定解条件和定解问题
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。
一、定解条件
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ?， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：
边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。
（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：
(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =
当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：
0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =
当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。
（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：
000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>
或
(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，
(,0)(),0(,0)(),
t u x x x l u x x ?ψ=?<
其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。
2、热传导方程（2(x,t),x ,)n t u a u f t o -=∈Ω?>V R
初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况。
式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。
（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知
式中，p 为边界面上的点。 （2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知。 （3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量。
(,,,0)(,,)
T x y z x y z ?=0(,)S T
p t ?==, (,)n S
T T q K const f p t n n ??=-==??0() ()
n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)S
T T K T T hT f p t n n α????-=-+= ?????
3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第二边值问题，牛曼问题
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
二、 定解问题
()
S f p ?=()
S f p n ?
?=?()S
h f p n ???+=?
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：
①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；
②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；
③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。 在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。
三、 例题
1、长为l 的弦，两端固定于0和l 。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
l
x
l/
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
初始位移
2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。试写出杆振动的定解问题。
四、 总结
00==(,)
t t u x t 02 0222=?∈??=??-∈??[,](,)()[,]t h l x x l u x t h l l x x l l 222220,(0,),0(,0)0,(,0),(0,)(0,)(,)0,
0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ???=∈>?????==∈??==≥
?
北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得
以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式：
一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=><
定解条件和定解问题 含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。 一、定解条件 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。 定解条件：初始条件和边界条件的统称。 非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。 1、弦振动方程 ( 2 (,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) | 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ?， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件 为： 边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。 （1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为： (0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t = 当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。 （2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为： 0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t = 当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。 ( （3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界 条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和： 000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=> 或 (,0)(), 0(,0)(), t u x x x l u x x ?ψ=?<
第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是
因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念
1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个
微分方程解的概念和定解条件
(), y x I n ?=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，() ()(,,,,)0n x F x y y y I ?'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ???， () (,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，
这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解. 6. y x ''=二阶微分方程例13 1y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？ 312y x C C =++那是不（2）是通解呢？ 312y x C C =++3123y x C x C =++（）312. x C C C C =+=+，其中是方程的通解.
微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解. 2. yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得 2 y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解. 2y x '=， 0y =但显然 也是原方程的解.
确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件. 不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3(). s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知 2 02(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且
2121()2 s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入： 2(0)00 s C =?=1010()(0). s t at C s v C v ''=+=?= ，201().2 s t at v t =+故特解为
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程
222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题
2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??
定解条件与定解问题 含有未知函数得偏导数得方程叫偏微分方程,常微分方程可以瞧成就是特殊得偏微分方程。方程得分数就是1得称为方程式,个数多于1得叫做方程组。方程（组)中出现得未知函数得最高阶偏导数得阶数称为方程(组)得阶数。如果方程(组)中得项关于未知函数及其各阶偏导数得整体来讲就是线性得，就称方程(组)为线性得,否则就称为非线性得。非线性又分为半线性、拟线性与完全非线性。 一、定解条件 给定一个常微分方程,有通解与特解得概念。通解只要求满足方程,即满足某种物理定律,而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定得外加(特殊)条件。对偏微分方程也就是如此,换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间与时间得变化规律,因为在特定情况下这个物理量还与它得初始状态与它在边界受到得约束有关。描述初始时刻得物理状态与边界得约束情况,在数学上分别称为初始条件(或初值条件)与边界条件(或边值条件)，她们统称为定解条件。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态得条件,即描述物理过程初始状态得数学条件。 边界条件:能够用来说明某一具体物理现象边界上得约束情况得条件,即描述物理过程边界状态得数学条件。 定解条件:初始条件与边界条件得统称。 非稳态问题:定解条件包括初始条件与边界条件。
稳态问题:定解条件为边界条件。 1、弦振动方程 ( ) 初始条件就是指初始时刻(）弦得位移与速度。若以, 分别表示弦上任意点得初始位移与初始速度，则初始条件为： 边界条件就是指弦在两端点得约束情况,一般有三种类型。(1)第一类边界条件(狄利克雷(Dirichlet)边界条件）:已知端点处弦得位移就是,则边界条件为: 或 当时,表示在该点处弦就是固定得。 (2)第二类边界条件(诺伊曼(Nｅuｍann)边界条件):已知端点弦所受得垂直于弦线得外力或,则边界条件为: 或 当,表示弦在端点处自由滑动。 (3）第三类边界条件(混合边界条件或罗宾（Ｒｏbiｎ)边界条件:已知端点处弦得位移与所受得垂直于弦线得外力得与: 或 , 其中表示两端支承得弹性系数,当时,表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。 2、热传导方程(
定解问题 例 .1 长为l 的弦在0x =端固定，另一端x l =自由，且在初始时刻0t =时处于水平状态，初始速度为()x l x -，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 （1）确定泛定方程：取弦的水平位置为x 轴，0x =为原点，因为弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 20tt xx u a u -= (2)确定边界条件： 对于弦的固定端，显然有(0,)0u t =，而另一端自由，意味着其张 力为零．故由式（9.1.39），则0 x l u x =?=?. (3)确定初始条件：根据题意，当0t =时，弦处于水平状态，即初始位移为零亦即 (,0)0u x =，初始速度 0 |() t u x l x t =?=-? 综上讨论，故定解问题为 20 (0,0) (0,)0,|0 (0) (,0)0,(,0)() (0) tt xx x x l t u a u x l t u t u t u x u x x l x x l =?-=<<>? ==≥??==-≤≤? 解题说明：若题中只要求写出定解问题，可根据已经学习的数学物理模型直接写出定解问题. 但若题要求推导某定解问题，则必须详细写出泛定方程和定解条件的推导过程. 例.2 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v ，然近端短路，试写出其定解问题. 【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型. 20xx a -=tt v v （2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==， 根据(9.1.13)公式得到 0i L Ri x t ??++=??v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L x t ??=-??v ，代入条件|0x l i ==有 (,) ||0 x x l x l i i l t L L t t ==??=-=-=??v 而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0 |(0,)0x t ===v v （3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时 的电流 0|0t i ==，根据(9.1.14)公式， 0i C G x t ??++=??v v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i t C x ??=-? ??v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==???=-?=-?=???v 综上所述，故其定解问题为
数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 （B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为 零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ， 并由此求出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题
[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。
第一部分分离变量法 一、(1) 求解特征值问题 (2) 验证函数系关于内积 正交，并求范数 二、用分离变量法求解定解问题 的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的 值. 三、（方程非齐次的情形）求定解问题 四、（边界非齐次的情形）求定解问题 五、（Possion方程）求定解问题 六、求定解问题： 注意： 1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：
2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）； 3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。 第二部分 积分变换法 一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 ()()22222 00 ,, 0, ,t t u u a x t t x u x x u x x t ?ψ==???=-∞<<∞>????? =-∞<<∞????=-∞<<∞??? (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式 (2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式 二、用积分变换法求解定解问题 22 3 01,1, 0, 1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==??=>>?????=≥?? =>??? 注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题 第三部分 特征线问题 一、判断方程 的类型. 二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中 (1) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题
数学物理方程例题和习题 （2009-10-31） 一、二阶常微分方程常数变易法 二阶常微分方程初值问题 ?? ?='=>=+''β αω)0(,)0(0 ),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程：02=+''y y ω。利用辅助方程 022=+ωm ， ωi m ±= 得齐次方程通解 )sin()cos()(21x C x C x y ωω+= 将常数替换为待定的函数，即 )sin()()cos()()(x x v x x u x y ωω+= 有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人 为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得 在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式 0)sin()cos(='+'x v x u ωω 同时，由 )cos()sin(x v x u y ωωωω+-=' 继续求导数，得 )]sin()cos([)]cos()sin([22x v x u x v x u y ωωωωωωωω+-'+'-='' 代入方程，得第二个等式 f x v x u ='+'-)cos()sin(ωωωω 将两个等式联立，得线性代数方程组 ?? ?='+'-=+'f x v x u x v x u )cos()sin(0 )sin()cos(ωωωωωω 或写成矩阵形式 ?? ????=??????''??????-f v u x x x x 0)cos()sin()sin() cos(ωωωωωω 上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于 ωωωωωωω=-= ) cos()sin() sin()cos(x x x x ? 利用克莱姆法则解方程组，有 )sin()()cos()sin(01x x f x f x ωωωω-==?，)cos()() sin(0 )cos(2x x f f x x ωωωω=-= ? )sin()(1 /1x x f u ωω - =='??，)cos()(1 /2x x f v ωω = ='?? )]cos()sin([)]sin()cos([x v x u x v x u y ωωωωωω+-+'+'='
第一章一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立 例 1弦的振动 1、问题的提法 给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。 2、方程的推导 基本假设： （1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。 （2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。 由上述假定推导振动方程。先讨论不受外力作用时弦的振动。由Newton第二定律，知
作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度 于是，在每一个时间段内 作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化 由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。 图 1.1 弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分 之一。跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦。 把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u必随时间t而变，即u又依赖于t。这样，横向位移u是x和t的函数。用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。当t 固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。 把弦细分为许多极小的小段。拿区间（x，x+dx）上的小段B为
数理方程练习题一（2009研） 1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程 222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 3. 求Cauchy 问题 2 2000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈ ? ? 的解． 4. 求解Cauchy 问题 200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞? ≥?? ==???
2 1||()0 ||a x a x x a ≤?∏=? >? 3 2 ()x f x e -= 7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研 究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。 200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00 tt xx t x x u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ?ψ?-=<<>? ==≤≤??==≥? 8. 散热片的横截面为矩形。它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则 处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题 0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y v y b u x v u x b V x x a +=<<<
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案 一．填空题 1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-； 6，412 2 ≤+ 数理方程第二版课后 习题答案 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为 在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为： 数理方程定解问题： 1、数理方程的分类 反应热传导的方程类型为： u t=D?u+f 其中?=e2 ex2+e2 ey2 +e2 ez2 ，u t=eu et ，未知数u表示温度特征，D表示热传导系数，f是与 源有关的已知函数，当f=0的时候，相应的方程被称为齐次方程。 2、用数理方程研究物理问题的步骤 用数理方程研究物理问题一般需经历以下三个步骤 （1）导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分 （2）求解已导出或写出的定解问题 （3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯一且稳定）并作适当的物理解释 3、求解数理方程的方法 求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种 （1）行波法（d’Alembert解法） （2）分离变量法 （3）积分变换法 （4）Green函数法 （5）保角变换法 （6）复变函数法 （7）变分法 定解条件 定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。它分为初始条件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组成的，则在两种介质的交面上定解条件还应当有衔接条件。 1、初始条件 （1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式 （2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。热传导方程仅需给出一个初始条件 u x，y，z；t|t=0=φ(x，y，z) 2、边界条件 （1）定义物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件。 （2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。设f(M，t)为任一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为： 1 第一类边界条件u| 边 =f(M,t) 2 第二类边界条件eu en | 边 =f(M,t) 3 第三类边界条件[u+heu en ] 边 =f(M,t) Mathematical Methods for Physics 第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics 要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。 －牛顿 中心：将物理问题翻译成数学语言 目的:1、如何用数理方程研究物理问题 2、如何导出方程 3、能正确写出定解问题 § 6.1 引言 Introduction 第六章 定解问题 Mathematical Problem 1、数学物理方程概念： 数学物理方程是指从物理、工程问题中， 导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。 数学物理方程 ? 线性方程 ? ? 非线性方程 一、数理方程简介： § 6.1 引言 一、数理方程简介§ 6.1 引言 tt u =a2?u +f u t =D?u +f 2、数理方程的产生和发展： (1)十八世纪初期 (2)十九世纪中期三类数学物理方程： 波动方程 u -波动，a-波速，f-与源有关的函数 输运方程 u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量 泊松方程 h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量 +f xx 2 Taylor ：u tt =a u ?u =-h 一、数理方程简介：§ 6.1 引言 a u 2、数理方程的产生和发展： (3)十九世纪末到二十世纪初 高阶方程（梁的横振动）： u tt = 2 xxxx f ( x, t ) 非线性方程 KdV：u t +σuu x +u xxx = 0 ?ψh2 schro&-dinger：i h ?t =-Δψ 2μ +U(r)ψ + 一． 判断题（每题2分）. 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二． 填空题（每题2分）. 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分） 20 sin ;0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-==== 四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分） （1） 1,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1. t t t y y y e y y =='''+-='== 五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分） 六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分） 七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分） 0xx yy yu xu += 八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。（12分）数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
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