大学生数学修养
学院：机电工程学院
学号: 11010341
姓名：周梅杰
数学中的哲学
【摘要】：数学与哲学是密切联系、相辅相成的。一方面，正确的世界观是人们从事数学研究的前提；另一方面，数学理论的进步和完善改变着人们对整个世界的认识。早在古希腊，哲学家们的论著中就包含着大量的数学理论和方法。而今随着系统科学、计算机科学等横向学科的兴起，数学与哲学的联系更为广泛。
【关键词】：数学；哲学；唯物辩证法；辩证唯物主义认识论
哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，是研究整个世界的普遍本质及规律的科学；数学是研究现实世界空间形式和数量关系的具体科学。哲学为数学提供方法论基础，数学影响着人们的哲学观点，并遵循哲学中所阐述的基本规律而产生、变化和发展。
一、数学与哲学是相互影响、相互促进或者相互抑制的
每个数学家，都要受到他所处时代的哲学观点的影响，其研究成果也使人们对自然界的认识更加深入、透彻，影响着人们的哲学观点。哲学思想可以影响数学家及其研究成果的获得。数学的产生和发展,归根结底是由人类的实践活动决定的。但是,哲学思想对数学的发展,也有着一定的促进或阻碍作用。例如,柏拉图的理念论哲学、欧洲中世纪基督教哲学、马克思主义哲学都对数学有影响作用,只不过它们有的是促进作用,有的是阻碍作用。难怪有人说:哲学与数学是孪生兄弟,密不可分。
1．数学研究总是在某种哲学思想的指导下进行的
数学家从事数学研究的目的、方法及其深度、广度，深受其哲学思想的影响。例如，古希腊数学家本着自然界是有秩序的、按照一定方案运行的、可以被人类认识的古代朴素唯物主义的哲学思想从事数学研究，他们认为数学理论不是人创造的，而是先于人而存在的，人只要肯定事实并记录下来就行了，所以他们只是考虑如何运用数学知识去解释自然，而不去考虑如何将其运用于改造自然，这导致他们无法接受无理数和无限量，研究范围受到很大的限制。再如，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔，是唯理论哲学的创始人，主张用“怀疑”代替“盲从”和“迷信”，倡导通过理性去获得真理，认为科学家应该是自然界的探索者和关心科学用处的人。基于这种哲学观点，他在数学研究中，决心放弃抽象推理式的几何，找到一种有利于人们解释自然、改造自然的几何。为了实现上述设想，他把代数方法应用于几何研究，创立了解析几何，并在数学中引入了“变量”的概念，完成了数学史上划时代的伟大变革。
2．数学的发展影响着人们的哲学观点
数学作为人们认识自然、改造自然的工具，其每个重要理论的产生，都会带来自然科学的巨大进步，加深了人们对自然和社会的认识，从而影响着人们的世界观。例如，欧几里德的《几何原本》，用公理建立起演绎数学的理论体系，使后来的人们在认识世界的过程中，不再随意猜想，而是善于利用逻辑推理的方法去解释自然。再如，笛卡尔创建了解析几何，引入了“变量”的概念，使人们可以把形象和路线表示为代数的形式。对航海学、天文预测、物体运动的研究起了巨大的推动作用，加深了人们对自然界的认识，影响着人们的世界观，提醒人们不但要了解自然，而且要用所学知识去掌握自然。正如恩格斯所说：“数学中的转
折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”再如，牛顿、莱布尼兹创建的微积分理论，为近代数学、物理学、天文学开创了新纪元，使自然科学得到了前所未有的发展，大大地提高了人们对自然界的认识程度，为18世纪的理性机械宇宙观奠定了基础。
二、数学与唯物辩证法
唯物辩证法用全面的、联系的、发展的观点看世界，这三个基本规律从不同角度揭示了自然、社会和人类思维发展的一般规律。数学理论的产生和发展符合唯物辩证法阐述的事物发展的一般规律。
1．不同的数学知识之间是相互联系的
唯物辩证法普遍联系的观点广泛地存在于数学理论中，许多不同的数学理论之间是相互联系的。诸如，函数论与微分方程、数理逻辑与拓扑学、概率论与泛函分析、代数方程与群论等。甚至当数学家们把两种表面上看似无关的数学知识联系起来时，会产生奇迹，形成一门崭新的数学学科。例如，当数学家们把微积分理论与几何问题联系起来，即用微积分理论去研究平面曲线和空间曲线的曲率、曲线族的包络、曲面上的测地线等问题时就产生了新的数学分支——微分几何。正如德国数学家希尔伯特所说：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合”。
2．数学理论存在和发展的前提是其内部的矛盾性
对立统一规律揭示了事物发展的源泉和动力在于事物内部的矛盾性，矛盾对立面的同一和斗争推动着事物的发展。每一种数学理论中都含有互相矛盾的双方，它们既对立又统一构成这种理论存在和发展的前提。例如，解析几何中的“数”与“形”是一对矛盾。它们的对立体现在“数量”与“图形”是两个不同的概念，它们的联系是每个图形有着相应的函数表达式，每个函数有着相应的几何意义；这就使人们可以用代数的方法解决几何问题，并使抽象的代数问题形象化。正是“数”与“形”的对立统一构成了解析几何这门学科存在和发展的基础。
3．数学理论的发展过程是量变、质变的反复过程
量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态，事物的发展变化都表现为由量变到质变，再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面，数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限，如果量变超出了这个界限，就会发生质变，形成另一种概念，这种新概念又存在着自己特有的新的量变。例如，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”，如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形，变为线段或圆。(边数小于3时为线段；边数超出有限数范围，即趋于无穷时为圆。)不论线段还是圆，都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。下面以求曲边梯形的面积为例说明定积分理论的产生过程。为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如果分割足够密，这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值，其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值，所以上述过程是量变的过程，没
有发生质的飞跃。如果分割无限加密，即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时，就得到原曲边梯形的精确面积，发生了从量变到质变的飞跃，这正是定积分理论的基本思想。
4．数学理论的发展过程中体现着否定之否定规律
否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是：经历两次否定、三个阶段，即由肯定达到对自身的否定，并再由否定进到新的肯定——否定之否定。每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律。在理论最初形成时，该理论得到肯定；随着实践的需要和研究的深入，该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定；进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确，最终得出新的结论，达到新的肯定。例如，欧几里德的《几何原本》刚问世时，得到当时数学界的认可并给予了极高的评价。后来学者们注意到《几何原本》并非完整无缺，其中存在着许多缺陷。例如，用图形的重合来证明它们全等的方法是不完善的，对有些概念的定义含糊其辞而另一些无关宏旨等。对这些有缺陷部分的否定，促使许多数学家致力于整理、完备欧几里德的几何体系，最终由德国数学家希尔伯特提出了比较完善的公理体系，使几何学的理论更完善，论证更严谨，同时也促进了近代几何的产生和发展。此外，数学的运算结果也体现着否定之否定规律，例如，正数取两次相反数(两次否定)仍是正数；命题逻辑中，一个命题的两次否定仍是原命题等。
三、数学与辩证唯物主义认识论
辩证唯物主义认识论引入了实践的观点，阐明了人类认识发展的普遍规律，指出了理性思维的基本方法，强调了非理性因素在人类认识过程中的积极作用。数学理论的形成和发展符合认识的普遍规律，数学研究中广泛地应用着认识论中阐述的基本思维方法，非理性因素对数学教学有着重要影响。
1．数学理论的形成和发展符合认识发展的普遍规律
辩证唯物主义认识论阐明了理论与实践的辩证统一，一方面理论来源于实践，另一方面实践需要理论的指导，并且理论可以在一定程度上超越实践的发展阶段，预见未来；指出了人类的认识过程是在实践的基础上不断深化和完善的过程。数学理论的形成与发展遵从以上认识规律。例如，17世纪，人们面临着求变速运动的瞬时速度、求曲线的切线、求函数的最大值和最小值、求曲线弧长、曲线所界区域的面积、曲面所围立体的体积等实际问题。为解决这些实际问题，许多著名的数学家、天文学家、物理学家如伽利略、开普勒、费尔马、笛卡尔等做了大量的工作，最终由英国的牛顿和德国的莱布尼兹汇总了其他科学家有价值的思想，创建了微积分理论。当微积分的概念形成之后，被广泛地应用于实践，使很多曾让人们束手无策的问题迎刃而解。后来，随着数学本身发展的需要，许多著名的数学家，如傅里叶、柯西、黎曼、斯蒂尔杰斯、勒贝格等对微积分理论从各个方面作了更深入地研究，产生了各种广义积分及各种扩充的积分，如黎曼积分、斯蒂尔杰斯积分等，使微积分理论不断完善，并在一定程度上超越了当时的实践需要。这说明数学理论是来源于实践、应用于实践、在实践中不断完善的，并且可以在一定程度上超越实践，预见未来。
四、结语
总之，数学内部处处蕴涵着哲学思想，数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟，哲学观点在数学成果的推动下不断进步。而今，随着科学技术的飞速发展以及信息时代的到来，数学的应用空前广泛，同时也对数学教学提出了更高的要求。用唯物辩证法的观点，全面、联系地看待所讲内容，注意知识之间的前后衔接，用辩证唯物主义认识论的观点将数学中的知识点衔接起来。
参考文献：1、《关于日本的数学哲学研究》解恩泽
2、《数学哲学：对数学的思考》斯图尔特
3、《数学哲学》保罗·贝纳塞拉夫
4、《沉思录》奥勒留
5、《古今数学思想》（第1册）莫里斯·克莱因著
张理京，张锦炎，江泽涵译
6、《你的第一本哲学书》托马斯·内格尔著宝树译
数学与哲学 何晓川 材料学院材料1005班 201065041 摘要：本文首先介绍了数学与哲学的本源关系，然后讲述了数学与哲学在东西方发展进程中的表现，以及数学的三大危机，接下来介绍了数学与哲学研究所面临的六大问题，最后形象化总结数学与哲学的关系。 一：数学与哲学 现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。 任何一门学问，必然是反映着哲学的探索与诉求，数学作为一种同经验无关的人类思维的结晶，更需要哲学的支撑。 哲学是人类认识世界的先导，哲学关心的首先是科学的未知领域，哲学倾听着科学的发现，准备提出新的问题。哲学，从某种意义上说，是自然学科的望远镜，数学就产生在哲学已探索的未知领域。数学本身源于自然哲学，虽然在历史的进程中，数学学科逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍带有浓厚的哲学味道。 柏拉图有句名言：“没有数学就没有真正的智慧。”智慧是被运用于生活中的哲学，是哲学的生活化、实际化。历史上，许多著名的学者，如英国的罗素、德国的数学家康托尔，正是踏着数学的阶梯步入哲学堂奥的。 二：数学与哲学在东西方的表现 哲学与数学在东西方世界的表现有着不同。 西方哲学与数学有着密切的关系。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。在古希腊罗马时期，哲学尚未与其他的学科明确分开，许多哲学家本身就是自然数学家，哲学与数学是一个学科，无疑他们是联系在一起的。这个时期的哲学家探讨的主要是自然哲学和本体论的问题，为了搞清客观世界及其原因和规律究竟是什么，人们创造了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思维的萌芽时期。 亚里士多德后，哲学与其他学科分开了，但西方哲学与数学仍然紧密联系，近代西方的许多哲学家，其本身也是数学家。而中国的哲学与数学联系很少，历史上鲜有集数学家与哲学家于一身的人。中国传统哲学子孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起。这实际上体现了东西方哲学思维方式的一种不同。 这种不同的表现，对近代的科学在东西方的兴起发展起了不同的影响作用。对于今天的我们，又该如何看待呢？我们国家正处于社会主义现代化建设时期，个人认为，我们应该学习西方的哲学思想，并改造中国的传统哲学，努力养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。 三：数学的三大危机
数学与哲学的关系论文【数学和哲学的关系优秀参考论文】 数学和哲学之间的关系，一直受到人们的探讨，有很多的论文都对数学和哲学作出了深刻的描写。以下是小编精心整理的数学和哲学的关系论文的相关资料，希望对你有帮助! 数学和哲学的关系论文篇一 摘要：本文首先介绍柏拉图的数学哲学思想，接着讲述一下数学哲学，再介绍必然性和先天性知识，接着介绍三大主义，以及数学哲学的现代发展，最后简单总结数学哲学。关键词：柏拉图数学哲学先天性必然性知识三大主义 正文： 一：柏拉图的数学哲学思想 柏拉图的数学哲学思想主要体现在数学本体论的问题上，而在数学的本体论问题上他采取了实在论的立场，即认为数学的对象是他所说的“理念世界”中的真实存在。柏拉图的这一认识是建立在对数学绝对真理性的信念之上的。他认为数学对象就是一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在。 除去实在论的观点外，柏拉图还强调了数学认识活动的先天性。按柏拉图的观点，理念世界是理性认识的对象，而且，这种认识只能通过“对先天的回忆”得到实现;由于对象也是理念世界中的存在，因此，在柏拉图看来，数学就从属于研究理念的科学——“辨证法”，即是一种先天的认识。 另外，除去数学的先天性以外，柏拉图还强调数学认识在一般的理性认识中的作用：由于数学对象被说成是感性事物与理念之间的“中介对象”，因此，数学的认识也就具有一种“桥梁”作用，它能刺激人们，从而引起灵魂对“先天知识”的回忆。柏拉图说：“几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神……。” 二：数学哲学 数学在形式化和抽象化方向上的发展，数理逻辑和数学基础研究的进展，以及悖论的发现，开创了数学哲学的研究的新时期。 数学家们认为，数学是建立在一系列自明原则基础上的。一个数学家的责任是尽可能完全地发现由这些原则所得出的结论。他应该坦率地承认这些原则本身是一些明显的洞察，因而它们形成一个无可懈击的、永恒的基础。与此相反，哲学家会听任数学家去探索由这些原则得出结论;他对这些结论并不感兴趣。然而他必须对下述事实作出解释，即我们具有供我们使用的、此类自明性所适用的一些洞察力，他还需要说明与这些洞察有关的对象。他们同意数学的对象不属于物质世界，数学洞察不可能以经验作为依据，因为适合于数学原则的这类自明性决不属于我们的经验知识而是数学原则所特有的。 三：必然性和先天性知识 数学哲学在很大程度上是认识论——在哲学中处理认知和知识的部分——的一个分支。但是，数学至少表面上与其他求知的努力不同。特别是与科学追求的其他方面不同。数学命题，像7+5=12有时被当做必然真理的范例，简直不可能有其他情况。 科学家会乐意承认她的较为基本的论题可能是假的。这种谦恭被科学革命的历史所印证，在革命中，长期存在且深信不疑的信念被推翻了。数学也能严肃地支持这种谦恭吗?能怀疑数学归纳法对自然数成立吗?能怀疑5+7=12吗?有没有数学革命，其结果是推翻长期存在的核心的数学概念?恰恰相反，数学方法论似乎并不像科学那样是或必然性的。与科学不同，数学通过证明展开，一个成功的、正确的证明扫除了所有基于理性的怀疑，不仅仅是所有有理由的怀疑。一个数学证明要表明它的前提逻辑地蕴涵它的结论。前提为真而结论为假是不可能的。 “先天”这个词的意思差不多是“先于经验”或“独立于经验”。它是一个认识论的概念，如
数学哲学对于数学教育的价值 数学哲学对于数学、数学教育和数学教学的意义何在?其实这一直是一个没有定论的问题。具体说来，人们大概不会否认数学哲学对于数学和数学教育的作用，无论这种作用是大还是小，是积极的还是消极的，是长期的还是短期的，是直接的还是间接的。然而人们难以有共识的是，数学哲学在何种程度上，以何种方式对数学和数学教育起着作用。本文将从数学哲学的一个核心与重要的领域――数学观出发，对相关话题予以初步论述，以期引起中小学数学教师对此话题的关注。 一、数学观演变的历史掠影 自从数学产生以来，人们就形成了关于数学的许多认识。人们关于数学的理解和看法在相当程度上取决于当时数学知识发展的水平。例如，无论是在中国古代还是古希腊，万物固有的量性特征都促使人们思考了物质世界与数量之 间的关系。在《道德经》中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想，而古希腊的毕达哥拉斯学派的信念则是“万物皆数”。再比如，物质存在的空间形态促使
人们对几何形体进行了研究，几何学因而成为所有数学文化的共同对象，尽管所采取的研究方法各不相同。 在数学发展早期，由于数学知识的特点，这种对于数量与空间形式的认识可能是初步的、幼稚的，甚至是错误的。例如，无论是在中国古代、古巴比伦、古埃及还是古代印度，数字与神秘主义一直有着千丝万缕的联系。在古希腊，由于受所有的数都是整数之比这一观念的影响，无理数的发现竟然被认为是一场灾难。 与古埃及、巴比伦和其他的经验主义数学范式不同的是，古希腊数学在许多基本和重大的观念上都是开创性的。在本体论方面，古希腊人把数学研究对象加以抽象化和理想化，使之成为与现实对象不同的具有永恒性、绝对性、不变性的理念对象。在认识论方面，对于数学真理的判定，古希腊人坚持运用演绎证明而不是经验感知，并赋予数学真理以与其本体论性质相当的价值观念。古希腊人把数学加以观念化，使之成为一种形而上学的学问，而不仅仅停留在实用的、技术的、巫术的、技艺的等形而上学的层面。在方法论方面，古希腊人赋予数学以严密的逻辑结构，使数学知识以一种体系化的形式呈现，并坚持通过论证的方法获得数学命题的可靠性。 演绎数学作为古希腊所开创的数学范式，其基本观念在毕达哥拉斯学派和柏拉图的数学世界中达到了顶点。毕达哥
浅谈小学数学教学与生活的联系 教育对经济发展和社会发展具有积极的促进作用，而这种作用的发挥是通过受教育者的能动性来实现的。义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。小学教育工作者在教学工作中应注意建立学生生活与数学学习的关系。以下是笔者的一些看法。 标签：小学数学;教学;生活;联系 一、理念——面向学生的生活世界 学生是一个有血有肉、有思想、有个性的活生生的人，不是灌装知识的“容器”。1993年联合国教科文组织在北京召开的“面向21世纪的教育”的国际研讨会，就将“高境界的理想、信念与责任感，强烈的自主精神，坚强的意志和良好的环境适应能力、心理承受能力”列为21世纪人才规格的显著特征。 学生不是一张白纸，他们在日常生活中积累了一定的生活经验，这些经验往往与数学概念、法则、公式、数量关系等数学知识有着密切的内在联系。教师可以根据不同年级学生的身心发展特点和学习规律，提供基本内容的现实情景，让数学内容包含在学生熟悉的事物和具体情境之中，加深学生对学习的理解。 教师在教学过程中，要面向小学生的生活世界和社会实践，让数学课程走向生活;尊重学生已有的知识与经验，并在此基础上展开教学活动;教师要引导学生经历知识形成的过程，积极倡导自主、合作、掷究的学习方式，让他们做学习的主人，让课堂充满创新活力，激发学生的学习热情;实施综合性评价，体现人文关怀，以促进师生的共同发展。 二、意义——丰富学生的生活世界 传统的数学课程体系大多是严格按照学科体系展开的内容一般是一系列经过精心组织的、条理清晰的知识结构，这样的内容便于教师教给学生系统的数学知识和逻辑的思考方法。但这些内容是否真实而有意义，是否贴近学生的生活世界，是否有利于学生认识和理解数学，却往往考虑甚少。由于学生平时极少接触高深的数学知识，缺乏数学感悟，如果对这部分结构较为复杂的知识不事先进行铺垫就直接教学，很可能会导致部分学生因无法利用已有生活经验，而对他们感悟、理解并完善认知结构带来一定的障碍。 面向学生，面向生活，面向社会。学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。学生生活在现实社会中，并最终走向社会，如果数学内容的题材能贴近学生的生活实际，走入他们的生活世界，呈现的形式能丰富多样，生动活泼，就会让他们感到亲切，并产生乐学、好学的动力。当学生对学习内容产生了极大兴趣的时候，学习过程对他们来说就不是一种负担，而是一种心理满
数学与哲学 从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。 1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此后各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学问题。近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣，因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去脉。 1、逻辑主义 罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯粹数学是所有形如…p蕴涵q?的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。” 这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。 弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分析判断，因此是先验的。根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规律。把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工，计算就是推理。数字规律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有数。因此，数字规律实际上不能应用于外在世界，这些规律并不是自然规律。不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上，这些判断即是自然规律。它们反映的不是自然现象之间的关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。 早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发现悖论，这个计划遭到了困难。他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这就是他和怀特海合著的《数学原理》。 既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上，因此，书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。 不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。 要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在消除悖论之后，成功地用“类”来定义1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了n×m＝m×n。 在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：
浅谈数学教学中的哲学思想 数学是整个自然科学发展的前提条件和存在的依据，又是自然科学和社会科学发展的基础。数学也是一门工具性学科，在数学教学中含有丰富的哲学思想，如辩证法，物质和意识的第一性问题，量变到质变的问题，矛盾双方的依存问题，真理的相对性和绝对性问题等等。因此，本文从五个方面谈数学教学中的哲学思想。 一、物质和意识谁是第一性的哲学思想 马克思主义哲学认为，物质第一性，意识第二性，物质决定意识。 世界的本质是物质。人的意识是客观存在的一种反映。如无理数的产生就是人对客观世界的认识的一个飞跃。古希腊时期，著名的毕达哥拉斯学派倡导“唯数论”，即任何量均可以由两个整数之比来表示。但到公元前五世纪末，希腊数学家们却发现有些量例外。在平面几何中寻找正方形的对角线与边的公共度量，其结果与“唯数论”产生了矛盾。因此发生了第一次数学“危机”，其主要原因是认识上的局限性、片面性和绝对化。人们对“唯数论”产生了怀疑。数学家们后来又发现了更多的不能用两个整数之比表示的数，把它们统称为无理数。能用两个整数之比表示的数叫作有理
数。这说明物质不依赖人的意识而客观存在。物质决定一切，意识反映物质。 二、量变到质变的哲学思想 在哲学中，把事物在数量和程度上的逐渐的、不显著的变化叫作量变。把事物显著的、根本性的变化叫作质变。在数学教学中也有这样的情况。如极限的教学中，每个加数都存在极限且每个加数的极限值都等于0，但的确不等于0，它的正确解法是 又如无理数的发现，它也是人的意识由量变到质变的产物，是人对客观事物的认识发生变化的产物。 三、真理的绝对性的哲学思想 真理是绝对的，但人对真理的反映是片面或存在局限的。意识是客观事物在人脑中的反映。这种反映有正确的，也有歪曲的，还有片面性或存在局限的。由此?a生了真理的相对性。如数学悖论的产生和数学“危机”的发生都是人对客观事物的反映的局限性所造成的。数学对客观事物的反映是真实可靠的。但人的意识总达不到完美无缺的状态。由此产生了三次数学“危机”。导致第一次数学“危机”的根本原因是认识上的片面性和绝对化。一方面未能正确认识“一切均可以归纳为整数之比”这一结论的局限性，由此把它看成是绝对的完善的真理。这样实际上就造成了一种片面的、僵化的概念。另一方面，不可通约量的发现，最终必将导致
数学与哲学的关系 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
论数学与哲学的关系 【摘要】哲学，在里，对于这一词并无普遍接受的定义，也预见不到有达成一致定义的可能。单就西方学术史来说，哲学是对一些问题的研究，涉及等。数学，是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。数学是社会科学和自然科学的基础，哲学是社会科学和自然科学的概括。 关键词：哲学；数学；原理；关系 哲学是对普遍而基本的问题的研究，这些问题多与实在、存在、知识、价值、、心灵、语言等有关。在东方，哲学一词通常用来说明一个人对生活的某种看法（例如某人的“人生哲学”）和基本原则（例如、、）。而在学术上的哲学，则是对这些基本的理性根据的质疑、反思，并试图对这些基本原则进行的重建。在日常用语中，“哲学”一词可以引申为个人或团体最基本的信仰、概念和态度，哲学一词可以是指一种、或者。 而对于我的专业-——基础数学，我认为我的这个专业，必然和哲学有着千丝万缕的关系，我发现了张景中院士献给数学爱好者的礼物——《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等内容，使我开阔了视野，对于研究生期间要学习的内容，也有了更深层次的见解。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。 例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。 翻开西方数学史或哲学史，我们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；着名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的着名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。 再比如，“模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜”来描述数学与哲学各自的特点；“数学的领域在扩大。哲学的地盘在缩小”等等。值得注意的是我们可以对自己的部分数学研究工作做出新颖的哲学分析。例如从常微分方程的
如何把小学数学教学与生活相联系 数学源于生活，数学植根于生活，生活中处处有数学，数学蕴藏在生活中的每个角落。以生活实践为依托，将生活经验数学化。数学也是哲学的一门衍生物。是解决生活问题的钥匙，数学是人们生活、劳动和学可必不可少的工具。因此，数学都能在生活中找到其产生的踪迹。面向21世纪的数学教学，我们的理念是“人人学有用的数学，有用的数学应当为人人所学，不同的人学不同的的数学”，“数学教育应努力激发学生的学习情感，将数学与学生的生活、学习联系起来，学习有活力的、活生生的数学”。如何根据教材的特点，把枯燥的数学变得有趣、生动、易于理解、让学生活学、活用、从而培养学生的创造精神与实践能力呢？通过反复思考，我就从课堂教学入手，联系生活实际讲数学，把生活经验数学化，把数学问题生活化。 一利用生活经验来解决问题 低年级学生尽管具备了一定的生活经验，但他们对周围的各种事物、现象有着很强的好奇心。我就紧紧抓住这份好奇心，结合教材的教学容，创设情境，设疑引思，用学生熟悉的生活经验作为实例，引导学生利用自身已有的经验探索新知识，掌握新本领。 1.借用学生熟悉的自然现象学习数学 在教学“可能性”一课时，先让学生观看一段动画，在
风和日丽的春天，鸟儿在飞来飞去，突然天阴了下来，鸟儿也飞走了，这一变化使学生产生强烈的好奇心，这时老师立刻抛出问题：“天阴了，接下来可能会发生什么事情呢？”学生就会很自觉地联系他们已有的经验，回答这个问题。学生说：“可能会下雨”，“可能会打雷、电闪”，“可能会刮风”，“可能会一直阴着天，不再有变化”，“可能一会儿天又晴了”，“还可能会下雪”……老师接着边说边演示：“同学刚才所说的事情都有可能发生，其中有些现象发生的可能性很大如下雨，有些事情发生的可能性会很小如下雪……在我们身边还有哪些事情可能会发生？哪些事情根 本不可能发生？哪些事情发生的可能性很大呢？”通过这一创设情境的导入，使学生对“可能性”这一含义有了初步的感觉。学习“可能性”，关键是要了解事物发生是不确定性，事物发生的可能性有大有小，让学生联系自然界中的天气变化现象，为“可能性”的概念教学奠定了基础。 2.结合生活经验，在创设活动中学数学 在教“元角分的认识”一课中，我首先创设了这样一个情境：母亲节快到了，小明想给妈妈买一件礼物，就把自己攒的1角硬币都拿出来，一数有30个，拿着这么多硬币不方便，于是小明就找隔壁的老爷爷来帮忙想办法，老爷爷说这好办，收了小明的30个1角硬币，又给了小明31元钱，小明有点不高兴，觉得有点吃亏。你们说小明拿30个1角
数学的哲学原理 题记 本文作于2003年底至2004年初那段沉迷的日子。 ——李阳数学并不是宇宙中存在的事物，而是在人类哲学对所有能量接受后的反思。这种反思创造了许多可以用来更好的描述我们世界的工具。要想弄明白所有数学问题我们必须先从哲学开始谈起。哲学是人类大脑中有序能量和无序能量的碰撞，因此哲学才会成为提出问题并解决问题的科学。哲学的提问是人类所有科学发展的能量源泉。数学也不例外。 数字概念的形成 当外界信息以各种能量形式做用于我们的大脑时，我们大脑中的无序能量会从中选择一组排列。从而形成了新的相对有序排列。这种新的相对有序能量排列并不会影响我们对客观存在的认识。大脑在这一过程中只是做了一次最简单的等量代换。例如当我们描述一个物体时可能会出现很多种表达，当这个物体变成相同的两个物体时描述就会变得更加不同。在人类早期我们根本不会有1，2等概念。我们最早的认识应该只有“有”和“无”，这在中国古代的哲学概念中就存在。在语言出现之前，我们更多的用手势和体态语来描述我们所看到的物体。对于我们看到的东西我们会认为它是“有”，当这个东西不在了我们会认为是“无”，在生活中没有的东西当然就没有任何意义了，所以我们古代最早形成的应该是1到9这样的数字。当我们在描述一个物体时我们用1来代换了，对两个相同物体我们会用1，1来代换。但是对更多的相同物体我们要是都用1，1，1……来表示就不会很妥当了，而且也不容易表达。这是我
们伟大的哲学家又一次运用了代数的最基本原理，引入新的变量。就像这样：1+1=X; X+1=Y……当然他们并不会使用X,Y这样的变量。而是他们创造的新的符号来表示，这便是2，同时还创造了它的发音以便于表达信息。接下来的3到9也是这样创造出来的。他们都表示了几个1相加这样的概念。好了现在我们知道为什么1+1=2了。1是一种用来描述一种外在能量反映而创造的一个大脑能量序列，2则是我们创造出来用来表达外在新的能量变化反映的大脑能量序列。这种序列实际上是一种抽象出来的等量符号。而我们的计算机语言恰好又将这种符号以另一种方式展现了出来。直到现在我们还在不断的创造新的符号来表达新的事物，代数的原始应用仍然存在。 我只是为了更容易理解才使用了阿拉伯数字，对于不同的文明来说他们都创造了不同的符号来表示这样的概念，就像我们的汉字里那样。只是在后来出于两种力量不得不放弃了原来所创造的符号。一种是武力，当一个文明征服另一个文明时也必然将这个文明所创造的符号强制性的灌输给被征服者，从而实现了符号的统一；一种是认同，在普遍的交流下不同文明之间为了更方便可能会形成共识。所有这些符号的形成都经历了一个从形象到抽象的过程。这种形成是在我们的大脑中由于重复的使用而记忆下来的能量的有序排列，所以这些符号某种程度上都表现了外界能量对我们的传递。为了更好的描述这些能量我们的数学形成了。任何数学上的发展都代表着人类对能量的更深层的认识。随着人类的发展这些数字已经不能在满足我们的需要。我们在除了表达“有和无”的概念外还需要表达“应该有而没有得到”这样的概念。正如你劳动了但是老板没有给你报酬。此时便出现了负数的概念。这样的我们的代数表
《数学教育哲学的理论与实 践》读书心得 最近，我阅读了郑毓信著的《数学教育哲学的理论与实践》这本书。这本书包括数学教育哲学概论，多元的、辩证的数学观，数学教育目标的现代发展，数学教育的文化相关性，学习理论的现代发展，数学教学的现代研究，关于课程改革的若干深层次思考等内容。本书集中反映了作者在数学教育哲学领域内的最新工作，一方面从理论高度对数学教育的一些重大问题 (如数学课程改革、数学教育的国际比较研究和中国数学教育的界定与建设等)作出具体分析，从而充分发挥数学教育哲学的实践功能；另一方面，又以相关实践为背景对数学教育哲学的各个基本问题作出更为深入的思考，从而进一步促进数学教育哲学的理论建设。理论与实践的密切结合是这一著作的主要特点，也可被看成是中国数学教育哲学未来发展的必然途径。 读了《数学教育哲学的理论与实践》这本书，我有以下几点感受：一、从精英教育到大众数学。长期以来我国的数学教育是一种典型的精英教育。现代社会的发展又需要精英，需要有专业知识和专业精神的人，全盘否定精英教育的价值也是不可取的。因此大众数学教育强调“不同的人在数学上得到不同的发展”就有解决大 众数学教育和精英数学教育的矛盾冲突的意思，认为大众数学与精
英教育并不对立。“恰恰相反，大众数学意义下的数学课程提供了更为广泛的现代数学分支的原始生长点，它为对数学有特殊才能和爱好的学生提供了更多的发展机会。”从精英教育到大众数学：如果新的改革是以降低要求、放慢进度来实现“人人都能获得必需的数学”，那么，无论对此作出怎样的辩护，我们都不应回避必然会对我国的未来发展造成严重的消极影响这样的事实。显然，大众数学教育和精英数学教育之间的矛盾并没有那么容易解决。稍有一点专业知识的人都明白，一个人如果没有精深的数学专业素养是不可能领略数学之美、透彻领会数学内蕴之深厚的。大众数学教育所倡导的数学教育思想必须依托于数学学科的成熟发展。 二、奥赛难题要不要做。现在那么多数学家反对奥赛，认为目前奥数教育的泛滥已经成为一种社会公害，不仅损害了青少年的休息健康，更让家庭背上沉重的经济负担;而且是完全违反教育规律的。而我们的社会、家长和一部分教师却乐此不疲，一个班级只要有一位学生家长送自己的孩子去校外学习，保证其他孩子的家长里就坐不住了。奥数的培训与竞赛属于面向少数有天分学生的精英教育，中高考加分政策的出现是人才选拔机制的优化，如果以这两个没有悬疑的概念本身为基点，把话题纠结在哪个年龄段涉足奥数为宜、奥数摧残中小学生的表现有哪些，如此就“奥数”说“奥数”，那么争论就会沿着这些枝蔓“跑偏”以至无解。孩子千辛万苦换来的奥赛成绩，只要能在小升初、中高考的竞争中起到百分之一的作用，家长就愿付出百分之百的努力。我们又有什么必要加以阻止呢。
论数学与哲学的关系 【摘要】哲学，在学术界里，对于这一词并无普遍接受的定义，也预见不到有达成一致定义的可能。单就西方学术史来说，哲学是对一些问题的研究，涉及等概念。数学，是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。数学是社会科学和自然科学的基础，哲学是社会科学和自然科学的概括。 关键词：哲学；数学；原理；关系 哲学是对普遍而基本的问题的研究，这些问题多与实在、存在、知识、价值、理性、心灵、语言等有关。在东方，哲学一词通常用来说明一个人对生活的某种看法（例如某人的“人生哲学”）和基本原则（例如价值观、思想、行为）。而在学术上的哲学，则是对这些基本原则的理性根据的质疑、反思，并试图对这些基本原则进行理性的重建。在日常用语中，“哲学”一词可以引申为个人或团体最基本的信仰、概念和态度，哲学一词可以是指一种宗旨、主张或者理念。 而对于我的专业-——基础数学，我认为我的这个专业，必然和哲学有着千丝万缕的关系，我发现了张景中院士献给数学爱好者的礼物——《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等内容，使我开阔了视野，对于研究生期间要学习的内容，也有了更深层次的见解。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。 例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。 翻开西方数学史或哲学史，我们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由
论数学与哲学的关系 【摘要】哲学，在里，对于这一词并无普遍接受的定义，也预见不到有达成一致定义的可能。单就西方学术史来说，哲学是对一些问题的研究，涉及等。数学，是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。数学是社会科学和自然科学的基础，哲学是社会科学和自然科学的概括。关键词：哲学；数学；原理；关系 哲学是对普遍而基本的问题的研究，这些问题多与实在、存在、知识、价值、、心灵、语言等有关。在东方，哲学一词通常用来说明一个人对生活的某种看法（例如某人的“人生哲学”）和基本原则（例如、、）。而在学术上的哲学，则是对这些基本的理性根据的质疑、反思，并试图对这些基本原则进行的重建。在日常用语中，“哲学”一词可以引申为个人或团体最基本的信仰、概念和态度，哲学一词可以是指一种、或者。 而对于我的专业-——基础数学，我认为我的这个专业，必然和哲学有着千丝万缕的关系，我发现了张景中院士献给数学爱好者的礼物——《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等内容，使我开阔了视野，对于研究生期间要学习的内容，也有了更深层次的见解。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。 例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。 翻开西方数学史或哲学史，我们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；着名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的着名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性什
数学与社会的发展 经数2班杨智琴41026116 有一门科学，它在人类文明进步的整个历史过程中作出了无与伦比的巨大贡献，然而却又全然不被大众所熟知。它就是数学。在大众意识里，经济的繁荣、社会的进步完全是由现代自然科学和工程技术带来的，孰不知现代自然科学和工程技术的发展和变革在很大程度上根源于数学的发展和变革。从最根本的意义上讲，正是数学的革命与发展繁荣了人类的经济、改变了人类的社会、促进了人类·文明的进步。 那什么是数学呢我国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。就是要想学好数学，必须勤练才可以。数学是一种特定的语言,它是通过对人们可以想象出来的抽象的“事物”中某些具有特色的范畴,规定了一些合理的、系统的、被讨论者普遍接受的、特定的规则和符号,来进行交流的特定的语言。其研究的意义是否具有“社会”属性,作为语言的载体———数学本身似乎并不关心.这样说是否合适可以讨论,但是,数学的确是定量、定性的研究一切“事物”外在的、内在的、逻辑上的、甚至是抽象的关系的理论基础。 数学虽然是抽象的，但是他在我们的社会生活中确实是不可缺少的，在社会生活中的应用更是及其广泛的。 早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了科技，经济，生物学，人文社会科学等众多的领域，并在当代使社会科学的数学化成为一种强大的趋势。与此同时，数学在提高全民素质、培养适应现代化需要的各级人才方面也显现出特殊的教育功能。数学在当代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。 数学从根本上说来源于实际。它是描了自然现象和社会现象中的空间形式与数量关系。从而数学有最广泛的应用性。它为人们日常生活、生产以及科学、技术、经济、管理、医药等诸多方面的工作提供方法和工具；为各种创新提供数学思想、模型和方法。有时数学还能够超前地抓住自然和社会发展过程的一些本质问题，帮助人类获得突破性的进展。数学对社会的应用是多方面的、广泛的、深刻的，对社会发展起着普遍的、巨大的推动作用。 由此可见数学与社会之间的关系是双向的，。就是数学的发展依赖于社会环境，比如说受到社会的政治，经济，文化等多方面的因素所制约的，而随着社会的发展，数学在社会需求中发挥着越来越重要的作用。 数学也应随着时代的变化而变化，逐渐变得越来越抽象化。现代的数学被用来解决各方面各个领域的问题。为社会做出了巨大的贡献。
数学与哲学的关系 数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。 因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。 1、数学对哲学的作用 美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。 在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。 法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。 突变论提供的模型表明，在一定条件下，质变可以通过飞跃的形式来实现，也可以通过渐变的方式来实现。在给定的条件下，只要改变控制因素，一个飞跃过程可以转化为渐变；反过来，一个渐变过程也可以转化为飞跃。突变模型还表明，在奇点(质变点)领域事物状态的变化，不仅具有多种可能性，而且有它的随机性。 2、数学的发展促进了逻辑的模式一合情推理的发现 美籍匈牙利数学家波利亚在数学领域里观察分析众多典型事例基础上，经过比较综合，概括出合情推理的这一发现模式。 波利亚把科学推理分成论证推理和合情推理两种。论证推理是一种必然推理，有逻辑所制定和阐明的严格标准，每一步推理步骤都须经的住逻辑规则检验。合情推理则是一种或然推理，它由一些猜想构成的，因而它的标准是不固定的。事实上，人类的认识都是经过合情推理才得到，而论证推理的主要作用在于肯定或解释我们所得到的知识。波利亚给出了三种合情推理类型：渐弱证明式、渐弱启发式、以及启发式。
小学数学教学要与生活实际相结合 摘要：新课标特别强调数学知识与实际生活的联系，使得我们教师在小学数学教学中应努力把数学问题情境生活化，将数学与学生的生活、学习相联系起来，增强数学的现实性和趣味性，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。 关键词：小学数学；生活；联系 任何知识均来源于生活，数学知识也不例外。因此，作为小学数学教师，要将知识和我们的实际生活联系起来。在教学中，我们要从学生的已有知识和生活经验出发，为他们提供进行数学活动和交流的机会，并帮助学生在探究知识的过程中真正掌握数学知识和技能，以及数学方法等，与此同时，也要帮助学生利用所学知识解决生活中遇到的问题。 一、联系生活实际，激发学生认知需要和兴趣 《新课程标准》指出：“数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会。”因此，我们的小学数学教学应该联系学生的实际生活、贴近学生的生活，这样学生才能够乐于从自己数学的生活和事物中学习数学知识，进而对数学产生亲近感，激发他们的学习兴趣和认知需求。 数学来源于生活，联系实际生活开展小学数学教学可以激起学生潜在的知识，能够让学生主动地、积极地探索数学的奥秘，解决生活中的数学问题。这样既能让学生达到对自我生活和心理需求的满
足，也能让学生体验成功的喜悦，并对数学学习产生更浓厚的学习兴趣。这就要求数学教师善于结合学生的生活实际和已有的经验，精心设计平实而有意义的活动，使学生切实体验到身边有数学，用数学可以解决生活中的实际问题，加强对数学知识的应用意识，从而使学生对数学产生亲切感，增强其学习数学的主动性，培养学生学习数学的兴趣。 二、利用“生活素材”，让数学贴近生活 在小学数学教学中，教师要善于发掘生活中的数学素材，使学生感受到数学就在自己的身边，就存在于自己熟悉的现实世界中，感受到数学的价值，从而激发学习兴趣。 例如：在教学“相遇问题”应用题时，如果教师只是一味地向学生灌输知识的话，恐怕效果会不太好。笔者在教学中，首先让本班两名分别住在学校两边的学生介绍到学校的路程，再根据所用时间计算出自己的速度，然后现场编题，替换课本中原有的例题，使每个学生都有一种亲切感，使他们感到在上学、放学的路上也存在数学问题，激发了兴趣，激活了沉默的课堂气氛。通过两名学生的表演，学生们明白了相遇问题中的“相向而行”“相遇”等有关术语的涵义。通过类似与生活密切相关的问题，可以帮助学生认识到数学与生活有着密切的联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形中产生了学习数学的动力。 三、创设生活问题情境帮助学生学习数学
数学教育“生活化”还是“数学 化”——基于数学教育哲学的思考 【作者机构】首都师范大学教育学院；北京理工大学继续教育学院 【来源】《教育学报》2017年第3期P41-47页 【分类号】 G633.6 【分类导航】文化、科学、教育、体育->教育->中等教育->各科教学法、教学参考书->数学 【关键字】数学教育哲学数学教育生活化数学化 【摘要】自新课程改革以来,关于“数学教育生活化”的争论就不绝于耳。别的学科教育生活化尽管也存在一些问题,但都没有数学 教育领域的争论如此激烈。这说明“数学教育生活化”的问题 与数学学科的性质具有根本关联。要阐明“数学教育生活化” 引发的争议,需要从数学教育哲学视角进行深入分析。从数学 教育哲学的视角看,无论在本体论、目的论还是方法论方 面,“数学教育生活化”的观点都存在一定偏颇。“数学教育 生活化”主要关注“横向数学化”,属于数学认识的初级阶 段。基于数学学科的特性,“纵向数学化”在数学教育中具有 更加重要的价值。因此,数学教育不应简单地走向“生活化”, 而应该走向“数学化”。 【全文获取】pdf下载 收起阅读全文 一、问题的提出：关于“数学教育生活化”的争论 传统数学教育比较注重数学知识本身的内在逻辑，很少顾及数学知识与现实生活的联系。新课程改革提倡尊重学生的生活经验，呼吁数学教育联系生活，于是便有了“数学教育生活化”“学校数学向生活数学回归”等提法。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》在前言中就明确指出：“义务教育阶段的数学课程……不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生己有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”[1]《全日制义务教育数学课程标准解读(实验稿)》也提出：“数学课程