中国校外教育学 科 教 育
08/2009
对称性在数学解题中的应用
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胡晓明(湖南女子职业大学经济管理系,湖南 长沙)
在数学领域,对称性问题很多,重视对称性的研究,不仅增强解题技巧,而且对数学的发展也是十分有益的。本文主要介绍对称
性在解题中的应用,分为三个部分:第一部分介绍对称性在几何中的应用;第二部分介绍对称性在积分中的应用;第三部分介绍对称性在方程中的应用
。
对称性几何积分方程
数学是研究美的科学,几何是数学中对美的研究尤其突出的,对称是数学中完美性最突出的,生活中的对称是美的表现,宇宙中有许许多多具有某种对称性东西,它必然反映到研究物质空间形式和数量关系的数学中来。数学的许多研究对象、研究手段都与对称性有关,大量的公式及定理的形式也具有赏心悦目的对称美。因此,如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性,并使人们的思维过程与之相适应,不但可以更好的把握事物的本质,还可以使思维和推理过程更简洁,更快地打开思路,并能快捷地解决问题。
在几何、积分、方程中,许多问题的解决都采用了对称性原理。下面,以三种类型题为例,初步讨论对称性在数学解题中的应用。
几何中的对称主要是轴对称和中心对称。轴对称:任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分;中心对称:任一对对应点的连线段过对称中心,且被中心平分,
几何中的对称性是极为普遍的,并有相对的固定规律。一、对称性在几何中的应用
在几何方面,对称性较为直观,通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象。球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的,利用它们的对称性可以解决许多几何问题。
图1
1.解决平面几何问题
例1.证明等腰三角形的两底角相等。分析:此题的常规证法是通过作等腰三角形底边上的高而得到两个全等的三角形,从而由对应角相等来证明命题成立。若我们能发现△ABC 与△ACB 的对称性就能够更简单地证明。
证明:如图1所示,在△ABC 与△ACB,因为∠A =∠A,AB =AC,AC =AB.所以△ABC ≌△ACB.因此∠B =∠C 。
当然,此题用常规思维,通过作底边上的高同样比较容易证到所要证的结论。但利用对称性来证明是一种很好的证明方法,更加简单,能够培养人的发散思维。
2.
解决解析几何问题
此题的关键是挖掘直线x =2是y =f (x )的图像的对称轴的隐含条件,在此可以体会到对称性的重要作用。
二、对称性在积分中的应用
以上各种类型的积分,都是利用对称性来解题,充分体现了数学分析的对称美,其中包括公式的对称、符号的对称、运算的对称,达到事半功倍的效果,更有利于人们开拓视野,发现新知。
三、对称性在方程中的应用
中国古代数学在方程方面创造了辉煌的业绩。中国古代的方程就是现代的线性方程组,方程术就是线性方程组的解法,在方程的计算中,应用了对称方法。首先,方程的列法必须掌握各数量关系的平衡、和谐。才能够准确地为实际问题建立模型。其次,解方程也是利用对称性的,开始我们是利用等式的基本性质来解方程,后来我们利用等式的基本性质推出移项法则,利用它来解,但是我们还是利用了对称性。
例3.同学们乘坐公共汽车去参观,出发半小时后,小明乘高速客车追赶,问多少时间追上?公共汽车速度:60km /h 高速客车:80km /h 。
分析:这是一道初中的数学问题,也是常见的物理现象,我们根据题意可以很快列出方程。由题意知这是相对速度问题或者为等距离问题:
(1)等距离思路
解:设经过x 小时追上,则经过x 小时后,公车行驶时间为,距离为0.5
+x;高速客车行驶时间为60(0.5+x ),距离为x .两者从同一地点出发,追
上时肯定行驶距离相等。
60(0.5+x )=80x x =1.5(小时)(2)相对速度思路
公车早出发半个小时,也就是说,在小明开始出发时,公车已经行驶60×0.5=30km 了,这距离也就是两者相比多出来的。但是小明的车快啊,所以这部分多出来的距离必须靠速度的差距来弥补。他们的速度差距是多少?就是了,用这个速度80-60=20km /h,行驶x 小时后赶上,方程式不是很简单吗?
(80-60)x =60×0.5
结果还是1.5小时.
无论用那种方法列方程,都体现了对称思想,解的过程也一样。通过以上运用对称性解答题目,可知解题的简洁和快捷。参考文献:
[1]王择.初等数学中的对称性及其应用[J ].蒙自师专学报,1995,
(12):54-63.
[2]孔令辉.对称性在数学中的应用[J ].赣南师范学院学报,2002,
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[3]陈运新.对称性在积分中的应用[J ].数学理论与应用,2000,(4):
40-43.
[4]陈自高.数学中的对称美与应用[J ].科学教育创新论坛,2006,
(5):242-254.
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对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。
函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。
论文提要 三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例,三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中,三角函数常常与三角形密切结合在一起,灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质.三角函数是学习高等数学的必备基础知识之一,学习时要注重三角知识的基础性,突出三角函数的周期性、单调性、奇偶性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识.本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题.
论三角函数在解题中的应用 王宪 摘要：三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中，三角函数常常与三角形密切结合在一起，灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质。本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题。 关键词：三角函数三角形公式定理 高中数学的三角函数是比较难学的,也是高考必考内容.其涉及的基础知识、数学思想方法在数学和其它学科中都有广泛的运用.本文通过实例介绍几种常用的数学解题思想在三角函数中的应用. 一．培养三角函数应用于解题的思想 1. 分类的思想 分类讨论方法又称逻辑划分,中学数学最常用的数学思想方法之一,也是高考数学中常考常新的数学思想. 分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类、求解,然后综合出问题的答案.在三角函数中主要对角的终边所在的象限的三角函数值等进行分类. 2. 数形结合的思想 数形结合方法是指将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略,数形结合思想可以使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.在三角函数的学习过程中,应把三角函数的性质融于函数的图形之中,充分利用三角函数的图像来解决实际问题. 3. 函数与方程思想 方程思想是指对所求的问题通过列方程(组) 使问题获解,有些三角函数问题通过引入一个新的变量,转化命题的结构,经过变形与比较,建立起含有特定字母系数的方程组,进而
毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用 学院：数理学院 专业名称：信息与计算科学 学号：0741210102 学生姓名：鲍品 指导教师：张晓燕 2011年5 月20 日
对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性
Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity
函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数． 如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点． 周期性： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0． 对称性： 若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称． 函数的图象： 函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图：
函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。
浅谈函数单调性的应用 贵州省习水县第一中学袁嗣林 摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题. 函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。 在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。 一、函数单调性的判别 单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种方法。． 1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数） 例1 判断函数的单调性 解因为==，显然当为正数且逐 渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数 在区间(0，+∞)上为减函数． 2.函数变换法
由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减. 例2 判断函数的单调性. 解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数. 3.复合函数法 设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推． 例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( ) (A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D) 解因为， 所以-1
函数单调性的应用 一、比较大小 例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小. 解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2， ∴f (－1)＝f (5). ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (2) (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错. 三、求参数的值或取值范围 例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围. 解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 编号： 本科毕业论文 数学的对称性及其在若干数学问题中的应用 系院：数学科学系 姓名：冯克飞 学号：0831130103 专业：小学教育（数学方向） 年级：2008级 完成日期：2012年5月 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一,是其运动、变化和发展的规律之一。人们在认识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想、方法,我们称之为对称思想方法;数学家们用数学的思想、方法解决这类问题所产生和形成的思想与方法,我们称之为数学对称思想方法。数学的对称性在数学解题与分析中具有重要的作用。本文将围绕着数学对称性的基本性质及其在实际的数学解题中的应用展开对数学对称性的全面分析，旨在充分揭示对称性在数学中作为一种工具和方法的优势，加深对数学对称性的理解和认识，以求在数学教学或实际解题中充分发挥对称性的应用。 关键字：数学对称；几何运用；对称思想；对称原理 Abstract Symmetry is one of the common form in nature and human society, is one of the movement, change and development of the law. People understand and resolve with symmetric or opposition of the process and the formation of ideas, methods, which we call a symmetric way of thinking; mathematicians use mathematical thinking, methods to solve such problems and the formation of ideas and methods, which we call the mathematical symmetry of thinking. Mathematical symmetry plays an important role in mathematical problem solving and analysis. This article will focus on the basic nature of the mathematical symmetry and its actual mathematical problem solving to commence a comprehensive analysis of mathematical symmetry, to fully reveal the symmetry in mathematics as a tool and method of the advantages of deepen understanding and awareness of mathematical symmetry, in order to give full play to the application of symmetry in mathematics teaching, or practical problem solving. Keywords: mathematical symmetry; geometry use; symmetrical thinking; symmetry principle 对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上 函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④ 数学思想在解题中的应用（上） 目录 前言 第一章高中数学常用的思想方法 一、数形结合思想 1、知识点概述 2、解题方法指导 3、数形结合思想方法的应用 4、数形结合思想在函数中的应用 二、函数与方程思想 1、函数的思想 2、方程的思想 3、函数方程思想的应用 三、化归与转化思想 1、等于不等的相互转化 2、正与反的相互转化 3、特殊与一般的相互转化 4、简单与复杂的相互转化 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，我们总想用旧的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解和融会贯通时，才能提出新看法，巧解法。高考试题特别注重对数学思想方法的考察，特别是突出考察能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识的用数学思想方法去分析问题去解决问题，提高能力，形成数学素养，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考察： 1、常用数学方法;配方法，换元法，待定系数法，参数法，消去法，数学归纳法等 2、常用数学逻辑方法：分析法，综合法，反证法，归纳法，演绎法等 3、常用数学思维方法：观察与分析，概括与抽象，分析与综合，特殊与一般，类比等 4、常用数学思想：数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想，有限与无限思想，必然与或然 思想，分类讨论思想等 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的低位和层次。数学知识使数学内容，可以用文字，符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的衰退，将来可能忘记。而数学思想是一种数学意识，只能够领会和应用，属于思想的范畴，用以对数学问题的认识，处理和解决。掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子。即使数学知识忘了，数学思想方法还是记得，对你还是起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的模型，具有模式化和可操作性的特征。可以选用作为解题的基本手段。 可以说，知识是基础，方法是手段。思想是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学知识方法的认识和应用。数学素质的综合能力的体现就是应用。 为帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍了高考中常用的基本思想方法，配方法，换元法，待定系数法，归纳法，参数法，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想，函数与方程思想。末位整合了高考中的热点问题。 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 目录 1引言 (1) 2对称思想的本质 (1) 3数学的对称性 (2) 3 .1公式的对称性 (2) 3 .2图形的对称性 (2) 3 .3对称式和轮换式 (3) 3 .4对称的其他应用 (4) 4数学思维在对称思想中的应用 (6) 4.1对称思想的简洁性 (6) 4.2对称思想的灵活性 (6) 4.3对称思想的广泛性 (7) 5数学能力在对称思想中的培养 (8) 5.1数学判断能力在对称思想中的培养 (8) 5.2数学记忆能力在对称思想中的培养 (8) 5.3数学转化能力在对称思想中的培养 (9) 5.4数学解题能力在对称思想中的培养 (9) 6结论 (10) 参考文献 (12) 致谢 (13) 浅谈对称思想在数学教学中的应用 数学系本1202班李然 指导教师：杨树勍 摘要：对称好像是世间万物的一种表象或形式，而且它已经成为各种学科的一些表现形式和理论之一，我们所讲的对称是解题的思想方法，因为它合乎情理。应用好对称思想对初中生学习数学有很大的帮助，尤其是对学生的思维品质、学习数学的能力的培养有极大的好处。对称既可以锻炼学生的思维、又可以拓展学生的视野、丰富学生的想象能力、成就学生强大的数学头脑...... 关键词：数学能力，思维品质，对称思想。 On the application of symmetry thought in Mathematics Teaching Ran Yi Class 2, Mathematics Department Tutor: Yang ShuQing Abstract:symmetry seems to be all things in the world to a representation or form, and it has become one of a variety of disciplines, some form of expression and the theory, we speak of symmetry is the thinking method of solving, because of its reasonable. Good use of symmetry thought of junior high school students' mathematical learning a great help, especially on students' thinking quality, the cultivation of ability in mathematics learning have great benefits. Symmetry can exercise the students' thinking, and can broaden the students' horizons, enrich the students' imagination, student achievement powerful mathematical mind... Key words: mathematical ability, thinking quality, symmetrical thought.数学的对称性及其在若干数学问题中的应用本科毕业论文
高中数学点线对称问题
(完整word)高考专题函数对称性
数学思想在解题中的应用(上)
对数函数的单调性及其应用
浅谈对称思想在数学教学中的应用
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