几何概型题目选讲
1.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,
CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )
解析:设AC =x ,由题意知x (12-x )<32?0<x <4或8<x <12,所求事件的概率P =4-0+12-812=23
.
2.已知圆C :2212,:4325x y l x y +=+=在圆上任取一点P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。 解:P(A)=
1
6
3.设不等式组???
??
0≤x≤2
0≤y≤2
表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点
到坐标原点的距离大于2的概率是
解析:坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心,2为半径的圆内及圆上,
?????
0≤x≤2,
0≤y≤2
表示的区域D 为边长为2的正方形及其内部,所以所求的概率为
4-
π×4
44
=4-π
4
.
4.在区间[0,9]上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式1≤log 2x≤2的概率为__________.
解析:由1≤log 2x≤2,得2≤x≤4,根据区间长度关系,得所求概率为2
9.
5.在[-6,9]内任取一个实数m ,设f(x)=-x 2+mx +m ,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于__________.
解析:函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足Δ=m 2+4m≥0,解得m≤-4或m≥0,又m∈[-6,9],故-6≤m≤-4或0≤m≤9,因此所求概率P =2+915=1115
.
6.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.
解析:(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ,则0≤x<24,0≤y<24且y -x≥4或y -x≤-4.
作出区域????
?
0≤x<24,0≤y<24,
y -x >4或y -x <-4.
设“两船无需等待码头空出”
为事件A ,则P(A)=2×1
2×20×2024×24=25
36
.
(2)当甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x -y≥2或y -x≥4.
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域
????
?
0≤x<24,
0≤y<24,y -x >4或x -y >2.
P(B)=12×20×20+1
2×22×2224×24=442576=221288
.
7.知k ∈[-2,2],则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2+y 2+kx -2y -5
4
k
=0相切的概率等于 【解析】.∵圆的方程化为222
k 5k k (x )(y 1)1244
++-=++,∴5k
+k 2+4>0,∴k<-4或k>-1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆
222k 5k k (x )(y 1)1244++-=++相切,∴A(1,1)在圆外,得222
k 5k k (1)(11)1244
>++-++,
∴k<0,故k ∈(-1,0),其区间长度为1,因为k ∈[-2,2],其区间长度为4,所以P =1
4
.
8.已知k ∈[-2,2],则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2+y 2+kx -2y -5
4
k =0相切的概率等于 解析:∵圆的方程化为?
????x +k 22+(y -1)2=5k 4+k
2
4+1,∴5k +k 2+4>0,∴k <-4或k >
-1.∵过A (1,1)可以作两条直线与圆?
????x +k 22+(y -1)2
=5k 4+k 24+1相切,∴A (1,1)
在圆外,得?
????1+k 22+(1-1)2>5k 4+k
2
4+1,
∴k <0,故k ∈(-1,0),其区间长度为1,因为k ∈[-2,2],其区间长度为4,∴P =1
4
.
9.已知集合A ={x |-3 ??? ?x ? ?? x +2 x -3<0.(1)求A ∩B ,A ∪B ; (2)在区间(-4,4)上任取一个实数x ,求“x ∈A ∩B ”的概率; (3)设(a ,b )为有序实数对,其中a 是从集合A 中任取的一个整数,b 是从集合B 中任取的一个整数,求“b -a ∈A ∪B ”的概率. 解:(1)由已知B ={x |-2 (2)设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1,这是一个几何概型,则P 1=3 8 . (3)因为a ,b ∈Z ,且a ∈A ,b ∈B ,所以,基本事件共12个:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).设事件E 为“b -a ∈A ∪B ”,则事件E 中包含9个基本事件,事件E 的概率P (E )=912=3 4 . 10.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是1 2 . (1)求n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b . ①记事件A 表示“a +b =2”,求事件A 的概率; ②在区间[0,2]内任取2个实数x ,y ,求事件“x 2+y 2>(a -b )2恒成立”的概率. 解:(1)由题意可知:n 1+1+n =1 2,解得n =2. (2)①不放回地随机抽取2个小球 的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A 包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.∴P (A )= 412=1 3 .②记“x 2+y 2>(a -b )2恒成立”为事件B ,则事件B 等价于“x 2+y 2>4”,(x ,y )可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2,x ,y ∈R}, 而事件B 所构成的区域B ={(x ,y )|x 2 +y 2 >4,(x ,y )∈Ω},∴P (B )=S B S Ω= 2×2-π 2×2 =1-π 4 . 11、“已知圆C :x2+y2=12,设M 为此圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点N ,连接MN.”求弦MN 的长超过26的概率. 解:如图,在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD.则MD =MC =2 6.当N 点不在半圆弧CM D 上时,MN >2 6. 所以P(A)=π×232π×23=12 . 12.(1)已知A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A′,则AA′的长度小于半径的概率为________. (2)在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =1,BC =2.在BC 边上任取一点M ,则∠AMB≥90°的概率为________. 解析:(1)如图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA C 上,其中△ABO 和△ACO 为等边三角形,可知∠BOC =2π 3 ,故所求事件的概率P =2π 32π=1 3 . (2)如图,在Rt △ABC 中,作AD ⊥BC ,D 为垂足,由题意可得BD =1 2,且点M 在BD 上 时,满足∠AMB≥90°,故所求概率P =BD BC =122=14.答案:(1)13 (2)1 4 13.在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ,则三棱锥S —APC 的体积大 于V 3 的概率是________. 解析:如图,三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同.作PM ⊥AC 于M ,BN ⊥AC 于N ,则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高,所以 VS —APC VS —ABC = S △APC S △ABC =PM BN ,又PM BN =AP AB ,所以AP AB >13时,满足条件.设AD AB =1 3 ,则P 在BD 上,所求的概率P =BD BA =23 . 14.在区间[0,1]上任取两个数a ,b ,则函数f(x)=x2+ax +b2无零点的概率为 解析:要使该函数无零点,只需a2-4b2<0,即(a +2b)(a -2b)<0. ∵a ,b ∈[0,1],a +2b >0,∴a -2b <0. 作出???? ? 0≤a≤1, 0≤b≤1, a -2 b <0 的可行域,易得该函数无零点的概率P =1-12×1×1 21×1=3 4 . 15.设AB =6,在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外),将线段AB 分成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解:(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4;1,2,3;2,2,2共3种情况,其中只有三条线段长为2,2,2时,能构成三角形,故构成三角形的概率为P =1 3 . (2)设其中两条线段长度分别为x ,y ,则第三条线段长度为6-x -y ,故全部试验结果所构成的区域为???? ? 0<x <6,0<y <6, 0<6-x -y <6,即???? ? 0<x <6,0<y <6,0<x +y <6 所 表示的平面区域为△OAB. 若三条线段x ,y,6-x -y 能构成三角形, 则还要满足???? ? x +y >6-x -y ,x +6-x -y >y , y +6-x -y >x ,即为???? ? x +y >3,y <3, x <3 所表示的平面区域为△ DEF , 由几何概型知,所求概率为P =S △DEF S △AOB =1 4 .