《数字信号处理》辅导 一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号 （1）基本概念 信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页） 1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=?=?≠? 2）单位阶跃序列 1,0 ()0,0n u n n ≥?=?≤? 3）矩形序列 1,01 ()0,0,N n N R n n n N ≤≤-?=?<≥? 4）实指数序列 ()n a u n 5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列 1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页） 2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓 设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即 ()()i x n x n iL ∞ =-∞ = -∑ 当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠ （4）序列的分解 序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即
绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。 0.1信号、系统与信号处理 1.信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号 能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号 按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2.系统 系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3.信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。 0.2 数字信号处理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且
也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。 （1）前置滤波器 将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。 0.3 数字信号处理的特点 （1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4 数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。 0.5 课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型? 2．相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点? 3．数字信号处理系统的基本组成有哪些？
低通滤波：又叫一阶惯性滤波，或一阶低通滤波。是使用软件编程实现普通硬件RC 低通滤波器的功能。 适用范围：单个信号，有高频干扰信号。 一阶低通滤波的算法公式为： Y(n)X(n)(1)Y(n 1)αα=+-- 式中： α是滤波系数；X(n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果1： 红色线是滤波前数据（matlab 中生成的正弦波加高斯白噪声信号） 黄色线是滤波后结果。 滤波效果2：
matlab中函数，相当于一阶滤波，蓝色是原始数据（GPS采集到的x（北）方向数据，单位m），红色是滤波结果。 一阶滤波算法的不足： 一阶滤波无法完美地兼顾灵敏度和平稳度。有时，我们只能寻找一个平衡，在可接受的灵敏度范围内取得尽可能好的平稳度。
互补滤波：适用于两种传感器进行融合的场合。必须是一种传感器高频特性好（动态响应好但有累积误差，比如陀螺仪。），另一传感器低频特性好（动态响应差但是没有累积误差，比如加速度计）。他们在频域上互补，所以进行互补滤波融合可以提高测量精度和系统动态性能。 应用：陀螺仪数据和加速度计数据的融合。 互补滤波的算法公式为： 1122Y(n)X (n)(X (n)Y(n 1))αα+=+-- 式中：1α和2α是滤波系数；1X (n)和2X (n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤 波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果 （测试数据）： 蓝色是陀螺仪 信号，红色是加 速度计信号，黄 色是滤波后的 角度。
. 互补滤波实际效果： .
卡尔曼滤波：卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测。 首先，用于测量的系统必须是线性的。 (k)(k 1)(k)(k)X AX BU w =-++ (k)(k)(k)Z HX v =+ (k)X 是系统k 时刻的状态，(k)U 是系统k 时刻的控制量。(k)Z 是系统k 时 刻的测量值。A 和B 为系统参数，(k)w 和(k)v 分别表示过程和测量的噪声，H 是测量系统参数。 在进行卡尔曼滤波时： 首先进行先验预测： (k 1|k)(k |k)(k)(k)X AX BU w +=++ 计算先验预测方差： '(k 1|k)(k |k)(k)P AP A Q +=+ 计算增益矩阵： (k 1)(k 1|k)'/((k 1|k)'(k 1))Kg P H HP H R +=++++ 后验估计值： (k 1|k 1)(k 1|k)(k 1)(Z(k 1)(k 1|k))X X Kg HX ++=++++-+ 后验预测方差： (k 1|k 1)(1(k 1))(k 1|k)P Kg H P ++=-++ 其中，(k)Q 是系统过程激励噪声协方差，(k)R 是测量噪声协方差。 举例说明： （下文中加粗的是专有名词，需要理解） 预测小车的位置和速度的例子（博客+自己理解）:
《信号处理技术及应用》复习要点总结 题型：10个简答题，无分析题。前5个为必做题，后面出7个题，选做5个，每个题10分。 要点： 第一章：几种变换的特点，正交分解，内积，基函数； 第二章：信号采样中的窗函数与泄露，时频分辨率，相关分析及应用（能举个例子最好） 第三章：傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）的思想及公式，FFT校正算法、功率谱密度函数的定义，频谱细化分析，倒频谱、解调分析、时间序列的基本原理（可能考其中两个）第四章：一阶和二阶循环统计量的定义和计算过程，怎么应用？ 第五章：多分辨分析，正交小波基的构造，小波包的基本概念 第六章：三种小波各自的优点，奇异点怎么选取 第七章：二代小波提出的背景及其优点，预测器和更新器系数计算方法，二代小波的分解和重构，定量识别的步骤 第八章：EMD基本概念（瞬时频率和基本模式分量）、基本原理，HHT的基本原理和算法。看8.3小节。 信号的时域分析 信号的预处理 传感器获取的信号往往比较微弱，并伴随着各种噪声。 不同类型的传感器，其输出信号的形式也不尽相同。 为了抑制信号中的噪声，提高检测信号的信噪比，便于信息提取，须对传感器检测到的信号进行预处理。 所谓信号预处理，是指在对信号进行变换、提取、识别或评估之前，对检测信号进行的转换、滤波、放大等处理。 常用的信号预处理方法 信号类型转换 信号放大 信号滤波 去除均值 去除趋势项 理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。 经典滤波器 定义：当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得以保留 现代滤波器 当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能 现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，用估计值去逼近有用信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除 将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样，它包含了离散和量化两个主要步骤 采样定理：为避免混叠，采样频率ωs必须不小于信号中最高频率ωmax的两倍,一般选取采样频率ωs为处理信号中最高频率的2.5～4倍 量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程。量化结果以一定位数的数字近似表示信号在采样点的取值。 信号采样过程须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。 从理论上看，截断过程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数 数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率 数字信号的时间分辨率即采样间隔ρt，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度 数字信号的频率分辨率为ρω=2π/T
1.3 时频分布及其性质 1.3.1 单分量信号与多分量信号 从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ?=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱， 图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征 则其瞬时频率定义如下： )]([arg 21)(t z dt d t f i π= （1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dt d f g πτ= （1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时 频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。 图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征
1.3.2 时－频分布定义 Fourier 变换的另一种形式 ?∞ ∞ --=dt e t s f S ft j π2)()( ?∞ ∞ -=df e f S t s tf j π2)()( Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现 在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为 ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j ) (2*),()2 1()21(),(-+-∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ --+=?? ? （1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为 ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞ ∞ -∞ ∞ -? ? = （1.3.2） 式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2 ()2(),(*τ τ τ-+ =t z t z t k z 关于时间t 作 Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即 dt e t z t z v A tv j z πτ ττ2*)2 ()2(),(-+=?∞ ∞- （1.3.3） 因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类 时－频分布又称为广义双线性时－频分布。 两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为： ???∞ ∞-∞ ∞--+-∞ ∞ --+= ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy ) (2*),()2 1()21(),( ? ? ∞ ∞-∞ ∞ -+-=dv d e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),( （1.3.4） 式中 du e u y u x v A vu j xy πτ ττ2*)2 ()2(),(?∞ ∞--+= （1.3.5） 是)(t x 和)(t y 的互模函数。
81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。 图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD 例3.3.5 令 ()21 4 2 t x t e ααπ-??= ??? （3.3.5） 可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω （3.3.6） 这是一个二维的高斯函数，，且()Ω,t W x 是恒正的，如图3.3.5所示。 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在()()0,0,=Ωt 处，峰值为2。参数α控制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。α越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD 的等高线为一椭圆。当WVD 由峰值降到1 -e 时，该椭圆的面积π=A 。它反映了时－频平面上的分辨率。 如果令 ()21 42t h t e ααπ-??= ???，()214 2 t x t e ββπ-??= ??? ，则()t x 的谱图 ()?? ????Ω+-+-+=Ω222 1exp 2,βαβααββααβ t t STFT x （3.3.7）
82 图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD 它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到1 -e 时，椭圆面积π2=A 。这一结果说明，WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。 如果令 ()()t j e t t x t x 001Ω-= （3.3.8） 式中()t x 是（3.3.5）式的高斯函数。()t x 1是()t x 的时移加调制，其WVD 是： ()12 2 00,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω （3.3.9） 它将（3.3.6）式的()Ω,t W x 由()()0,0,=Ωt 移至()()00,,Ω=Ωt t 处。其WVD 图形请读者自己画出。 例3.3.6 令 ()2201 4 22j t t j t z t e e e αβαπΩ-??= ??? （3.3.10） 它是由（3.3.5）式的()t x 与
绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念 0.1信号、系统与信号处理 1?信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2?系统 系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3. 信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。 0.2数字信号处理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理, 而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。 精选
PrF ADC DSP DAC PoF （1）前置滤波器 将输入信号X a（t ）中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次X a（t）的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求，在处理器中将信号序列x（n）进行加工处理得到输出信号y（n）。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a（t）。 0.3数字信号处理的特点 （1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术 ----- D igitalSignalProcessing 另一层是狭义的理解，为数字信号处理器----- DigitalSignalProcesso。 0.5课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号 频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessin）信号对象主要是随机信 号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1 ?按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型？
第一章信号 1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体 2.信号的特性：时间特性，频率特性 3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号 若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号 4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的 5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限 6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱 7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析 第二章连续信号的频域分析 1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数 2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位 4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性 5.周期信号由无穷多个余弦分量组成 周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值 相频谱线大小表示谐波分量的相位 6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和 7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号 8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少 9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换； 非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集； 非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号可以用其自身的积分表示 10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号 11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积à傅里叶级数à离散谱 非周期信号：无限区间绝对可积à傅里叶变换à连续谱 12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合 脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, ….. 脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍 周期信号的傅立叶变换也是离散的； 谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同 13.信号的持续时间与信号占有频带成反比 14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转 15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变
1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得 到采样信号?()a x t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式； （3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。 解：（1） 000()()2cos()()j t j t a a j t j t j t X j x t e dt t e dt e e e dt ∞ ∞ -Ω-Ω-∞ -∞ ∞Ω-Ω-Ω-∞ Ω==Ω=+??? 上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成： 00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2） 0?()()()2cos()() ()2cos(),a a n n x t x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞ =-∞ =-∞ =-=Ω-=Ω-∞<<∞ ∑∑ 2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数： （1）最小记录时间min p T （2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N （4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。 解：（1）已知50F Hz ≤ min 11 0.0250p T s F = ≥= （2） max 3 min max 111 0.52210s T ms f f ====? （3） min 30.02400.510p T s N T s -= ==? （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12） min 30.04800.510p T s N T s -===? 3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。 提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。 采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz N f N f s s 10022== 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(N N ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。
2011年的题（大概） P29采样、频率混叠，画图说明 P33列举时域参数（有量纲和无量纲），说明其意义与作用 P37～自相关互相关及作用（举例说明） P51～蝶形算法 P61频谱细化过程，如何复调制 P67Hilbert 变换过程，瞬时频率 循环平稳信号，调频调幅信号边频带的分析 小波双尺度方程 P128下方的图 第六章三种连续小波的原理性质及应用 P157算法图示 P196图7.1.1和图7.1.2 P219EMD 基本流程 P230端点效应的处理 2012年1月9日现代信号处理试题（无敌回忆版） 一、必选题 1.请说明基函数在信号分解与特征提取中的作用。 2.什么是信号的相关分析？试举一例说明其工程应用。 3.什么是倒频谱？倒频谱的量纲单位是什么？如何利用倒频谱实现时域信号解卷积？ 4.解释尺度函数和小波函数的功能，并给出小波分解三层和小波包分解三层的频带划分示意图。 5.试举例说明将任意2种信号处理方法相结合的特征提取技术及其故障诊断工程应用案例。 二、选答题（7选5） 1.请列出你认为重要的小波基函数两种性质，说明理由。 2.解释机械信号在离散化过程中产生的频率混叠现象及其原因？在实践中如何避免发生频率混叠现象？ 3.试说明旋转机械故障诊断中二维全息谱的原理，工频全息谱椭圆较扁说明转子系统存在什么状态现象？ 4.以五点序列为例，给出预测器系数为N=2，更新器系数为2=-N 时的第二代小波分解图。 5.给出经验模式分解（EMD ）的基本过程，并分析出现端点效应的原因与两种减弱或消除端点效应的措施。 6.给出循环平稳信号的定义，并列出机械设备循环平稳信号的特点。 7.根据你的学习体会，谈谈实现故障定量诊断的重要性，并举例说明某一种故障定量诊断方法。
320 第11章 正交小波构造 我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。所谓“正交小波”，指的 是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。 Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。 11.1 正交小波概述 现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。 1.Haar 小波 我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数 )(t φ如图10.1.1(a)所示。重写其定义，即 ??? ??-=011 )(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1) ? ??=01 )(t φ 其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(' 'k k k t k t -=--δψψ，即它们
321 是正交的。同理， )()(),(',,' k k t t k j k j -=δψψ。 很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是 4 /4 /sin )(22 /ωωωωj je -=ψ 2 /2 /sin )(2 /ωωωωj e -=Φ 注意式中ω实际上应为Ω。由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。 上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是： ??????=21,21)(0n h ，??????-=21,2 1 )(1 n h (11.1.5) 它们是最简单的两系数滤波器。 2.Shannon 小波 令 t t t ππφsin )(= (11.1.6) 则 ?? ?=Φ01)(ω 其它π ω≤ (11.1.7) 由于 ?ΦΦ= --ωωωπ φφd k t k t k k )()(21 )(),(',0*,0' )(21')(' k k d e k k j -==? ---δωπ π π ω (11.1.8) 所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。 由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此 ???=Φ-0 1 )(,1ωk 其它πω2≤ (11.1.9) 这样，对0)(W t ∈ψ，有
一、 基本概念填空 1、 统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。 2、 主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题 3、 信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量 和 波形 的确定问题。 4、 在二元假设检验中，如果发送端发送为H 1，而检测为H 0，则成为 漏警 ，发送端发送H 0，而检测为H 1，则称为 虚警 。 5、 若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称为 FIR 滤波器 6、 若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。 7、 在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间 8、 在小波分析中，小波函数应满足 ∫φφ(tt )ddtt =0+∞?∞ 和 ∫|φφ(tt )|ddtt =1+∞ ?∞ 两个数学条件。 9、 在小波的基本概念中，主要存在 F (w )=∫ff (tt )ee ?ii ii ii ddtt +∞?∞和f(t)=12ππ∫FF (ww )ee ii ii ii ddww +∞?∞ 两个基本方程。(这个不确定答案，个人感觉是) 10、 在谱估计中，有 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。 11、 如果系统为一个稳定系统，则在Z 变换中，零极点的分布
应在单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中， 零极点的分布应在左边平面。 二、问题 1、在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条 件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson准 则？ 答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验 概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。 2、在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？ 答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变 量），即E?θθ??=EE(θθ)或等于被估计量的真值（非随机参 量）E?θθ??=θθ，则称θθ?为θ的无偏估计。 渐进无偏估计：若lim NN→∞EE?θθ??=EE(θ ),称θθ?为θ的渐进无偏估计。 3、卡尔曼滤波器的主要特征是什么？ 答：随机过程的状态空间模型，用矩阵表示，可同时估计多参 量，根据观测数据，提出递推算法，便于实时处理。 4、在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法， 对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。 答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的 运算速度、可靠性、算法的收敛速度。
现代信号处理复习题Revised on November 25, 2020
1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采 样，得到采样信号?()a x t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式； （3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。 解：（1）000()()2cos()()j t j t a a j t j t j t X j x t e dt t e dt e e e dt ∞∞-Ω-Ω-∞-∞ ∞ Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+??? 上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2）00?()()()2cos()()()2cos(),a a n n x t x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞ =-=Ω-=Ω-∞<<∞ ∑∑ 2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数： （1）最小记录时间min p T （2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N （4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。 解：（1）已知50F Hz ≤ （2） max 3 min max 1110.52210s T ms f f ====? （3） min 30.02400.510p T s N T s -===? （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12） 3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。问：他的目的能达到吗 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。 提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz N f N f s s 10022== 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(N N ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。 4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用
AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真 钱平 （信号与信息处理 S101904010） 一．引言 现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。 现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 二．AR 模型的构建 假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为 ，现在，我们希望建立AR 模型 的参数和x(n)的自相关函数的关系，也即AR 模型的正则方程(normal equation)。 由 )}()]()({[)}()({)(1 n x m n u k m n x E m n x n x E m p k k x a r ++-+-=+=∑= )()()(1 m k m m r r a r xu x p k k x +--=∑= (1) 由于u(n)是方差为 的白噪声，有 ?? ?=≠=-0 00)}()({2 m m m n x n u E σ （2） 由Z 变换的定义， ，当 时，有h(0)=1。综合（1）及（2）两式， ???????=-≥--=∑∑==0)(1)()(1 2 1 m k m k m m p k x k p k x k x r a r a r σ （3） 在上面的推导中，应用了自相关函数的偶对称性。上式可写成矩阵式：
1 第1章 信号分析基础 1．1 信号的时－频联合分析 我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题——信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。 对一个给定的信号，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它，如)(t x 的函数表达式， 通过傅立叶变换所得到的)(t x 的频谱，即)(Ωj X ，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。 信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。 给定了信号)(t x 的函数表达式，或x 随t 变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处 该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在××Hz 处频率分量的大小”，则可通过傅立叶变换来实现，即 ?∞ ∞ -Ω-=Ωdt e t x j X t j )()( （1.1.1a ） ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= d e j X t x t j )()(21π （1.1.1b ） 式中f π2=Ω，单位为弧度/秒，将)(Ωj X 表示成) (|)(|ΩΩ?j e j X 的形式，即可得到 |)(|Ωj X 和)(Ω?随Ω变化的曲线，我们分别称之为)(t x 的幅频特性和相频特性。 如果我们想知道在某一个特定时间，如0t ，所对应的频率是多少，或对某一个特点的频
P29采样、频率混叠，画图说明 将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样。 它包含了离散和量化两个主要步骤。 若采样间隔Δt 太大，使得平移距离2π/Δt 过小。移至各采样脉冲函数对应频域序列点上的频谱X(ω)就会有一部分相互重叠， 由此造成离散信号的频谱与原信号频谱不一致，这种现象称为混叠。 P33列举时域参数（有量纲和无量纲），说明其意义与作用。 有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。 无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。 偏斜度指标S 表示信号概率密度函数的中心偏离正态分布的程度，反映信号幅值分布相对其均值的不对称性。 峭度指标K 表示信号概率密度函数峰顶的陡峭程度，反映信号波形中的冲击分量的大小。 P37～自相关互相关及作用（举例说明） 相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。 信号x (t )的自相关函数： 信号中的周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。 在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。 依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在。 （如：自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置；确定信号周期。） 互相关函数： 互相关函数的周期与信号x(t)和y(t)的周期相同，同时保留了两个信号的相位差信息φ。可在噪音背景下提取有用信息；速度测量；板墙对声音的反射和衰减测量等。 （如：利用互相关分析测定船舶的航速；探测地下水管的破损地点。P42） P51～蝶形算法 FFT 的基本思想是把长度为2的正整数次幂的数据序列｛x k ｝分隔成若干较短的序列作DFT 计算，用以代替原始序列的DFT 计算。然后再把他们合并起来。得到整个序列｛x k ｝DFT 。(图示N=8时FFT) t t x t x T R T T x d )()(1lim )(0 ? ±=∞ →ττt t y t x T R T T xy d )()(1lim )(0 ? +=∞ →ττ x 0 x 1x 2x 3x 4x 5x 6 x 7x 0x 4x 6x 3x 5 x 0x 4x 2x 6x 1x 5x 3x 7x 0x 4x 2x 6x 1x 5x 3x 7x'0 x'4 x' 2x'6 x'1 x'5x'3 x'7 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 X 0 X 1 X 2X 3 X 4X 5X 6X 7 x 7x 1x 2N W N W N W 0N W 0N W N W N W 1 N W 1 N W 1 N W 0N 0N W 2N W 3