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最新人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

集合与函数概念

§1．1集合

（一）集合的有关概念

⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。

5.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；

6.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”

（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大

的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；

⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A.

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“?”符号填空：

⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ；；

⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。练：5页１题

例2．已知集合P 的元素为2

1,,3m m m --, 若2∈P 且-1?P ，求实数m 的值。练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？

①身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题

⑵给出下面四个关系:3∈R,0.7?Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

⑶下面有四个命题:

①若-a ?Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2

③集合N 中最小元素是1 ④ x 2

+4=4x 的解集可表示为{2,2}

⑶其中正确命题的个数是(

⑷由实数-a , a , a ,a 2, -5a 5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么? ⑸求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件? ⑹若

1+-∈{t},求t 的值.

一、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{

}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2

，3x+2，5y 3

-x ，x 2

+y 2

}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合：

(1) 小于5的正奇数组成的集合；

(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； (3) 从51到100的所有整数的集合； (4) 小于10的所有自然数组成的集合； (5) 方程2

x x =的所有实数根组成的集合； ⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}()

x A p x ∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x|直角三角形}，…；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集

合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x 2

-x-2>0的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合;

(3) 方程2

20x -=的所有实数根组成的集合 (4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练习：5页2题

1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

2．集合A ＝{x|4

x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是。

3.已知集合A ＝{x|-3

+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是

４.判断下列两组集合是否相等？

（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}

二、集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};

2. {x ∈R ∣0

3. {x ∈R ∣x 2

+1=0} 由此可以得到

集合的分类:::()empty set ?????-?

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含有任何元素的集合

三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

典型例题

【题型一】元素与集合的关系

１、设集合A ＝｛１，a ,b ｝,B=｛a ,a ２

,ab ｝,且A=B ，求实数a ，b.

２、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２，a ２

+3a +3｝若1∈A,求实数a 的值。【题型二】元素的特征１、⑴已知集合M=｛x ∈N ∣x

+16

∈Z ｝,求M ⑵已知集合C=｛

+16

∈Z ∣x ∈N ｝,求C 点拔：要注意M 与C 的区别，集合M 中的元素是自然数 x ，满足x

+16

是整数，集合 C 是的元素是整数x

+16

，满足条件是x ∈N 练习：

１.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π?Q ；③0∈N ；④0?φ其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

２.方程组的解组成的集合是( )

A.｛2,1｝

B.｛-1,2｝

C.（2,1）

D.｛（2,1）｝ 3.把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )

A.｛3,2,1｝

B.｛3,2,1,0｝

C.｛-2,-1,0,1,2｝

D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝ 4.下列说法正确的是( )

A.｛0｝是空集

B. ｛x ∈Q ∣

∈Z ｝是有限集 C.｛x ∈Q ∣x 2

+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合二填空题：

５、以实数为元素构成的集合的元素最多有个；

６、以实数a ２

，2-a .,4为元素组成一个集合A ，A 中含有２个元素，则的a 值为 . ７、集合M=｛y ∈Z ∣y=

+38

,x ∈Z ｝,用列举法表示是M ＝。８、已知集合A ＝｛2a,a 2-a ｝，则a 的取值范围是。三、解答题：

９、设A ＝｛x ∣x 2

+(b+2)x+b+1=0,b ∈R ｝求A 的所有元素之和。

10.已知集合A ＝｛a,2b-1,a+2b ｝B=｛x ∣x 3-11x 2

+30x=0｝,若A=B ，求a,b 的值。

集合间的基本关系

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；

（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生；（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形观察可得： ???=-=+13y x y x 表示任意一个集合A 表示{3，9，27}

⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包

含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ??或读作：A 包含于B ，或B 包含A

当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ?

用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。

⒊真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：φ 用适当的符号填空：

φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}

5.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。练习：填空：

⑴2 N ； {2} N ； φ A;

⑵已知集合A ＝{x|x 2

－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则

A B ； A C ； {2} C ； 2 C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

（二）例题讲解：

【题型１】集合的子集问题

１、写出集合｛a,b,c ｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。２、已知集合M 满足｛2,3｝?M ?｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M

３、已知集合A ＝｛x |x 2-2x-3=0｝,B=｛x |ax=1｝若B A ，则实数a 的值构成的集合是（）

A.｛-1,0,

31｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,31｝ D.｛3

,0｝ 4.设集合A=｛２，８，a ｝B=｛2,a 2-3a+4｝且B A ，求a 的值。

5.已知集合{}{}

25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?，

求实数m 的取值范围。（3m ≥）

练习：

1、判断下列集合的关系.

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; (5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2-3y+2=0}; (6) A={1,3}，B={x|x 2-3x+2=0};

(7) A={-1,1}，B={x|x 2-1=0}; （8）A={x|x 是两条边相等的三角形}，B={x|x 是等腰三角形}。 2、设A={0，1}，B={x|x ?A}，问A 与B 什么关系？ 3、判断下列说法是否正确？表示：A B ?

（1）N ?Z ?Q ?R ；（2）φ?A ?A ；（3）{圆内接梯形}?{等腰梯形}；（4）N ∈Z ；（5）φ∈{φ}；（6）φ?{φ}

4.有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。解答题：

1.已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ?，求实数a 的取值范围。

2.已知三个元素集合A ＝｛x,xy,x-y ｝,B=｛0,∣x ∣,y ｝且A=B ，求x 与y 的值。

1.1.3 集合间的基本运算（共1课时）

考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},

1,2,3,4,5,6B C ==；（2）{}A x x =是有理数，{}{},

B x x

C x x ==是无理数是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B

的并集，即A 与B 的所有部分，

记作A ∪B ，

A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。 Venn 图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A A ∪B ＝A ? , A ∪B ＝B ? . 巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝。

2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），

记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}

Venn 图表示：

常见的五种交集的情况：

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

集合没有交集

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩φ＝ A ∩

B B ∩A

A ∩

B ＝A ? A ∩B ＝B ? 巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝。 3.一些特殊结论（阴影部分即为A 与B 的交集）

⑴若A B ?,则A ∩B=A ； ⑵若B A ?,则A ?B=A ； ⑶若A ，B 两集合中，B=φ，,则A ∩φ=φ, A ?φ=A 。

【题型一】并集与交集的运算

【例1】设A={x|-1

解：A ∪B={x|-1

【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B 。解：在数轴上作出A 、B 对应部分如图

A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2

【例3】已知集合A ＝｛y |y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y |y=-x 2+2x +13,x ∈R ｝求A ∩B 、A ∪B 【题型二】并集、交集的应用

例：设集合A ＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a 2+2a,a 2+2a-1}，当A ∩B={２，３}时，求A ∪B 解：∵∣a+1∣＝2 ∴a ＝1或-3

当a ＝1时，集合B 的元素a 2+2a ＝3，2a+1＝3，由集合的元素应具有互异性的要求可知a ≠1. 当a ＝-3时，集合B={-5，２，３} ∴A ∪B={-5，２，３，5}

练：.已知｛3,4，m 2-3m-1｝∩{２m ，-３}=｛-3｝,则m ＝。

练习：

１.设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，则A ∩B ＝。 {x|x 是等腰直角三角形}。

２设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A ∪B ＝。

３设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，则A ∪B ＝。 4.已知集合M ＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M ∩N 等于。４设A ＝｛不大于20的质数｝，B ＝{x|x ＝2n+1,n ∈N*}，用列举法写出集合A ∩B ＝。 6.已知集合M ＝{x|y=x 2-1},N={y|y=x 2-1},那么M ∩N 等于（） A.φ B.N C.M D.R

7、若集合A ＝｛1，3，x ｝,B=｛1,x 2｝,A ∪B ＝｛1，3，x ｝,则满足条件的实数x 的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.满足条件M ∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M 的个数是。

9.已知集合A ＝｛x|-1≤x ≤2｝,B=｛x|2a ＜x ＜a+3｝,且满足A ∩B ＝φ，则实数a 的聚取值啊范围是。

集合的基本运算㈡

思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？

集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。（一）. 全集、补集概念及性质：

⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集, 记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{}

,U C A x x U x A =∈?且 Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的限制

讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析

,,(

)U U U

A C A A C A U C C A A

?=?

?== ,

U U C U C U =??=

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；

②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝。【题型1】求补集

【例1】．设全集{}

{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，求U C A ，U C B ．

【例2】设全集{}{}{}

4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ， A B ?，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。

（结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?）【例3】设全集U 为R ，{

}

{}

2120,

50A x x px B x x x q =++==-+=，若

{}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，求A B ?。（答案：{}2,3,4）

【例4】设全集U ＝｛x|-1≤x ≤3｝,A=｛x|-1＜x ＜3｝,B=｛x|x 2-2x-3=0｝,求U C A ，并且判断U C A 和集合B 的关系。

【题型1】集合的混合运算

已知全集为R ，集合P=｛x|x ＝a 2+4a+1,a ∈R ｝,Q=｛y|y ＝-b 2+2b+3,b ∈R ｝求P ∩Q 和P ∩R Q C 。（III ）课堂练习：

⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A={2} ；

⑵若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C S B={直角三角形或钝角三角形} ； ⑶若S={1，2，4，8}，A=?，则C S A= S ； ⑷若U={1，3，a 2+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a= ；-15±

⑸已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B={1，4}； ⑹设全集U={2，3，m 2+2m-3}，A={|m+1|，2}，C U A={5}，求m 的值；（m= - 4或m=2） ⑺已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x 2-5x+m=0，x ∈U}，求C U A 、m ；（答案：C U A={2，3}，m=4；C U A={1，

4}，m=6）

⑻已知全集U=R,集合A={x|0

⑼已知M={1}，N={1，2}，设A={（x ，y ）|x ∈M ，y ∈N}，B={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈M}，求A ∩B ，A

∪B 。[A ∩B={(1,1)},A ∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}]

⑽已知集合M ?{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；

A 3个

B 4个

C 6个 D5个

⑾设集合A={-1,1}, B={x|x 2-2ax+b=0}, 若B φ≠, 且B A ?, 求a, b 的值

1(12){|

}{|}______22

n m A n Z B m Z A B +=∈=∈=集合，，则 5

(13){|42}{|13}{|0}

2______________,_____________;A x x B x x C x x x A B C A B C =-≤≤=-≤≤=≤≥==集合，，或那么

提高内容：

⑴已知X={x|x 2+px+q=0，p 2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且,X A X B X φ?=?=，试求p 、q ；

⑵集合A={x|x 2+px-2=0},B={x|x 2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p 、q ； ⑶A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B

22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。

集合中元素的个数

在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A)表示集合A 中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A ，B ，有：card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}， A∩B={两次运动会都参赛的学生},A ∪B={所有参赛的学生} 因此card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17.

答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.

１.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则这个班的学生总人数是

A. 70

B. 55

C. 50

D. 无法确定

２. 给出下列命题：给出下列命题：

① 若card(A)=card(B)，则A=B ； ② 若card(A)=card(B)，则card(A∩B)=c ard(A ∪B) , ③ 若A∩B=Φ 则card(A ∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A=Φ ，则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A ?B ，则card(A∩B)=card(A) ，其中正确的命题的序号是③④

高一数学必修1 集合练习题1

一．选择题

1．下列说法正确的是

（）

A ．某个村子里的年青人组成一个集合

B ．所有小正数组成的集合

C ．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合

D ．136

1,0.5,,,224这些数组成的集合有五个元素 2．下面有四个命题：

（１）集合Ｎ中最小的数是否；（２）０是自然数；

（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；（４）,a N B N a b ∈∈+则不小于2 其中正确的命题的个数是

（

） A ．１个

Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．４个

3．给出下列关系：（１）

;R =1

;Q （３）3;N +-?

（４）.Q ∈ 其中正确的个数为

（）

Ａ．１个Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．４个

4．给出下列关系：（１）｛０｝是空集；（２）,;a N a N ∈-?若则

（３）集合{

}

210A x R x x =∈-+=

（４）集合6B x Q

N x ??

=∈∈????

其中正确的个数为

（）

Ａ．１个Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．０个

５．下列四个命题：（１）空集没有了集；

（２）空集是任何一个集合的真子集；（３）空集的元素个数为零；

（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的有

（

）Ａ．0个

Ｂ．1个

Ｃ．2个

Ｄ．3个

６．已知集合{}{}

5,1,A x R x B x R x =∈≤=∈>那么A B 等于

（）

Ａ．｛１，２，３，４，５｝Ｂ．｛２，３，４，５｝Ｃ．｛２，３，４｝

Ｄ．{}

15x R x ∈<≤

７．已知全集{}0,1, 2.3,4,I =----集合

{}{}()

0,1,2,0,3,4,I M N M N =--=--=则e（）

Ａ．｛０｝

Ｂ．{}3,4--

Ｃ．{}1,2--

Ｄ．?

二．填空题

８．方程的解集为{

}

2320,x R x x ∈--=用列举法表示为____________.

９．用列举法表示不等式组()27211,325312

x x x x x -?

+->-???-?-≤-??的整数解集合为____________. 10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________. 11．已知全集Ｕ＝Ｎ，集合{}

5A x R x =∈>，则A U e用列举法表示为_____________.

三．解答题

12．已知{

}

{}

230,2560,.A x x x B x x x A

B =--==-+=求

13．已知{

}{

}

46,,218,A y y x x y N B y y x x y N A B ==-+∈==--+∈,求．

14．若集合{}{}{}21,3,,,1,1,3,,A x B x A

B x ===且则满足于条件的实数x 的个数有（）

Ａ．１个

Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．４个

15．设集合{}{

}

23,0,1,1,A B t t A B A =-=-+=若，则实数t =______________．

已知全集{}{}

5,42,13,0,

2U R A

x x B x x P x x x ?

==-≤<=-<≤=≤≥????

或那么()_______,________A B A B

P ==U

e．

17. {

}{

}

{}2

0,20,1,.A x x px q B x x px q A B A

B =++==--==-且求

18．设{}{}

1,,A x x B x x a =>=>?且A B,求a 的取值范围．

19{}

,a R b R ++∈∈连接起来．

20．已知集合

{}{}{}

222430,10,10,

A x x x

B x x ax a

C x x mx =-+==-+-==-+=

,,,A B A A C C a m ==且求的值或取值范围．

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、

集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

¤知识要点：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.

3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈，

2N -?.

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

数学基础知识大全

数学基础知识大全常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率

小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高）三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高）面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高

人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论；二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函

第一章集合与函数概念(教师用书)

第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．

对点讲练集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数答案 D

高一数学必修1基础试题附答案

高一数学必修1基础试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.11 2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则 A.A B B.B A C.A =B D.A ∩B =? 3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2 ＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ＝{x |31 C.00，则a 的取值范围是 A.(0，12 ) B.(0，?? ?21 C.( 1 2 ，+∞) D.(0，+∞) 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式x 2 ＋ax ＋a －2>0的解集为R ，则a 可取值的集合为__________.