研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号：201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空 间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲
率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1、K2，那么平均曲率则为：H= (K1 +K 2 ) / 2。 K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称
空间曲线的主法线曲面的几何性质 目录 第一章绪论 (1) 第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1) 2.1 第一基本形式 (1) 2.2 第二基本形式 (2) 2.3 法曲率 (2) 2.4 主曲率 (2) 2.5 高斯曲率 (3) 2.6 平均曲率 (3) 第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3) 3.1 渐近线 (3) 3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3) 3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4) 3.2 曲率线 (5) 3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5) 3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5) 3.3 测地线 (6) 3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6) 3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7) 3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7) 第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8) 4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8) 4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8) 第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9) 5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9) 5.2正螺面的几何性质 (10) 致谢： (11) 参考文献： (12)
附录：.......................................................................................... 错误！未定义书签。
§ 3 平面曲线的弧长与曲率 一、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来 求. 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用内接折线总长的极限定义弧长 . 定义1 可求长曲线 设平面曲线C 由参数方程() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤）给出，设01{,, ,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分 [0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =， 111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，n M 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为 11 1 n n n i i i i S M M -====∑ 曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→时的极限： 10 1 1 lim lim n n i i p p i i S M M -→→====∑ 如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。 定义2 设曲线C ：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上连续可微，且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上不同时为0（曲线C 在[,αβ]无自交点），则曲线C 称为光滑曲线. 2、弧长公式 定理10.1设曲线C 为如上的光滑曲线，则曲线C 是可求长的，且弧长S 为： S β β α α ==? ? 注：利用微元法推导公式 注：其它形式的弧长公式 （1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为： a S =? （2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是
所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。 现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。 我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出 R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷ R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷ L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷ R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。 现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率 一、平面曲线的弧长 设平面曲线C=⌒AB . 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =n i 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n 1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0 T lim →s T =s ， 则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长. 定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线. 定理10.1：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=?'+'β α22(t)y (t)x dt. 证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1. 于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1 目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。 第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一 曲率和挠率对空间曲线形状的影响 摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究．给出了常曲率和挠率的空间曲线特性. 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状 我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解. 一 曲率的概念和几何意义 1曲率的概念 我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。 图1-1 图1-2 要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q 间切向量关于弧长的平均旋转角。 设空间中c 3 类曲线（c ）的方程为 ()s γγ= 曲线（C ）上一点P ，其自然参数为S,另一 邻近点p 1 ，其自然参数为s s ?+。 在p, p 1 两点各作曲线（c ）的单位切向量()s α和()s s ?+α。两个切向量间的夹 角是??（图1-3），也就是把点p 1 的切向量()s s ?+α平移到点P 后，两个向量() s α和()s s ?+α的夹角为??。 图1-3 定义 空间曲线（C ）在P 点的 曲率为 ()s s s ??=→?? κ0lim ， 其中s ?为P 点及其邻近点p 1 间的弧长， ??为曲线在点P 和p 1 的的切向量 的夹角。 2曲率的几何意义 利用“一个单位变向量()t γ（即()t γ1=）的微商的模)(' t γ的几何意义是()t γ对于t 的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C ）的切向量α上去，则有 ()? =ακs 。 由于? α=? ?γ，所以曲率也可表示为 §2-8 曲线的曲率 在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义. 直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图2-38，弧 AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏差θ?. 可是，弧 CD 的全曲率与弧 AB 的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为s ?的弧的全曲率θ?同弧长s ?的比值/s θ??，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限 s s s K s d d lim lim 0A B A θ θθ=??=??=→?→ 定义为弧 AB 在点A 处的曲率 (其中θ?为弧 AB 的全曲率, s ?为弧 AB 的长度). 对于半径为R 的圆周来说(图2-39)，由于θ?=?R s ，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 R s s K s 1 d d lim 0==??=→?θθ 对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率0A K ≠时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点A 相切(即有公切线)且半径1/A A R K =.这样 的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点A 处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆. 请读者注意，因为曲率有可能是负数．．．．．．．．．．，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号．．．．．．．．．．．．．．．．．，所以曲率半．．．．．径也有可．．．．能是负数．．．．.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率. 对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图2-41)，由于 图2-39 图2-40 空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1. 空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是 (),r r s = 其中s 是自然参数，得 dr ds r == α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量. 由于1=α，则 ⊥αα ， 即 r r ⊥ . 在α 上取单位向量 = = αr βα r ， (1) β称为曲线()c 上p 点的主法向量. 再作单位向量 =?γαβ， γ称为曲线()c 上p 点的副法向量. 我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率 我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念. 要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角. 设空间中3c 类曲线()c 的方程为 ().r r s = 曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +?.在p 、 1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +?α.两个切向量的夹角是??，也 就是把点1p 的切向量()s s +?α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +?α的夹角为??. 我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率. 定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为 ()lim s k s s ? ?→?=?， 其中s ?为p 点及其邻近点1p 间的弧长，??为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意 第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) uu r r r L n r =?= ， (,,)uv r r r M n r =?= ， (,,) vv r r r N n r =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 222 1 [(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = -- ， 利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-??? ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。） . 研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号： 201520973 西北大学研究生处制 曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量 和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2， 1.4 空间曲线的曲率定义及 计算公式 引理 设)(s a → 是单位圆周上的向量，即1||)(||=→ s a ， 设)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记 为θ?，则有 ||lim ||)(||0s s a s ??='→? → θ 。 证明 因为 s s a s s a s a s ?-?+='→ → →?→ ) ()(lim )(0， 所以| ||| )()(||lim ||)(||0s s a s s a s a s ?-?+='→ →→?→ |||2 2sin 2|lim |2sin 2|lim 00s s s s ?????=??=→?→?θθθ θ | |lim 0s s ??=→?θ 。 （用解等腰三角形或用余弦定理，得 θ ????-+=-?+→ → cos 11211||)()(||22s a s s a |2 sin |2)2sin 21(222 θ θ?=?--=。） 定理1.2 设曲线Γ：)(s r r → →=（s 是弧长参数）上的每一点有一个单位向量)(s a →，)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记为θ?，那么 || lim ||)(||0 s s a s ??='→?→ θ 。 设曲线Γ：)(s r r → → =，这里参数s 是曲线自身的弧长，我们知道，)(s r '是曲线的切向量， 1||)(||='→ s r ，即)(s r → '是单位向量。 记)(s r T →→'=，)()(s r s T → →''='， )(s T → 与)(s s T ?+→ 的夹角 θ?， ||lim 0s s ??→?θ度量了曲线的弯曲程度。 || lim ||)(||||)(||0 s s r s T s ??=''='→?→ →θ ，我们称之为曲线)(s r → 的 曲率，用)(s k 来表 利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠 率 利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率 殷璞 (西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070) 摘要空间曲线由一般方程由 ?Skip Record If...? 给出时，本文给出了计算曲线曲率和挠率的公式. 关键词曲率挠率曲线的一般方程 Determine the Curvature and Torsion of a Space Curve by the General Equation Yin Pu (College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou730070,Gansu) Abstract : In this paper, give the general equation of a space curve ?Skip Record If...?, we calculate the formulas of the curvature and torsion. Key words: curvature; torsion; the general equation of a space curve 曲线的曲率描述的是曲线的切向量对于弧长的旋转速度,即曲线的弯曲程度;曲线的挠率其绝对值描述的是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度,即曲线的扭曲程度.计算曲线的曲率和挠率一般是利用曲线的自然(弧长)参数方程进行推导的,所以曲线的方程由一般方程给出时,首先要改写成参数方程,然后再计算曲线的曲率和挠率.但是有些方程不容易改写成自然参数方程,本文就从曲线的一般方程出发直接推导计算曲线的曲率和挠率的公式. 下面,设曲线?Skip Record If...?是两光滑曲面?Skip Record If...?的交线,且 ?Skip Record If...? 是满秩的. 一、计算曲线的曲率 平面曲线的曲率 平面曲线的曲率 一、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述: 设曲线C 是光滑的, 在曲线C 上选定一点M 0作为度量弧s 的基点. 设曲线上点M 对应于弧s , 在点M 处切线的倾角为α , 曲线上另外一点N 对应于弧s +?s , 在点N 处切线的倾角为α+?α . 度. 记K =?α, 称K 为弧段MN 的平均曲率. ?s |?α|我们用比值|?s |?, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN 的平均弯曲程 记K =lim ?α, 称K 为曲线C 在点M 处的曲率. ?s →0?s 在lim ?α=d α存在的条件下, K =d α. ?s →0?s ds ds 曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是y =f (x ) , 且f (x ) 具有二阶导数（这时f '(x ) 连续, 从而曲线是光滑的）. 因为tan α=y ' , 所以 sec 2α d α=y ''dx , y ''y ''y ''dx =dx =dx sec 2α1+tan 2α1+y '2 d α=. 又知ds =+y '2dx , 从而得曲率的计算公式 K =|y ''|d α=ds (1+y '2) 3. 例1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 例2. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 讨论: 1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 提示: 设直线方程为y =ax +b , 则y '=a , y ''= 0. 于是K =0. 2. 若曲线的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) 给, 那么曲率如何计算提示: K =|?'(t ) ψ''(t ) -?''(t ) ψ'(t ) | [?'2(t ) +ψ'2(t )]3/2. 3. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 提示: 圆的参数方程为x =R cos t , y =R sin t . 例1. 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率. 解: 由y = y '=-1, 得 x 21y ''=, . x 2x 3 知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法 在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ?欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一. 1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ?达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）. 大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +?之间夹角 α?关于弧长s ?的变化率|| lim 0 s s ??→?α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）. 2 该知识点讲解方法 2.1讲解方法一： 曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义. 2.1.1曲率圆 1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L, 这样就可以用圆周运动的知识来分析 最小曲率法测斜计算中的数值方法* 鲁 港1 商维斌1 张 琼1 佟长海2 (1辽河油田公司勘探开发研究院 辽宁盘锦124010 2辽河石油勘探局工程技术研究院 辽宁盘锦124010) 摘 要 最小曲率法是测斜计算、井眼轨道设计中最常用的方法之一,在井眼轨迹计算中有广泛的应用。本文研究了最小曲率法计算机数值计算中的几个细节问题,给出了零井斜角测点的方位角定义,阐述了零井斜角测点方位角的二义性。分析了坐标增量计算过程,给出了减小三角函数计算次数的算法。对小弯曲角情形的坐标计算使用高精度近似公式代替容易产生除法溢出的直接计算,提高了计算过程的稳定性和计算精度。对水平投影长度的计算给出了使用Gauss数值积分法的精确计算方法。本文提出的方法可以用于使用最小曲率法时的井眼轨道计算的计算机软件开发,提高计算机软件的计算稳定性和计算精度。对涉及井眼轨迹计算的其他实际问题如定向井中靶分析预测、井眼轨迹控制、井身质量检查等都有一定的参考价值。 关键词 最小曲率法;测斜计算;井眼轨迹;井眼曲率;数值积分 0引 言 实钻井的井眼轨迹计算是钻井轨迹监控中的基本问题,在中靶预测分析、邻井防碰计算、井身质量评价等工作中都有重要的应用。目前测量仪器只能测量多个井深处的井斜角和井斜方位角数据,井眼轨迹计算的任务就是依据一组井深、井斜角、方位角数据计算出各个井深处的井眼轨迹的坐标等参数。从数学上来看,井眼轨迹是一条连续光滑的空间曲线,井斜角和方位角可以看成是井身的切线信息,而井身坐标是位置信息。仅仅知道切线信息是无法唯一确定曲线的位置的,所以必须给定附加的限制条件。在钻井轨迹计算中,常常将井眼轨迹假设为某些简单的空间曲线。 如果井眼轨迹(或井段)假设为空间斜平面上的圆弧,该圆弧在两端点处与井眼方向相切,则对应的坐标计算方法就是最小曲率法[1]。最小曲率法是井眼轨迹计算中最常用的计算方法之一,其基本计算公式在很多专著中都有介绍[2]。但是对实际计算特别是计算机软件开发中的数值计算过程的数值稳定性、计算精度控制、特殊情况的处理等具体计算细节涉及较少。另外,由于以前的计算手段落后,在计算公式中水平投影长度采用近似公式计算,影响计算结果的准确性。 本文对最小曲率法的数值计算中的几个细节问题进行了讨论,提出了提高计算精度、减少计算工作量的处理方法。还对水平投影长度的精确计算提出了使用数值积分计算的新方法。本文的新方法可用以提高计算机软件最小曲率法的计算速度和计算精度,增强计算过程的稳定性。 1最小曲率法基本公式 假设测斜数据共有N个,第i个测点的井深为L i、井斜角为 i、方位角为 i,i=1, ,N。井深单位为m,井斜角和方位角测量时单位为,但是在计算公式中使用弧度单位。 最小曲率法假设在一个测段上,井眼轨迹为空间中的一段圆弧。用(X,Y,Z)表示井眼轨迹上任意一点的北坐标、东坐标和垂直深度,则在第i个测段上,坐标增量由下式计算[2] : 16C omputer A pplic ations of Petroleu m2009,Total63No.3 *项目基金中国石油天然气股份公司油气勘探超前共性科技项目!辽河探区西部凹陷深化勘探理论与实践?(编号07-01C-01-04)的 部分研究成果。 第一作者简介鲁港(1963-),男,高级工程师,1985年毕业于复旦大学数学系,获理学学士学位,2005年毕业于大连理工大学,获软件工程硕士学位,长期从事石油钻探领域数学模型研究和计算机应用软件开发。 竖曲线计算公式 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式 公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ 学校 自由曲面的高斯曲率 计算方法 专业：数学与应用数学 学生姓名： 班级： 完成时间：2020年8月26日 在曲面造型中，曲面在一点附近的形状与在该点曲面的主曲率的乘积即高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率比较可以反映出该点附近的形状变化。故可以用高斯曲率来表达该点的形状信息，对该点附近的形状质量进行评判。但这一方法中如何计算曲面的高斯曲率成为一个难题。 要求出自由曲面上一点的高斯曲率，可以根据以往的定义求解，这种方法需要求曲面的偏导，计算过程比较复杂，而且算法与曲面的表示方法有关，即Bezier 曲面的高斯曲率与NURBS 曲面的高斯曲率是不相同的。因此针对不同的曲面表示形式，需要编制不同的程序来实现。对NURBS 曲面的各阶偏导是各不相同的，也需要各阶编不同的程序来实现。本文提出一种不经过求偏导的方法求曲面点的高斯曲率，这种方法对各种曲面的高斯曲率计算都是统一的，与NURBS 曲面的阶数无关，适用于各种表达方式的曲面。 1、计算原理 如图1所示，设N 表示曲面S 在一点P 上的单位法矢，切S 且经 过N 的平面与曲面相交成一条曲线，同样，不经过N 但经过P 点的 平面与曲面同样也可以相交成一条曲线。 让每一个法平面与一个方向及单位切矢t 对应，即在曲线P 点，一 个法曲面曲率k n 对应一个位置。这个法曲面曲率随着切的平面绕N 的 旋转而变化。k n 存在最大和最小值，即为P 点的主曲率。令21,k k 代表 主曲率，21t t ，代表各自对应的切线方向。设?为任意曲率切线方向t 与1t 的夹角。Leonhard Euler 得出如下关系式： ??2221sin cos k k k n += (1) 令以主曲率对应切线方向21t t ，为坐标系，则任意曲率切线方向t 对应的法曲面曲率在该坐标系的坐标为： 2/12 /1)(sin ,)(cos n n k y k x ??±=±= 由欧拉公式则有： 12221±=+y k x k (2) 这一公式定义了曲面在P 点的杜潘标线。 如果主曲率同号，那么法曲面曲率在任一方向同号，P 点处曲面整体在切平面的一侧，在这种情况下（1），（2）式表示一个椭圆。如果主曲率不同号，P 点是凸出或凹陷点，在这种情况下（1），（2）式表示一个双曲线。 如果以上坐标轴不是主曲率方向对应的切线方向，则有如下的杜潘标线方程： 1222±=++By Cxy Ax （3） 当知道任一点的杜潘标线则知道了主曲率的大小和方向。计算在某一方向的法曲率，代入（ 3）式，然后旋转一个角度，计算杜潘标线。关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法
曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点
曲线的曲率
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
高斯曲率的计算公式汇总
曲面曲率计算方法的比较与分析
空间曲线曲率计算公式及推导
最新利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率
平面曲线的曲率
平面曲线的曲率
最小曲率法测斜计算中的数值方法
竖曲线计算公式
【微分几何】自由曲面的高斯曲率计算方法分析
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