5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2
10
0.2-?=，周期s T 0.1=，初相.4/3π?=试写出它的振
动位移、速度和加速度方程。
分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为：]2cos[
]cos[?π?ω+=+=t T
A t A x
代入有关数据得：30.02co s[2]()4
x t S I ππ=+
振子的速度和加速度分别是： 3/0.04sin[2]()4
v dx dt t SI πππ==-+
222
3/0.08cos[2]()4
a d x dt t SI πππ==-+
5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.
分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。
解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππ?ω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1
/210s νωπ-==，
周期1/0.1T s ν==，/4rad ?π=
（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ?ππππ=+=+
由cos x A ?=，sin A νω?=-，22
cos a A x ω?ω=-=-得
2
0.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-
5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；
（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.
分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。
解：（1）跟据x m ma f 2
ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x
将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =
（2）由x m f 2
ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =
5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率
Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.
分析 根据简谐振动频率公式比较即可。 解：由m k /21π
ν=
，对于同一弹簧（k 相同）采用比较法可得：
m
m '2
1=
νν
解得：'4m m =
5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅m A 2
100.2-?=，周期T=0，当t=0时，
（1）物体在正方向端点；
（2）物体在平衡位置，向负方向运动； （3）物体在m x 2
10
0.1-?=处，向负方向运动；
（4）物体在m x 2
100.1-?-=处，向负方向运动.
求以上各种情况的振动方程。
分析 根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。 解：设所求振动方程为：]4cos[02.0]2cos[?π?π+=+=t t T
A x
由A 旋转矢量图可求出
3/2,3/,2/,04321π?π?π??====
（1）0.02cos[4]()x t SI π=（2）0.02cos[4]()2
x t SI π
π=+ （3）0.02cos[4]()3
x t SI π
π=+
（4）20.02cos[4]()3x t SI ππ=+
题图5-5
5-6在一轻弹簧下悬挂0100m g =砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂250m g =的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的21cm/s 的初速度（令这时t=0）.选x 轴向下，求振动方程.
分析 在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。 解：弹簧的劲度系数l g m k ?=/0。
当该弹簧与物体m 构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：
]cos[?ω+=t A x
角频率为m k /=ω代入数据后求得7/rad s ω=
以平衡位置为原点建立坐标，有：000.04,0.21/x m v m s ==- 据2
020)/(ωv x A +=
得：0.05A m =
据A
x 01
cos
-±=?得0.64rad ?=±由于00v <,应取)(64.0rad =?
于是，所求方程为：))(64.07cos(05.0m t x += 5-7 某质点振动的x-t 曲线如题图5－7所示.求： （1）质点的振动方程；
（2）质点到达P 点相应位置所需的最短时间.
分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P 点的相位确定最短时间。
00001cos()0,/2,03
1,3
2
56
50.1cos(
)63
20x A t t x A v t s t x t m
P ω?π
?π
π
ωπωππ
=+==>=-=-=
∴
=
=-
解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（）点的相位为
050
0.463
0.4p p p t t t s
P s
ππ
ω?∴+=
-
==即质点到达点相应状态所要的最短时间为
题图
5-7
5-8有一弹簧，当下面挂一质量为m 的物体时，伸长量为m 2
108.9-?.若使弹簧上下振动，
且规定向下为正方向.
（1）当t ＝0时，物体在平衡位置上方m 2
10
0.8-?，由静止开始向下运动，求振动方程.
(2) 当t ＝0时，物体在平衡位置并以0.6m/s 的速度向上运动，求振动方程. 分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。 解：设所求振动方程为：)cos(?ω+=t A x
其中角频率l
g m l
mg m k ?=?==//ω，代入数据得：10/rad s ω=
（1）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：000.08,0x m v =-= 据2
020)/(ωv x A +=
得：0.08A m =
据A
x 01
cos
-±=?得rad ?π=±由于0v ＝0,不妨取rad ?π=
于是，所求方程为：10.08cos(10)()x t SI π=+
（2）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：000,0.6/x v m s ==- 据2
020)/(ωv x A +=
得：0.06A m =
据A
x 01
cos
-±=?得/2rad ?π=±由于00v <,应取/2rad ?π=
于是，所求方程为：20.06cos(10/2)()x t SI π=+
5-9 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为)SI )(3
t 2cos(104x 2π+π?=-，求：从 t=0时刻
起到质点位置在x=-2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间.
分析 由旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。 解: 依题意有旋转矢量图 ?π?=从图可见
02(0)t t ?ωπ?=?=-而
012
t s ?
ω
?=
=
故所求时间为：
5-10两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/
A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平
衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.
分析 由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定相位。 解：由于2/10A x =、100v <可求得：4/1π?=
由于2/
20A x =、200v >可求得：4/2π?-=
如图5-10所示，相位差：12/2???π?=-=
题图5-10
题图5-11
题图5-11
5-11一简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.
分析 利用旋转矢量图求解，由图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。 解：设所求方程为)cos(?ω+=t A x
当t=0时：115,0x cm v =-<由A 旋转矢量图可得：02/3t rad ?π== 当t=2s 时：从x-t 图中可以看出：220,0x v => 据旋转矢量图可以看出， 23/2t rad ?π==
所以，2秒内相位的改变量203/22/35/6t t rad ???πππ==?=-=-= 据t ?ω?=?可求出：/5/12/t rad s ω?π=??= 于是：所求振动方程为：520.1co s(
)()12
3
x t S I ππ=+
5-12 在光滑水平面上,有一作简谐振动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为K,物体的质量为m ,振幅为A .当物体通过平衡位置时,有一质量为'm 的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）'m 和m 粘结后,系统的振动周期和振幅;
（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅. 分析 系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。 解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为v ,则由机械能守恒
:
2
2
1122
K A m v
v =
=±
当'm 竖直落在处于平衡位置m 上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以
(')'
m v m m u m u v
m m =+=
+
此后,系统的振幅变为'A ,由机械能守恒,有
2
2
11'(')22'K A m m u A =
+=
=
系统振动的周期为: K
'm m 2T +π
=
（2）当m 在最大位移处'm 竖直落在m 上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为K
'm m 2+π
.
5-13 设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期. 分析 圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。 解: 如图所示,转轴o 在环上,角量以逆时针为正,则振动方程为
θ-=θsin mgR dt
d J 22
当环作微小摆动θ≈θsin 时,
2
2
2
0d dt
θωθ+=
ω=
2
2J m R =
22T π
π
ω
∴=
=5－14 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 物体的振动方程；(3) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(4) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．(5) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？
分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。 解： 选平衡位置为原点，取向下为x 轴正方向。 由：f kx = 200/f k N m x
==
7.07/rad s ω=
=
≈
(1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a ， 按牛顿第二定律有 ma N mg =- )(a g m N -=
当N = 0，即a = g 时，小物体开始脱离振动物体， 已知 A = 10 cm ，200/,
7.07/k N m rad s ω=≈
题图
5－14
解答图5-13
系统最大加速度为 22
m ax 5a A m s ω-==? 此值小于g ，故小物体不会离开． (2) 00010cos ,0sin t x cm A v A ?ω?=====-时，
解以上二式得 100A cm
?==
∴ 振动方程0.1cos(7.07)()x t SI =
(3) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力 ()f m g a =- ，而2
2
2.5a x m s ω-=-=?
29.2f N ∴=
(4) 设1t 时刻物体在平衡位置，此时0x =，即 10cos ,A t ω= ∵ 此时物体向上运动， 0v < ∴ 11,
0.22222t t s π
π
ωω
=
=
=。
再设2t 时物体在平衡位置上方5cm 处，此时5x cm =-，即 25cos ,A t ω-=
∵此时物体向上运动，0v < 2222,
0.29633t t s ππωω
=
=
=
210.074t t t s ?=-=
(5) 如使a > g ，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得
x a g 2
ω-== 2
/19.6x g cm ω=-=-
即在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离，由g A a >=2
m ax ω，可得 2
/19.6A g cm ω>=。
5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0Kg 的重物.现使平板沿竖直方向作上下简谐振动，周期为0.50s ，振幅为m 2
10
0.2-?，求：
（1）平板到最低点时，重物对板的作用力；
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？ 分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。
解：重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标， 振动方程为：)4cos(02.0?π+=t x
设平板对重物的作用力为N ，于是重物在运动中所受合力为：
题图5－14
f m
g N m a =-=，2
a x ω=-而
据牛顿第三定律，重物对平板的作用力'N 为：)('2x g m N N ω+-=-= （1）在最低点处：A x =,由上式得，'12.96N N =
（2）频率不变时，设振幅变为'A ,在最高点处（'A x -=）重物与平板间作用力最小，设0'=N 可得：2
'/0.062A g m ω==
（3）振幅不变时，设频率变为'ν，在最高点处（'A x -=）重物与平板间作用力最小，设
0'=N 可得：''/2 3.52H z νωπ==
=
5-16一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为0.06m ，周期为2.0s ，当t=0时位移为0.03m ，且向轴正方向运动，求：
（1）t=0.5s 时，物体的位移、速度和加速度；
（2）物体从0.03x m =-处向x 轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？ 分析 通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。 解：设该物体的振动方程为)cos(?ω+=t A x 依题意知：2//,0.06T rad s A m ωππ===
据A
x 01
cos
-±=?得)(3/rad π?±=
由于00v >,应取)(3/rad π?-= 可得：)3/cos(06.0ππ-=t x
（1）0.5t s =时，振动相位为：/3/6t rad ?πππ=-= 据2
2
cos ,sin ,cos x A v A a A x ?ω?ω?ω==-=-=- 得2
0.052,
0.094/,
0.512/x m v m s a m s ==-=-
（2）由A 旋转矢量图可知，物体从x m =-m 处向x 轴负方向运动，
到达平衡位置时，A 矢量转过的角度为5/6?π?=，该过程所需时间为：/0.833t s ?ω?=?=
5-17地球上（设2/8.9s m g =）有一单摆，摆长为1.0m ，最大摆角为5
，求： （1）摆的角频率和周期；
（2）设开始时摆角最大，试写出此摆的振动方程； （3）当摆角为3?
时的角速度和摆球的线速度各为多少？ 分析 由摆角最大的初始条件可直接确定其初相。 解：（1
） 3.13/rad s ω=
= 2/ 2.01T s πω==
（2）由t=0时，m ax 5θθ==
可得振动初相0=?，则以角量表示的振动方程为cos 3.13()36
t SI π
θ=
（3）由cos 3.13()36
t SI π
θ=
，当3θ=
时，有max cos /0.6?θθ==
而质点运动的角速度为：m ax m ax /sin 0.218/d dt rad s θθω?θω=-=-=- 线速度为：/0.218/v l d dt m s θ=?=
5-18 有一水平的弹簧振子,弹簧的劲度系数K=25N/m,物体的质量m=1.0kg,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力F=10 N 作用在物体上(不计一切摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤除力F,当物体运动到最左边开始计时,求物体的运动方程. 分析 恒力做功的能量全部转化为系统能量，由能量守恒可确定系统的振幅。 解: 设所求方程为0cos()x A t ω?=+
5/rad s ω==
因为不计摩擦,外力做的功全转变成系统的能量,
题图
5-16
故2
10.22
F x K A A m =
∴=
=
000,,t x A ?π==-∴= 又
故所求为 0.2cos(5)()x t SI π=+
5-19如题图5－19所示，一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．
分析 由质点在A 、B 两点具有相同的速率可知A 、B 两点在平衡位置两侧距平衡位置相等距离的位置，再联系两次经过B 点的时间即可确定系统的周期，而相位可由A 、B 两点位置确定。
解：由旋转矢量图和 A B v v = 可知 24,
8T s T s ==,1
1
1,
284
s rad s
π
νωπν--=
==
?
(1)以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． 05cos t x cm A ?==-=时，
25cos(2)sin t s x cm A A ω??===+=-时，
由上二式解得 1tg ?=
因为在A 点质点的速度大于零，所以354
4
ππ?-=
或
/cos A x ?==
∴ 振动方程
2
310
cos())44
t
x SI -ππ
=-（
(2) 速率
d 3sin(
)()d 4
4
x t SI t
ππ==
-
v
当t = 0 时，质点在A 点
2
2
1
d 310
sin() 3.9310
d 4
x m s
t
---π=
=-
=??v
5-20一物体放在水平木板上，这木板以Hz 2=ν的频率沿水平直线作简谐振动，物体和水平木板之间的静摩擦系数50.0=s μ，求物体在木板上不滑动时的最大振幅m ax A . 分析 物体在木板上不滑动的临界条件是摩擦力全部用来产生其加速度。
题解图5-19
题图5-19
2
m ax 2
2
2
m ax ,m g 0(1)(2)(3)cos()
(4)
(1)(2)(3)/(4)//(4)0.031x x s s s s s N f m a f N
a A t a m g m g
A g g m
μωω?μμμωμπν-==-≤=-+=====解：设物体在水平木板上不滑动竖直方向：水平方向：且又有由得再由此式和得
5-21在一平板上放一质量为2m kg =的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期0.5T s =，振幅4A cm =，求：
（1）物体对平板的压力的表达式. （2）平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
分析 首先确定简谐振动方程，再根据物体离开平板的临界位置为最高点，且对平板压力为零。
解：物体与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：
0.04cos(4)()x t SI π?=+
设平板对物体的作用力为N ，于是物体在运动中所受合力为： x m ma N mg f 2
ω-==-=
（1）据牛顿第三定律，物体对平板的作用力'N 为：)('2
x g m N N ω+-=-= 即：)4cos(28.16.19)16('2
2?πππ+--=+-=t x g m N
（2）当频率不变时，设振幅变为'A ，在最高点处（'x A =-）物体与平板间作用力最小 令0'=N 可得：2
'/0.062A g m ω==
5-22一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动.已知氢原子质量Kg m 27
1068.1-?=，
振动频率Hz 14
10
0.1?=ν，振幅m A 11
10
0.1-?=.试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此
振动相联系的能量.
分析 振动能量可由其最大动能（此时势能为零）确定。 解：(1)最大振动速度：3
2 6.2810/m v A A m s ωπν===? (2)氢原子的振动能量为：2
20
1 3.3110
2
m E m v J -=
=?
5-23 一物体质量为0.25Kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k=25N/m ，如果起始振动时具有势能0.06J 和动能0.02J ，求： (1)振幅；
(2)动能恰等于势能时的位移； (3)经过平衡位置时物体的速度.
分析 简谐振动能量守恒，其能量由振幅决定。 解：2
11k 2
K P E E E A =+=
（）
1/2
[2()/k ]
0.08()K P A E E m =+=
22
1(2)k 2/22
K P K P P P E E E A E E E E E kx =+=
===因为，当时，有，又因为
2
2
2/
0.0566()x A x A m ==±=±得：，即
2
1(3)02
K P x E E E m v ==+=过平衡点时，，此时动能等于总能量
1/2
[2()/]
0.8(/)K P v E E m m s =+=±
5-24 一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图5－24所示.设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率.
分析 由牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可得到证明。 解：取如图x 坐标,平衡位置为原点O ，向下为正，m 在平衡位置时弹簧已伸长0x
(1)mg kx =
设m 在x 位置，分析受力，这时弹簧伸长0x x +
20()
(2)T k x x =+
由牛顿第二定律和转动定律列方程：
1(3)mg T ma -= 12(4)T R T R J β
-=
(5)a R β=
联立(1)(2)(3)(4)(5)解得x m
R J k a +-=)/(2
由于x 系数为一负常数，故物体做简谐振动， 其角频率为:2
2
2
)/(mR
J kR
m
R J k +=
+=
ω
题图5-24
5-25两个同方向的简谐振动的振动方程分别为:2
11410
cos 2()(),8
x t SI π-=?+
2
21310
cos 2()()4
x t SI π-=?+
求：（1）合振动的振幅和初相；（2）若另有一同方向同频率
的简谐振动2
3510cos(2)()x t SI π?-=?+，则?为多少时，31x x +的振幅最大？?又为多
少时，32x x +的振幅最小？
分析 合振动的振幅由其分振动的相位差决定。 解：（1）)2cos(21?π+=+=t A x x x
按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为
2
2
10
6.4810
A m --=
=?
4sin(/4)3sin(/2) 1.124cos(/4)3cos(/2)
arctg
rad ππ?ππ+==+
所以，合振动方程为))(12.12cos(1048.62
SI t x +?=-π
(2)当π??k 21=-，即4/2ππ?+=k 时，31x x +的振幅最大. 当π??)12(2+=-k ，即2/32ππ?+=k 时，32x x +的振幅最小.
5-26有两个同方向同频率的振动，其合振动的振幅为0.2m ，合振动的相位与第一个振动的相位差为6/π，第一个振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。 分析 根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。 解：采用旋转矢量合成图求解
题图5-24
取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为/6φπ= 据21A A A +=可知12A A A -=,如图： )(1.0cos 212
2
12m AA A A A =-+=
?
由于A 、1A 、2A 的量值恰好满足勾股定理， 故1A 与2A 垂直.
即第二振动与第一振动的相位差为2/πθ=
5－27一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
2
1510
cos(4/3)()x t SI π-=?+，2
2310
sin(4/6)()x t SI π-=?-画出两振动的旋转矢量
图，并求合振动的振动方程.
分析 须将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量，画出矢量图。 解：)6/4sin(10322π-?=-t x )2/6/4cos(1032ππ--?=-t )3/24cos(1032π-?=-t 作两振动的旋转矢量图，如图所示. 由图得：合振动的振幅和初相分别为
3/,2)35(πφ==-=cm cm A .
合振动方程为))(3/4cos(10
22
SI t x π+?=-
5－28将频率为348Hz 的标准音叉和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz.若在待测音叉的一端加上一个小物体，则拍频将减小，求待测音叉的角频率. 分析 质量增加频率将会减小，根据拍频减少可推知两个频率的关系。 解：由拍频公式12ννν-=?可知：ννν?±=12
在待测音叉的一端加上一个小物体，待测音叉的频率2ν会减少，若拍频ν?也随之减小，则说明2ν>1ν,于是可求得：21351Hz ννν=+?=
5-29一物体悬挂在弹簧下作简谐振动，开始时其振幅为0.12m ，经144s 后振幅减为0.06m. 问：(1)阻尼系数是多少？ (2)如振幅减至0.03m ，需要经过多少时间？ 分析 由阻尼振动振幅随时间的变化规律可直接得到。 解:(1)由阻尼振动振幅随时间的变化规律0t
A A e
β-?=得
题图5-26
题图5-27
)/1(1081.4ln
31
0s t A A -?==
β
（2）由0t
A A e
β-?=得
12
12
t t A e A e
ββ-?-?=
于是：12
21ln /144A A t t t s β
?=-=
=
5-30一弹簧振子系统，物体的质量m=1.0 Kg ，弹簧的劲度系数k=900N/m.系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为0.10=β 1/s ，为了使振动持续，现加一周期性外力
)(30cos 100SI t F =作用.求：
（1）振动达到稳定时的振动角频率；
（2）若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？其共振的振幅为多大？
分析 受迫振动的频率由外力决定。
解：（1）振动达到稳定时，振动角频率等于周期性外力的角频率，有30/rad s ω= (2)受迫振动达到稳定后，其振幅为：2
2
2
2
2
004)(/)/(ωβωω+-=m F A
式中m k /0=
ω为系统振动的固有角频率，0F 为外力的振幅
由上式可解得，当外力的频率ω
为：26.5/rad s ω==时
系统出现共振现象，共振的振幅为：0.177r A m ==
大学物理-机械振动习题-含答案
t （s ） v （m.s -1） 12m v m v o 1.3题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时， 加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A:1.2s B: 2.4s C:2.2s D:4.4s 解： s T t T x a x a 2.2422,2 222,22===∴== ===ππ ω πωω 2．一个弹簧振子振幅为2 210m -?, 当0t =时振子在2 1.010m x -=?处，且向 正方向运动，则振子的振动方 程是：[ A ] A ：2 210cos()m 3 x t πω-=?-； B ：2 210cos()m 6x t π ω-=?-； C ：2 210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ： 2210cos()m 6 x t π ω-=?+； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简 谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线 如图示，则振动的初相位为：[ A ] 1.2题图 x y o
A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56π 解：振动速度为：max sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?=，所以06π?=或0 56 π ?= 由知1.3图，0t =时，速度的大小 是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有0 6 π?=是符合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π=两侧分别对T ， 和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-==∴= 二、填空题 1．有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10－2m 周期 T = 0.50s , 3 4 6 5 2 1 x /1 2题图 x y
《机械振动噪声学》习题集 1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动； (b) 周期振动和周期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为 0.20 cm，周期为 0.15 s，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在 82 Hz 时具有最大加速度 50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： A cos n t + B cos (n t + ) = C cos (n t + ' )，并讨论＝0、/2 和三种特例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？ 1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos t和x2 = X2 cos ( + ) t之和。其中<< 。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。 1－8 将下列复数写成指数A e i 形式： (a) 1 + i3 (b) 2 (c) 3 / (3 - i ) (d) 5 i (e) 3 / (3 - i ) 2 (f) (3 + i ) (3 + 4 i ) (g) (3 - i ) (3 - 4 i ) (h) ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 2－1 钢结构桌子的周期＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。 已知周期的变化＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。 2－2 如图2－2所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。 2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。 图2－1 图2－2 图2－3 2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。 2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
5-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0?10-2m，周期T=1.0s，初相?=3π/4.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。 分析根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。解：振动方程为：x=Acos[ωt+?]=Acos[ 3π 42πTt+?] 代入有关数据得：x=0.02cos[2πt+ 振子的速度和加速度分别是： v=dx/dt=-0.04πsin[2πt+3π 4 3π 4](SI) ](SI) a=dx/dt=-0.08πcos[2πt+222](SI) 5-2若简谐振动方程为x=0.1cos[20πt+π/4]m，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s时的位移、速度和加速度. 分析通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。 解：(1)可用比较法求解.根据x=Acos[ωt+?]=0.1cos[20πt+π/4] 得：振幅A=0.1m，角频率ω=20πrad/s，频率ν=ω/2π=10s 周期T=1/ν=0.1s，?=π/4rad （2）t=2s时，振动相位为：?=20πt+π/4=(40π+π/4)rad 22 由x=Acos?，ν=-Aωsi n?，a=-Aωcos?=-ωx得 -1， x=0.0707m,ν=-4.44m/s,a=-279m/s 5-3质量为2kg的质点，按方程x=0.2sin[5t-(π/6)](SI)沿着x轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 分析根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。2解：（1）跟据f=ma=-mωx，x=0.2sin[5t-(π/6)] 2 将t=0代入上式中，得：f=5.0N 2 （2）由f=-mωx可知，当x=-A=-0.2m时，质点受力最大，为f=10.0N 5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率ν1=1.0Hz；而当将另一已知质量为m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为 ν2=2.0Hz.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量. 分析根据简谐振动频率公式比较即可。解：由ν=1 2πk/m，对于同一弹簧（k相同）采用比较法可得：ν1 ν2=m'm 解得：m=4m'
机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动 （ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为 图 一 （ D ） ()0A ()2 πB
()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振 幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同 （ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作 竖直振动
题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时，加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A: B: C: D: 解： s T t T x a x a 2.242 2,2 222,22===∴==== =ππ ωπ ωω 2．一个弹簧振子振幅为2210m -?,当0t =时振子在21.010m x -=?处，且向正方向运 动，则振子的振动方程是：[ A ] A ：2210cos()m 3 x t π ω-=?-； B ：2 210cos()m 6 x t π ω-=?-； C ：2210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ：2210cos()m 6 x t π ω-=?+ ； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ] A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56 π 解：振动速度为：max 0sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?= ，所以06π?=或056 π?= 由知图，0t =时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知， 旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对 应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有06 π ?= 是符 合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π =两侧分别对T ，和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-= =∴=
第五章机械振动 5-1. 从运动学看什么是简谐振动？从动力学看什么是简谐振动？一个物体受到使它返回平 衡位置的力，它是否一定作简谐振动？ 答：从运动学观点来看，物体在平衡位置做往复运动，运动变量（位移、角位移等）随 时间t 的变化规律可以用一个正（余）弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动；从动 力学来看，如果物体受到的合外力（矩）与位移（角位移）的大小成正比，而且方向相反， 则该物体的运动就是简谐振动。由简谐振动的定义可看出，不一定作简谐振动。 5-2. 若物体的坐标x ，速度υ和时间t 分别具有下列关系，试判断哪些情况下物体的运动是 简谐振动？并确定它的周期。 （1）2sin x A Bt =； （2）2A Bx υ=- （3）5sin()2x t π π=+； （4）cos At x e t π-= （各式中A 、B 均为常数）。 答：只要物体的运动状态方程满足cos()x A t ω?=+或者sin()x A t ω?=+ ，或者满足2220d x x dt ω+=的形式，则均为简谐振动。由此可判定出 ：（1）是简谐振动，振动周期T B π =；（2）是简谐振动，因为满足2220d x x dt ω+=的判椐。振动周期T = （3）是简谐振动，振动周期2T s =； （4）不是简谐振动。 5-3 刚度系数分别为k 1和k 2的两根轻质弹簧，与质量为m 的滑块相连，水平面光滑， 如图5-3所示。试证明其为简谐振动，并求出振动周期。 解：建立坐标并对物体m 进行受力分析。设初时物体处于坐 标原点O 的右侧x 处，初速度v 0，物体受左右弹簧力的合力为 12()F k k x =-+， 大小与x 成正比，方向与位移方向相反 ， 满足简谐振动的动力学规律，故是简谐振动。 由牛顿第二定律可得： 22 12122()()0k k k k d x x m dt m ω++=+= ，即 习题5-3图 2122()0k k d x x dt m ++=，由此知园频率 212()k k m ω+=，周期为 2T = 5-4 质量为31.010-?kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按3510cos(8)() 3x t m π π-=?+
机械振动机械波 一、选择题 1．对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 （A ）物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ）物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ）物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ）物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2．质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，当时间2/T t =（T 为周期）时，质点的速度为 （A ）φωsin A v -=； （B ）φωsin A v =； （C ）φωcos A v -=； （D ）φωcos A v =。 3．一物体作简谐振动，振动方程为??? ? ? +=4cos πωt A x 。在4T t =（T 为周期）时刻，物 体的加速度为 （A ）2221ωA - ； （B ）2221 ωA ； （C ）232 1 ωA - ； （D ）2321ωA 。 4．已知两个简谐振动曲线如图所示，1x 的位相比2x 的位相 （A ）落后2π； （B ）超前2π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 5．一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为?? ? ?? +?=-ππ312cos 10 42 t x （SI ）。从0=t 时刻 起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 第题图
（A ）s 8/1； （B ）s 4/1； （C ）s 2/1； （D ）s 3/1。 6．一个质点作简谐振动，振幅为 A ，在起始时刻质点的位移为2/A ，且向x 轴的正方向运 动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 7．一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为 （A ）s 12； （B ）s 10； （C ）s 14； （D ）s 11。 8．一简谐振动在某一瞬时处于平衡位置，此时它的能量是 （A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，机械能为零； （C ）动能最大，势能最大； （D ）动能最大，势能为零。 9．一个弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为1600J 。当振子处于最大位移的1/4时，此时的动能大小为 （A ）250J ； （B ）750J ； （C ）1500J ； （D ） 1000J 。 10．当质点以频率ν作简谐振动时，它的动能的变化频率为 （A ）ν； （B ）ν2 ； （C ）ν4； （D ） 2 ν。 11．一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 （A ）T ／4； （B ）T/2； （C ）T ； （D ）2T 。 x （A ） （B ）（C ） （D ） )s 2 1 -
习题解答第一章绪论 1-1 答： 1 ）机构是实现传递机械运动和动力的构件组合体。如齿轮机构、连杆机构、凸轮机构、螺旋机构等。 2 ）机器是在组成它的实物间进行确定的相对运动时，完成能量转换或做功的多件实物的组合体。如电动机、内燃机、起重机、汽车等。 3 ）机械是机器和机构的总称。 4 ） a. 同一台机器可由一个或多个机构组成。 b. 同一个机构可以派生出多种性能、用途、外型完全不同的机器。 c. 机构可以独立存在并加以应用。 1-2 答：机构和机器，二者都是人为的实物组合体，各实物之间都具有确定的相对运动。但后者可以实现能量的转换而前者不具备此作用。 1-3 答： 1 ）机构的分析：包括结构分析、运动分析、动力学分析。 2 ）机构的综合：包括常用机构设计、传动系统设计。 1-4 略
习题解答第二章平面机构的机构分析 2－1 ～ 2－5 （答案略） 2-6 (a) 自由度 F＝1 (b) 自由度 F＝1 (c) 自由度 F＝1 2-7 题 2 － 7 图 F ＝ 3 × 7 － 2 × 9 － 2 ＝ 1
2 -8 a) n ＝7 ＝10 ＝0 F ＝3×7－2×10 ＝1 b) B 局部自由度 n ＝3 ＝ 3 ＝2 F＝3×3 －2×3－2＝1 c) B 、D 局部自由度 n ＝3 ＝3 ＝2 F＝3×3 －2×3－2 ＝1 d) D( 或 C) 处为虚约束 n ＝3 ＝4 F＝3×3 － 2×4＝1 e) n ＝5 ＝7 F＝3×5－2×7＝1 f) A 、 B 、 C 、E 复合铰链 n ＝7 ＝10 F ＝3×7－2×10 ＝1 g) A 处为复合铰链 n ＝10 ＝14 F ＝3×10 － 2×14＝2 h) B 局部自由度 n ＝ 8 ＝ 11 ＝ 1 F ＝3×8－2×11－1 ＝1 i) B 、 J 虚约束 C 处局部自由度 n ＝ 6 ＝ 8 ＝ 1 F ＝3×6 － 2×8－1＝1 j) BB' 处虚约束 A 、 C 、 D 复合铰链 n ＝7 ＝10 F ＝3×7－2×10＝1 k) C 、 D 处复合铰链 n＝5 ＝6 ＝2F ＝3×5－2×6－2 ＝1 l) n ＝ 8 ＝ 11 F ＝ 3×8－2×11 ＝ 2 m) B 局部自由度 I 虚约束 4 杆和 DG 虚约束 n ＝ 6 ＝ 8 ＝ 1 F ＝3×6－2×8－1 ＝1 2-9 a) n ＝ 3 ＝ 4 ＝ 1 F ＝ 3 × 3 － 2 × 8 － 1 ＝ 0 不能动。 b) n ＝ 5 ＝ 6 F ＝ 3 × 5 － 2 × 6 ＝ 3 自由度数与原动件不等 , 运动不确定。
大学物理单元测试 （机械振动与机械波） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 （25分） 1 一质点作周期为T 的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（ D ） (A ）T/2 （B ）T/4 (C)T/8 （D ）T/12 2 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ E ） (A ）7/16 (B ）9/16 (C ）11/16 (D ）13/16 (E ）15/16 3 一质点作简谐运动，其振动方程为 )3 2cos( 24.0π π + =t x m, 试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x =-0.12 m,v <0的状态所经过的最短时间。 （C ） （A ）0.24s （B ） 3 1 （C ）3 2 （D ）2 1 4 一平面简谐波的波动方程为：)(2cos λνπx t A y - =，在ν 1 = t 时刻，4 31λ= x 与 4 2λ = x 两处质点速度之比：（ B ） （A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）1/3 5 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同 (C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同. (D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大. 二、填空题（25分） 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.3 2 N/m ，重物的质量为0.02 kg ，则这个系统的固有频率为____0.64 Hz ____，相应的振动周期为___0.5π s______． 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 ν1：ν2 = _2:1__ __，加速度最大值之比a 1m ：a 2m = __4:1____，初始速率之比 v 10 ：v 20 = _2:1__ ___.
第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。 2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ） A. l g B. l g C. g l D. g l 解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。 故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（ ） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π 解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2 π-=?。 故本题答案为A 。 5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )
《大学物理学》机械振动自主学习材料 一、选择题 9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为2 A - ，且向x 轴正方向运动， 代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】 9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为cm ，t 的单位为s ）为（ ） （A ）22 2cos()3 3x t ππ=-； （B ）2 22cos()33x t ππ=+ ； （C ）4 22cos()33x t ππ=-； （D ）4 22cos()33 x t ππ=+ 。 【考虑在1秒时间内旋转矢量转过 3 ππ+，有43 πω= 】 9-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示， 1x 的相位比2x 的相位（ ） （A ）落后 2 π ； （B ）超前 2 π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 【显然1x 的振动曲线在2x 曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2π】 9-4．当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A ）2 ν ； （B ）ν； （C ）2ν； （D ）4ν。 【考虑到动能的表达式为2 2 2 11sin () 2 2 k E m v kA t ω?= = +，出现平方项】 9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可 叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ）32 π； （B ）2π ； （C ）π； （D ）0。 【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差π，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】 9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为'T ，则 '/T T 为（ ） ()A ()B () C ()D ) s 1 -2 -
5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2 100.2-?=，周期s T 0.1=，初相.4/3π?=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。 分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为：]2cos[]cos[ ?π ?ω+=+=t T A t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4 x t SI π π=+ 振子的速度和加速度分别是： 3/0.04sin[2]()4 v dx dt t SI π ππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4 a d x dt t SI π ππ==-+ 5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度. 分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。 解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππ?ω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1 /210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ?π= （2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ?ππππ=+=+ 由cos x A ?=，sin A νω?=-，2 2 cos a A x ω?ω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=- 5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。 解：（1）跟据x m ma f 2 ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N = （2）由x m f 2 ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =
一、 选择题 1、一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动按余弦函数描述，则其初相为 [ D ] （A ） 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动，如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+，与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，则质点从平衡位置运动到离最大 振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] （A ）;4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为m 4的物体，最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体， 此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1
5、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ，劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分， 且21nl l =，则相应的劲度系数1k ，2k 为 [ C ] （A ）;)1(,121k n k k n n k +=+= （B ）;11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 [ C ] （A ） 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ） 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ） 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ） 物体处于负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ B ］
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单 摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 (B) 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) ) 21/cos(π-=t m k A x (C) ) π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取 v 2 1
一．自测题 12-1．一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上试判断下面哪种情况是正确的 (A)竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动； (B)竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C)两种情况都可作简谐振动； (D)两种情况都不能作简谐振动。 12-2．一质点在x轴上作谐振动，振幅4cm A=，周期2s T=，取平衡位置为坐标原点，若0 = t时刻质点第一次通过2cm x=-处，且向x轴正方向运动，则质点第二次通过2cm x=-处的时刻 (A) 1s；(B) 4 s 3 ；(C) 2 s 3 ；(D)2s。 12-3．一弹簧振子作简谐振动,总能量为E1,如果谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的质量增为原来的四倍,则它的总能量变为 (A)E 1 4 ；(B) E 1 2 ；(C)4 1 E；(D)2 1 E。 150
151 12-4．用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A ，周期为T ，初相π?3 1-=，则振动曲线为 12-5．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，则此简谐振 动的振动方程为 (A) ??? ??+=3232cos 2ππt x ；(B) ?? ? ??-=332c o s 2ππt x ； 2 1 -2 o 1 x (m) t (s) o 2 T x (m ) t (s ) 2A - 2 A (A) o 2 T x (m ) t (s ) 2A - 2 A (B) o 2T x (m ) t (s ) 2A - 2A (C) o 2 T x (m ) t (s ) 2A - 2 A (D)
第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0、20cm,周期为0、15s,求最大速度与加速度。 解: max max max 1*2***2***8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1*(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22max max max *(2**)*x w x f x π== ..22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz,最大速度为4、57m/s,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: .max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4、 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？ 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动
5、 什么就是线性振动？什么就是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？ 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6、 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7、请画出互相垂直的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果就是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π=
第15单元 机械振动 学号 姓名 专业、班级 课程班序号 一 选择题 [ B ]1. 已知一质点沿y 轴作简谐振动，其振动方程为)4/3cos(πω+=t A y 。与其对应的振动曲线是: [ B ] 2. 一质点在x 轴上作简谐振动，振幅A = 4cm ，周期T = 2s, 其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2cm 处的时刻为： (A) 1s (B) s 32 (C) s 3 4 (D) 2s [ C ] 3. 如图所示，一质量为m 的滑块，两边分别与劲度系数为k1和k2的轻弹簧联接， 两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块m 可在光滑的水平面上滑动，O 点为系统平衡位置。现将滑块m 向左移动x0，自静止释放，并从释放时开始 计时。取坐标如图所示，则其振动方程为： ??? ? ? ?+=t m k k x x 2 10cos (A) ??????++=πt k k m k k x x )(cos (B) 212 10 ? ?? ???++=πt m k k x x 210cos (C) ??? ???++=πt m k k x x 210cos (D) ??????+=t m k k x x 2 1 0cos (E) [ E ] 4. 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的： (A) 167 (B) 169 (C) 1611 (D) 1613 (E) 16 15 [ B ] 5. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若 这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为： (A) π2 1 (B)π t y A (D) A -t y o A -(A) A t y o A A -t y A A (C) o m x x O 1k 2 k t x o 2 /A -2 x 1 x
习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 0d d 2 22=+ξωξt 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为θsin mg -，如题4-1图(b)所示．题 中所述，S ?＜＜R ，
故R S ?= θ→0，所以回复力为θmg -.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 θθ mg t mR -=22d d 令R g = 2ω，则有 0d d 2 22=+ωθt 4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有 1 11x k F x k F -=-=串 222x k F -= 又有 21x x x += 2 211k F k F k F x +== 串 所以串联弹簧的等效倔强系数为
习题五 5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2 100.2-?=，周期s T 0.1=，初相.4/3π?=试写出它的振 动位移、速度和加速度方程。 分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为：]2cos[]cos[?π ?ω+=+=t T A t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4 x t SI π π=+ 振子的速度和加速度分别是： 3/0.04sin[2]()4 v dx dt t SI π ππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4 a d x dt t SI π ππ==-+ 5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度. 分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。 解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππ?ω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1 /210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ?π= （2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ?ππππ=+=+ 由cos x A ?=，sin A νω?=-，22cos a A x ω?ω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=- 5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。 解：（1）跟据x m ma f 2 ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =
13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相?、角频率ω是简谐运动方程 ()?ω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A 、?已知外， ω可通过关系式T π ω2= 确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因T π ω2=，则运动方程 ()?? ? ??+=+=?π?ωt T t A t A x 2cos cos 根据题中给出的数据得 ]75.0)2cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x 振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+??-==---t s s m dt dx v πππ75.0)2cos[()108(/112222+??-==---t s s m dt x d a x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为?? ???? +=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()?ω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相π?25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-?=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+?-==-s m dt dx v