常用的一些矢量运算公式
1.三重标量积
如a r ，b r 和c r
是三个矢量，组合
()
a b c
??r r r 叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三
个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为
(
),,i j k
r r r ，令三个矢量的分量记为
()()
123123,,,,,a a a a b b b b r r
及
()
123,,c c c c r
则有
(
)()
123123123123
123123
c c c i jk
a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++=rr r
r r r r r r
因此，三重标量积必有如下关系式：
(
)()()
a b c b c a c a b
??=??=??r r r r r r r r r
即有循环法则成立，
这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2.三重矢量积
如a r ，b r 和c r
是三个矢量，组合
()
a b c
??r r r 叫做他们的三重标量积，因有
()()()a b c a c b c b a ??=-??=??r r r r r r r r r
故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:
()
()()a b c a b c a c b
??=-?+?r r r r r r r r r （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()
a b c b a c b a c
?=??+?r r r r r r r r r （1-210）
3.算子（
a ?
r ）
?
是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（
a ?
r
）则是一个标量算子，将它作用于标量φ
，即
()a φ?r
是φ在a
r 方向的变化速率的a
倍。如以无穷小的位置矢量
d r
r 代替以上矢量a
r ，则()dr φ
?r 是φ
在位移方向
d r
r 的变化率的
d r
r 倍，即
d φ
。
()
()d dr dr φφφ=?=?r r
若将
()dr ?r 作用于矢量v r ，则
()dr v
?r r 就是v r 再位移方向
d r
r
变化率的
d r
r 倍，既为速度矢量
的全微分
()
dv dr v
=?r
应用三重矢量积公式（1-209
）
()()()
00()()()()
a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??r r r u u r u u r r r r r r r r r r
应用三重矢量积公式（1-210）又有
()()()
00()()()()a b a b a b a b a b b a b a
??=??+??=???+?+???+??r r r r r u u r r r r r r r r r
将以上两式结合（相减）后可得
()
{()}
1()()()()()
2
a b a b a b b a a b b a a b ?=??-???-???-???-??+??r r r r r r r r r r r r r r 一个重要的特例，令a b v ==r r r ，因()
0v v ???=r r 则有21()()
2
v v v v v ?=?-???r r r r
4.算子?
的应用
令φ是标量，a r 是矢量，;a b
r r 为并矢量，则有
00002
000()()()()()
()()()()
()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a a a b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ?=?+?=??+????=??+?=??+??????=???-??=?+?=??+??r r r r r
r r r r r r r r r r u u r u u r u u r r r r r r
在直角坐标中，令
2222
222
()x y z
y x z
x y z
x y z
a ia ja ka i j k
x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y z
a a a a x y z
φφφφφφφφφ=++????=++????????=++????????=
???????=???=++???????=++???r r r r r r r r rr r r r
对一组正交曲线坐标系
123(,,)
εεε，其单位矢量123(,,)
e e e ，将任意位置矢量
R
u r
变分写为
111222333
R h d e h d e h d e δεεε=++u r
其中
123
,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，
R dxi dx j dxk
δ=++u r r r r
，所以
1231h h h ===。在柱坐标
(,,)
r z ?中，因
r z
R dre rd e dze ?δφ=++u r u u r u r ，所以1321,h h h r
===。在球坐标
(,,)
r θ?中，因
sin r R dre rd e r e θθ
δθθ=++u r u u r u u r ，所以
1231,,sin h h r h r θ
===。
在任意正交曲线坐标系中，令φ
是标量，矢量
112233
a a e a e a e =++r u r u u r u r ，则有
312112233
231312231123133112233
123123
112233
()()()11e e e h h h h h a h h a h h a a h h h h e h e h e a h h h h a h a h a φφφ
φξξξξξξξξξ????=
++
????
??????=
++??
?????
?????=
???r r
单位矢量的旋度和散度为
32111133122
23112312
2331121231112
22333(1,2,3)
()1(1,2,3)
1()()()e e h h e h h h h h h e h h h h h h h h h h h h h h h ξξξφφφφξξξξξξ????=-?????=??
????
????=++?
?????????u r u r 轮换轮换
123(,,)
n n n n 方向梯度n ?r 作用于矢量a
r 为
{
{
{
332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()a h a h h h
n a e n a n n n n h h h h a a h h h h
e n a n n n n h h h h h h a h a h e n a n n n n h h h h ξξξξξξξξξξξξ??????=?+---?
?????
?????+?+-+-?
?????
?
????+?+-+-?
?????
r r r r r
笛卡尔张量
1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号
以
1(1,2,3)
x i =表示笛卡尔直角坐标系的坐标，
1(1,2,3)
i i =表示三个坐标轴方向单位矢量。
令
123(,,)
x x x φ，定义求和约定的写法为
123123i
i
d dx dx dx dx x x x x φφφφ
φ????=
++=????式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，j j dx x φ??和i
i dx x φ
??具有相同的
效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。 克罗克尼尔（Kroneker ）符号定义为
0,1,ij i j
i j δ=?=?
≠?
在笛卡尔直角坐标系中，有12,,3,i ij ij ij ij i j
j x
i i x x x δδδδ??====?r u r
单位矩阵也可以表示为111213212223313233100010()001ij I δδδδδδδδδδ??
??????===????????????
r
轮转符号定义为
0,,,1,,,1,2,3-1,,,1,2,3ijk
i j k i j k i j k ε??
=???
当中有两个相同时
当为顺序轮转排列时当为非轮转顺序排列时 例如1232313121323212131,1εεεεεε======-。采用轮转符号
ijk
ε可使运算的书写简化，
如
123
123123
i
ijk j ki i i i a b a a a a b b b b ε?==r r
或
123123123()()i
i ijk j ki k ijk i j a b a b i i i v v i x x x x v v v εε?=?????????
???==????????????
r r
或
()(
)
k
i ijk j v v x ε???=?
2.笛卡尔张量定义
在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量
∏
（如应力）在任一点处有三个矢量分量
123
,,p p p u u r u u r u u r 即这个量具有九个分量。
∏
这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分
量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则
∏
这个量称为二阶张
量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们分别有
012
3,3,3个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n 阶张量。笛卡尔二阶张量∏所确定的三个矢量的分解式为1122331111212313
21212223233131232333
i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p ∏=++=++=++=++r u u r u r u u r u r u u r u u r r u r u r u u r r u r u r
u u r r u r u r
则张量∏可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式
111213212223313233p p p p p p p p p ??
??∏=??????
或写成张量的九项式：,,1,2,3
i j ij i i p i j ∏==
如
1112131,0()
ij p p p p i j ====≠，则为单位张量I
如果张两分两满足条件
ij ji
p p =，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件
ij ji
p p =-，则这个张量叫反对称张量。若将张量
∏
的分量
ij
p 与
ji
p 互易位置后的张量，则
称该张量的共轭张量，并以c ∏表示：
112131122232132333c p p p p p p p p p ??
??∏=??????
3.并失
为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失
ab
r r
写成
;a b
r r 。令
112233112233
,a i a i a i a b i b i b i b =++=++r r u r u r r r u r u r ，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为
111213212223313233;a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b ??
??==??????
r r r r ，并失为二阶张量。必须注意，并失;a b r r 与;b a
r r 是不同的
111213212223313233;b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ??
??
=??
????r r ，由此可见
;b a r r 是并失;a b
r r 的共轭张量。矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量：312111312222312333;a a a x x x a a a grad a a x x x a a a x x x ??
??????????
?????=?=??
?????????????????
r r
考虑矢量123()(,,)
a r a x x x =r r 的无穷小增量，因1111123
123
2222123123
3333123123
a a a da dx dx dx x x x a a a
da dx dx dx x x x a a a
da dx dx dx x x x ???=++??????=++??????=
++??? 故
/d a d r
r r
为具有九个分量的二阶张量312111312222312333a a a x x x a a a d a x x x d r
a a a x x x ?????????????????=???????????????????r r
因可将
da
r 表示为张量
/d a d r
r r 与矢量
d r
r 的点乘，
(;)
d a d a d r d r grad a d r a d r
=?=?=?r r r r r r r r
应用并失运算法则又有(;)();()d a d r a d r a d r a =??=??=??r r r r r r r
对标量函数
()
r φ类似的有
d d r grad d r φφφ
=?=??r r
并失运算服从如下四个运算法则 （1）结合律法则 ;;(;);;(;)a b c a b c a b c ==连续的并失积可以任何方式加上括号而不改
变结果。 （2）标量率法则
;();(;)
a b a b a b λλλ==r r
r r
r r
标量
λ
在并失运算中可以提到任何一个位置。
缩并率法则
两个矢量点乘为一个标量，一个并失（张量）与一个矢量点乘则为一个矢
量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量：
(;);()()a b c a b c b c a
?=?=?如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失
(;)(;);();()(;)
a b c d a b c d b c a d ?=?=?
（4）分配律法则
;();;a b c a b a c
+=+
4.张量的梯度，散度和格林定理
零阶张量（标量）的梯度是矢量，一阶张量（矢量）的梯度是二阶张量，一次类推，二阶张量的梯度必为三阶张量。设A 是二阶张量，其分量
123(,,)
ij ji A A x x x =，定义,ij
ij k
k
A A x ?=?表示
ij
A 对
k
x 求偏导数。
梯度符号是一矢量算子，123,,,1,2,3
k grad A k x x x x ????????=?===????????????
u r 故张量A 的梯度可写为{},,1,2,3,1,2,3
ij ij k k A gradA A A i j k ???
=?==?????==张量A 的梯度具有27个分量的量，即33个分量，属于三阶张量。
一阶张量（矢量）的散度是一个标量，二阶张量的散度将是一个矢量。散度的定义为
3132132333112112221
23123123,,ij k A A A A A A A A A A divA A x x x x x x x x x ?????
?????????=??==++++++????
?????????????? 在正交坐标系123(,,)
ξξξ中，拉美系数为
123
,,h h h 时，二阶张量的散度和变形率张量分量
ij
D 的
公
式
为
2233123123111112311232ln ln 1
1ij k k kk k kk
k k i k k
k k A h h h h h h h h divA A A A A A h h h h h h h h ξξξξξ==????????????????=??==-?-?????? ? ?????????????????∑∑
2211
121122213322
12223332
333
111
211121133111311122313
33221211332223312133()()()()11()(),21111,22h v h v D h h h h h v h v D h h h h h v v h v v v h h D D h h h h h h h h h v v v h v h v D D h h h h h h ξξξξξξξξξξξξξ??=+????=+???????=
+=++?????????=++=+????3312311232
h h v h h h h ξξ??+??
若令
;X v a
=r r 为一并失（二阶张量），则有张量形式的高斯定理为
(;)(;)A v a d n v a dA
ττ??=??r r r r r
故将二阶张量分量记为
ij
T ，则又可写为
ij
A ij i
i
T d T n dA
x ττ?=???
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反） 例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？ 解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。
§1.4 矢量场的环量及旋度 1、环量 先从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 i i i i i i l F A l F ??=?≈?θcos ? ∑ ?=??==→?∞ →l N i i i l N A l F l F d )( lim 1 0一段积分路径及其细分 θi Δl i F i b a ‘‘‘‘ ‘ ‘‘l
若将F (r )看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，F (r )的环量为 ? ?=l C l F d 环量不为零的矢量场叫做旋涡场，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源作用。 F n F t F 环量的计算
水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动C ≠0，有产生涡旋的源 例：流速场 在直角坐标系中，设 F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z d l =d x e x +d y e y +d z e z 则环量可写成 ? ?++=?=l z y x l z F y F x F C ) d d d (d l F
过P 点作一微小有向曲面?S ,它的边界曲线记为l ,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当?S →点P 时,存在极限 S S C l S ??=? →?l F d lim d d 0 上式称为环量密度 过点P 的有向曲面?S 取不同的方向，其环量密度将会不同。 2、旋度（1）环量密度 面元法向矢量与周界循行方向的右手关系。 P l ?S n ' e
§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4
3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积， 矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为 ()() 123123,,,,,a a a a b b b b 及 () 123,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说 不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:( )()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209）
将矢量作重新排列又有：()()( )a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（a ? ） ?是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a ? ）则是 一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ?是φ 在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向d r 的变化率的d r 倍，即d φ。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将()dr ?作用于矢量v ，则()dr v ?就是v 再位移方向d r 变化率的d r 倍，既为速度矢量的全微分()dv dr v =? 应用三重矢量积公式（1-209） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 应用三重矢量积公式（1-210）又有 ()()() 00()()()()a b a b a b a b a b b a b a ??=??+??=???+?+???+?? 将以上两式结合（相减）后可得 () {() }1 ()()()()()2 a b a b a b b a a b b a a b ?= ??-???-???-???-??+?? 一个重要的特例，令 a b v ==，因 () v v ???=则有 21 ()() 2v v v v v ?=?-??? 4.算子? 的应用 令φ是标量，a 是矢量，;a b 为并矢量，则有
模型组合讲解——矢量运算模型 ［模型概述］ 矢量及运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，所以在进行模块讲解之前，我们有必要熟练掌握矢量的运算规律。 ［模型讲解］ 例.（2005年安丘市统考） 如图1所示，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为G。在平行四边形内任取一点O，作矢量OA、OB、OC、OD，则这四个矢量所代表的四个共点力的合力等于（） 图1 A. 4OG B. 2AB C. 4GB D. 2CB 解析：如图2所示，延长OG至P，使GP＝OG，连结PA、PB、PC、PD，得平行四边形AODP和平行四边形COBP。由力的平行四边形定则知道，矢量OA、OD所代表的两个共点力F F A D 、的 合力F AD 可用矢量OP表示，即F OP OG AD ==2。
图2 同理，矢量OB 、OC 所代表的两个共点力F F B C 、的合力F BC 也可用矢量OP 表示，即F OP OG BC ==2。 从而，F F F F A B C D 、、、四个共点力的合力F F F OG AD BC =+=4。所以A 项正确。 评点：由于题中的O 点是任取的，各力的大小和方向无法确定，通过直接计算肯定行不通。但考虑到平行四边形的对角线互相平分这一特点问题就解决了。其实对该部分的考查往往是从特殊的角度进行的，如θ＝0°，90°，120°，180°等。 总结：（1）当两分力F 1和F 2大小一定时，合力F 随着θ角的增大而减小。当两分力间的夹角θ＝0°时，合力最大，等于F F F max =+12；当两分力间的夹角θ＝180°时，合力最小，等于F F F min =-12。两个力的合力的取值范围是F F F F F 1212-≤<+。 （2）求两个以上的力的合力，也可以采用平行四边形定则，先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的就是这些力的合力。为方便某些问题的研究，在很多问题中都采用特殊法或正交分解法。 ［误区点拨］ （1）在受力分析时要明确合力与分力的关系。“有合无分，有分无合”，不要多添力或少力。
啊一直以来对SVPWM原理和实现方法困惑颇多，无奈现有资料或是模糊不清，或是错误百出。经查阅众多书籍论文，长期积累总结，去伪存真，总算对其略窥门径。未敢私藏，故公之于众。其中难免有误，请大家指正，谢谢！ 此文的讲解是非常清楚，但是还是存在一些错误，本人做了一些修正，为了更好的理解整个推导过程，对部分过程进行分解，并加入加入7段和5段时调制区别。 1 空间电压矢量调制 SVPWM 技术 SVPWM是近年发展的一种比较新颖的控制方法，是由三相功率逆变器的六个功率开关元件组成的特定开关模式产生的脉宽调制波，能够使输出电流波形尽可能接近于理想的正弦波形。空间电压矢量PWM与传统的正弦PWM不同，它是从三相输出电压的整体效果出发，着眼于如何使电机获得理想圆形磁链轨迹。 SVPWM技术与SPWM相比较，绕组电流波形的谐波成分小，使得电机转矩脉动降低，旋转磁场更逼近圆形，而且使直流母线电压的利用率有了很大提高，且更易于实现数字化。下面将对该算法进行详细分析阐述。 SVPWM基本原理 SVPWM 的理论基础是平均值等效原理，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。在某个时刻，电压矢量旋转到某个区域中，可由组成这个区域的两个相邻的非零矢量和零矢量在时间上的不同组合来得到。两个矢量的作用时间在一个采样周期内分多次施加，从而控制各个电压矢量的作用时间，使电压空间矢量接近按圆轨迹旋转，通过逆变器的不同开关状态所产生的实际磁通去逼近理想磁通圆，并由两者的比较结果来决定逆变器的开关状态，从而形成PWM 波形。逆变电路如图 2-8 示。 设直流母线侧电压为Udc，逆变器输出的三相相电压为UA、UB、UC，其分别加在空间上互差120°的三相平面静止坐标系上，可以定义三个电压空间矢量 UA(t)、UB(t)、UC(t)，它们的方向始终在各相的轴线上，而大小则随时间按正弦规律做变化，时间相位互差120°。假设Um为相电压有效值，f为电源频率，则有： （2-27） 其中，，则三相电压空间矢量相加的合成空间矢量 U(t)就可以表示为： （2-28） 可见 U(t)是一个旋转的空间矢量，它的幅值为相电压峰值的倍，Um为相电压峰值，且以角频率ω=2πf按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，而空间矢量 U(t)在三相坐标轴（a，b，c）上的投影就是对称的三相正弦量。 图 2-8 逆变电路 由于逆变器三相桥臂共有6个开关管，为了研究各相上下桥臂不同开关组合时逆变器输出的空间电压矢量，特定义开关函数 Sx ( x = a、b、c) 为： （2-30） (Sa、Sb、Sc)的全部可能组合共有八个，包括6个非零矢量 Ul(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110)、和两个零矢量U0(000)、U7(111)，下面以其中一种开关组合为例分析，假设Sx ( x= a、b、c)= (100)，此时 （2-30）求解上述方程可得：Uan=2Ud /3、UbN=-U d/3、UcN=-Ud /3。同理可计算出其它各种组合下的空间电压矢量，列表如下：
《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为 232221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则
如图I-1，a×b是a和b垂直的矢量，其数值等于absinφ,即等于由a和b构成的平行四边形的面积。 但ccosθ等于图中所示的平行六面体的高，因此c?(a×b)等于由这三个矢量构成的平行六面体的体积。同理a?(b×c)和b?(c×a)都等于同一个体积。又因为a×b = ? b×a，所以c?(b×a) = ? c?(a×b)。总括起来，混合积有如下性质： （I.1） 上式表明，把三个矢量按循环次序轮换，其积不变；若只把两矢量对调，其积差一负号。 （2）三矢量的矢积 a×b是与a和b都垂直的一个矢量d，而c×d是与d垂直的一个矢量f，因此f必在a和b构成的平面上，即可表为a和b的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算出结果。令 先算f的x分量f1： 同样可算出f2和f3，结果是
（I.2） 把c和(a×b)对调，矢积差一负号，由上式得 （I.3） 由公式和可得规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来，所得的项为正号，另一项为符号。 2. 散度、旋度和梯度 （1）矢量场f (x,y,z)的散度 设闭合曲面S围着体积ΔV。当ΔV→0时，f对S的通量与ΔV之比的极限称f为的散度 （I.4） （2）矢量场f (x,y,z)的旋度 设闭合曲线L围着面积ΔS。当ΔS→0时，f对L的通量与ΔS之比的极限称f为的散度 （I.5） 上式可以写作，当ΔS→0时， （I.5a） （3）标量场φ(x,y,z)的梯度 设沿线元dl上，标量场φ(x,y,z)的数值改变dφ.dφ/dl称为φ(x,y,z)的梯度沿dl方向的分量 （I.6） 上式可以写作， （I.6a） （4）积分变换式 由上述定义可得积分变换式 （I.7）