弹性力学与有限单元法（报告）
姓名： 尚建波 学号： 201314010624 班级：土木F1307
第一题（20分）
变分法中的δ符号与微积分中的d 符号均表示微小变化，请问二者有何关
系？如何理解在理论上有了δ则不需要有d 符号。
第二题（20分）
设()y y x =，'(,)F y y 不显含x ，
证明：当()y y x =满足固定边界条件()A y a =，()y b B =时，'[()](,)b
a y x F y y dx ∏=?取极值的必要条件为：'
'F y F C y
?-=?，C 为常数。
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问
题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今
后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
试 卷 要 求
1 要求字迹工整，书写清楚；
2 绝对不允许以任何形式整体拷贝讲义或他人试卷，如有雷同卷子（包括个别题的雷同），一律按不及格处理（评阅教师具有试卷雷同认定权）；
3 本试卷页作为报告的扉页，与报告内容采用统一纸张装订；
4 不符合要求的报告按不及格处理（评阅教师具有不符合要求报告的认定权）。
解答报告
第一题（20分）
变分法中的符号与微积分中的符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了则不需要有符号。
解答：（1）二者的关系。
d 是无限小的增量，是一个微分符号，表示了一个函数的局部线性近似。对于函数，dx 反应的是一个函数在x=x0附近的微小变化，也就是自变量的变化。d 作为一个微分符号，dx 必须与其他微分符号如同dy 、dt 成对出现。
δ是无限小的量，这个符号表示变分，所谓变分是一种假想的移动量，比如我假象一条路径x(t)如果x 做了一个微小改变，那么记做δ x 。δ(x)反应的是对某个函数在其定义域内的变化，也就是如果f(x)是一个函数，f(x)+δ(x)也是一个函数，且||δ(x)||很小。这个涉及泛函。泛函是函数的一种推广，是以函数为自变量的映射J=J[y]，该自变量不是以函数的值为自变量，而是以函数本身为自变量，比如一个函数在某个区间上的积分。同时，函数本身也可以当作特别的泛函。
由于δ作用于泛函类似于d 作用于函数，所以δ与d 的运算规律大体上是类似的。
（2）如何理解在理论上有了δ则不需要有d 符号？
d 是无限小的增量，只是微分符号，表示函数的局部线性近似。δ是无限小的量，是一种假想的移动量是两个函数的线性近似，比d 更能表述函数的微小变化，所以我个人理解有δ的时候就不需要d 。
第二题（20分）设()y y x =，'(,)F y y 不显含x ，证明：当()y y x =满足固定
边界条件()A y a =，()y b B =时，'[()](,)b
a
y x F y y dx ∏=?取极值的必要条件为：
''F y F C y
?-=?，C 为常数。 证明：
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，所以，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注
意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
弹性力学位移法的数学模型：
以位置函数作为基本未知量，消去其他未知量，其基本过程为：
将代入得
将平衡方程代入上式，得：
弹性力学应力法的数学模型：以应力函数为基本未知量，消去其他未知量，其基本过程如下：
（1）几何方程
（2）将数学方程代入上式得
（3）平衡方程
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来位移法微分数学模型等价。
虚位移原理（最小位能原理）
由于
所以有：
由于（1）
（2）
（3）
所以
从而有：
于是
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
我对有限元法的认识：1960年，Clough在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。
有限元法是一种高效能、常用的求解微分方程的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。基本原理是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
有限元法作为一种求解偏微分方程的数值计算方法。它具有通用性和实用性。有限元数值计算方法有：位移有限单元法、应力有限元法和杂交有限元法。最传统的有限元法为位移有限单元法，以位移作为基本求解。对于一个力学问题的描述有两种方法：（1）微元分析法；（2）虚位移原理。弹性力学数学模型的求解问题可以等价为求解某个泛函指标的极值宗量问题。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。
限元法在群桩基础中的应用：将有限元数值模拟分析方法应用于群桩工作性状的分析上，在此基础上运用ANSYS软件对群桩进行有限元数值模拟，采用三维建模，得到桩数、承台尺寸，对群桩效应的影响；不同位置的基桩的受力情况；以及桩侧摩阻力的分布性状。通过分析结果达到改进和提高群桩设计及施工的安全和经济的目的。
有限元方法在基础沉降计算中的应用及工程实例：在连续介质中，对于一般土体可以采用非线性弹性本构模型或弹塑性本构模型，考虑复杂的边界条件、土体应力应变关系的非线性特性、土体的应力历史和水与骨架上应力的耦合效应，可以考虑土与结构的共同作用、土层的各向异性，还可以模拟现场逐级加荷，能考虑侧向变形及三维渗流对沉降的影响，并能求得任意时刻的沉降、水平位移、孔隙压力和有效应力的变化。从计算方法上来说，由于其计算参数多，且需通过三轴试验确定，程序复杂难以为一般工程设计入员接受，在实际工程中没有得到普遍应用，只能用于重要工程、重要地段的地基沉降的计算。有限元的发展趋势及方向：
随着有限元技术应用的不断扩大,其发展呈现如下特点: （1）单一场计算向多物理耦合场问题的求解发展
有限元分析技术应用在装备产品的设计制造中,主要是求解线性的结构问题,但根据火电、风电、核电等装备产品的极端性、复杂性、多场性特点,结构非线性,流体动力学和耦合场问题的应用迫在眉睫,如汽轮机叶片、风机桨叶的流体动力学问题、流固耦合问题,重型装备产品热加工过程的热、结构、电磁多场耦合的问题。随着有限元技术的深层次应用,需要解决的工程问题也越来越复杂,耦合场的计算求解必定成为有限元软件开发的发展方向。（2）由求解线性问题发展到求解非线性问题
随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。(3)与CAD/CAM等软件的集成
有限元分析软件的一个发展趋势是与通用计算机辅助工程软件的集成使用,即数据信息在整个产品设计制造过程中的无缝多向流通,实现新产品开发中三维设计、有限元分析优化、数控加工等过程的快速响应,满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求,提高设计水平和
效率。
(4)提高自动化的网格处理能力
应用有限元技术求解问题过程中,产品几何模型离散后的有限元网格质量直接影响着计算量的大小和分析结果的正确性。各软件公司在网格处理方面的投入也在加大,划分网格的效率和质量都有所提高,但在实际工业生产中,尤其是专业领域复杂产品的分析中还存在问题,如网格划分的自动化、网格质量检查的标准化。要想摆脱装备产品分析中繁重的网格处理任务,就必须突破自动六面体网格功能的技术瓶颈,实现可循环的网格自动优化功能。(5)软件面向专业用户的开放性
有限元软件应用的技术领域多,用户需求各不相同,因此开放的软件环境对用户而言至
关重要,用户可根据企业产品的特点对软件进行二次开发,实现单元属性、材料参数、复杂边界、疲劳寿命规律的自定义和产品专家系统的自开发。(6)软件开发强强联合根据有限元软件在装备行业的应用情况,有限元软件之间的强强联合必将更加有效推进有限元技术的应用,随着数值模拟软件的商业化和软件公司开发方向的专业化,各数值模拟
软件公司将会出现强强联合的局面,以解决复杂装备产品的设计制造难题。
第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????
基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论 材料在外形急剧变化的部位，局部应力可以超出名义应力的数倍，对于脆性材料局部过早开始破坏，从而，削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。因此在工程實际中，为了确保构件的安全使用，必须科学合理的分析计算应力集中现象，以便找寻到更好的避免措施。本文首先基于弹性力学理论分析带孔无限宽板的应力分布情况，将对象的受力转化成数学表达，结论应证了应力集中的几个特性。 标签：应力集中系数；有限元分析；无限宽板；弹性力学；Inventor运用；ANSYS 1、应力集中 1.1弹性力学中概念，指物体形状、材料性质不均匀导致的局部应力急剧增高的现象。 1.2应力集中系数 最大局部应力与名义应力的比值称为理论应力集中系数ɑ。可以明确地反应应力集中的程度。 最大局部应力σmax可根据弹性力学理论、有限元法计算得到，也可由实验方法测得；名义应力σn是假设构件的应力集中因素（如孔、缺口、沟槽等）不存在，构件截面上的应力。 2、孔周应力在理想状态下的弹性力学理论分析 2.1定义受单向均匀拉伸荷载的无限宽平板，孔径2α圆孔，建立如图一理想模型。 由于结构的对称性，仅分析图一上半段1/4部分x轴正向的状态： 1）圆孔右顶点单元，即当θ=0，r=α时，代入式（2）解算得σy=3σ； 2）距孔0.2倍孔半径外，即当θ=0，r=1.2α时，代入式（2）解算得σy=2.071σ； 3）距孔1倍孔半径外，即当θ=0，r=2α时，代入式（2）解算得σy=1.221σ； 4）距孔1.5倍孔半径外，即当θ=0，r=2.5α时，代入式（2）解算得σy=1.122σ； 5）距孔2倍孔半径外，即当θ=0，r=3α时，代入式（2）解算得σy=1.074σ；
弹性力学与有限元(理论部分)考试题 姓名: （90分钟） 一、填空题（25分） 1．弹性力学的基本任务是：。（1分）2．弹性力学的基本假设是：，， ，，。（2.5分）3．应力分量包括：。（2分）应变分量包括：。（2分）位移分量包括：。（2分）4．平衡微分方程反映的是分量和分量的关系，有个方程。（1.5分）几何方程反映的是分量和分量的关系，有个方程。（1.5分）物理方程反映的是分量和分量的关系，有个方程。（1.5分）5．在对受力体进行有限元分析划分网格时，网格划分较密时，优点是：，缺点是：，反之亦然，因此划分适合的网格密度十分重要。（2分） 6．对于平面问题，三角形单元是最简单、最常用的单元，在平面应力问题中单元形状为，在平面应变问题中单元形状为。（2分） 7．在有限元分析中，有六个常用矩阵：D,B,S,k,K,N,它们分别叫做矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，矩阵和函数。（6分） 8．刚度矩阵的半带宽B与有关，B=2(d+1)。（1分） 二、简答题（33分） 1．弹性力学与材料力学有何异同？（5分） 2．什么叫单元的位移模式？分别写出三节点三角形单元，四节点矩形单元，六节点三角形单元，八节点矩形单元的位移模式。（10分）
y 3．平面应力问题和平面应变问题的特点（应力、应变）各是什么？（6分） 4．圣维南原理？并举例说明如何应用之（5分） 5．轴对称问题的特点是什么？（3分） 6．如何理解等参元法，简述用等参元法进行空间问题有限元分析的过程（4分） 三．如下图为一个受力体，其划分的单元和节点编号如图1所示，求出半带宽，写出其整体刚度矩阵。（10分） 图1 受力体单元的划分和编号图 四．在单元e 中，三角形单元三个节点分别为i 、j 、m ，，请把图2和图3的力简化到各节点上。（12分） 图2 单元受力图 图3单元受力图 y
弹性力学及有限元法学习总结 摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外 部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象： 材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法： 在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设： 1）连续性，假定物体是连续的。连续性因此，各物理量可用连续函数表示。 2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不 计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所 引起的。 有限元法的基本思想： 有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组
《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1．对弹性体所做的基本假设? 答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答：微元体的平衡微分方程的表达式为： 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上，由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程： 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。 4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别? 答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性
弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成： （一）前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括： 1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 （二）分析计算模块 该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 （三）后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析；（2）
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
弹性力学及有限元试题 (一) 问答题（20分） 1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要 求具体说明或表达）。 3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？ 4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条 件？ (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 （三）已知，其他应力分量为零，求位移场。（10分） （四）设有矩形截面的悬臂粱，在 自由端受有集中荷载F；体力可以不
计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。 （五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。 提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解（15分）。
（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。 （八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。（10分） 要求：单元刚度矩阵元素用e k形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示，其中e为单元号。
最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、 填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其部将发生力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切 应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应 力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。
《弹性力学及有限元》教学大纲 大纲说明 课程代码：5125004 总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时） 总学分：2.5学分 课程类别：必修 适用专业：土木工程专业（本科） 预修要求：高等数学、理论力学、材料力学 课程的性质、目的、任务： 本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求： 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明： 本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程. 大纲正文 第一章绪论学时：6学时（讲课6学时） 本章讲授要点：了解弹性力学的研究内容，理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念，熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定，理解弹性力学的基本假定；了解有限单元法的发展，掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念；了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。 重点：弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念；泛函、变分、驻值等基本概念；加权残值、里兹与伽辽金等方法。 难点：应力、应变；泛函、变分、驻值；加权残值法、里兹法与伽辽金法。 第一节弹性力学的内容 第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 第四节有限单元法的发展简介 第五节变分原理.泛函.变分.驻值 第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法
弹性力学与有限元分析试题及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ????? ??=??+??=??+??0 0x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()() ???? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，22 23xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ???? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ?? ?=--=--+-0 230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230 333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ， 50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应 力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ， =1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ， 0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ， =1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量， 2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ， 400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别 建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ?? ? ? ???=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02 222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力 边界条件()()()() ?? ?? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，222 3xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ?? ? ? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ? ? ?=--=--+-0230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
《弹性力学及有限元》课程大纲课程代码EM316 课程名称中文名：弹性力学及有限元 英文名：Elasticity and Finite Element Method 课程类别专业基础课修读类别必修 学分 2 学时32 开课学期第5学期 开课单位船舶海洋与建筑工程学院土木工程系 适用专业土木工程专业 先修课程《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》、《结构力学》 教材及主要参考书教材： 徐芝纶. 弹性力学简明教程（第四版），北京：高等教育出版社，2013年6月。ISBN: 9787040373875 参考书： 1. 王润富.弹性力学简明教程学习指导. 北京：高等教育出版社， 2004. ISBN: 7040130815 2. 吴家龙. 弹性力学(新一版). 北京：高等教育出版社，2001. ISBN: 7560812457. 3. S.Timoshenko ＆J. N. Goodier. Theory of Elasticity.(Third edition) McGraw-hill Book Co.,1970. ISBN-13: 978-0070647206 4. 丁科，陈月顺. 有限单元法. 北京大学出版社，2006. ISBN: 9787301104354 一课程简介 弹性力学及有限元是土木工程专业必修的一门专业基础课。课程主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上，进一步掌握弹性力学与有限元的基本概念、基本原理和基本方法，提高分析与计算的能力。使学生掌握有限单元法及其工程适用性，为学生从事与土木工程相关的专业技术工作、科学研究工作等打下坚实的基础。 二本课程所支撑的毕业要求 本课程支撑的毕业要求及比重如下： 序号毕业要求指标点毕业要求指标点具体内容支撑比重 1 毕业要求1.3 具有必备的土木工程专业基础知识及 在复杂土木工程问题中应用能力 65% 2 毕业要求5.2 具有至少应用一种土木工程方面的大 型分析软件能力，并了解工程适用性。 35%
材料力学、弹性力学、有限元法的异同 力学是研究力对物体的效应的一门学科。力对物体的效应有两种：一种是引起物体运动状态的变化，称为外效应；另一种是引起物体的变形，称为内效应。材料力学研究力的内效应，即物体的变形和破坏的规律。材料力学主要研究物体受力后发生的变形、由于变形而产生的内力以及物体由此而产生的失效和控制失效的准则。工程中各种结构或机械都是由许多杆件或零部件组成。这些杆件或零部件统称为构件。工程上构件的几何形状是各种各样的，可分为杆件、板(或壳)、实体。材料力学主要的研究对象是杆状构件。材料力学的任务，就是在分析构件内力和变形的基础上，给出合理的构件计算准则，满足既安全又经济的工程设计要求，并为后续课程如机械设计、结构力学、弹性力学和复合材料力学等提供必要的理论基础。 弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支学科。它是研究可变形固体在外部因素(力、温度变化、约束变动等)作用下所产生的应力、应变和位移的经典科学。确定弹性体的各质点应力、应变、和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。弹性力学具体的研究对象主要为梁、柱、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受力体。 弹性力学的研究内容和目的的任务原则上与材料力学相同，但其学科所研究的对象不同，研究方法也不完全相同。 （1）在材料力学课程中，基本上只研究杆状构件（直杆、小曲率杆），也就是长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内容。弹性力学解决问题的范围比材料力学要大得多。如孔边应力集中、深梁的应力分析等问题用材料力学的理论是无法求解的，而弹性力学则可以解决这类问题。如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，则必须以弹性力学为基础，才能进行研究。如果要对于杆状构件进行深入的、较精确的分析，也必须用到弹性力学的知识。同时弹性力学又为进一步研究板、壳等空间结构的强度、振动、稳定性等力学问题提供理论依据，它还是进一步学习塑性力学、断裂力学等其他力学课程的基础
弹性力学同有限元分析的关系 弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力。 研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 弹性力学同材料力学的比较 1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。 3、研究的方法： 相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究； 不同点：材料力学：
对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。 弹性力学： 对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。 从几何形状复杂程度来考虑可以分为： 1）简单形状变形体—材料力学 2）任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。
3 弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容： 3.1弹性力学平面问题的基本方程 3.2单元位移函数 3.3单元载荷移置 3.4单元刚度矩阵 3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 3.6整体分析 3.7约束条件的处理 3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 3.9方程组解法 3.1弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下： 1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。 3.1.1基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。 体力 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。 面力 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 应力 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。 图3.1
如图3.1假想用通过物体内任意一点p 的一个截面mn 将物理分为Ⅰ、Ⅱ两部分。将部分Ⅱ撇开，根据力的平衡原则，部分Ⅱ将在截面mn 上作用一定的内力。在mn 截面上取包含p 点的微小面积A ?，作用于A ?面积上的内力为Q ?。 令A ?无限减小而趋于p 点时，Q ?的极限S 就是物体在p 点的应力。 S A Q A =??→?0lim 应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。 显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。 图3.2 将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示p 点的应力状态。应力分量的下标约定如下： 第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。 xy τ，第一个下标x 表示剪应力作用在垂直于X 轴的面上，第二个下标y 表示剪应力指 向Y 轴方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。x σ表示正应力作用于垂直于X 轴的面上，指向X 轴方向。 应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。 剪应力互等：xz zx zy yz yx xy ττττττ===,, 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ
1、简述有限单元法常分析的问题。 答：有限单元法是一种用于连续场分析的数值模拟技术，他不仅可以对机械、建筑结构的位移场和应力场进行分析，还可以对电磁学中的电磁场、传热学中的温度场、流体力学中的流体场进行分析。 2、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。 答：1位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元部是连续的） 2所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解 3、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 答：对称矩阵奇异矩阵稀疏矩阵具有相对独立性4、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。 答：1．单元刚度矩阵是对阵矩阵 2．单元刚度矩阵的主对角线元素恒为正值 3．单元刚度矩阵是奇异矩阵 4．单元刚度矩阵仅与本身有关 5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 答：必须假定一个函数，所假定的位移函数必须满足两个条件：其一，它在单元节点上的值应等于节点位移；其二，由该函数出发得到的有限元解收敛于真实解。 6、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？
答：1、完备性条件：要求单元的位移函数必须能够满足刚性位移和常量应变状态 2、协调性条件：要求单元的位移函数在单元部必须是连续函数，且必须保证相邻单元间位移协调 9、用有限元法分析实际工程问题有哪些基本步骤？需要注意什么问题？ 1）建立实际工程问题的计算模型 2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面 1）前处理（Preprocessing） 2）求解（Solution） 3）后处理（Postprocessing 10、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？ 答：根据静力学、几何学和物理学三方面条件，分别推导出平衡方程、几何方程和物理方程；三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。 11、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有σx，σy，τxy。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且
2012年某高校度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 （内部资料） 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为