三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
（1）任意角---------??
???
正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.
角α（弧度）(,)∈-∞+∞.
（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则l
r
α=
（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}
2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略
（5）两制互化：一周角=036022r
r
ππ=
=（弧度）
，即0180π=. 1（弧度）0
00
18057.35718π??'=≈= ???
故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180
π
=
两个换算单位即可：如：
005518015066π=?=；036361805
ππ=?=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：211
22
S lr r α=
=. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有1
1
=
2
2
S lr =g g 底高，如图4-1所示.
二、任意角的三角函数 1.定义
已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点
O ），则
P
到原点
O
的距
离
0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r x
ααα=
==.
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ?，邻x ?，斜r ?， 如图4-2所示.
2.单位圆中的三角函数线
以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.
3.三角函数象限符号与单调性
在单位圆中1r ==，则：
（1）sin y
y r
α=
=，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：
01101111.
??-??
??--?上正、下负
；上（90）
，下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到 （2）cos x
x r
α=
=，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：
01101111.
??-??
??--?右正、左负；右（0）
，左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到 （3）tan y
x
α=
.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.??
???
一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；
逆时针方向旋转，各象限全增
三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos α
αα
=
2. 诱导公式
（1）sin ()
sin()sin ()
n n n ααπα?+=?
-?为偶数；为奇数
cos ()
cos()cos ()n n n ααπα?+=?-?为偶数；为奇数
tan()tan ()n n απα+=为整数.
（2）奇偶性.
()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.
（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα??????
? ? ???????
，， 奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2
n π
α?±；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2
n π
α?
±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα??
???,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα??
???
，
即sin +=cos 2παα??
???
， （2）()sin +πα，因为3
+2
ππαπ<<
，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα， 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.
题型归纳及思路提示
题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角
是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.
例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. {
},k k Z
ααπ=∈ B. ,2k k Z παα??
=
∈???
?
C. ,2k k Z πααπ??
=+∈????D.
,2k k N παα??
=∈????
分析 表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.
解析 解法 一：排除法.
终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =K 可知只有选项B 占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.
终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222
ππππππππ----K K 可以看作双向等差数列，公差为
2
π
，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，
故0()2k k Z πα=+
∈?,2k k Z παα??
=∈????
故选B. 评注 终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=?{}
,k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2π
α=
?,2k k Z πααπ??=+∈????
.
例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.
分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.
解析 （1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为
22,63k k k N ππαπαπ??
+≤≤+∈????
；
（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,6
3k k k N π
παπαπ??-
+≤≤
+∈???
?
； （3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππα
παπ?
?+≤≤+∈???
?
； （4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,6
3k k k N π
π
α
παπ??
+≤≤
+∈???
?
. 评注 任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.
变式1设集合M ＝??? x ?????
x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝????
??x ??
x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ?N B ． N ?M C ．M ＝N
D ．M ∩N ＝?
例4.3 下列命题中正确的是（ ）
A. 第一象限角是锐角
B. 第二象限角是钝角
C.
()0,απ∈，是第一、二象限角
D. ,02πα??
∈-
???
，α是第四象限角，也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022,2k k k Z π
απαπ??
+<<+∈???
?
，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2
π
π∈，但
2
π
不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题 思路提示
先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）n
α
的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，
2
α
是第 象限角
解析 解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ?? ???
，得2α的初始集合,42ππ??
???，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图
4-6所示，得
2
α
是第一、三象限角.
解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2
α
是第一、三象限角，又若α是第四象限角，
2
α
是第二、四
象限角.
解法三：取α=0
120，0000
12036060,240
2
α
+?=，即
2
α
是第一、三象限角.
评注对于
2
α
是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；
解法一能准确找出
2
α
的分布.
对于
3
α
是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“
n
α
是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n部分，并从x轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，
1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为
n
α
终边所在象限.
例如：
3
α
的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则
3
α
为第一、二、三象限角.
变式1 若α是第二象限角，则
3
α
是第象限角；若α是第二象限角，则
3
α
的取值范围是
题型3 弧长与扇形面积公式的计算
思路提示
（1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝
1
2lr＝
1
2|α|r
2（弧度制(0,2]
απ
∈）
（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法
例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小.
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α（弧度），扇形面积S.
依题意
24
r
l
r l
>
?
?
>
?
?+=
?
，
1
2
S lr
=，则
1
2
S lr
=
11
(42)(42)2
24
r r r r
=-=-
3
2
π
2
π
4
π
O
y
x
5
4
π
图4-6
2 3
1 4 x
4 1
3 2
y
图4-7
O
2
1422()142
r r -+≤=，
（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时l
r
α==2（弧度）.
评注本题亦可解作2
1112212442l r S lr l r +??
==?≤= ???
，当且仅当22l r ==，即2l =，
1r =时“=”成立，此时l
r α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，
2C l r =+≥且1
12
lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值
为4.
变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则?
AB =（） A. 1sin
2 B. 6π C. 1
1sin 2
D. 21sin 2
变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示
（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；
（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.
例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ） A. 52
π
-
B. 35π-
C. 5
D.5+
2
π 解析 解法一：排队法. 005557.3286.5≈?=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<
，
2r ==，α是第三象限角.
选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+
2π
是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5x
r
α==矛盾，排除B ，故选A.
解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2
π
θθ'∈（这样设的
原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2
π
θθ=+=-
?cos cos θθ'-=-?cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈?352
π
θθ'==-
， ?35522ππαπ?
?
=+-
=- ???
故选A.
变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ）
A.2
B.-2
C.22π-
D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77
P ππ
-，则α=
变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-
B. 35-
C. 35
D. 4
5
题型5 三角函数线及其应用 思路提示
正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明
（1）()sin -=sin παα， （2）sin -=cos 2παα??
???
（3）31tan =-2tan παα??
+
???
解析 （1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=?()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角
-2
π
α与α的终边关于直线y x =对称.
OM M P ''=?sin -=cos 2παα??
???
（3） 如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα??
+=
???
评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,
2
π
πααα±-±.
在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明 中易得cos -=sin 2παα??
???
，相除得1tan =
2tan παα
??
-
???.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2
αβ
+轴对称
二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ,42ππα??
∈
???
，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析 如图4-12所示，,42ππα??
∈
??
?，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM 评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题 变式1 求证： （1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>； （2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<； 变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>； （2）0, 2πα?? ∈ ?? ? ，比较sin ,cos ,tan ααα的大小 变式3 比较大小 （1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6 （3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππ αααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ?? - - ?? ? B. ,04π?? - ??? C. 0,4π?? ??? D. ,42ππ?? ??? 三、利用三角函数线求解特殊三角方程 例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）1 sin 22 x = ；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =. 解析 （1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16 πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512 x k π π=+，k Z ∈. （2）如图4-14所示14 π α=，24 π α=- ，故224 x k π π= +或224 x k π π=- +，k Z ∈，解得8 x k π π = +或8 x k π π=- +，k Z ∈. （3）如图4-15所示，得13 π α=，243πα= ，公差为π，故23 x k π π=+，k Z ∈. 解得6 x k π π=+，k Z ∈. 评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈； （2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式 例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）1 sin 2 x ≤ ；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤. 分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集. 解析 （1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66 ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1 sin 2 x ≤ ，因此所求的角x 的集合为 51322,66x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? . （2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2 cos x ≥ 的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ??-+≤≤+∈? ??? . （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角 5, 44ππ ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不 含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为 ,24x k x k k Z ππππ??-+≤≤+∈? ??? . 评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用 终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小. 例4.11利用单位圆解下列三角不等式： （1）2sin 10α+>； （2）23cos 30α+≤； （3）sin cos αα>； （4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ?? ??? B. ,3ππ?? ??? C. 4,33 ππ?? ??? D. 3,32 ππ?? ??? 解析 （1）由题意1sin 2α>- ，令1 sin 2 α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16 π α=- ，276 6 π π απ=+ = ，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ??-+≤≤+∈? ??? . （2）如图4-20所示，3cos α≤标出3 cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出 156 6π παπ=- = ，2766 ππ απ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππα παπ??+≤≤+∈???? . （3）sin cos αα>y x y x r r ? >?>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14 πα=，254πα= .这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22 ππ >成立 ，故不等式的解集为522,4 4k k k Z π πα παπ? ?+≤≤ +∈??? ? . 注 本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分. （4）sin 3cos αα>，得 33y x y x r >?>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13π α= ，243 π α= .，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2 π α= ，sin 3cos αα>成立 ，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为43 3π πα α??≤≤ ??? ? ，故选C. 评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B. 22,3x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C. 5,66x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? D. 522,66x k x k k Z ππππ??+≤≤+∈? ??? 题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 思路提示 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负. 例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是 ； （2）3tan 0sin cos sin cos 22 2 π π ππ+---= ； 解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>?? >?或sin 0 cos 0 αα 范围是3,,222ππππ????? ? ????? . （2）01(1)(1)12+-----=. 变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（ ） A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式2 ，43sin ,cos 2525α α==-,2 α 是第 象限角，α是第 象限角. 变式3 若sin cos 1=-，则α的取值范围是 . 变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（ ）象限角. A.一或三 B. 二或三 C.三或四 D.一或四 变式5 若α为第二象限角，则tan 2 α 的符号为 变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限角 变式7 函数cos sin tan sin tan x x x y x cox x = ++ 的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的 思路提示 （1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数 值. （2） 若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ?? ∈ ??? ，1sin 3α=-，cos α= , tan α= （2）已知tan α=2， 1. 3,2 παπ? ? ∈ ?? ? ,sin α= , cos α= 2. 2sin cos 3sin 4cos αα αα -+= , 3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3 ）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析 （1）因为3,22παπ?? ∈ ??? ,cos 0,tan 0αα><, 故cos α== . sin tan cos ααα= =（2）1.因为3, 2π απ?? ∈ ?? ?，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1 ααααα? =?? ?+=?， 得22 sin 2cos sin cos 1 αααα=?? +=?，得2 1cos 5α= .cos 5α=- ,sin 5α=- 2.无象限条件，弦化切. 2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 12213 3tan 432410 αα-?-==+?+ 3. 22sin 2sin cos 3cos αααα-- =2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22 tan 2tan 3tan 1ααα--=+3 5 - （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得 () ()2 222sin cos 5sin cos αααα-=+ 222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα?++?+= sin 2cos 0αα?+=,tan 20α+=?tan 2α=-. 1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12 tan tan 15 ααα+=- + 2. 2sin cos αα-= ( )α?+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值. ()2sin cos sin 2cos 0x x x α αα=' -=+= . 2sin cos sin 2cos 0αααα?-=?? +=?? ?cos 5 sin αα?=????=?? ，sin cos αα- =5-. 评注 本题给出同角求值的几种基本题型.. （1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）； （2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略. （3）中无象限条件，2sin cos αα- =( )α?+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α =' =， 故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x α αα='-=+=. 如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解. 变式1 若tan α=2，则 22 12sin cos cos sin αα αα +=-=（ ） A. 13 B.3 C. 1 3 - D.-3 变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ； 例4.14 已知1 sin cos 5 αα+=-时，,22ππα?? ∈- ??? ，则tan α=（ ） A. 34- B. 43- C. 34 D.- 43 解析 解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得1 12sin cos 25 αα+= 12sin cos 025αα?=- <，,22ππα?? ∈- ??? ，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 0 1sin cos 05αααα<>?? ? +=- ?sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221 sin 2sin cos cos sin cos 25 αααααα++= + 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα?++=212tan 25tan 120αα?++= 43 tan 34 α?=--或 由解法一知tan 1α>，得4 tan 3 α=- ，故选B. 变式1 已知R α∈ ，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A. 43 B. 34 C. 34- D. 43 - 变式2 已知3sin cos 8αα=，42 ππ α<<，则cos sin αα-=（ ） A. 12 B. 12- C. 14 D. 14 - 题型8 诱导求值与变形 思路提示 （1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2 π 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2 π ππ±±± 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数. （3）2,,2 π αβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化 例4.15 求下列各式的值. （1）0 sin(3000)-； （2）41cos 3π??- ???； （3）51tan 4 π ?? - ??? 解析 （1）0 sin(3000)-=0 sin(8360120)sin120-?+=- 000sin(18060)sin 602 =--=-=- ； （2）41cos 3π??- ???=411 cos cos 14cos 3332 π πππ??????=-== ? ? ???????； （3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ?? - =-=--== ? ?? . 评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”. 变式1 若()cos 2-3πα= ，且,02πα?? ∈- ??? ，则()sin -πα= ； 变式2 若3,22ππα?? ∈ ? ??，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（ ） A. 1 5 ± B. 1 5 - C. 15 D. 75 - 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（ ） A. B. D. 变式4 已知1sin 64x π? ? + = ?? ?，则25sin sin ()63x x ππ??-+- ? ?? = ； 最有效训练题 A. 1 5 ± B. 15- C. 15 D. 7 5 - 2.已知点33(sin ,cos )44 P ππ 落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（ ） A. 4 π B. 34π C. 54π D. 74π 3.若角α的终边落在直线0x y += =（ ） A. 2 B. 2- C. 1 D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么 2A 和2 A π -都不是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα???? ? ????? ，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（ ） A. cos2x - B. cos2x C. sin 2x - D. sin 2x 6.已知02x π - <<，1 cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（ ） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15 - 7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25 sin θ=-，则y = . 8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 . 9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 . 10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为 ；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求： （1）这条弦所对的劣弧长； （2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积. 12.已知 001tan(720) 3221tan(360) θθ++=+--. 求2 2 2 1 cos ()sin()cos()2sin ()cos (2) πθπθπθπθθπ??-++-++?? --的值. 同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 题型一，同角间的计算 利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值： （1）tan θ； （2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα 诱导公式 目录·诱导公式 ·诱导公式记忆口诀 ·同角三角函数基本关系 ·同角三角函数关系六角形记忆法 ·两角和差公式 ·倍角公式 ·半角公式 ·万能公式 ·万能公式推导 ·三倍角公式 ·三倍角公式推导 ·三倍角公式联想记忆 ·和差化积公式 ·积化和差公式 ·和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α，π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)sin α cos α ＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，所以cos(π＋α)＝－cos α ＝－3 5，故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2＋α ＝1 5，那么cos α＝( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2＋α＝sin ? ???? π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________. 解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3. 答案 3 5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7 18. 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数 名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 1. 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 二、教学重、难点 重点：公式1cos sin 2 2=+αα及 αα α tan cos sin =的推导及运用： （1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2 2 =+αα及 αα α tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2 2 1MP OM +=, 因此2 2 1x y +=,即22 sin cos 1αα+=. 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+ ∈时,有 sin tan cos α αα =. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简： 440sin 12- 解：原式 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（） A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D． 三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看先象限 图形 简记结合图形，7组公式可用口诀概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 说明①公式的推导思路：前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出（后面3组通过角的变换，进而借助前面的有关公式转化得到）②各组诱导公式都可用含角度的形式 ③在应用诱导公式解题时，基本思路是：“负化正，大化小，化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值，根据问题做到准确应用，正确求解。 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 同角三角函数公式的转化 同角三角函数的基本关系式十分重要，主要运用于三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化．在解答时，若能根据函数式的结构特点，适时灵活地选用公式，往往能获得简捷、迅速的解答． 一、“１”的代换 例１ 证明：66441sin cos 31sin cos 2 x x x x --=--． 证明：∵22sin cos 1x x +=， ∴2231(sin cos )x x =+，2221(sin cos )x x =+， ∴662236644222441sin cos (sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x x x x x x x --+--=--+-- 424222223sin cos 3cos sin 3(sin cos )32sin cos 22 x x x x x x x x ++===··． 评注：本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．同学们要注意掌握和灵活运用“1”的代换． 二、化切为弦 例2 化简：tan (cos sin )sin (tan cot )θ θθθθθ-++··． 解：原式sin sin cos (cos sin )sin cos cos sin θθθθθθθθθ??=-++ ??? ·· 22sin sin sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ =-++=+ 例３ 求证：2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x x x x --=-+． 证明：右边sin 211tan 2cos 2sin 2cos 2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2x x x x x x x x x x - --===++ 2 (cos 2sin 2)(cos 2sin 2)(cos 2sin 2) x x x x x x -=+- 2222cos 2sin 22cos sin cos 2sin 2x x x x x x +-=- 2212sin cos2cos 2sin 2x x x x -==-左边．故原式成立． 评注：三角中的化简及三角恒等式的证明问题常常采用“化切为弦”，即利用商数关系把切函数化为弦函数，以达到统一名称之目的． 三、化弦为切 例3 已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin 3cos sin cos αααα -+； （2）222sin sin cos cos αααα-+． 解：由已知tan 2α=． §4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α ＝tan α. 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 3. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( × ) (3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3 . ( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π 2，π]，则m <－5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3 3 . ( × ) (6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α 的值是－1 3. ( √ ) 2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π 2，0)，则tan(2π－α)的值为 ( ) A ．－25 5 B.255 C ．±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2 3， 又α∈(－π 2，0)， 得cos α＝1－sin 2α＝ 53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25 5. 3． 若tan α＝2，则2sin α－cos α sin α＋2cos α 的值为________． 答案 34 三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-） 公式五： sin( 2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π +α) =- sin α． 公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32 π +α) = sin α． 公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函 数名，偶数就不变 例1、求值（1）29cos( )6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16 sin()3 π-= __________． 的值。 求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值． 提示：先化简，再将1sin 3 θ=代入化简式即可． 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 Xx 学校学科教师辅导讲义 一）一、定义：角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。旋转开始时的射线、终止时 的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_______。 二、在直角坐标系内讨论角： （1）角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几项先，就说这个角是第几象限角（或 者说这个角属于第几象限）； 例如：30°、390°、-330°等都是第一象限角；120°、480°、-240°等都是第二象限角；240°、600°、-120°等 都是第三象限角；-30°、-390°、330°等都是第四象限角。 注意：锐角_____第一象限角，但第一象限角_______锐角；钝角______第二象限角，但第二象限角________钝角。（填 “都是”或者“不都是”） （2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任一象限。 例如：直角、周角、平角都不属于任一象限。 三、终边相同的角（重点） 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={Z k k ∈?+=?,360/αββ }，即任一与角α终 边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。 四、1弧度角的定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。单位符号是 rad,读作弧度。2、弧度 数：在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数；,任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0. 五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ；180°=πrad ；1°= 180πrad ≈；1rad=π 180 ≈°≈57°18′。 同角三角函数的基本关系与诱导公式 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈? ????－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.3 4 B ．－34 C.43 D ．－43 解析：选B 因为x ∈? ????－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2 x ＝－35，所以tan x ＝ sin x cos x ＝－3 4 .故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ? ????α－π3＝13，则cos ? ????α＋π6的值是( ) A ．－1 3 B.13 C.22 3 D ．－223 解析：选A ∵sin ? ????α－π3＝13，∴cos ? ????α＋π6＝cos ??????π2＋? ????α－π3＝－sin ? ????α－π3＝－1 3 ，故选A. 3．(2019·重庆一模)log 2? ????cos 7π4的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D.22 解析：选B log 2? ????cos 7π4＝log 2? ????cos π4＝log 222＝－12.故选B. 4．(2019·遵义模拟)若sin ? ????π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α) ＝( ) A ．－24 25 B ．－1225 C.1225 D.2425 解析：选A ∵sin ? ????π2＋α＝cos α＝－35，α∈? ????π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×? ????－35＝－24 25 .故选A. 5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos α sin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95 D.95 解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2 α＝1， ∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2 α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍 去)， ∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－9 5 .故选C. 6．(2019·庄河高中期中)已知sin ? ????α－π12＝13，则cos ? ????α＋17π12等于( ) A.1 3 B.22 3 C ．－13 D ．－223 解析：选A cos ? ????α＋17π12＝cos ??????3π2＋? ????α－π12＝sin ? ????α－π12＝13.故选A. [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1 tan α＝( ) A. 3 B. 2 C ．3 D ．2 解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝2 2 3＝3.故选 C. 2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10 2 ，则tan 2α＝( ) A.43 B.34同角三角函数与诱导公式
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