9.直线、平面、简单几何体
一、选择题：(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1、已知a (0, 1,1),b (1,2, 1),则a 与b 的夹角等于
A . 90°
B . 30°
C . 60°
D . 150°
2、设 M 、 0、A 、B 、C 是空间的点，则使 M 、A 、
B 、
C 一定共面的等式是
A . OM OA O
B O
C 0
B . OM 20A OB OC
C . OM
!OA
1 一 1 - — OB OC D . MA MB MC 0
2
3 4
3、 下列命题不正确的是
A. 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
B. 如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直;
C. 两异面直线的公垂线有且只有一条；
D .如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、 若m 、n 表示直线，
表示平面，则下列命题中，正确的个数为
—m 〃 n
—m —m
—m 〃
①
n
② m 〃 n ③ m n ④
n
m
n
n 〃
m n
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A .各侧面是正三角形
B .底面是正方形
C .各侧面三角形的顶角为 45度
D .顶点到底面的射影在底面对角线的交点上
2
6、若点A (
4 , 4—口，1+2 丫)关于y 轴的对称点是B (-4入，9, 7 ―丫)，则入，口，Y 的值依次
C . — 3, — 5, 8
D . 2, 5, 8
7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数
10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是
角线之间的距离的最值为
V 与面数F 满足的关系式是
A . 2F+V=4
B . 2F — V=4
8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为
C . 2F+V=2 (
D ) 2F —
V=2
9, 则该正三棱锥的体积是
B .
33
9、正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱 AB , BB 1的中点,
A 1E 与C 1F 所成的角是B,则 A . 0 =600
B . 0 =450
C . cos
D . sin
A . 2 : n
11、设 A , B , C , A .钝角三角形
B . 1 : 2 n
D 是空间不共面的四点, B .直角三角形 C . 1 : n
且满足 AB AC 0 ,
C .锐角三角形
D . 4: 3n
AC AD 0, AB AD
D .不确定 0,则厶BCD 是
12、将 B =600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角
若
[60 ° ,120 ° ],
则折后两条对
、 3
3 3
A .最小值为 丁,最大值为2
B .最小值为 丁 ,最大值为4
1
.S'
3
3
C .最小值为4 ,最大值为4
D .最小值为4 ,最大值为
2
_ 、 填空题：（本大题共6题，每小题3分,
共18分）
13、 「 、、 r 1
已知向量a 、b 满足| a | =-,
3
|b | = 6, a 与b 的夹角为一， 3
r r
贝V 3|a | — 2
( a ?
b ) +4|b | =
；
uuu r r uuu
uuu uuu
14、
若AB 与CD 是异面直线，向量 AB a , e 是与CD 同向的单位向量，贝U AB 在CD 上的射影长
是 r r
;（用a, e 表示）
15
、 如图，在四棱锥 P —ABCD 中， E 为CD 上的动点，四边形
ABCD 为 时，体积 V P - AEB
恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）
物体从点M 1（2,-3,2）移到M 2（4，2，3），则合力所作的功 __________________ ；
2 2
17、 若棱锥底面面积为150cm ，平行于底面的截面面积是 54cm ，底面和这个截面的距离是 12cm ，则
棱锥的高为 ___________ ；
18、 一个四面体的所有棱长都是 -.2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 _______________ .
三、解答题： （本大题共6题，共46分）
19、设空间两个不同的单位向量 a = （X 1, y 1 ,0） , b = （ X 2, y 2,0）与向量c = （1,1,1）的夹角都等于 一，
4
求的值（6分）
X 2 y 2
20、在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是 A 1B 1, BB 1, B 1C 1的中点，用空间向量的坐标 运算证明：B 1D 平面PMN 。（6分）
2i 3j
F 3 3i 4j 5k ,若F i ,F 2,F 3共同作用在物体上，使
16、已知F i
C
21、球面上三点A、B C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18, BC=24,
AC=30,且球心到该截面的距离为球半径的一半。
(1)求球的表面积；
(2)求A C两点的球面距离。(8分)
22、如图，直三棱柱ABC -A1B1C1，底面△ ABC中, 棱
AA 1=2，M、N分别是A1B1, A1A的中点，
CA=CB=1，/ BCA=90o,
(I)求BN的长;
(II )求cos< BA 1 , CB1 >的值; (III )求证：A1B丄C1M. (9 分)A1
N
M
B1
23、如图，正方形
ACC i A i与等腰直角△ ACB互相垂直，/ ACB=90 ° , E、F分别是AB、BC的中点,
G是AA i上的点.
(I)若AC1 EG，试确定点G的位置；
(II)在满足条件(1 )的情况下，试求cos v AC , GF ＞的值?(8分)
芬
24、在正方体ABCD —A i B i C i D i中，0为正方形ABCD的中心，M为
D i D的中点.
(I)求证：异面直线B i O与AM垂直；'
(II )求二面角B i—AM —C的大小；
(III)若正方体的棱长为a,求三棱锥B i—AMC的体积。(9分)
答案
i、D 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、B 9、C i0、C ii、C i2、B
i3、23 i4、a e i5、AB// CD i6、i6 i7、30cm i8、3
19、i
20、略；
2^/3
21、i200 ；
3
22、 3 ；型；略;
i0
23、中点;
_ 3
24、略；arcta n{5;王
4
C1
§4-2 平面与平面立体表面相交 平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。 一、平面立体的截交线和断面 如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。 如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。 作图过程如图4-16b中的红色图形所示： （1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线P v的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。 （2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。 如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。 因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在P v上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。从已知的正面投影可以直观地看出，断面的水平投影和侧面投影都是可见的。
高考数学复习 第76课时第九章 直线、平面、简单几何体 空间向量及其运算名师精品教案 新人教A 版 课题：空间向量及其运算 一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识： 1．,a b 向量共线的充要条件： ； 2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习： 1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若AB a =， AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 是（ ） ()A 1122a b c -++ ()B 1122 a b c ++ ()C 1122 a b c - -+ ()D c b a +-21 21 2．有以下命题： ①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 （ ） ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 3．下列命题正确的是 （ ） ()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的直线 共面； ()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=； C1
4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） ()A OC OB OA OM ++= ()B OC OB OA OM --=2 ()C 3121++= ()D 3 1 3131++= 四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证： BC PG ⊥ 例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1） 用向量法证明H G F E ,,,四点共面； （2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ； （3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有 1 ()4OM OA OB OC OD =+++ 例3．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 长为b ，且 1111120AA B AA D ∠=∠=?，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的 余弦值。 1B 1A 1C 1D O M G F A B C D E H G N A B C P M
数学：37.5《几何体的展开图及其应用》教案（冀教版九年级下）教学设计思想： 本节内容是通过学生动手实践去培养学生的空间思维能力。在教学中，如果忽略了学生的动手操作而冷冷而谈，很容易让学生觉得几何很难，而对几何有厌学的状态。因此，在这节课中通过学生动手操作，将预先准备好的柱体和锥体进行展开和拼合，让学生在动手中体验立体图形是由平面图形所围成的，进而让学生通过展开的平面图进行探讨，总结出柱体和锥体的表面展开图的特点。同时通过动画演示，加深了学生的空间想像的印象，大大调动了学生的积极性。特别是一道思考题和互问互检自编题，让学生各显神通，发表自己的看法，创设情景，根据本堂课所学的知识编一些生动有趣的题，这是本节课中让我感受最深的一点。 教学目标： 1．知识与技能 进一步认识立体图形与平面图形的关系； 知道一个立体图形展开的方式不同，得到的平面图形也不相同，以及计算相关几何体的侧面积与表面积。 2．过程与方法 在学习中要多动手进行实物操作，多观察分析，体验由立体图形到展开图和由展开图到立体图形的变化过程。 3．情感、态度与价值观 加强动手操作能力，提高观察、分析能力。 发展空间想象能力。 教学重点：常见几何体的展开与折叠及其有关计算。 教学难点：常见几何体的展开与折叠及其有关计算。 教学方法：教师引导，学生自主学习。 教学媒体：电脑、投影仪、纸片、圆规、量角器。 教学安排：2课时。 教学过程： 第一课时：
Ⅰ.创设问题情景，引导学生观察、设想、导入新课 1．演示圆柱体与圆锥体的侧面展开图。（参看课件圆柱、圆锥） ：复习立体图形的侧面展开图为平面图形。 2．刚才演示的只是立体图形的侧面展开情况，但在实际生活中，常常需要了解整个立体图形展开的形状，例如要制作一个常见的粉笔盒（手举粉笔盒），只知道它的侧面展开图是不够的，因为它还有上下两个底，那么，将粉笔盒展开后是什么图形呢？ Ⅱ.学生通过直观感知、操作确认等实践活动，加强对立体图形的认识和感知 活动1： 某外包装盒的形状是棱柱，它的两底面都是水平的，侧棱都是竖直的（这样的棱柱叫做直棱柱）。沿它的棱剪开、铺平，就得到了它的平面展开图。 教师课前可以准备一个六棱柱的模型，现在给学生演示——由几何体展开得到他的平面图形。 然后教师提出问题： 问题1：这个棱柱有几个侧面？每个侧面是什么形状？ 问题2：这个棱柱的上、下底面的形状一样吗？它们各有几条边？ 问题3：侧面的个数与底面图形的边数有什么关系？ 问题4：这个棱柱有几条侧棱？它们的长度之间有什么关系？ 问题5：侧面展开图的长和宽分别与棱柱地面的周长和侧棱长有什么关系？ 教师通过实例展示，学生很容易回答上述问题（教师可以挑选中下等的学生回答）。 ：上面所给的五个问题的结论，实际上是直棱柱的性质与特点，建议让学生通过观察模型进行直观感受。 活动2： 1．制作圆锥并计算其相关的量。
2019-2020学年高一数学直线、平面、简单几何体教案23 苏教版 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．二面角的有关概念． 2．二面角的平面角的定义及作法． （二）能力训练点 1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的定义． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力． 3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法． （三）德育渗透点 让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念． 2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题． 3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内． 三、课时安排 1课时． 四、教与学过程设计 （一）二面角 师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定
的角度（图看课本P．39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题． 师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？ 生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117），表示为∠AOB． 师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义． 生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）． 师：那么如何表示二面角呢？ 生：棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β． 师：二面角的画法通常有哪几种？ 生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1－120）．
几何体的表面展开图（通用版） 试卷简介:面动成体以及几何体的表面展开图；正方体的11种表面展开图的应用：找相对面、相邻面． 一、单选题(共18道，每道5分) 1.汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于( )的实际应用. A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.以上答案都不对 2.夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈,可划出一个曲线,这是因为( ) A.面动成体 B.线动成面 C.点动成线 D.面面相交成线 3.把如图中的三棱柱展开,所得到的展开图是( ) A. B. C. D. 4.如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是( ) A. B. C. D. 5.如图,上排的平面图形绕轴旋转一周,可以得到下排的几何体,那么与甲、乙、丙、丁各平面图形顺序对应的几何体的编号应为( )
A.②①④③ B.③②④① C.②③④① D.④①②③ 6.下列图形中,经过折叠不能围成一个正方体的是( ) A. B. C. D. 7.一个正方体的表面展开图如图所示,每一个面上都写有一个数,并且相对两个面上所写的两个数之和都相等,那么( ) A.a=5,b=7 B.a=6,b=9 C.a=1,b=5 D.a=7,b=5 8.六个面分别标有“我”、“是”、“初”、“一”、“学”、“生”的正方体有三种不同放置方式,则“是”和“学”的相对面分别是( ) A.“生”和“一” B.“初”和“生” C.“初”和“一” D.“生”和“初”
9.图中表面展开图折叠成正方体后,相对面上两个数之和为6,则x,y的值分别为( ) A.3,4 B.4,3 C.4,5 D.3,5 10.如图是正方体的一种表面展开图,各面都标有数字,则数字为3的面与它对面的数字之积是( ) A.3 B.18 C.12 D.15 11.将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上,这个正方体的表面展开图如图所示,那么在这个正方体中,和“创”相对的字是( ) A.文 B.明 C.城 D.市 12.将如图所示的图形剪去一个小正方形,使剩下的部分恰好能折成一个正方体,则剪去的小正方形的序号不可能是( ) A.1 B.2 C.6 D.3 13.小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走出阴影,好好学习,制作了一个正方体礼盒(如图).礼盒每个面上各有一个字,连起来组成“芦山学子加油”,其中“芦”的对面是“学”,“加”的对面是“油”,则它的表面展开图可能是( )
第10讲 3-3 平面与立体相交 （说明：本节内容相对下一节较少，如有可能，可适当加一些下一节的内容） 教学目标：1、掌握截交线的基本特性； 2、掌握求画平面立体的截交线的一般方法、步骤； 教学重点：截交线的作图方法 教学难点：复杂平面立体的截交线的求法 教学方法：结合实例课堂讲解 教学用具：多媒体 教学过程： 工程上常遇到表面有交线的零件。为了完整、清晰的表达出零件的形状以便正确的制造零件，应正确的画出交线。交线通常可分为两种，一种是平面与立体表面相交形成的截．交． 线， ．．如图3-1a、b中箭头所示。另一种是两立体表面相交形成的相贯线 ．．．，如图3-1c、d中箭头所示。 从图中可以看出，交线 ．．是零件上平面与立体表面或两立体表面的共有线，也是它们表面间的分界线。由于立体由不同表面所包围，并占有一定空间范围，因此，立体表面交线通常是封闭的，如果组成该立体的所有表面，所确定立体的形状、大小和相对位置已定，则交线也就被确定。 立体的表面交线在一般的情况下是不能直接画出来的（交线为圆或直线时除外），因此，必须先设法求出属于交线上的若干点，然后把这些点连接起来。 本节着重介绍平面与立体相交表面交线（截交线）的画法。 一、概述 平面与立体相交，即立体被平面截切所产生的表面交线称为截交线，该平面称为截平面。 ．．．．（一）截交线的性质 由于立体表面的形状不同和截平面所截切的位置不同，截交线也表面为不同的形状，但任何截交线都具有下列基本性质： 1.共有性 截交线既属于截平面，又属于立体表面，故截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有线。 2.封闭性
题型二：空间几何体的平面展开图&投影 1.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 解 (1)五棱柱；(2)五棱锥；(3)三棱台．如图所示． 2.(1)请画出下图所示的几何体的表面展开图． (2)根据下图所给的平面图形，画出立体图． 点评 (1)要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的问题． (2)平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题(即逆向过程)．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并准确地画出在折叠和展开的前后的平面图形和立体图形，进而找到折叠和展开前后的变化的量和不变的量． 3.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是（ ） A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 4.在下面4个平面图形中，哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．(把你认为正确的序号都填上 ) 5.（2008?重庆）如图，模块①﹣⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①﹣⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ） A 、模块①，②，⑤ B 、模块①，③，⑤ C 、模块②，④，⑥ D 、模块③，④，⑤ 考点：简单空间图形的三视图。 专题：探究型；分割补形法。 分析：先补齐中间一层，说明必须用⑤，然后的第三层，可以从余下的组合中选取即可． 解答：解：先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐， 所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块． 故选A ． 点评：本小题主要考查空间想象能力，有难度，是中档题． 6.下图中不可能围成正方体的是( D )
2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交 2.7.2 直线与平面立体相交 2.7.3 平面与曲面立体相交 2.7.4 直线与曲面立体相交
2.7.1 平面与平面立体相交 如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称为断面。 图2.159 平面与平面立体相交的概念
1.平面与棱柱相交 图2.160 作正三棱柱的截交线及断面真形 (a)已知条件 (b)作图过程和作图结果如图2.160a 所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P 截去左 端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。 ［解］
如图2.161a 所示，求作一般位置的平行四边形ABCD 与正四棱柱 的截交线。图2.161 作一般位置平面与正四棱柱的截交线 ［解］ (b)作图过程和作图结果(a)已知条件
(a)已知条件 如图2.162a 所示，求作斜三棱柱 AA 1BB 1CC 1的法断面(也就是垂直于棱线的截平面所截得的断面)的水平投影和正面投影，并作出法断面的真形。图2.162 作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形 ［解］ (b)作图过程和作图结果①将斜三棱柱的棱线变换为V 1面平行线 ②在H 、V 1新投影面体系中作出法断面的投影 ③在H 、V 原投影面体系中作出法断面的投影④作法断面的真形
2.平面与棱锥、棱台相交 图2.163 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形 如图2.163a 所示，求 作三棱锥SABC 的侧面投影，以及被正垂面P 截得的截交线的三面投影，并作出断面的真形。(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果［解］ ①作三棱锥的侧面投影②作截交线的三面投影③作断面的真形
平面与回转体表面相交 引入： 物体表面上经常出现平面与回转面的交线，画图时通常把平面看成截平面，把交线看成截交线，再应用截交线的作图方法作出该交线的投影。 1.截交线的特点 平面与回转体相交产生的截交线通常是一条封闭的平面曲线，或曲线和直线围成的平面图形或多边形。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状。 截交线的形状取决于截平面与回转体轴线的相对位置。
2. 求回转体表面截交线投影的分析方法 1） 分析截平面与回转体轴线之间的相互位置——搞清楚截交线的空间形状。 2） 分析截平面与投影面的位置关系——初步掌握截交线的投影特点。 3. 求平面与回转体表面截交线的步骤： 1） 求截交线的特殊点 这些点通常是转向轮廓线上的点、极限位置点 （ 最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点）。 2） 求一般点 是指在各特殊点之间插入一些点，目的是使截交线连接得 更加平顺、光滑。通常是在具有积聚性投影的截平面投影上插入这些点，完成这些点的各面投影。 3） 判别可见性并光滑连线。 4. 回转体被截切的情况、投影分析和作图 1） 平面与圆柱相交 截交情况： 依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，其截交线的形状有圆、椭圆、和两条直线三种。 表 4.1 平面与圆柱面的交线 截平面 位置 倾斜于轴线 垂直于轴线 平行于轴线 立体图
作图举例： 例题完成圆柱被切割后的俯视图和左视图。 分析：从立体图及已知条件可知，这是圆柱被正垂面截切，截平面与圆柱轴线斜交，截交线是椭圆。截交线正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影积聚为圆；其侧面投影可根据投影规律和圆柱表面取点的方法求出。 作图： ① 作截交线上的特殊点：椭圆长短轴的四个端点，转向轮廓线上点，最高、最低、最前和最后的点。 ② 作一般点：在主视图中插入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点的投影1’(2’)和3’(4’)。按圆柱表面取点方法作出相应点的水平和侧面投影。 ③ 依顺序连接各点，作图结果如图 c 所示。 （a）（b）（c） 例题如图 a 所示为接头的立体图及已知条件，完成接头的投影图。 分析：接头由左端的凹榫和右端的凸榫组成。凹榫的槽口可以看作是由两个平行于圆柱体轴线的正平面和一个垂直于圆柱体轴线的侧平面切割圆柱形成的切口；凸榫可以看作是分别由两个垂直于圆柱体轴线的侧平面和平行于圆柱体轴线的水平面切割而形成。由于各截平面与圆柱体轴线平行，接头的左、右两部分
立体几何序言课教案设计 一、充分认识序言课的重要性，是上好立体几何序言课的前提。 立体几何序言课以课本中的“引言”为主要教学内容，让学生对立体几何这门功课有一个粗略的整体性了解，在学习具体内容之前有一个积极的思想准备。通过序言课的教学，学生明白了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为以后的学习打下一个良好的基础。 然而有的老师对序言课却不够重视，把已经十分抽象概括的“引言”进一步抽象概括，开课后草草几句便开始了“平面”的教学。教师急急匆匆，学生稀里糊涂，极易给后继学习带来消极影响。 由此可见，教师在充分认识序言课重要性的前提下，认真组织教学，努力完成序言课的教学任务，对提高立体几何课的教学效益是至关重要的。 二、排除心理障碍，激发学习兴趣，是立体几何序言课的主要任务。 部分学生认为立体几何比平面几何难学，存在畏惧心理；多数学生对能不能学好这门功课信心不足，对怎样学习这门功课心中无数。这种消极心理状态必然会给学习造成消极影响。因此在序言课教学中，应把排除上述心理障碍，激发学生学习立体几何的兴趣作为首先任务。 1.尽量引用实例。 “引言”中指出，“建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。”为了使学生真正认识到立体几何是一门应用广泛的基础学科，我们在序言课上展示学校教学楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨认出：“这就是我们的教学楼！”教者由此指出：“没有立体几何知识，这张图纸是画不出来的。”“同学们能从图纸上看出是我们的教学楼，这说明大家已具有一定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。有这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓励，学生常露出自信的微笑。 2.巧用教具、模型。 要求学生自制简单几何体的模型这样在序言课上就可以让学生观看前届学生自制的各种模型。那些自制的模型，有纸质的，有木质的，有用铅丝做的，也有用粘土做的，看颜色，五彩缤纷，望形状，新颖别致。学生看了这些精美的并留有制作者姓名的模型后，赞叹不已，大有“跃跃欲试”之势。 借助模型还可以帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定势的消极影响。
直线、平面、简单几何体 【模拟试题】 第I卷（选择题共60分） 一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （青岛统测）已知直线与平面满足，，，那么必有（） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 2. （知识原创题）若A、B、C、D四点满足AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC，则这四点的位置关系是（） A. 一定共面 B. 一定不共面 C. 不一定共面 D. 不存在 3. （郑州二次质量预测）正四棱锥P—ABCD的所有棱长都相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于（） A. B. C. D. 4. （知识交汇题）已知相交直线都在平面内，并且都不在平面内，若 中至少有一条与相交；与相交，则p是q的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条 件 D. 不充分也不必要条件 5. （热点创新题）若正三棱锥的侧面都是直角三角形，那么侧面与底面所成的角的余弦值是（） A. B. C. D. 6. （北京西城抽测）球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为，则球O的体积为（）
A. B. C. D. 7. （济南统测）如图，正方体ABCD—中，E、F分别是AB、的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 8. （南京模拟）四棱锥P—ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（） A. 圆 B. 不完整的圆 C. 抛物线 D. 抛物线的一部分 9. （知识创新题）把一副三角板ABC与ABD摆成如下图所示的直二面角D —AB—C，则异面直线DC与AB所成的角为（） A. B. C. D. 10. （易错警醒题）已知正四棱锥的侧棱与底面成角，则此四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角的余弦值是（）
常见几何体的表面展开图 将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱 的表面展开图是什么形状呢？ (1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)． (2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)． (3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作 侧面) (4)正方体的平面展开图 在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目．下面 列出正方体的十一种展开图，供大家参考． 例1 下列四张图中，经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
分析：由平面图围成一个棱柱，我们可以动手实践操作，也可以展开丰富的想像，但我们最关键的是要抓住棱柱的特征，棱柱的平面图是由两个完全一样的多边形(且在平面图的两侧)和几个长方形组成的． 解：正确答案选C． 点评：特别要注意的是两个完全一样的多边形是棱柱的上下两个底面图形(棱柱展开后，这两个图形是位于展开图的两侧)，故不选D，另外定几个长方形，到底是几个呢，它的个数就是上下底多边形的边数，故选C．例2如图所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？ (1)(2)(3) 分析：找几何体的表面展开图，关键是看侧面和底面的形状． 底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台． 侧面是扇形的几何体是圆锥． 侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱． 解答：(1)圆锥；(2)圆柱；(3)圆台． 例3如图所示，在正方体的两个相距最远的顶 点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛可以从哪条最 短的路径爬到苍蝇处?说明你的理由． 分析：在解这道题时，正方体的展开图对解题有很大的帮助，由于作展开图有各种不同的方法，因而从蜘蛛到苍蝇可以用6种不同方法选择最短路径，而其中每一条路径都通过连结正方体2个顶点的棱的中点． 解：由于蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只需作出这个正方体的展开图并用点标出苍蝇和蜘蛛的位置，根据“两点之间线段最短”这一常识可知，连结这两个点的线段就是最短的路径．
9.直线、平面、简单几何体 一、选择题：(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1、已知a (0, 1,1),b (1,2, 1),则a 与b 的夹角等于 A . 90° B . 30° C . 60° D . 150° 2、设 M 、 0、A 、B 、C 是空间的点，则使 M 、A 、 B 、 C 一定共面的等式是 A . OM OA O B O C 0 B . OM 20A OB OC C . OM !OA 1 一 1 - — OB OC D . MA MB MC 0 2 3 4 3、 下列命题不正确的是 A. 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； B. 如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直; C. 两异面直线的公垂线有且只有一条； D .如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、 若m 、n 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确的个数为 —m 〃 n —m —m —m 〃 ① n ② m 〃 n ③ m n ④ n m n n 〃 m n A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A .各侧面是正三角形 B .底面是正方形 C .各侧面三角形的顶角为 45度 D .顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 2 6、若点A ( 4 , 4—口，1+2 丫)关于y 轴的对称点是B (-4入，9, 7 ―丫)，则入，口，Y 的值依次 C . — 3, — 5, 8 D . 2, 5, 8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数 10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是 角线之间的距离的最值为 V 与面数F 满足的关系式是 A . 2F+V=4 B . 2F — V=4 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为 C . 2F+V=2 ( D ) 2F — V=2 9, 则该正三棱锥的体积是 B . 33 9、正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱 AB , BB 1的中点, A 1E 与C 1F 所成的角是B,则 A . 0 =600 B . 0 =450 C . cos D . sin A . 2 : n 11、设 A , B , C , A .钝角三角形 B . 1 : 2 n D 是空间不共面的四点, B .直角三角形 C . 1 : n 且满足 AB AC 0 , C .锐角三角形 D . 4: 3n AC AD 0, AB AD D .不确定 0,则厶BCD 是 12、将 B =600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角 若 [60 ° ,120 ° ], 则折后两条对
平面与平面立体表面相交 机器零件的形状通常是根据实际功能需要利用基本体截切或叠加形成。 平面与立体表面相交可以看成是立体被平面截切，该平面叫做截平面。平面和立体表面所产生的交线称为截交线。截切后产生的平面称为截断面。 1.截交线的特性 1) 截交线是一个由直线围成的平面封闭多边形。 2) 截断面的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置，截断面的每条边是截平面与棱面的交线。 截断面投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。
3) 截交线是截平面与立体表面的共有线。 2.求截交线的方法 棱线法：求平面体各棱线与截平面的交点。棱面法：求平面体各棱面与截平面的交线。 3.求截交线的步骤： 1) 空间及投影分析 截平面与体的相对位置：确定截交线的空间形状 截平面与投影面的相对位置：确定截交线的投影特性 2) 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱线的交点，或与棱面的交线，并连接成多边形。 3）判别截交线投影的可见性。 棱面可见，截交线可见。 3.作图举例 例题如图a所示，补全正五棱柱被切割后的俯视图和左视图。 （a）已知条件（b）空间分析
（c）作图过程（d）作图结果 分析：从图a可以看出，该立体为五棱柱被一个正垂面P平面截切，如图b 所示。P的正面投影积聚为直线，故截断面的正面投影也积聚为该直线。P平面与五棱柱的五个棱面以及上端面相交，形成的截交线为六边形。六边形的顶点分别为P平面与四个棱线的交点C、D、A、B，P平面与上端面上的两条边的交点Ⅰ和Ⅱ。交点C、D、A、B在棱线上，Ⅰ、Ⅱ两点在上端面的边线上。求出这些点的投影并连接即可得到截交线投影。 作图： 1）直接求出截交线的正面投影：c’、d’、a’、b’、1’、2’，如图c 图中的主视图所示。 2）根据C、D、A、B、Ⅰ、Ⅱ在五棱柱上的位置及直线上点的投影从属性作出各点的水平投影c、d、a、b、1、2，如图c图中的俯视图所示。 3）用棱线法或点的投影规律由截交线的正面投影和水平投影求出侧面投影，如图c所示。 4）判断截交线及五棱柱棱线、边线投影的可见性，完成全图，如图d图所示。 注意：立体被截切后棱线和边线轮廓的可见性表达，不能遗漏。如图d侧视图所示，六边形截断面内的虚线，是五棱柱最右边棱线的投影。 例题如图a所示，完成四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 分析：该问题为一正垂面与四棱锥相交，其正面投影具有积聚性。截平面与四棱锥的交点在四棱锥的棱线上，利用棱线法可求出各点在相应投影面上的投影，然后依次连接即可得到截交线。
第八专题 直线、平面、简单几何体 一、考情分析： 立体几何是中学数学的重要内容之一，由于立体几何内容具有相对的独立性，高考命题突出空间图形的特点，考查的重点与热点主要有两大类型，一是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理，主要是数学语言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化，根据概念、性质、公理、定理进行逻辑推理和论证；二是空间的角和距离的概念及其计算. 选择题、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用，更重视概念明确、关系清楚、基本运算熟练等. 解答题形成了一些规律，一般将几何元素集中于一个几何体中，即以一个多面体或旋转体为依托（以多面体的时候较多）设置几个小问题，设问形式以证明或计算为主，也有时设置一些开放性的问题，每个小题之间有一定的联系，在突出考查逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考查. 二、考点整合 1、空间两直线、直线与平面、 平面与平面：特别注意线与面平行、线与面垂直、面与面平行、面与面垂直的判定与性质运用的条件； 2、空间角：（1）类型有异面直线所成角] 2 ,0(π、直线与平面所成角]2 ,0[π、平面与平面所 成角],0[π. （2）计算空间角的一般步骤：①作：作出平面角；②证：证明所作角即为所求角；③算：将该角归结到三角形中算出. 注：作异面直线所成角的平面角的常用方法：（1）平移法：（2）补形法： 作直线与平面所成角的平面：需作线面垂直，常从面面垂直处寻找作辅助线，常用方法：（1）定义法：（2）公式法： 作二面角的平面角的方法：①定义法：②用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角：从二面角的一个面内选一个特殊点A ，由A 向另一个平面作垂线（常从面面垂直处作交线的垂线），垂足为B ，再由B 向棱作垂线交于点C ，则ACB ∠即为二面角的平面角.③作棱的垂面：作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.④面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则 斜多边形 射影多边形 S S = θcos .⑤对于未给棱的二面角的求法，一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便. 3、空间的距离 （1）立体几何中距离有八种类型：两点间距离、点到直线距离、点平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离.这八种距离都归结到求点到点、点到线、点到面这三种距离. （2）求空间距离的步骤：①作：找到或作出表示该距离的线段；②证：证明该线段合题意；③算：将该线段归结到三角形算出.简单地表述为：一作，二证，三计算. 注：求异面直线间距离：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间的距离的最小值”这一
直线、平面、简单几何体综合训练 教学内容： 直线、平面、简单几何体综合训练 模拟试题】 第I 卷（选择题共60 分） . 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线） 5.如图，ABCD为正方形，点P为平面AC外一点，PD丄平面 平面PAB的距离为d i，点B到平面PAC的距离为d2，则有（ A. l d1 d2 B. d1 d2 l C. d1 l d2 A.异面 B. 相交 C. 平行 D.垂直 2.正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（） A. ( 0 ，180 ) B. ( 0，60 ) C. ( 60 ，90 ) D.( 60，180 ) 3.已知二面角l的大小为60，b和c 是两条异面直线，则 在下 不能使b和c所成的角为60的是（） A. b// ，c// B.b//，c C. b ，c D.b，c//列四个条件中， 4. 已知直线m、n和平面，则m〃n的一个必要不充分条件是 A. m// ，n// B. m ，n C. m// ，n D. m 、n 与成等角 ABCD PD=AD=，设点C 至U D. d2 d1 l
线B i C i 的距离相等，则动点 P 所在曲线的大致形状是（ A. 一条线段 B. 一段椭圆弧 C. 一段抛物线 D. 一段圆弧 6.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论: ①AC 丄BD ② ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60角；④AB 与平面BCD 成60角。 则其中正确结论的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7.若3个平面将空间分成 m 部分，则m 的值为（ A.4 B.4 ） 或6 C. 4 或6或7 D. 4 或6或7或8 8.正三棱锥P ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径 之比为（ ） A. 1 : 3 B. 1：（3 J3）C . （73 1）: 3 D . （73 1）:3 9.设地球表面积为S ,则地球表面上从 A 地（北纬45，东经120 ）到B 地（北纬45 ， 东经30 ）的最短距离为（ A.碍 B. C. D. 1 3\ 2 10.设球O 的半径为R ，A ， B, C 为球面上三点, A 与B A 与C 的球面距离都为 2 R, B 与C 的球面距离为 R ，则球O 在二面角B OA C 内的那一部分的体积是（ A . 4 R 3 B. 4R 3 C . D. 11.如下图，在正方体 A l B I C i D 1 ABCD 的侧面 ABBA 内有一点p 到直线AB 与到直
26.3基本几何体的平面展开图 学习目标：1、了解基本几何体的平面展开图，能根据平面展开图，判断出几何体的形状。 2、会识别多面体的平面展开图，了解基本几何体与展开图的关系。 3、培养学生的观察能力、动手能力和探索精神。 学习重点：一个立体图形按不同方式展开可得到不同的平面展开图，着重了解正方体的多种展开图。 学习难点：正确判断哪些平面图形是某个立体图形的展开图，空间想象正方体展开图折回成正方体后哪些面是相互对面的。 学习过程： 一、活动1：想一想，说一说 1、你能说一说我们常见的立体图形吗？ （圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球） （每个立体图形给出一个生活实例：笔筒、漏斗、魔方、铅笔盒、六角螺帽、金字塔、足球） 你能说一说圆柱与圆锥的侧面展开图吗？（长方形、扇形） 你能说一说整个圆柱与圆锥的展开图吗？ 活动2：做一做，画一画 画出正方体、圆锥、圆柱的展开图 二、归纳总结 正方体展开图分类: 圆锥的展开图是： 圆柱的展开图是：
三、知识运用 1．一个圆锥的母线长为3cm ，侧面展开图是圆心角为120o 的扇形 则圆锥的侧面积是 2、如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 3、将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（ ） 4、若圆锥的高是4cm,母线长是5cm,求圆锥的侧面积。 5、一个笔筒，高为10cm,底面半径为3cm,求笔筒的表面积。 四、课堂检测 1．一个正方形的平面展开图如图所示，将它折成正方体后， “保”字对面的字是 A ．碳 B ．低 C ．绿 D ．色 2、下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是 D A ． Ｂ． Ｃ． D ．
教案示例1 海南省海口市义龙中学陈河珍 一、教学目标 （一）知识目标 使学生进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解多面体可由平面图形围成． （二）能力目标 通过观察和自己动手操作，让学生经历和体验图形的变化过程，培养学生实验操作的能力，发展空间观念． （三）情感目标 通过教学过程渗透美学意识；培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现的科学精神；培养学生合作交流和创新的意识． 二、教学过程 （－）创设问题情境，通过引导学生观察、猜想，导入课题 师：（手举圆柱模型）这个立体图形叫什么名称？ 生：（齐答）圆柱． 师：（用多媒体课件演示将圆柱复制后再展开的情形并提问）小学学过圆柱的侧面展开图，回忆一下，圆柱的侧面可以展开成什么图形？ 生：长方形． 师：（用多媒体课件演示将扇形复制后再展开的情形并提问）那么，圆锥的侧面展开图是什么图形？ 生：扇形． 师：刚才演示的只是立体图形的侧面展开的情况，但实际生活中，常常需要了解整个立体图形展开的形状．例如，（手举粉笔盒）要设计一个常见的粉笔盒，只知道它的侧面展开图是不够的，因为它还有上、下两个底．那么，将它展开后是什么图形？（学生或摇头、或呈现疑惑神态）不清楚，是吧．这就是本节课我们要讨论的问题——立体图形的展开图．（课件展示课题） （二）让学生通过直观感知、操作确认等实践活动，加强对图形的认识和感受 师：我们先来做一做． 做—做（课件显示）：准备12个一样大的三边都相等的三角形，用透明胶粘贴成如图4.3.l、图4.3.2、图4.3.3所示的三种形状，你能想象出哪一个可以折叠成多面体？ 各小组动手做一做（把全班分成若干个小组）：
先用透明胶将这些三角形拼贴成这三个图形（用手指向图4.3.l～3），比赛看哪组能最快地拼贴好．现在开始． （巡堂指导）各组要怎样分工合作，才能做得又快又好？（有学生答：两人负责一个图较快，一个人拼，一个人贴） 哪一组已做好了？请举手． 请各组将贴好的图形展示给同学们看．（各组同学争先恐后地将贴好的图形展示出来） 很好．接下来对拼贴成的图形进行讨论：哪一个图形能折叠成多面体？（稍停）哪一组同学说一说你们讨论的结果？ 生：图4.3.l与图4.3.3可以折叠成多面体，图4.3.2不能． 师：把你们用图4.3.l与图4.3.3折叠成的多面体展示给同学们看，好吗？（学生展示）图4.3.2为什么不能折叠成多面体？（学生边展示边回答） 生：要折成三棱锥或四棱锥都少一个面． 师：其他组有没有不同的结论？（学生摇头） 好．请看电脑演示的结果．（课件演示图4.3.1、图4.3.3可以折成三棱锥的情形，以及图4.3.2不能折成三棱锥的情形．） 电脑的答案与同学们讨论的结果一致． （手举由图4.3.l折成的三棱锥）这个由图4.3.1折成的多面体叫什么名称？ 生：三棱锥． 师：设想沿着这个三棱锥的一些棱将它剪开，能展开成图4.3.1吗？ 生：能． 师：图4.3.l实际上是由三棱锥展开而成的平面图形，我们把它叫做三棱锥的平面展开图．图4.3.2能否叫做三棱锥的平面展开图？图4.3.3呢？ 生：图4.3.2不是三棱锥的平面展开图，图4.3.3是三棱锥的平面展开图． 师：通过动手实践，你感受或认识到平面图形和立体图形有什么关系？（引导学生概括得出） 生：多面体是由平面图形围成的立体图形；沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个平面图形． 师：很好，这就是平面图形和立体图形的关系．下面同学们来想一个问题． 想一想（课件显示）：图4.3.4～7四个图形是一些多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？ （给学生充分思考的时间）