当前位置：文档之家› 多维随机变量题库

多维随机变量题库

#00001

已知F(x,y)=A(B+arctg )

3()(2

y arctg B x +, 1)求常数A ，B ，C 。

2)求P{0

161)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{)

32)(22

(1),(1

)2)(2(),(0

)3)(2(),(1)2)(2(),(22

--+=≤<≤<++=∴???

????

==-+=-∞=+-=-∞=++=+∞+∞F F F F Y X P y

arctg x arctg y x F A B C c x arctg B A x F y arctg C B A y F C B A F ππππππππππ解得：

#00002

袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令

?=??

?=第二次摸到白球

第二次摸到红球第一次摸到白球

第一次摸到红球0101Y X

求(X,Y)的分布律。 *00002

解：显然X 、Y 的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0

而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=2

522C C ，同理计算其它的P ij ，故有(X,Y)的分布律为：

设(X,Y)具有概率密度??

?<<<=其它01

||0},{y x c y x f ，1)求常数c ；2)求P{Y>2X} ； 3)求F(0.5,0.5)

*00003

解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域

由归一性图

????

>∴>=?=?=--G

G G

G S S

dxdy dx dy dxdy X Y P G

X Y c cdx dy Cdxdy y 的面积

是其中或

见如图区域14

311}2{}2){21

3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。故有

≤≤=1

11}5.0,5.0{)5.0,5.0(G y y

dy dxdy Y X P F

#00004

已知(X,Y)的分布函数为??

??≤≤--≤≤--=----其它

00101),(x y ye e y

x xe e y x F y

y y x 求F X (x)与F Y (y)。

*00004

解：F X (x)=F(x,∞)=?

?<≥--0

01x x e x

F Y (y)=F(∞,y)= ?

?<≥----0

01y y ye e y y

#00005

(X,Y)的分布函数如 2.1.求X 及Y 的边缘概率密度。 *00005

解法1：可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X 与Y 的边缘概率密度

?≥=??

???≥==

???<≥=????

?<≥==??

?≤≤=???=-∞

∞

---∞

-∞

∞

--?

其它

其它其它0000),()(0

0),()(00),(),(02

y ye y dx e dx y x f y f x x e x x dy

e dy y x

f x f y x e y x F y x y x f y

y Y x x y X y

解法2： 2.1.已算出了F X (x)及F Y (y)，则

f X (x)=F'X (x,)=?

??≥-其它

0x e x f Y (y)=F Y '(y)= ???≥-其它

0y ye y

#00006

已知(X,Y)的分布律为

求X 、Y 的边缘分布律 *00006

已知(X,Y)的分布函数为??

??≤≤--≤≤--=----其它

00101),(x y ye e y

x xe e y x F y

y y x 问X 与Y 独立吗？

*00007

解：F X (x)=F(x,∞)=?

?<≥--0

01x x e x

F Y (y)=F(∞,y)= ?

?<≥----0

01y y ye e y y

)()(),(y F x F y x F Y X ≠Θ

故Ｘ与Ｙ不独立。 #00008

已知随机变量(X,Y)

且知X 与Y 独立，求α、β的值。 *00008

解：首先，α+β=1-0.15-0.15=0.7

又X 与Y 独立，由定理3.2.3.α=(α+β)(0.15+α)?α=0.35

β=0.7-0.35=0.35 #00009

甲乙约定8:00~9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。 *00009

解：设甲于8点零Ｘ分钟到达、乙于8点另Ｙ分钟到达。由题意，Ｘ与Ｙ独立且Ｘ~U(0,60)（分）,Y ~U(0,60)（分）,两人能见面等价于｜Ｘ－Ｙ｜<15。为求p{|X-Y|<15}需求出(X,Y)的概率密度。由定理3.2.2.

???

??<<=其它

60060

1)(x x f X Θ 图

???

??<<=其它

60060

1)(y y f Y

∴

???

??<<<<==其它

060

0,600601

)()(),(2

y x y f x f y x f Y X

4375.0]452

260[6016060

601

15}|Y -X p{|222

||2

=??

===

<-G G

y x S dxdy dxdy

#00010

(X,Y ,Z)的概率密度为

?=>>>++-其它0),,(0

,0,0)32(z y x z y x Ae z y x f 试判断（X,Y ,Z ）的独立性。

*00010

解：

???

??∞

∞

-∞∞∞

++-∞

∞-∞

∞-==

000

)32(1

),,(dxdydz Ae dxdydz z y x f z y x 由归一性

?A=6

求各一维边缘密度函数

f X (x)=

?∞

∞

-∞∞

-++-∞

∞-?????

>=≤=0

00),,(00

)32(x e dydz Ae x dydz z y x f x

z y x

类似可得

?≤>=-0

02)(2y y e y f y

Y ??

?≤>=-0

003)(3z z e z f y

f X (x)f Y (y)f Z (z)=?

?>>>++-其它

,0,06)32(z y x e z y x =f(x,y,z)

故X ，Y ，Z 相互独立。 #00011

设某昆虫的产卵数X 服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X 与下一代只数Y 的联合分布律。

*00011

解：本题已知随机变量X 的分布律P i ?:P{x=i}=,....

2,1,0!

5050

=-i e

i i

由题意易见，该昆虫下一代只数Y 在X=i 的条件下服从参数为i,0.8的二项分布，即Y|X=i ~B(I,0.8),故有

i j C i X j Y P j

i i j i ,...,1,02.08.0}|{====-

又由式(3.3.2),P{X=i,Y=j}=P(Y=y j |X=x i }P{X=x i },于是，(X,Y)的分布律为：

j i e j C j Y i X P i j

i j

i ,...,1,0,...,,1,0!

502

.08.0},{50

=====--

#00012

已知(X,Y)的概率密度为

?????<<=其它

21),(22y x y

x y x f

(1)求条件概率密度f y|x (y|x)

(2)求条件概率P{Y>1/3|X=-1/3} *00012

解:(1)?????<<--=?????<<-==?

∞∞-∞

∞-其它其它01

1)1(8

21011421

),()(422x x x x ydy x dy y x f x f X

由式(3.3.5)当-1

???<<-==其它

112)(),(24

|y x x y

x f y x f f X X

#00013

*00013

解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取

的取值。

的概率等于该值在表中相应概率之和。例如 P{Z=0}=0.12+0.18=0.3

#00014

设二维随机变量(X,Y)在矩形域G={(x,y)|0

*00014

解：此题显然是已知(X,Y)的分布，求S=XY 的概率密度问题。

(X,Y)的概率密度为

G y x G y x y x f ?∈??

?=),(),(0

.0),(

图3.4

S 的分布函数为F S (s)=P{S ≤s}=P{XY ≤s} 当s ≤0时，F S (s)=0 当s ≥2时，F S (s)=1 现在，设0s, 位于曲线xy=s 下方的点满足xy

F S (s)=P{S ≤s}=P{XY ≤s}=1-P{XY ≥s}

)ln 2ln 1(2

5.015.012

s s

dy dx xydxdy s

xy s

x -+=

-=-

≥

于是

?<<-=其它02

0)ln 2(ln 5.0)(s s s f S #00015

设随机变量X 与Y 独立且均服从标准正态分布，求Z=X+Y 的概率密度。

*00015

解：由题意，随机变量X 、Y 的概率密度分别为：

221)(x X e

x f -=

π ，

221)(y Y e

y f -

由(3.4.3)式，随机变量Z=X+Y 的概率密度为：

∞

-∞

∞

---

dx x z f x f z f x z x Y X Z 2)(2

22121)()()(π

故Z ~N(0,2)

一般地，设X 1,X 2,…X n 独立，且X i ~N(μi ,σi 2)则

∑∑∑===n i n

i i

i n

i i

N X

)

~σ

#00016

设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,1002）的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。 *00016

解：设第i 件产品的成交价为X i ,则X i ~N(1000,1002)，i=1,2,…n

)2(142(2

2)22221212121z z z

x z x xz y x e

e dx e e e -

-∞∞

---

∞

-+-+-=

ππ

又由于X 1,X 2,…X n 独立,总成交价

万元）的分布

服从)(1.0,10(2

100

∑==

i i

N X X ，故有

8413.0)1.010

9.9(

1)9.9(=-Φ-=≥X P

故总成交价不低于9.9万元的概率为84.13%

#00017

设系统L 由两个相互独立的子系统L 1,L 2串联而成并，设L 1,L 2的寿命分别为X 与Y ，已知它们的概率密度分别为

?≤>=-00

)(x x e x f x

X αα ??

?≤>=-00

)(y y e y f y Y ββ

其中α>0，β>0,试写出L 的寿命Z 的概率密度．

*00017

解：

由于当L 1，L 2中有一个损坏时，系统L 就停止二作，所以这时L 的寿命为

Z=min(X,Y)

由已知得，X 、Y 得分布函数分别为

?≤>-=-00

1)(x x e x F x

X α ??

?≤>-=-0001)(y y e y F y Y β

Z ＝min(X ，Y)的分布函数为

?≤>-=+-0001)()(z z e z F z

Z βα

于是，Z ＝min(X ，Y)的概率密度为

?≤>+=+-000)()()(z z e z f z

Z βαβα

#00018

设系统L 由两个相互独立的子系统L 1,L 2并联而成并，设L 1,L 2的寿命分别为X

与Y ，已知它们的概率密度分别为

?≤>=-00

)(x x e x f x

X αα ??

?≤>=-00

)(y y e y f y Y ββ

其中α>0，β>0,试写出L 的寿命Z 的概率密度．

*00018

解：

由于当且仅当都损坏时，系统L 才停止工作，所以这时L 的寿命Z 为

Z=max(X,Y)

Z 的分布函数为

F Z (z)=F X (z)F Y (z) =?

?≤>----000

)1)(1(z z e e z zx β

于是，Z=max(X,Y)的概率密度为

?≤>+-+=+---00

0)(()()(z z e e e z f z z

z Z βαβαβαβα

?=-=-=>∴?????<<-

=-13/19

.0811

12}31

|31{0

181

112)3/1|(|)2(dy y X Y P y y

y X

Y f 其它Θ

#00019

(12分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求关于X 和关于Y 的边缘密度函数；

*00019

解（1）根据??

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

12)

3(220

==Γ==???∞+∞---∞

+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）

（2）??

?≤>=?????=-+∞-?0,00

,,0)(0x x xe dy xe x f x y X

（8分）

?????<>=?????=--?0,

00,

1,0)(20y y e y dx xe y f y y y Y

（12分）

#00020

(12分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求

)

|(),|(||x y f y x f X Y Y X ；（4）求（X ，Y ）的联合分布函数；（5）

求Z=X+Y 的密度函数；（6）求M=max （X ，Y ）和m=max （X ，Y ）的密度函数；（7）求

P （X+Y<1）。 *00020

解（1）根据

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

12)

3(220

==Γ==???∞+∞---∞

+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）

?≤>=?????=-+∞-?0,00

,,0)(0x x xe dy xe x f x y X

?????<>=?????=--?0,00

1,0)(20y y e y dx xe y f y y y Y

（2）?

????∞

+<<==其他,00,2)(),()|(2|y x y

y f y x f y x f Y Y X

（8分）

?∞

+<<==-其他,00,)(),()|(|y x e y f y x f x y f y x X Y X

（12分）

#00021

(16分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求（X ，Y ）的联合分布函数；

*00021 解（1）根据

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

12)

3(220

==Γ==???∞+∞---∞

+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）（2）当x<0或y<0时，0),(),(=≤≤=y Y x X P y x F

（6分）

当∞+<≤x y 0时，

y y y v y y v

v e y y e ye e y dv e v du ue dv y Y x X P y x F ------++-=---==

=≤≤=???)121(121121),(),(22020

（8分）

当∞+<≤x y 0时

y x y u x

x y

v e x e x du e e u dv ue du y Y x X P y x F ------

+-=-=

=≤≤=?

??20

1)1(1)(),(),( （12分）

因此（X ，Y ）的联合分布函数为

???

??????∞

+<≤-+-+∞<<≤???

??++-<<=---y x e x e x x y e y y y x y x F y x y 02

1)1(10,

121100,0),(22或

（16分）

#00022

(12分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求Z=X+Y 的密度函数

*00022 解（1）根据

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

12)

3(220

==Γ==???∞+∞---∞

+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）

?≤>=?????=-+∞-?0,00

,,0)(0x x xe dy xe x f x y X

?????<>=?????=--?0,00

1,0)(20y y e y dx xe y f y y y Y

（2）根据两个随机变量和的密度函数公式

+∞

∞

--=dx

x z x f z f Z ),()( （6分）

得当z<0时，0)(=z f Z ，而当z ≥0时

)

()12()(z

x x z

z x z Z e z

dx xe e

dx xe

z f ------+===?

（10分）

因此

???

??>≥-+=--0,00

,)12()(2z z e z e z f z

z Z

（12分）

#00023

(14分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求M=max （X ，Y ）和m=max （X ，Y ）的密度函数

*00023 解（1）根据

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

12)

3(220

==Γ==???∞+∞---∞

+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）

（2）当x<0时，0)(=x F M 。当x ≥0时，

x x x u x u v M e x x du e e u dv ue du x Y x X P x M P x F ----++-=-==≤≤=≤=???)121

(1)()

,()()(200

（6分）

即

???

??≥++-<=-时当时当0)121(10,0)(2x e x x x x F x

（8分）

所以随机变量M=max （X ，Y ）的密度函数为

?????<≥=-时当时

当0,

00,2

1)(2x x e x x f x

M 当x<0时，0)()(=≤=x m P x F m 当x ≥0时，

???∞+--∞+-++-=-

=-=>>-=>-=≤=x x

v x

v m e x x dv e v du ue dv x Y x X P x m P x m P x F )121(12111)

,(1)(1)()(220

（12分）

因此m 的密度函数为

?????≤>=-时当时

当0,

00,2

1)(2x x e x x f x

m （14

分）

#00024

(14分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求M=max （X ，Y ）和m=max （X ，Y ）的密度函数

*00024 （1）根据

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

12)

3(220

==Γ==???∞+∞---∞

+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）

（2）当x<0时，0)(=x F M 。当x ≥0时，

x u x

u v

M e x x du e e u dv ue du x Y x X P x M P x F ----++-=-==≤≤=≤=???)121

(1)()

,()()(200

（6分）

即

???

??≥++-<=-时当时当0)121(10,0)(2x e x x x x F x

（8分）

所以随机变量M=max （X ，Y ）的密度函数为

?????<≥=-时当时

当0,

00,2

1)(2x x e x x f x

M 当x<0时，0)()(=≤=x m P x F m 当x ≥0时，

???∞+--∞+-++-=-

=-=>>-=>-=≤=x x

v x

v m e x x dv e v du ue dv x Y x X P x m P x m P x F )121(12111)

,(1)(1)()(220

（12分）

因此m 的密度函数为

?????≤>=-时当时

当0,

00,2

1)(2x x e x x f x

m （14

分）

#00025

(10分)设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

?+∞

<<<=-其它,00,),(y x cxe y x f y

（1）求常数C ；（2）求P （X+Y<1）。 *00025 解（1）根据

+∞∞-+∞

∞

-=1

),(dxdy y x f 得

3(220

==Γ==??

?∞+∞---∞+C C dy e y C dx Cxe dy y y

（4分）

210

1210

11)()1(-----+-----=-=

-==<+?

?e e

dx xe e

dx xe dx e e x dy xe dx Y X P x

x x

x x y

（10-分

#00026

设随机变量X 与Y 相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布，试求：Z=|X-Y|的分布函数与密度函数 *00026

解:先求Z 的分布函数

??≥<≤--<=??

><≤≤-≤-<=≤-=1,110,)1(10,01,11

0}{0,0}|{|)(2x x x x x x x Y X x P x x Y X P x F Z

Z 的密度函数为

?<≤-='=其他,

010),1(2)()(x x x F x f Z Z （12分）

#00027

设随机变量X 与Y 相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布，试求：求（U ，V ）关于U 和关于V 的边缘密度函数； *00027

解：关于U 的边缘密度为

??<≤-<≤=???

?????<≤<≤=??---其他其他,011,210,

1,21

10,21

)(22u u u u u dv u dv u f u u u u U

（9分）

关于V 的边缘密度函数为

??????<≤-=<≤-+==??-+-其他,01

0,121

01,121

)(22v v du v v du v f v v v v V

（12分） #00028

(12分) 设随机变量X 与Y 相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布，试求：求U 与V 的相关系数。并判断X 与Y 是否不相关。 *00028

DX EY EX Y E X E EY EX EY EX Y X Y X E EUEV UV E V U Cov -=+---+--+===))()()()(]][[)])([()(),(2222（9分）

因X 与Y 独立且同分布，所以DX=DY ，因而Cov(U,V)=0，从而0=UV ρ，即U 与V 不相关。

（12分）

#00000

多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——

称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：

性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)

多维随机变量及其分布试题答案

第3章多维随机变量及其分布试题答案一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ）

(A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥= （B ） (A) 41 (B) 21 (C) 32 (D) 4 3 9、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，4 3 ，则}1{-=XY P =（ D ） (A) 161 (B) 163 (C) 41 (D) 8 3 10、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 1

第三讲多维随机变量及其分布

第三讲多维随机变量及其分布考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .

【免费下载】概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题 5．设（X,Y ）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题（1）C 的值（2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y |1/2|Y>0}(2) f Y|X (y|x ), f X|Y (x|y )10. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求 {12x 2y 0 1x ≤y ≤x,x ≥1 其它 f X|Y (x|y )11. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求的联合分布 {4xy 0 0≤x ≤1,0≤y ≤1 其它（X,Y ）

概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案

第三章多维随机变量及其分布一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1

9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、设 ( ξ 、 η ) 的联合分布函数为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1

第三章__多维随机变量及其分布总结

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?.

第三章-多维随机变量及其分布--习题

第三章多维随机变量及其分布习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布一、填空题 1. 设（Y X ,）的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它，，，），（ 00 03331y x y x F y x y x ，则（Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ； 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=）），（, 则A = , B = , C = ，(0≠A )； 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -； 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2 y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae y x f y x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<<

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是（）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为（A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则k的值必为（A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为（A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0

二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度， 3 4 ，则且区域 5 。 6 . 7

=? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、设 ( 、 ) 的联合分布函数为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：

第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布习题3.1 143 2. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列. 5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<<--=. ,0; 42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求 (1) 常数k; (2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤. 6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???>>=+-. ,0; 0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x 试求 (1) 常数k; (2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0

习题3.2 P153 4.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数. 6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???<<<<=. ,0; 10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和 12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1). 14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<=. ,0; 10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立? 16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系? 习题3.3 P163 1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为试分别求 3. 设随时机变量X 和Y 的分布列分别为 X -1 1

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章多维随机变量及其分布答案一、填空题（每空3分） 1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 222 13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ? +-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1 《 b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3 ()4 P A B ?= ,则6．在区间(0,1)随机取两个数，则事件“两数之积大于1 4 ”的概率为_ _ 31 ln 444 - .

7．设X 和Y 为两个随机变量，且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8．随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ， ()D X Y -= 37 . 10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2．设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．12- 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． A ．X 与Y 不相关 B ．(,)()()X Y F x y F x F y =? C ．X 与Y 相互独立 D ．1XY ρ=-

多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 § 3.1 二维随机变量的分布一．离散型随机变量 1．联合分布律定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

性质： (1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2) ∑j i ij p ,=1 2．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1 p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1 我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j ∑ (Y=y j )} = j ∑ P{X=x i ,Y=y j }= j ∑ p ij (3.4) 同理可得 p .j = i ∑ p ij (3.5) 例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。解： {}{}{} , ,3,2,13 1 1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=? =======

多维随机变量题库

#00001 已知F(x,y)=A(B+arctg ) 3()(2 y arctg B x +, 1)求常数A ，B ，C 。 2)求P{02X} ； 3)求F(0.5,0.5) *00003 解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域由归一性图

???? ?? ???? == == >∴>=?=?=--G G G G y D y y G S S dxdy dx dy dxdy X Y P G X Y c cdx dy Cdxdy y 的面积是其中或见如图区域14 311}2{}2){21 1 1 1 10 2 3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。故有 ?? ? ? -= = = ≤≤=1 21 4 11}5.0,5.0{)5.0,5.0(G y y dx dy dxdy Y X P F #00004 已知(X,Y)的分布函数为?? ? ??≤≤--≤≤--=----其它 00101),(x y ye e y x xe e y x F y y y x 求F X (x)与F Y (y)。 *00004 解：F X (x)=F(x,∞)=? ? ?<≥--0 01x x e x F Y (y)=F(∞,y)= ? ? ?<≥----0 01y y ye e y y #00005 (X,Y)的分布函数如 2.1.求X 及Y 的边缘概率密度。 *00005 解法1：可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X 与Y 的边缘概率密度 ?? ?≥=?? ???≥== ???<≥=???? ?<≥==?? ?≤≤=???=-∞ ∞ ---∞ -∞ ∞ --? ? ? ? 其它其它其它0000),()(0 00 0),()(00),(),(02 y ye y dx e dx y x f y f x x e x x dy e dy y x f x f y x e y x F y x y x f y y y Y x x y X y 解法2： 2.1.已算出了F X (x)及F Y (y)，则 f X (x)=F'X (x,)=? ??≥-其它 0x e x f Y (y)=F Y '(y)= ???≥-其它 0y ye y #00006 已知(X,Y)的分布律为

多维随机变量-(试题)+

第三章多维随机变量一、填空 1、设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 二、选择 1、设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为若,X Y 独立，则,αβ的值为（）（A ）21,99αβ==.（A ）12,99αβ==.（C ）11,66αβ==（D ）51,1818 αβ==.2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P 01 0.40.6 Y P 则有（）（A ）()0.P X Y ==（B ）()0.5. P X Y ==（C ）()0.52. P X Y ==（D ）() 1.P X Y ==三、计算题 1、设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. 2、设(,)X Y 的概率密度为 0,,(,).0, x y x e f x y -<

3、设(,)X Y 在由直线2 1,,0x x e y ===及曲线1y x =所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥.4、二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。5、口袋中有4个球，每个球上有一个数字，依次是1,2,2,3，从袋中任取1球，不放回，再取一球，以随机变量X 和Y 分别记第一次和第二次取得球上数字。试求：（1）),(Y X 的联合分布律；（2）边缘分布律；（3）Y 在}1{=X 条件下的分布律。（3）判断,X Y 的独立性。 6、将3个球放入3个盒子，以随机变量X 和Y 分别记第一个盒子和第二个盒子中球的个数。试求：（1）),(Y X 的联合分布律；（2）边缘分布律；（3）Y 在}1{=X 条件下的分布律。（4）判断,X Y 的独立性。

概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)

习题6（多维随机变量及联合分布）一．填空题 1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为；； . 概率==)(Y X P . 2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 01b a X Y --，且X 与Y 相互独立，则=a ；=b . 3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数 =),(y x f ；=≤+)1(Y X P . 4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率 =≤≥)1,2(Y X P . 二．解答题 1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P <

2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022 2 =++Y Xt t 有实根的概率。 3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为? ? ?=,0,),(kx y x f ., ,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P

(学生)第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布一、选择题 1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y) B.XY C.X+Y D.X －Y 2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},2 2 P X P Y P X P Y =-==-=====则（）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使 )()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b a B.32,32==b a C. 2 3,21= -=b a D. 2 3,21-== b a 4.设随机变量i X 的分布为1210 1~(1,2){0}1,11 1424i X i X X -?? ? === ??? 且P 则12{}P X X ==( ). A.0 B.41 C.2 1 D.1 5.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为:

则b a ,应满足( ). A ．1=+b a B. 13 a b += C.3 2=+b a D.2 3,2 1-==b a 7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（）. A.9 1,9 2 ==b a B.9 2,9 1==b a C.3 1,3 1==b a D.3 1,3 2=-=b a 8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j === = B.361 }{= =Y X P C.21}{=≠Y X P D.2 1 }{=≤Y X P 9.设(X,Y)的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则下面错误的是( ). A.1}0{=≥X P B.{0}0P X ≤= C.X,Y 不独立 D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.2{(,)}6G P X Y G x ydxdy ∈=?? C.1200 {}6x P X Y dx x ydy ≥=?? D.??≥=≥y x dxdy y x f Y X P ),()}{( 11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈?=??其他,若 {(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ). A.{,)(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.??-=≤-G dxdy y x f X Y P ),(1}02{ C.??=≥-G dxdy y x h X Y P ),(}02{ D.??= ≥D G dxdy y x h X Y P ),(}2{ 12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是

第三章_多维随机变量及其分布_习题)

习题三一、填空题 1.设Y X 与两随机变量, 且），00(≥≥Y X P =7 4 0,740(73=≥=≥）（），Y P X P , 则 =≥）），（0(max Y X P 5/7 . 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为则关于X 的边缘分布律为 . 3．若），（Y X 的联合分布律为 βα,应满足条件是 3 = β+α .若Y X 与相互独立则α= 2/9 ,β= 1/9 ； 4.设Y X 与独立同分布, 且X 的分布律为5.0)1(,5.0)0(====X P X P , 则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 P(Z=0)=, P(Z=1)= ； 5.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 ()101,01 ,0 x y f x y <<<

?? ?≤≤≤≤-=其它0 0,10)2(8.4),(x y x x y y x f 则关于X 的边缘概率密度是?????≤≤-=-=?其它0 1 0)2(4.2)2(8.4)(02x x x dy x y x f x X . 9. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 在区间()0,2上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则{}1P X Y +>=112e - . 10. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= 1/9 . 11. 若2 2 112212~(,),~(,),,X N Y N k X k Y μσμσ-相互独立服从分布为 12222 1122122(,)N k k k k μμσσ-+. 12．已知12,,,n X X X 独立且服从于相同的分布函数()F x ，若令 max(η=12,, ,)n X X X ，则()=F x ηη的分布函数()n F x . 二、选择题 1.设随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，其边缘分布函数()X F x 是（B ） ()()()()A lim (,);B lim (,);C (,0);D (0,).y y F x y F x y F x F x →-∞→+∞ 2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则（A ）（A ）1 {,},,1,2,636 P X i Y j i j ==== . （B ）361}{= =Y X P . （C ）2 1 }{= ≠Y X P . （D ）2 1 }{=≤Y X P . （A ）X =Y . （B ）P {X =Y }=0 . (C) P {X =Y }=1/2. (D) P{X =Y }=1. 4.设（X ，Y ）的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则下列结论中错误的是（B ）.

文档之家

多维随机变量题库

多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布试题答案

第三讲多维随机变量及其分布

【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案

第三章__多维随机变量及其分布总结

第三章-多维随机变量及其分布--习题

二维随机变量及其分布题目

第三章多维随机变量及其分布

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

多维随机变量及其分布

多维随机变量题库

多维随机变量-(试题)+

概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)

(学生)第三章 多维随机变量及其分布

第三章_多维随机变量及其分布_习题)

【免费下载】概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题

(学生)第三章多维随机变量及其分布