22.3.2 实际问题与二次函数
一、夯实基础
1．如图所示的抛物线的解析式是 ( )
A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋2
2. （xx?佛山，第6题3分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（）
A、y=x
B、y=2x﹣1
C、y=
D、y=x2
3 （xx?浙江金华，第9题，3分）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）
A、﹣1≤x≤3
B、x≤﹣1
C、x≥1
D、x≤﹣1或x≥3
4.（xx?甘肃天水，第4题4分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）
A y=（x﹣1）2+2
B y=（x+1）2+2
C y=（x﹣1）2﹣2
D y=（x+1）2﹣2
5．（xx?齐齐哈尔，9题3分）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A ①②④
B ③④
C ①③④
D ①②
6．如图所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是．
7．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是. 8．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是．
9. （xx?辽宁沈阳，第15题，4分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．二、能力提升
10．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R元，售价为每只P元，且R，P与x之间的函数关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－2x.
(1)当日产量为多少只时，每日获得的利润为1750元?
(2)当日产量为多少只时，每日可获得最大利润?最大利润是多少元?
11．某商场试销一种成本为60元／件的T恤衫，规定试销期间销售单价不低于成本单价，获利不得高于成本单价的40％．经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元／件)符合一次函数y＝kx＋b，且当x＝70时，y＝50；当x＝80时，y＝40．
(1)求一次函数y=kx＋b的解析式；
(2)若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润?最大利润是多少?
三、课外拓展
12．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆车的进货价为25万元．市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．(销售利润＝销售价－进货价)
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
四、中考链接
1. （xx·湖北随州·9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天
（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90
每天销售量p（件）198 140 80 20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
2. （xx·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已
知产销两种产品的有关信息如下表：
产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）
甲 6 a20 200
乙20 10 40＋0.05x280
其中a为常数，且3≤a≤5．
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
答案
1．D[提示：应用待定系数法．]
2.C
3.D
4.A
5.A
6．1[提示：抛物线开口向上，故a＞0．因为图象过原点，所以a2－1＝0，所以a＝±1，所以a＝1．]
7．x＝11
8
(3，0), (－
1
4
，0) (0，－3)
8．－3
9.25
10．解：设每日利润是y 元，则y ＝Px －R=x(170－2x)－(500＋30x)=－2x 2
＋140x －500=－2(x －35)
2
＋1950(其中0＜x ≤40，且x 为整数)．(1)当y=1750时，－2x 2
＋140x －500＝1750，解得x 1＝25，x 2=45(舍去)，∴当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元． (2)∵y ＝－2(x －35)2
＋1950，∴当日产量为35只时，每日可获得最大利润，为1950元． 11．解：(1)由题意得7050,8040,k b k b +=??
+=?解得1,
120,k b =-??=?
故所求一次函数解析式为y=－x ＋120(60≤x ≤
84)． (2)w=(x －60)(－x ＋120)=－x 2
＋180x －7200=－(x －90)2
＋900．∵抛物线开口向下，∴当x ＜90时，w 随x 的增大而增大．又∵60≤x ≤84，∴x ＝84时，w ＝(84－60)×(120－84)=864，∴当销售单价定为84元／件时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．
12．解：(1)y=29－25－x ，∴y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)． (2)z ＝(8＋
0.5
x
×4)y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)=－8x 2
＋24x ＋32=－8(x －32)2＋50．(3)由(2)的计算过程可知，当x ＝32
＝1.5时，z 最大值＝50．即当
定价为29－1.5＝27.5万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润为50万元． 中考链接：
1.解：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y=kx+b （k 、b 为常数且k≠0）， ∵y=kx+b 经过点（0，40）、（50，90）， ∴
，解得：
，
∴售价y 与时间x 的函数关系式为y=x+40； 当50＜x≤90时，y=90．
∴售价y 与时间x 的函数关系式为y=
．
由书记可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，
设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p=mx+n （m 、n 为常数，且m≠0）， ∵p=mx+n 过点（60，80）、（30，140）， ∴
，解得：
，
∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x 为整数），
当0≤x≤50时，w=（y﹣30）?p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是
w=．
（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，
∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，
∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵6050＞6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．
（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21（天）；
当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，
解得：50＜x≤53，
∵x为整数，
∴50＜x≤53，
53﹣50=3（天）．
综上可知：21+3=24（天），
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
2.解：（1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x2+10x-40（0＜x≤80）；（2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大．
∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）
乙产品：y2=-0.05x2+10x-40（0＜x≤80）
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；
1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；
1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；
当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．
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