三角函数的诱导公式
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ
±±,2的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【要点梳理】
要点一：诱导公式
诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin()sin παα+=-， cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈ 诱导公式三：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈
诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式五：sin cos 2παα??-= ???，cos sin 2παα??-= ???
，其中k Z ∈ 诱导公式六：sin cos 2παα??+=
???，cos sin 2παα??+=- ???，其中k Z ∈ 要点诠释：
(1)要化的角的形式为α±?ο90k (k 为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (4)sin cos cos 444x x x πππ?
?????+=-=- ? ? ???????；cos sin 44x x ππ????+=- ? ?????
. 要点二：诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α?±o (k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定
这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简. 化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值：
（1）10sin 3π??- ???
；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）． 【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【答案】（12）3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ??-
=- ???44sin 2sin 33πππ??=-+=- ???
sin sin sin 333ππππ????=-+=--== ? ????
?．
（2）3177cos cos 4cos 666ππππ??=+= ???cos cos 662πππ??=+=-=- ???
． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．
（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式1】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．
【答案】2
【解析】原式=－sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)－cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°)=―sin(180°―60°)·cos(180°+30°)―cos(360°―60°)·sin(360°―
30°)+tan(180°+45°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°111222
=+?+=．
例2．（1）已知cos 6πα??-= ???，求25cos sin 66ππαα????+-- ? ?????的值． （2）已知1
cos(75)3α-?=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．
【答案】（1）（2
【解析】（1）∵5cos cos 66ππαπα??????+=-- ? ??????
???cos 63πα??=--=- ???， 2
2222sin sin 1cos 16663πππααα????
????-=--=--=-= ? ? ?????????????
∴2522cos sin 66333ππαα????+--=--=- ? ????
?． （2）∵1cos(75)03
α-?=-<，且α为第四象限角， ∴α―75°是第三象限角，
∴sin(75)α-?=3==-，
∴sin(105)sin[180(75)]sin(75)3
ααα?+=?+-?=--?=． 【总结升华】注意观察角，若角的绝对值大于2π，可先利用2k π+α转化为0～2π之间的角，然后利用π±α、2π－α等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤．
举一反三：
【变式1】 已知1cos(75)3α?+=
，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值． 【答案】
【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,
sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)，
∵α为第三象限角，
∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．
又cos(75°+α)=13
＞0，∴75°+α为第四象限，
∴sin(75)3α?+===-．
∴1cos(105)sin(105)3αα?-+-?=-=． 【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用
诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．
类型二：利用诱导公式化简
例3．化简 (1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-o o o o ； (2)cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)
πθθππθπθθπθπ??- ?--????----. 【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【答案】（1）-1（2）1
【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--=
=-=-+-； (2) 原式sin(5)sin cos cos()sin(3)sin(4)
πθθθπθπθπθ--=??----+ sin()sin cos cos sin()sin πθθθθπθθ--=??----sin sin cos 1cos sin sin θθθθθθ
-=??=--- 【总结升华】诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；
举一反三：
【变式1】（1）sin cos(3)tan()2cos cos()2παπαπαπααπ??+-+ ?????--- ???
； （2
）sin 250cos 790?+?
； 【答案】（1）1（2）-1
【解析】（1）原式cos cos()tan cos (cos )tan cos sin 1sin cos()sin (cos )sin cos απααααααααπααααα
--===?=+-． （2
）原式=
sin 70cos701cos70sin 70cos70sin 70?-?====-?-??-?
． 类型三：利用诱导公式进行证明
例4． 求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin cos 22παπαπααππαα----=-????++ ? ????
?． 【思路点拨】（1）要证明的等式左边有切有弦，而等式右边只有切；
（2）等式左边较复杂但却可以直接利用诱导公式．
解答本题可直接把左式利用诱导公式进行化简推出右边．
【证明】 左边tan()sin()cos()sin 2cos 222αααπππαπα---=????????---- ? ????????????
? (tan )(sin )cos sin cos 222αααππαπα--=????????---- ? ????????????
? 22sin sin cos sin sin cos 22ααππαααα==-????--- ? ????? sin tan cos ααα
=-=-=右边，原式得证． 【总结升华】利用诱导公式证明等式 ，主要思路在于如何配角，如何去分析角之间的关系． 举一反三：
【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】
【变式1】设A 、B 、C 为ABC ?的三个内角，求证：
（1）()sin sin A B C +=；
（2）sin
cos 22
A B C +=； （3）tan cot 22A B C += 【证明】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证．
（2）左边=sin 2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++????=-= ? ?????
=右边，等式得证． （3）左边=tan
tan cot 2222A B C C π+??=-= ???=右边，等式得证． 【变式2】设8tan 7a απ??+= ???．求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77a a πααππααπ????++- ? ?+????=+????--+ ? ????
?．
【证明】左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα????????++++- ? ?????????????=????????-+-++ ? ?????????????88sin 3cos 7788sin cos 77ππααππαα????-+-+ ? ?????=????-+-+ ? ????? 8tan 33781tan 17a a παπα??++ ?+??==+??++ ???
=右边． ∴等式成立