-y y y x F x x y x F y x 法线：.0))(,())(,(000000=---y y y x F x x y x F x y 事实上：由条件可知，0),(=y x F 在0P 附近所确定的连续可微隐函数)(x f y =，从而该曲线在点0 P 处存在切线斜率) ,() ,()(00000y x F y x F x f k y x - ='=，其切线和法线方程分别为 ))(('000x x x f y y -=- 和 )() ('1 000x x x f y y -- =- 例1 求笛卡儿叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线。 解：设,9)(2),(3 3 xy y x y x F -+=于是x y F y x F y x 96,962 2-=-=在xoy 平面连续，且
.012)1,2(,015)1,2(≠-=≠=y x F F 因此，分别求得曲线在点)1,2(的切线方程与法线方程分别为 0)1(12)2(15=---y x 即,0645=--y x 0)1(15)2(12=----y x 即.01354=-+y x 2. 曲面的切平面与法线 若由方程0),,(F =z y x 所确定的曲面在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件（这里不妨设 .0),,(000≠z y x F z ），则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是 ()+-+-00000000),,())(,,(y y z y x F x x z y x F y x ()0),,(0000=-z z z y x F z .) ,,(),,(),,(0000 00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 事实上：由条件知0),,(F =z y x 在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数),(y x f z =使得 ),(000y x f z =，且 .) ,,(),,(,),,(),,(z y x F z y x F y z z y x F z y x F x z z y z x -=??-=??从而得到该曲面在0P 处有切平面与法线方程. ().) ,,(),,()(),,() ,,(000000000000000y y z y x F z y x F x x z y x F z y x F z z z y z x -- --=- .1) ,,(),,(),,(),,(0 00000000000000--=--=--z z z y x F z y x F y y z y x F z y x F x x z y z x 例2 求椭圆面6322 22=++z y x 在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程。 解：设.632),,(2 22-++=z y x z y x F 由于z F y F x F z y x 6,4,2===在全空间上处处连续.在) 1,1,1(处6,4,2===z y x F F F .因此，切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x 即 632=++z y x ，法线方程为 .3 1 2111-=-=-z y x 3. 空间曲线的切线与法平面 （1）下面我们讨论由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x ),(),(),( 表示的空间曲线 L ，在某一点),,(0000z y x P 处的切线和法平面方程. 当 [][][] 0)(')('('2 2 2 ) 0≠++t z t y t x 时，则空间曲线L 在某一点),,(0000z y x P 处的切线方程为 .) (')(')('000000t z z z t y y y t x x x -=-=- 法平面方程为 .0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x 事实上：在曲线L 上点0P 附近选一点),,(),,(000z z y y x x P z y x P ?+?+?+=。连接L 上的点0P 与P 的割线方程为 ,0 00z z z y y y x x x ?-=?-=?-其中).()(),()(),()(000000t z t t z z t y t t y y t x t t x x -?+=?-?+=?-?+=?
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ． 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，