学习目标
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
要点梳理
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能
类型一、实数概念
出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】
有理数有
无理数有……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
【变式】下列说法错误的是（）
①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C；
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 类型二、实数大小的比较
例2、（2014秋?新华区校级期中）比较和1的大小．
【答案与解析】
解：∵＜＜，
即2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜1．
【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键．
【变式】比较大小
【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜. 例3、如图，数轴上点表示的数可能是
A. B. C. D.
【答案】B；
【解析】－3＜＜－2.
要点四、实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
类型三、实数的运算
4、化简：
(1) (2) (3)
【答案与解析】
解：
.
【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【变式】（2015?乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．
【答案】
解：原式=4+﹣1-3=．
5、若，则________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：，即，∴．【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .
【变式】已知，求的值．【答案】
解：由已知得，解得．
∴＝.
巩固练习
一.选择题
1．下列说法错误的是（）
A．实数都可以表示在数轴上
B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对
D．是近似值，无法在数轴上表示准确
1. 【答案】D；
【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.
2. （2015春?当涂县期中）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（）
A．0个B． 1个C． 2个 D． 3个
【解析】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；
②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数的立方根是负数，故③错误；
④17的平方根是±，故④错误；
故选：A．
3. 估计的大小应在（）
A．7～8之间B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间D．9～10之间
3. 【答案】C；
【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.
4. 如图，数轴上点表示的数可能是（）.
A．B．C．D．
【解析】2＜＜3
5. 实数和的大小关系是（）
A．B．
C．D．
5. 【答案】C；
【解析】.
6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（）A．4～5之间B．5～6之间
C．6～7之间 D．7～8之间
6. 【答案】A；
二.填空题
7. 在，，，，这五个实数中，无理数是
_________________．
7．【答案】，；
8. 在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．
8. 【答案】；
【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别
9. （2015?南平模拟）计算：﹣=______．
9. 【答案】0.
【解析】解：﹣=3﹣3=0．
10. 的整数部分是________，小数部分是________．
10. 【答案】2；；
【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.
11. 【答案】－1, 0, 1；
12. 的相反数是________，绝对值是_________，平方等于_________.
12. 【答案】
【解析】.
三.解答题
13．（2015春?荣昌县校级期中）把下列各数填入相应的大括号
内.，﹣2，，0，，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…
整数集合：{ …}；
非负实数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
解：整数集合：{﹣2，0，，，…}；
非负实数集合：{，，0，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…，…}；
无理数集合：{，，π﹣3，3+，3，0.2121121112…，…}．
14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个
正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）
14. 【解析】
解：设广场的边长为，由题意,得
440000
＝≈663().
答：它的边长约为663m.
15. 已知求的值．
解：∵
∴－2＝0且＝0
解得＝2，＝－3，
∴＝2－3＝－1.
代数（二） 根式计算（二） ——无理数与实数 【知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926 1.414213=， －1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()() 0000a a a a a a >??==??-
6.3 《实数的概念及分类》导学案 教学目标： 认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类， 2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。 过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩 充到实数的范围，从而总结出实数的分类， 2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。 情感目标： 经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热 情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。 教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类； 教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系 教学过程： 【知识回顾，创设情境】 1、把下列各数按要求填在横线上： 整数 ；分数 ；正数 2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流 。 【合作交流，探究新知】 有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3= ，35 = ，478= ，911= ，119 = 59= 我们发现，上面的有理数 归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？ 验证：下列有限小数能化为分数吗？ 5、2.3、0.25、1.334 无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料 设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② 则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3 结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数 拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数 问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方 根是这样的小数，如=3.1415926552374 …， 1.101001000100001. …， … 这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢？ .
七年级数学《实数》练习题 Ａ卷 基础知识 班级_＿_＿＿__＿姓名＿_＿_＿____成绩__＿__＿＿＿__ 一、判断题（１分×10=1０分） 1． 3是9的算术平方根 ( ） 2． ０的平方根是0,0的算术平方根也是0 （ ) 3． （-2)2 的平方根是2- （ ) 4． -0．5是０.2５的一个平方根 （ ） 5． a 是a 的算术平方根 ( ) 6． 64的立方根是4± （ ） 7． －10是1０00的一个立方根 ( ） 8． －７是-343的立方根 ( ） 9． 无理数也可以用数轴上的点表示出来 （ ) １0.有理数和无理数统称实数 （ ) 二、选择题（3分×6＝１8分） 11．列说法正确的是（） A 、 4 1 是5.0的一个平方根 B 、 正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0 C 、 72 的平方根是7 D 、负数有一个平方根 12．如果 25.0=y ,那么y 的值是（) A 、 0625.0 B 、 5.0- Ｃ、 5.0 Ｄ、5.0± 13．如果x 是a 的立方根,则下列说法正确的是（） A 、x -也是a 的立方根 B 、x -是a -的立方根 Ｃ、x 是a -的立方根 D 、等于3 a 14．π、 7 22、3-、3343、1416.3、3.0 可,无理数的个数是(） Ａ 、１个 B 、 ２个 C 、 ３个 D 、 4个 15．与数轴上的点建立一一对应的是(）（ A 、全体有理数 B 、全体无理数 Ｃ、 全体实数 D 、全体整数 16．果一个实数的平方根与它的立方根相等,则这个数是(）
A 、0 B 、正实数 C 、0和1 D 、１ 三、填空题（１分×30＝30分） 2.100的平方根是 ，10的算术平方根是 。 3．3±是 的平方根3-是 的平方根；2 )2(-的算术平方根 是 。 4．正数有 个平方根,它们 ;0的平方根是 ；负数 平方根。 5．125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，0的立方根是 。 6．正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 。 7．2的相反数是 ，π-= ，3 64-＝ 8．比较下列各组数大小: ⑴140 12 ⑵ 2 1 5- 5.0 ⑶π 14.3 23 四、解下列各题。 1． 求下列各数的算术平方根与平方根（3分×4=１2分） ⑴225 ⑵ 144 121 ⑶ 81.0 ⑷ 2 )4(- 2． 求下列各式值（3分×6=１8分） ⑴ 225 ⑵16.0- ⑶289 144 ± ⑷ 364 ⑸
实数测试题 1．下列实数 2π，722，0.1414，39 ,21中，无理数的个数是【 】 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 2．下列说法正确的是【 】 （A ）278的立方根是2 3± （B ）-125没有立方根 （C ）0的立方根是0 （D ）-4)8(3=- 3．下列说法正确的是【 】 （A ）一个数的立方根一定比这个数小 （B ）一个数的算术平方根一定是正数 （C ）一个正数的立方根有两个 （D ）一个负数的立方根只有一个，且为负数 4．一个数的算术平方根的相反数是312 -,则这个数是【 】. (A)79 (B)349 (C)499 (D)9 49 5.下列运算中,错误的有 【 】 ①1251144251=;② 4)4(2±=-;③22222-=-=-;④2 14141161+=+ (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 6.下列语句中正确的是【 】 (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 7.下列叙述正确的是【 】 (A)有理数和数轴上点是一一对应的 (B)最大的实数和最小的实数都是存在的 (C)最小的实数是0 (D)任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 8.2)25(-的平方根是 【 】 (A)25 (B)5 (C)±5 (D)±25 9.-27的立方根与4的平方根的和是【 】 (A)-1 (B)-5 (C)-1或-5 (D)±5或±1 10.已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是( 2,-3),将点A 向右平移3个单位长度,然后向上平移33个单位长度后得到B 点,则点B 的坐标是【 】 (A)(33,23) (B)(32,32+) (C)(34,32--) (D)(3,33). 11．9的平方根是________. 12.面积为13的正方形的边长为_______. 13.若实数a 、b 满足(a+b-2)2+ 032=+-a b 则2b-a+1的值等于______. 14. a 200是个整数,那么最小正整数a 是_____. 15. 若9的平方根是a,43=b ,则a+b 的值为______. 16. 用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数： 201 ,,31 ,21 ,1Λ。如果从中选取若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选____个.
《无理数与实数的概念》教学设计 一、教学目标 1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数； 2.了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系; 3.通过实数的分类,是学生进一步领会分类的思想; 4.通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力; 5.数形结合体现了数学的统一性的美. 二、教学重点和难点 教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质. 教学难点：无理数意义的理解． 三、教学方法 讲练结合 四、教学手段 多媒体 五、教学过程 (一)复习提问 什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师帮助纠正： 1．整数和分数统称为有理数． 2．有理数的分类有两种方法： 第一种：按定义分类：第二种：按大小分类：
(二)引入新课 同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0，，，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢? 答案是否定的，我们来看这样一组数： 我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数． 1．定义：无限不循环小数叫做无理数． 请同学们判断以下说法是否正确? (1)无限小数都是无理数． (2)无理数都是无限小数． (3)带根号的数都是无理数． 答：(1)错，无限不循环小数都是无理数． (2)错，无理数是无限不循环小数． 现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．
一、实数专题训练 姓名_____________ 一、填空题：（每题3 分，共36 分） １、－2 的倒数是＿＿＿＿。 ２、4 的平方根是＿＿＿＿。 ３、－27 的立方根是＿＿＿＿。 ４、3－2 的绝对值是＿＿＿＿。 ５、2004年我国外汇储备3275.34亿美元，用科学记数法表示为＿＿＿＿亿美元。 ６、比较大小：－1 2 ＿＿＿＿－ 1 3 。 ７、近似数0.020精确到＿＿＿＿位，它有＿＿＿＿个有效数字。８、若n 为自然数，那么(－1)2n＋(－1)2n＋1＝＿＿＿＿。 ９、若实数a、b 满足|a－2|＋( b＋1 2 )2＝0，则ab＝＿＿＿＿。 10、在数轴上表示a 的点到原点的距离为3，则a－3＝＿＿＿＿。 11、已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估算它的对角线长为＿＿＿＿。（结果保留两个有效数字） 12、罗马数字共有7 个：I（表示1），V（表示5），X（表示10），L（表示50），C（表示100），D（表示500），M（表示1000），这些数字不论位置怎样变化，所表示的数目都是不变的，其计数方法是用“累积符号”和“前减后加”的原则来计数的： 如IX＝10－1＝9，VI＝5＋1＝6，CD＝500－100＝400，则XL＝＿＿＿，XI＝＿＿＿。 二、选择题：（每题4 分，共24 分） １、下列各数中是负数的是（） A、－(－3) B、－(－3)2 C、－(－2)3 D、|－2| ２、在π，－1 7 ，(－3)2，3.14，2，sin30°，0 各数中，无理数有（） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 ３、绝对值大于1 小于4 的整数的和是（） A、0 B、5 C、－5 D、10 ４、下列命题中正确的个数有（） ①实数不是有理数就是无理数②a＜a＋a③121的平方根是±11 ④在实数范围内，非负数一定是正数⑤两个无理数之和一定是无理数 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 ５、天安门广场的面积约为44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相
无理数习题 系列1 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________ 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：42 9__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 11x = +成立的条件是 。 12. 若1a b -+()2005 _____________a b -=。 13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 2 4a + B. 2 2a + C. ( ) 2 2 2a + D. ( ) 2 2 4a +
17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( )()() 2312322 4==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。 23. 去掉下列各根式内的分母： ())1 0x () )21x 24. 已知2 310x x - += 25. 已知,a b ( 10b - =，求2005 2006a b -的值。 26. 当0a ≤，0b __________=。 27. _____,______m n ==。 28. __________==。 29. 计算： _____________=。
实数测试题 1．下列实数2π，722，0.1414，39 ,2 1中，无理数的个数是【 】 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 2．下列说法正确的是【 】 （A ）278的立方根是2 3± （B ）-125没有立方根 （C ）0的立方根是0 （D ）-4)8(3=- 3．下列说法正确的是【 】 （A ）一个数的立方根一定比这个数小 （B ）一个数的算术平方根一定是正数 （C ）一个正数的立方根有两个 （D ）一个负数的立方根只有一个，且为负数 4．一个数的算术平方根的相反数是3 12-,则这个数是【 】. (A)79 (B)349 (C)499 (D)949 5.下列运算中,错误的有 【 】 ①1251144251=;②4)4(2±=-;③22222-=-=-;④2 14141161+=+ (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 6.下列语句中正确的是【 】 (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 7.下列叙述正确的是【 】 (A)有理数和数轴上点是一一对应的 (B)最大的实数和最小的实数都是存在的 (C)最小的实数是0 (D)任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 8.2)25(-的平方根是 【 】 (A)25 (B)5 (C)±5 (D)±25 9.-27的立方根与4的平方根的和是【 】 (A)-1 (B)-5 (C)-1或-5 (D)±5或±1 10.已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是(2,-3),将点A 向右平移3个单位长度,然后向上平移33个单位长度后得到B 点,则点B 的坐标是【 】 (A)(33,23) (B)(32,32+) (C)(34,32--) (D)(3,33). 11．9的平方根是________. 12.面积为13的正方形的边长为_______. 13.若实数a 、b 满足(a+b-2)2+032=+-a b 则2b-a+1的值等于______. 14. a 200是个整数,那么最小正整数a 是_____. 15. 若9的平方根是a,43=b ,则a+b 的值为______. 16. 用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数： 201 ,,31 ,21 ,1 。如果从中选取若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选____个. 17 .计算|922-|+22的结果等于________.
考点2无理数与实数一．选择题（共24小题） 1．（xx?铜仁市）9的平方根是（） A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81 【分析】依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：9的平方根是±3， 故选：C． 2．（xx?南通模拟）的值是（） A．4 B．2 C．±2 D．﹣2 【分析】根据算术平方根解答即可． 【解答】解：=2， 故选：B． 3．（xx?杭州）下列计算正确的是（） A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2【分析】根据=|a|进行计算即可． 【解答】解：A、=2，故原题计算正确； B、=2，故原题计算错误； C、=4，故原题计算错误； D、=4，故原题计算错误； 故选：A． 4．（xx?黔南州）下列等式正确的是（） A．=2 B．=3 C．=4 D．=5 【分析】根据算术平方根的定义逐一计算即可得． 【解答】解：A、==2，此选项正确； B、==3，此选项错误；
C、=42=16，此选项错误； D、=25，此选项错误； 故选：A． 5．（xx?济宁）的值是（） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案． 【解答】解：=﹣1． 故选：B． 6．（xx?恩施州）64的立方根为（） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【分析】利用立方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：64的立方根是4． 故选：C． 7．（xx?衡阳）下列各式中正确的是（） A．=±3 B．=﹣3 C．=3 D．﹣=【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值． 【解答】解：A、原式=3，不符合题意； B、原式=|﹣3|=3，不符合题意； C、原式不能化简，不符合题意； D、原式=2﹣=，符合题意， 故选：D． 8．（xx?广州）四个数0，1，，中，无理数的是（）A．B．1 C．D．0 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：0，1，是有理数，
6.3 《无理数与实数》导学案 教学目标： 1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类 2.知道实数与数轴上点的一一对应关系 教学重点： 实数的概念及实数的分类 教学难点： 理解的无理数意义 教学过程： 【知识回顾，创设情境】 1、 把下列各数按要求填在横线上： 1.91， 0，-52，+75，18，-7.5， ，3.101001000100001 (4) 4 3- 整数 ；分数 ；正数 。 2、 有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请在小组内交流。 3、 4、 9 5 ,9011,119,847,53,3- 发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？ 验证：下列有限小数能化为分数吗 5、2.3、0.25、1.334, …… 验证：无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料 设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② ②－①,得:９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3 仿此法：能把0.21，0.125化成分数吗？试试看。 【合作交流，探究新知】 【活动1】无理数的概念 问题： 我们在求一个数的平方根或立方根时发 现有些数的平方根或立方根是无限不循环数。 如 2=1.41421356 … ,又如 π＝3.14159265…,还有 1.101001000100001 …(每两个1 之间依次多一个0）。这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，那么它们是什么数呢？ 1、 无 2、 常 你们的结论是 【活动2】无理数与数轴的关系 我们知道有理数能用数轴上的点来表示；那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？ 探究1：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长 画正方形，则对角线的长度就是2，以原 点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正 半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点 就是 。 探究2：如图所示，直径为1个单位 长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，那么点O ′所表示的数是 ；若向原 归纳：(1)无理数都是无限小数. (2)带根号的数是无理数. (3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数 应用：在这些数5， 3.14， 0， 3 ，3 4- ， 0.57 ，4- ，- π， 0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中． 有理数有 ；无理数有 ； 整数有 ：分数有 【活动3】实数的概念及分类 定义： 统称为实数 分类：按照定义分类如下： 按照正负分类如下： 实数 【活动4】实数与数轴上点的对应关系 1、每一个有理数都可以用 的一个点来表示，每一个无理数都可以用 的一个点来表示 2 3
中考知识点练习——无理数与实数 一．选择题（共10小题） 1．（2014?佛山）下列调查中，适合用普查方式的是（） A．调查佛山市市民的吸烟情况 B．调查佛山市电视台某节目的收视率 C．调查佛山市市民家庭日常生活支出情况 D．调查佛山市某校某班学生对“文明佛山”的知晓率 2．（2014?巴中）今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法： ①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2000． 其中说法正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 3．（2014?湘西州）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（） A．500名学生 B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C．50名学生 D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况 4．（2014?六盘水）青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞20只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，请你估计一下这个池塘里有多少只青蛙？（） A．100只B．150只C．180只D．200只 5．（2014?济宁）从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性．下面叙述正确的是（） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的方差就越大 C．样本容量越大，样本的极差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 6．（2014?南京）8的平方根是（） A．4 B．±4 C．2D． 7．（2014?杭州）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（） A．a是无理数B．a是方程x2﹣8=0的一个解 C．a是8的算术平方根D．a满足不等式组 8．（2014?常德）下列各数：，π，，cos60°，0，，其中无理数的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2014?烟台）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，； 3，，2，3，； … 若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（） A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5） 10．实数的平方根为（）
无理数与实数1 一．选择题（共8小题） 1．8的平方根是（） A．4 B．±4 C．2D． 2．的平方根是（） A．±3 B．3 C．±9 D．9 3．已知9.972=99.4009，9.982=99.6004，9.992=99.8001，求之值的个位数字为何？（） A．0 B．4 C．6 D．8 4．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数B．a是方程x2﹣8=0的一个解 C．a是8的算术平方根D．a满足不等式组 5．化简得（） A．100 B．10 C．D．±10 6．若实数x、y满足=0，则x+y的值等于（） A．1 B．C．2 D． 7．下列实数中是无理数的是（） A．B．2﹣2C．5. D．sin45° 8．下列各数：，π，，cos60°，0，，其中无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共8小题） 9．4的平方根是_________ ．
10．计算：= _________ ． 11．的算术平方根为_________ ． 12．计算：= _________ ． 13．一个数的算术平方根是2，则这个数是_________ ． 14．计算：﹣= _________ ． 15．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是_________ （结果需化简）． 16．下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是_________ （用含n的代数式表示） 三．解答题（共6小题） 17．计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|． 18．计算：． 19．计算：（﹣）﹣2+﹣2sin45°﹣|1﹣|． 20．计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1． 21．若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值． 22．己知+（x﹣2）2=0，求x﹣y的平方根．
北京课改版八年级（上）中考题同步试卷：12.4 无理数与实数 （11） 一、填空题（共3小题） 1．计算：（）2﹣|﹣2|＝． 2．计算：+（π﹣2）0﹣（）﹣1＝． 3．计算：|3﹣2|+（π﹣2014）0+（）﹣1＝． 二、解答题（共27小题） 4．计算：（﹣1）0﹣|﹣5|+（）﹣1． 5．计算：﹣4cos30°+（π﹣3.14）0+． 6．计算：+|﹣2|+（﹣6）×（﹣）． 7．计算： （1）32﹣|﹣2|﹣（π﹣3）0+； （2）（1+）÷． 8．计算： （1）12×（﹣）+8×2﹣2﹣（﹣1）2 （2）解不等式≤，并求出它的正整数解． 9．计算：|1﹣|+（π﹣2014）0﹣2sin45°+（）﹣2． 10．（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣； （2）计算：（a+）÷（1+）． 11．计算：2﹣1+2cos60°+． 12．计算：（1﹣）0+（﹣1）2014﹣tan30°+（）﹣2． 13．（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）0+（）﹣1 （2）化简：（﹣）?． 14．（1）计算：+|﹣1|﹣（﹣1）0
（2）解方程：＝． 15．（1）计算：（﹣1）2014﹣|﹣|+﹣（﹣π）0； （2）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣2（3﹣2x），其中x＝﹣2． 16．（1）﹣|﹣2|+（﹣2）0； （2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2． 17．（1）计算：（﹣2）3+（）﹣1﹣|﹣5|+（﹣2）0 （2）化简：（﹣）÷． 18．计算：． 19．（1）计算：﹣（）﹣1+（π﹣）0﹣（﹣1）100； （2）已知|a+1|+（b﹣3）2＝0，求代数式（﹣）÷的值．20．（1）计算：（﹣1）2﹣2cos30°++（﹣2014）0； （2）当x为何值时，代数式x2﹣x的值等于1． 21．计算：（﹣2）2﹣?+（sin60°﹣π）0． 22．计算：÷﹣16×4﹣1+|﹣5|﹣（3﹣）0． 23．计算：（﹣1）×（﹣3）+（﹣）0﹣（8﹣2） 24．（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2﹣）0+ （2）解不等式组，并判断x＝是否为该不等式组的解．25．（1）计算：（﹣2）2?sin60°﹣（）﹣1×； （2）分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1． 26．计算：+（π﹣3）0﹣tan45°． 27．计算|﹣5|+﹣（）﹣1． 28．计算：|2﹣1|+（﹣1）0﹣（）﹣1． 29．计算：（﹣2）3+×（2014+π）0﹣|﹣|+tan260°． 30．（1）计算：（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2sin30°；
一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列语句中正确的是（ ） A. 的平方根是3- B.9的平方根是3 C.9的算术平方根是3± D.9的算术平方根是3 2.下列结论正确的是（ ） A.6)6(2-=-- B.9)3(2=- C.16)16(2±=- D.2516 25162 =??? ? ??-- 3.2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则y x +的值为（ ） A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 4.下列各式中正确的是( ) A. B. C D. （ ） A ．3 B ．3- C ．3± D 6.下列说法中，不正确的是（ ）． A 3是2)3(-的算术平方根 B ±3是2)3(-的平方根 C －3是2)3(-的算术平方根 D.－3是3)3(-的立方根 7.若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为 A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不对
8. 若a a =-2)3(-3，则a 的取值范围是( ). A. a ＞3 B. a ≥3 C. a ＜3 D. a ≤3 9.若代数式 2 1 --x x 有意义，则x 的取值范围是 A ．21≠>x x 且 B ．1≥x C ．2≠x D ．21≠≥x x 且 10．如果-b 是a 的平方根，那么 （ ） A.b= B. a= C. b= D. a= 二．填空题 1.若x 的立方根是－4 1 ，则x ＝___________． 2．已知x ＜1，则 12x -x 2+化简的结果是 3．一个实数的平方根大于2小于3，那么它的整数位上可能取到的数值为__________． 4．已知1)12(2-+ +b a =0，则-20042b a +=_______. 5．若|2|20x y y -++=，则xy 的值为_______. 6．如果2180a -=，那么a 的算术平方根是 ． 7．若a<440-=m 无理数与实数的概念
茅塔中学数学实数教案 教师：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____ 一、授课目的与考点分析：无理数与实数 知道实数的相反数、绝对值的意义，并会求一个实数的相反数和绝对值；会比较两个实数的大小。 二、授课内容及过程： 问题：把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35- ，478 ，911 ，119 ，59 ，5，0 结论： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数； 1．无理数：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213 =，－1.010010001…，都是无理数。 例1 在实数3.14，25 ，3.3333，3，0.412?? ，0.10110111011110…，π，256- 中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33，π是正无理数，2-，33-，π-是负无理数。 2．实数：有理数和无理数统称为实数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： （1）????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（2）0???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例2 下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即()()() 0000a a a a a a >??==??-
…………外…… … … … 内 … 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 ) A ．2 B ．±2 C ．√2 D ．±√2 2.已知9.972=99.4009，9.982=99.6004，9.992=99.8001，求√997000之值的个位数字为何？( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．8 3.能使x+2的平方根有意义的x 为( ) A ．x ≥0 B ．x ＞0 C ．x ≥-2 D ．x ＞-2 4.若(a ?3)2+|b ?4|=0，则b a 的平方根是( ) A ．2√33 B ．±2√33 C ．6√3 D ．±6√3 5.9的算术平方根是( ) A ．9 B ．-3 C ．3 D ．±3 6.一个正数的两个平方根分别为a-7和2a+1，则a 是( ) A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2 7.8的平方根是( ) A ．4 B ．±4 C ．2√2 D ．±2√2 8.一个正数的正的平方根是m ，那么比这个正数大1的数的平方根是( ) A ．m 2+1 B ．±√m +1 C ．√m 2+1 D ．±√m 2+1 9.如图，在一圆筒里放入两种不同的物体，并用一长方形的玻璃薄片(玻璃厚度忽略不计)分隔开来．已知圆筒高30厘米，容积为9420厘米3，则这长方形玻璃薄片的尺寸为(π取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平)( ) A ．30厘米×10厘米 B ．30厘米×20厘米 C ．30厘米×30厘米 D ．30厘米×40厘米 10.已知一个正数x 的两个平方根分别为a+1和a-3，则正数x 的值是( )
无理数和实数全国中考数学题无理数和实数全国中考数学题汇总 (2013?嘉兴)计算：|―4|―+(-2)0; (2013?宁波)实数﹣8的立方根是﹣2. 考点：立方根. 分析：利用立方根的定义即可求解. 解答：解：∵(﹣2)3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2. 故答案﹣2. 点评：本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根. (2013?衢州) (2013?台州)若实数a，b,c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是() A.ac>bc B.ab>cb C.a+c>b+c D.a+b>c+b (2013?台州)计算： (2013?温州)(1)计算：; (2013?佛山)计算：. 6、(2013?广州)实数a在数轴上的位置如图4所示，则=() ABCD
(2013?深圳)计算：2sin60o+-–|1–| (2013?珠海)实数4的算术平方根是() A.﹣2 B.2 C.±2 D.±4 考点：算术平方根.3481324 分析：根据算术平方根的定义解答即可. 解答：解：∵22=4， ∴4的算术平方根是2， 即=2. 故选B. 点评：本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键. (2013?珠海)计算：﹣()0+||[ 考点：实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.3481324 专题：计算题. 分析：根据零指数幂与负整数指数幂得到原式=3﹣1+﹣，然后化为同分母后进行加减运算. 解答：解：原式=3﹣1+﹣ =. 点评：本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算;有括号先算括号.也考查了零指数幂与负整数指数幂. (2013?牡丹江)下列运算正确的是() A.B.2a?3b=5abC.3a2÷a2=3D.
《实数与代数式》专项练习 一、择题; 1.下列实数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. 1 3 C. 3 D. 9 2.在 -3 －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ） A. -3 B. C. －1 D. 0 3.今年5月的某一天，参观上海世博会的人数达到450000，用科学记数法表示这个数为 A ．44510? B. 64.510? C. 54.510? D. 60.4510? 4．据2010年5月11日云南省委、省政府召开的通报会通报，全省各级各部门已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为( ) A ．83.210?元 B ．100.3210?元 C ．93.210?元 D ．83210?元 5．下列各数：2 π ,0· , cos60°，227 ，0.30003，1中无理数有（ ）个 A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 6．下列运算结果等于1的是（ ） A ．)3()3(-+- B ．)3()3(--- C ．)3(3-?- D ．)3()3(-÷- 7. ()24-的算术平方根是: A. 4 B . 4± C . 2 D. 2± 8、下列运算正确的是（ ） A 、22x x x =? B 、22)(xy xy = C 、632)(x x = D 、422x x x =+ 9．下列运算中，正确的是 A ．325=-m m B ．2 2 2 )(n m n m +=+ C ．n m n m =22 D ．222)(mn n m =? 10． 下列各式：①(－1 3 )—2＝9；②(－2)0＝1；③(a ＋b )2＝a 2＋b 2； ④(－3ab 3)2＝9a 2b 6；⑤3x 2－4x ＝－x ，其中计算正确的是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．③④⑤ D ．②④⑤ 11.若多项式mx x +2+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是（ ） A.4 B. -4 C. ±2 D ±4 12．2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到（ ）
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 试题1: D 解：∵， ∴8的平方根是． 故选：D． 点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 试题2: 己知+（x﹣2）2=0，求x﹣y的平方根． 试题3: 若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值． 试题4: 计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1． 试题5: 计算：（﹣）﹣2+﹣2sin45°﹣|1﹣|． 试题6:
计算：． 试题7: 计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|． 试题8: 下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是_________ （用含n的代数式表示） 试题9: 观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是_________ （结果需化简）． 试题10: 计算：﹣= _________ ． 试题11: 一个数的算术平方根是2，则这个数是_________ ． 试题12: 计算：= _________ ． 试题13: 的算术平方根为_________ ． 试题14:
计算：= _________ ． 试题15: 4的平方根是_________ ． 试题16: 下列各数：，π，，cos60°，0，，其中无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试题17: 下列实数中是无理数的是（） A． B．2﹣2 C．5. D．sin45° 试题18: 若实数x、y满足=0，则x+y的值等于（） A．1 B． C．2 D． 试题19: 化简得（） A．100 B．10 C． D．±10 试题20: 已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数 B．a是方程x2﹣8=0的一个解 C．a是8的算术平方根 D．a满足不等式组 试题21:
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：xxxxx 年级：xx 课时数：xx 学员姓名：xxxx 辅导科目：数学学科教师：xx 授课类型C(数的开方) C （实数及其运算）T （实数应用）授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx---xxxx 教学内容 一、专题讲解 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。 特点：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。 表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”，其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为±a，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。 开平方运算 定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系 平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0； a表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0； ()2a =a（a≥0），()2a-=a（a≥0）；2a=a=a，a≥0或；－a，a﹤0
例题：1、使式子2 52 x x --有意义的x 的取值范围是 。 2. 使等式2()x x --=成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定 3.81的平方根是（ ） A ．9 B ．9± C ．3 D ．3± 非负性： A ．非负数：若a ≥0，则称a 为非负数，初中阶段有三种非负数：a ，a ，2 a B ．若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0. 例题：1. 已知231(1)0,a b a b ++-=+=则 。 2. 已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab +++-+=满足 则的算术平方根是 。 3.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。 立方根 定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3 x =a ，那么就称这个数x 为a 的立方根或三次方根。 表示法：a 的立方根表示为3a ，其中a 为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a 读作“三次根号a ”或“a 的立方根”。 性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0. 有关立方根的补充说明和公式 1）在3a 中，被开方数a 可为正数，负数，0；且3a 的正负与a 一致 2）3a -=－3a ； 3）() 3 3 a =3 3a =a 4）开立方运算：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算