接触应力计算全面讨论
图1 曲面体的坐标
图2 坐标关系及接触椭圆
1.2 接触应力
两曲面接触并压紧，压力P 沿z 轴作用，在初始接触点的附近，材料发生局部的变形，靠接触点形成一个小的椭圆形平面，椭圆的长半轴a 在x 轴上，短半轴b 在y 轴上。椭圆形接触面上各点的单位压力大小与材料的变形量有关，z 轴上的变形量大，沿z 轴将产生最大单位压力P 0。其余各点的单位压力P 是按椭圆球规律分布的。
其方程为
单位压力
总压力 P 总＝∫PdF
∫dF 从几何意义上讲等于半椭球的体积，故
接触面上的最大单位压力P 0称为接触应力σH
（1）
a 、
b 的大小与二接触面的材料和几何形状有关。
2 两球体的接触应力
半径为R1、R2的两球体相互接触时，在压力P的作用下，形成一个半径为a的圆形接触面积即a＝b(图4)，由赫兹公式得
式中：E1、E2为两球体材料的弹性模量；μ1、μ2为两球体材料的泊松。
图4 两球体外接触
取综合曲率半径为R，则
若两球体的材料均为钢时，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝μ＝0．3，则
（2）
如果是两球体内接触(图5)，综合曲率半径为，代入式(2)计算即可求出接触应力σH。如果是球体与平面接触，即R2＝∞，则R＝R1代入式(2)计算即可。
图5 两球体内接触
3 轴线平行的两圆柱体相接触时的接触应力
轴线平行的两圆柱体接触时，变形前二者沿一条直线接触，压受力P 后，接触处发生了弹性变形，接触线变成宽度为2b 的矩形面(图6)，接触面上的单位压力按椭圆柱规律分布。变形最大的x 轴上压力最大，以P 0表示，接触面上其余各点的压力按半椭圆规律分布，如图7
，
半椭圆柱的体积等于总压力P ，故
图6 两圆柱体接触
图7 轴线平行的两圆柱体相接触的压力分布
最大单位压力
（3）
由赫兹公式知
代入式(3)，得
若两圆柱体均为钢时，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0．3，取则接触应力为
若为两圆柱体内接触(图8)，则以代入式(4)计算。若是圆柱体与平面接触，则R2＝∞，R＝R1代入式(4)计算。
4 机械零件的接触应力计算
4.1 摩擦轮传动
金属摩擦轮传动失效的主要形式是滚动体表面的疲劳点蚀，常按接触疲劳强度设计，来验
算滚动体接触表面上的接触应力。对于圆盘与摩擦轮的传动(图9)，将滚动体的压紧力
代入赫兹应力公式，可得
图8 两圆柱体内接触
图9 圆盘与摩擦轮接触
式中：T 为摩擦轮轴上转矩；f 为摩擦系数；b 为接触长度；S 为摩擦力裕度，在动力传动中取1.25～1.5，在仪器传动中取不大于3。 4.2 齿轮传动
一对齿轮在节点外接触，相当于半径为ρ1、ρ2的两个圆柱体相接触(图10)，因此也用式(4)来求接触应力
图10 一对齿轮在节点处接触的接触应力
代入式(4)，便可得出轮齿表面的接触应力公式，进而导出齿轮传动接触强度的设计计算式。
4.3 凸轮机构
凸轮机械中滚子与凸轮工作面也存在着接触应力，也可以用式(4)进行校核
式中：q ＝P ／L ，P 为凸轮与推杆间在所校核的接触处的法向压力，常见的直动滚子推杆盘形凸轮机构法向压力如图11所示。
式中：Q 为推杆上的载荷；α为压力角；f 为导槽与推杆间摩擦系数；L a 为推杆上滚子中心伸出导槽的长度。
4.4 滚柱式离合器(图12)
当离合器进入接合状态时，滚柱被楔紧在星轮和套筒间，靠套筒随星轮一同回转。
图11 凸轮机构的受力
图12 滚柱式定向离合器简图
星轮工作面的坐标为作用在滚柱的力对离合器轴心的力臂为
若传递的传矩为M k 时，作用在滚柱上的力为
滚柱和星轮的接触是圆柱体和平面相接触，所以综合曲率半径单位长度的载荷q＝Q／L，代入式(4)即可得出滚柱和星轮间的接触应力公式
式中：L为滚柱长度；d为滚柱直径。
4.5 滚动轴承的滚动体与滚道间的接触应力
滚子轴承的滚子与内环的接触相当于两圆柱体外接触(图13)，综合曲率半径
单位长度上的载荷代入式(4)，便可得出受力最大的滚子与内环接触处的接触应力
式中：P为受力最大的滚子所承受的力；L为滚子工作长度。
图13
5 结语
(1)通过对曲面间高副接触应力的分析，对赫兹公式进一步作了改进，得到了4个接触应力计算公式。
(2)有些机械零件，如上述讨论的齿轮，摩擦轮、滚动轴承等都是工作在高的接触压力作用
下，经过多次接触应力循环下，局部表面将发生小片或小块金属剥落，形成麻点或凹坑，使零件工作时噪音增大，振动加剧。本文对以上这类零件的接触应力都给出了具体的计算公式。
