()02
.0≤>a X P ．
而
()()()()5
100
4
100100
10011001201?
?? ??
-=??? ??-?=+==
>???
?+∞+∞
a dx x dx x f dx x f dx x f a X P a
a
a
．
所以，应当有，
02
.010015
≤??
? ??
-a ．
所以，得 5
02
.01001≤
-a
，即 100
02.015
a
≤
-
，
因此有 ()
26949481
.5402.011005
=-
?≥a ．因此可取55=a （千
升），即可使一周内断油的概率控制在%5以下． 5. 设k
X 表示该射手射击的第k 发时所得的环数
()
100,,2,1 =k ，则k
X 的分布律为
所以，()15.905.0605.071.083.095.010=?+?+?+?+?=k X
E ，
()95
.8405.0605.071.083.095.010
22222
2=?+?+?+?+?=k
X E ，
所以，()()()[]2275
.115.995.84222=-=-=k
k
k
X E X E X D ．
因此，100
21
,,,
X X X 是独立同分布的随机变
量，故
()()()()()()??????
?
?
?
-≤-≤
-=??? ??≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑========100
1100
1
1001100
1100
1100
11001
100
1930900930900k k k k k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X X D X E P X P
?????
?
????-≤??-≤??-=∑=2275.110015.91009302275.110015.91002275.110015.9100900100
1k k
X P
???
?
?
?
?
?≤??-≤-=∑=35388.12275
.110015
.910035388.1100
1
k k X P
()()()82289
.0191149.02135.1235.135.1=-?=-Φ=-Φ-Φ≈．
6. X 的密度函数为
()??
?≤>=-0
055x x e x f x
X ， Y 的密度函数为
()??
?≤>=-0
055y y e y f y
Y
由题意，知 Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T
，则 ()()()()??+∞
-+∞∞
--=-=0
55dx x t f e dx x t f x f t f
Y x Y X T
作变换 x t u -=，则 dx du -=，
当0=x 时，t u = ；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得 ()()()()??∞
---∞--=-=t
Y u t t
Y u t T
du u f e e du u f e t f
55555
当0≤t 时，由()0=y f Y
，知()0=t f T ；
当0>t 时， ()t t
u u t
T
te du e e e t f
55552555-∞
---=?=?
综上所述，可知随机变量T 的密度函数为
()??
?≤>=-0
255t t te t f t
T ． 7. 1/3，9/25，21/55 8. 0.12，0.5 9. 买
10. 解：设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂，
有： %5)P(A 80%,)A (P %,15)p(A 321=== 2’
B 表示取到次品，3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B 321===， 2’
由贝叶斯公式：)B A (p 1=24.0)()(/)()(3
1
11=??∑=k k k A B P A p A B P A p （
4’ 11. 解:设X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X ∽B(10000,0.0064)。
该保险公司的利润函数为：X L ?-=1000120000。 2‘
所以}72{}480001000120000{}48000{≤=≥?-=≥X P X P L P }996
.764
729936
.00064.01000064
{
-≤
??-=X P 用中心极限定理 8413.0)1(=?φ 3‘ 答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413.
12. 解: 按题意学生成绩~X 22,),,(σσu u N 未知,现取05.0=α检验假设:
70 ,70:0100=≠==u u H u u H ： 2’
用t 检验,现有，，05.016==αn 1315.2)15(025.0=t ,拒绝域为: 2’
1315.216/70
>?
??-=
s x t , 2’ 由:3,68==s x , 67.216
/70-≈-=
s x t , 1’
t 值在拒绝域内,故拒绝0H ,认为该校长的断言不正确. 1’
13. 解 总体X 服从p 为参数的0-1分布，
9
.0: ,9.0:0100=<=≥p p H p p H
2’
1001,...,X X 为
总体X 的样本，在0
H 成立条件下，选择统
计量
n
p p p X Z )1(000--=
，由 中心极限定理，z 近似服从标准
正态分布，则拒绝域为05
.0z z -<
经计算该体05
.02z z -<-=，即得 Z 在拒绝域内,故拒
绝0
H ，
认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求
14. 解：设事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，D 表示目标被击毁，i
H 表示有i 门炮
同时击中目标（3,2,1=i ），由题设知事件C B A ,,相互独立，故
2
.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=C P ；
2
.0)|(1=H D P ，6.0)|(2
=H D P ，9.0)|(3
=H D P
)()(1
C B A C B A C B A P H P ??=
)()()(C B A P C B A P C B A P ++=
)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=
47.0= 22.0)(2
=H P ， 03.0)(3
=H P
（1）由全概率公式，得
)
|()()(3
1i i i H D P H P D P ∑==
253.09.003.06.022.02.047.0=?+?+?= （2）由贝叶斯公式，得
)
()
|()()()()|(D P C B A D P C B A P D P D C B A P D C B A P =
=
0554.0253.02
.05.07.02.0=???=
15. 解：记一箱中36瓶药液的灌装量为
36
21,,,X X X ，它们是来自均值为μ，方差2
σ＝1的
总体的样本。本题要求的是事件
|X －μ|≤0.3
的概率。根据定理的结果， P {
}{
}
??
??
??????≤-X ≤-=≤-X ≤-=≤-X n n n P P σσμσμμ3.03.03.03.03.0
）
（
）（
n
n
σ
σ
3
.03
.0-Φ-Φ≈
（6分）
1
3
.02-Φ=）（
n
σ
=2
1
8.1-Φ）（
（4分）
16. 已知5：47到家的前提下，求乘地铁回家的概率，因此应用条件概率公式即P(A/B)=P(AB)/P(B) 求解。
设事件A 为5：47到家，事件B 为乘地铁回家，则所求概率可表示为P(B/A)
由于P(B/A)*P(A)=P(AB)=P(A/B)*P(B)，所以P(B/A)=P(A/B)*P(B ）/P(A) 带入数据
得
0.45*0.5/[0.5*(0.45+0.2)]=9/13；
17. 解：
检验假设100
:0
=μH ， 100
:1
≠μH
检
验
统
计
量
()
1,0~0
N n
X Z σ
μ-=
（3分）
显著性水平05.0=α，查表可得96
.12
=α
z
拒绝域为
96
.12
=>αz z
（3分）
经计算得样本均值是 27.100=x 检验统计量的值为724
.10
=-=
n
X z σ
μ
（2分）
所以，在显著性水平05.0=α下，接受原假设，表明这天包装机正常工作。（2分）
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
七年级下册数学期末复习应用题
1.为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A 型和B 若购买A型公交车A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求a，b的值； （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 解：（1）由题意得：，解这个方程组得：． 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车x辆，购买B型公交车（10﹣x）辆，
由题意得：，解得：6≤x≤8， 有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； ②购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆； ③购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆． 故购买A型公交车越多越省钱， 所以购车总费用最少的是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆． 2.为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息: (说明:①每户产生的污水量等于该户自来水用水量;②水费=自来水费用+污水处理费) 已知小王家2015年4月份用水20吨,交水费66元;5月份用水25吨,交水费91元. (1)求a,b的值; (2)随着夏天的到来,用水量将增加.为了节省开支,小王计划把6月份的水费控
制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9 200元,则小王家6月份最多能用水多少吨? 解析(1)由题意,得 ②-①,得5(b+0.8)=25, 解得b=4.2, 把b=4.2代入①,得17(a+0.8)+3×5=66, 解得a=2.2. ∴a=2.2,b=4.2. (2)当月用水量为30吨时,水费为17×3+13×5=116(元). 又9 200×2%=184(元),116<184, ∴小王家6月份的用水量可以超过30吨. 设小王家6月份用水量为x吨, 由题意,得17×3+13×5+6.8(x-30)≤184, 6.8(x-30)≤184-116,解得x≤40. ∴小王家6月份最多能用水40吨. 3.某乳制品厂，现有鲜牛奶 10 吨．若直接销售，每吨可获利 500 元；若制成 酸奶销售，每吨可获利 1200 元；若制成奶粉销售，每吨可获利 2000 元. 本工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶 3 吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶 1 吨 （两种加工方式不能同时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案： 方案一：4 天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好 4 天 完成．你认为哪种方案获利多，请通过计算说明． 4.某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元. (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果? (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元?
三年级数学思维训练 应用题(四)
三年级数学思维训练应用题（四）学法指导、解答应用题一般有四个步骤： （1）弄清题意，并找出已知条件和所求问题；（2）分析题里数量的关系，确定先算什么、再算什么……最后算什么；（3）确定每一步该怎样算，列出算式；（4）进行检验，写出答案。 例题1、两个小组订练习本，甲组每天装订55天，一共装订了330本。乙组装订同样多的本数，5天装装订完。哪个小组用的时间少？这个组每天比另一个组多装订多少本？ [分析与解答]要比甲组和乙组哪个小组用的时间少，必须知道两个装订同样多的练习本各用的天数。已知乙组用了5天装订完，甲组用的天数可以根据：“甲组每天装订55本”和“一共装订了330本”求出，即330÷55=6（天）。因此5〈6，所以乙组用的时间少。已知乙组5天装订了与甲组同样多的330本，可求出乙组每天装订330÷5=66（本），进而求出乙组比甲组多装订的本数。 （1）甲组装订330本用了多少本？ （2）乙组每天装订多少本？ （3）乙组比甲组每天多装订了多少本？ 试一试1、暑假中，小华每天写16个大字，一共写了240个大字。小宇写同样多的大字，12天写完。谁用的时间少？每天多写多少个大字？ 例题2、生产1080个零件，第一台机器每天生产40个，第二台机器每天生产50个。两台机器同时生产，几天可以完成任务？完成任务时，每台机器各生产多少个零件？ [分析与解答]根据“第一台机器每天生产40个，第二台机器每天生产50个”可以求出每天两台机器一共生产的个数：40＋50=90(个);再根据求出的每天两台机 器一共生产的个数和“生产1080个零件”可以求出天数，进而分别求出每台机器各生产多少个零件。
七年级应用题专项练习
七年级上册应用题专题讲解 一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路） （1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． （2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． （3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位） 二、各类题型解法分析 一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。 （一）和、差、倍、分问题——读题分析法 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. 1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。 2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？ 例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
北师大版七年级上册数学期末复习之应用题专题练习
七年级上册数学期末总复习之应用题专题训练 1.某校一个班的班主任带领该班的学生去旅游．甲旅行社说：“如果教师买张全票，那么 学生票可以五折优惠”．乙旅行社说：“包括教师票在内全部按票价的6折优惠”，假设全票票价为240元/张． （1）若有x名学生参加，请写出甲、乙两个旅行社的费用的代数式． （2）若有10名学生参加，跟随哪个旅行社省钱，请说明理由，4名同学呢？ 2.为了开展阳光体育活动，某班需购买一批乒乓球拍和乒乓球，现了解情况如下：甲、乙家商店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，且两家都有优惠：甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠．若该班需购买乒乓球拍5副，购买乒乓球x盒（不小于5盒）． （1）在甲商店购买则需付元；在乙商店购买则需付元．（用含x的代数式表示并化简，请直接填写答案） （2）当需购买15盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买？为什么？ （3）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
3.甲、乙两站相距408千米，A车以48千米/小时的速度从甲站开往乙站，1小时后B车以72千米/小时的速度从乙站开往甲站。问：B车开出后几小时可以遇到A车？ 4.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度 60公里/小时，我们的速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人。出发地到目的地的距离是60公里。问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇? 5.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆 的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果我和妈妈每小时 行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前 追上我们吗？
应用题思维训练
应用题（一） 学法指导：解答应用题首先要弄清题意，找出题中的条件和问题，再通过分析题中的数量间的关系，找到解题方法，最后列出算式，算出结果，写出答案。关键是要弄清题中的数量关系。 例1：食堂运来一批大米，吃掉24袋，剩下的袋数是吃掉的2倍。食堂运来大米多少袋？分析与解答：要求食堂运来大米多少袋，必须知道吃掉的袋数和剩下的袋数这两个条件，吃掉的袋数已经知道，是24袋，所以要先求剩下的袋数，再求出共运来大米的袋数。 （1 （2 试一试1 倍。甲乙两人收藏 3倍，必须要知道黑兔的只数，题中已知，所以要先求灰兔的只数，再求白兔的只数。（1）灰兔多少只？（2）白兔多少只？ 综合算式：
答：学校饲养小组养了只白兔。 试一试3：学校图书室有科技书120本，故事书的本数是科技书4倍，游戏书的本数比故事书少100本，学校图书室有游戏书多少本？ 例4：商店里有红气球54个，黄气球24个，花气球和黄气球的总数比红气球少8个。有花气球多少个？ 分析与解答：根据花气球和黄气球的总数比红气球少8个，可知道花气球和黄气球的总数和红气球比，花气球和黄气球的总数少，红气球多。已知红气球54个，那么可以求出花 （1 （2 只，三种 用了58分。他回来时乘车要用多少分钟？ 分析与解答：根据来回都步行要用90分钟可以求出他去时步行用的时间，又知道他去时步行，回来时乘车一共用了58分，可以求出他回来时乘车要用多少分钟。
（1）他去时步行用了多少时间？ （2）回来时乘车用多少分钟？ 综合算式： 答：他回来时乘车要用分钟。 试一试6：邮递员叔叔去某地送信，来回都骑车要用48分钟，如果他去时骑车，回来时步行，一共要用95分钟。他回来时步行要用多少分钟？ 练习： 1、在学雷锋活动，三年级同学做好事73件，五年级同学做好事的件数是三年级的3倍。两个年级共做好事多少件？ 2、爸爸今年30岁，是小明年龄的5倍，爸爸今年比小明大多少岁？ 3、花圃里有48盆鸡冠花，是郁金香的4倍，郁金香的盆数比月季花少18盆，花圃里有多少盆月季花？ 4、书架上摆数三层图书，第一层有32本，第二层有28本，第二层和第三层的总本数是第一层的2倍，第三层有多少本图书？ 5、学校体育器材室足球84只，是排球只数的2倍，篮球有56只，三种球一共有多少只？ 6、李老师上班时坐车，下班时步行，在路上共用50分钟，如果往返都步行要用80分钟。如果往返都坐车，只需多少分钟？ 7、爸爸共买回56个鸡蛋，过了几天后，吃掉的鸡蛋是还剩的6倍，还剩多少个鸡蛋？ 应用题（二） 提示：在分析一般应用题是题的数量关系时，一定要弄清题目中的条件和问题，哪些表示大数，哪些表示小数，哪些表示相差数，哪些表示部分数，哪些表示总数，哪些表示一倍数，哪些表示几倍数……。经常进行应用题练习，可以拓展自己的思维，提高解决实际问题的能力，使自己的头脑更加灵活、更加聪明。
分数应用题专项训练(经典)
分数应用题专项训练（1） 姓名： 班级： 家长签署： 一、看图列式 5 2“1” ( )米 50米 列式： (2) 5 2“1” ( )米 50 列式： (4) 5 2“1” 20米 ( )米 列式： (3) 5 2“1” 20米 ( )米 列式： (5) 5 2“1” 30米 ( )米 列式： (6) 5 2“1” 30 ( )米 列式： (7) 5 3“1” ( )米 50米 列式： (8) 5 3“1” 20米 ( )米 列式：
二、对比练习： 1、学校图书室原有故事书1400本, 新买故事书840本,新买故事书是原有故事书的几分之几？ 2、学校图书室原有故事1400本,新买的故事书是原有故事书的4 3 ,新买故事书多少本？ 3、学校图书室新买故事书840本,是原有故事书的4 3 。图书室原有故事书多少本? 三、解决问题： 1，一桶油100千克，用去40千克，用去几分之几？ 2，一桶油100千克，用去5 2 ，用去多少千克？ 3，一桶油用去40千克，占这桶油的5 2 ，这桶油原有多少千克？ 4，一份文件3600字，张阿姨打了文件的3 2 ，还剩多少字没打？ 5，小红共120元钱，买图书用去21，买画笔用去3 1 ，小红还剩多少钱？ 6，两辆汽车，第一辆汽车坐36人，第二辆比第一辆少坐6 1 ，两辆车一共坐多少人？ 7，某袜厂上半年生产棉袜54万双，下半年生产的棉袜的121相当于上半年的10 1 ，下半年生产棉袜多少万双？
分数应用题专项训练（2） 姓名： 班级： 家长签署： 一、先画出单位“1”的量，再将“比”的结构改成“是”的结构。 （1）五月份比四月份节约了 72 ，五月份是四月份的（ ）。 （2）八月份比七月份增产了53 ，八月份是七月份的（ ）。 （3）五年级比六年级人数少81 ，五年级人数是六年级的（ ）。 （4）今年产值比去年增加了6 5 ，今年产值是去年的（ ）。 （5）一件西服降价10 3 出售。现价是原价的（ ）。 二、练习提高： 1、学校建一座教学楼投资180万元,比计划节省了10 1 ,计划投资多少万元? 2、养鸡厂今年养鸡2400只,比去年增加了4 1 , 去年养鸡多少只? 3、一个饲养场养鸭1200只，养的鸡比养的鸭多4 1 ，养的鸡有多少只？ 4、一条公路,已经修了全长的4 3 , 还有60千米没修, 这条公路有多少千米? 5，甲数是12。 （1）乙数比甲数多31，求乙数。 （2）乙数比甲数少3 1 ，求乙数。
概率论与数理统计期末总结
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
苏教版三年级数学期末复习应用题篇
苏教版三年级数学期末复习----应用题篇 一.楼梯上的学问 1.小欣家住四楼,每上一层要走20个台阶,小欣回家要走多少个台阶? 2.小明家住四楼,她从底楼走到二楼要用1分钟,那么他从底楼走到四楼要几分钟? 3.张叔叔要去大厦的八楼办事,他从一楼走到三楼用了60秒,照这样的速度,他从一楼到八楼要多长时间? 二.和差问题 1.参加夏令营的学生共有96人,男生比女生多8人,男生,女生各有多少人? 2.甲乙两筐苹果共重80千克,如果从乙筐中拿出5千克给甲筐,那么两筐苹果一样重,问甲乙两筐原有多少千克苹果? 3.一块长方形菜地,周长80米,长比宽多4米,长宽各是多少米? 4.甲乙两个仓库共存大米58吨,如果从甲仓调3吨大米到乙仓,甲仓的大米还比乙仓多4吨,求甲乙两仓原来各存大米多少吨? 5.小林,小强和小敏共有100本课外书,小林比小强多20本,小强比小敏多10本,问三人各有多少本课外书?
三.和倍问题 1.体育馆有排球和篮球共180个,篮球是排球的3倍,体育馆有篮球和排球各多少个? 2.弟弟有课外书20本,哥哥有课外书25本.哥哥给弟弟多少本后,弟弟的课外书是哥哥的2倍? 3.甲乙两个书架共有120本,后来从甲书架取出15本书放到乙书架,这时甲书架的书是乙书架的3倍,甲书架原有书多少本? 4.师徒两人共同工作3小时,一共生产了450个零件,已知师傅的工作效率是徒弟的2倍,求师徒每小时各生产了多少个零件? 5.舞蹈队共有队员42人,其中女队员比男队员的2倍少3人,求男女队员各有多少人? 四.差倍问题 1.猴山上有若干只猴子,已知大猴子比小猴子多86只,并且大猴子的只数是小猴子的3倍,猴山上大猴子,小猴子各有多少只? 2.爸爸的年龄比儿子大26岁,又知爸爸的年龄比儿子的4倍多5岁.问两人年龄各有多少岁? 3.甲工地水泥的吨数是乙工地的3倍.甲工地用去180吨,乙工地用去30吨后,两工地剩下的水泥吨数相等.求甲乙两工地原来各有水泥多少吨?
三年级思维训练应用题练习
应用题练习 1、如果买6个书包和3盒水彩笔需要294元，而如果买2个书包和3盒水彩笔只需要154元，求一个书包和一盒水彩笔各多少钱 2、3袋大米和4袋黄豆共重425千克，6袋大米和4袋黄豆重650千克，问4袋大米和5袋黄豆共重多少千克 3、3个人轮流背两个行李包，走了12千米，问：平均每人背多少千米
4、一个人带着两只桶去河边打水，一只桶可盛3千克，另一只可盛5千克水，现在要取4千克水，应该怎样取 5、某同学在做一道加法题时，把个位上的6错看做9，把十位上的8错看做5，结果和是221，正确答案是多少 6、在做一道加法算式题时，小芳把个位上的5看成了9，把十位上的8看成3，结果所得的和是123，正确的答案是多少 7、丫丫在做一道加法算式题时，把加数个位上的2看成了7，把十
位上的8看成了5，结果是88，正确结果是多少 8、一个用铁丝围成的长方形的长是14厘米，宽是8厘米。如果把这根铁丝围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米 9、一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一个长为14厘米的长方形，这个长方形的宽是多少厘米 10、一根绳子长78厘米，围成一个长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米
11、一张长方形纸，长28厘米，宽15厘米，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形纸周长是多少 12、三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。 13、在两栋大楼之间的一段200米长的空地上等距离地栽了一排树，一共49棵，相邻两棵树之间的距离是多少米
四年级数学上册应用题分类专项练习题,含答案解析
应用题专项练习题： 一、连除应用题： ①、玩具厂生产了960个电子玩具，每3个装一盒，每5盒装一箱，一共装了多少箱？（连除应用题）（64箱） ②、王辉爸爸买了3大盒茶叶，一共要付810元，平均每个大盒里有6 小盒茶叶，平均每小盒茶叶多少元？（连除应用题）（45元） ③、王老师要把156本图书放在2个书架上（每个书架有三层），平均每层放多少本图书？（此题除了用连除还可以先求出两个书架一共有多少层，再用总图书数量除以层数也可以求出平均每层放多少图书）（26本） 二、运输问题 （1）、有两堆煤，一堆560吨，另一堆286吨，一辆汽车每次能装运9吨。这辆车一共用多少次才能拉完这两堆煤？（除加混合运算应用题）（94次，像这类题目最好先求出总的吨数，然后再平均分，列综合算式时注意加括号）（94次） （2）、有一堆煤120吨，一辆大货车能载重8吨，一辆小货车能载重5吨，请问：①、如果2两小货车来运，多少次能把煤全部运完？（连除应用题）（12次） ②、先用一辆大货车运5次，余下的用一辆小货车来运，还需要多少次才能运完？（数量关系式：一辆大货车载重量×运的次数5次＝一共运走的吨数，再用总的吨数－大货车5次运走的吨数=还剩的吨数，用剩余的吨数÷小货车的载重量5吨＝次数）（16次） （3）有50只小羊要过河，现在只有一条船，且每次现载8只小羊，那么这些小羊至少要几次才能全部渡河？（像这样的有余数的运输问题，记得最后要加一，注意单位）（7次） 三、装箱问题： ①、960节电池，每8节装一盒，6盒装一箱。这些电池一共可以装多少箱？ （连除，列综合算式最后单位是箱，如果列分步算式一定要注意单位的选用）（20箱） ②、中秋节快到了，糕点房将640个月饼，每4个装一盒，每4盒又装一箱，一共可以装多少箱？（连除，列综合算式最后单位是箱，如果列分步算式一定要注意单位的选用）（40箱） 四、分东西问题： 学校买回8箱皮球，每箱20个，平均分给5个班，每个班级分得多少个？（乘除混合运算应用题，先求出皮球总的个数，再进行平均分）（32个） 五、看书问题： ①、一本故事书172页，小红已经看了67页，剩下的打算一周看完，剩下的平均每天看多少页？（除减混合运算应用题，看书问题的数量关系——总页数=看了的页数＋剩下没看的页数。看了的页数=天数×平均每天看的页数；这里用总页数－看了的页数=剩下的页数，剩下的页数÷天数一周7天=剩下的平均每天看的页数。）（15页） ②、小丽看一本329页的书，看了4天，还剩25页没看，平均每天看多少页？（数量关系：用总页数－剩下的页数=看了的页数，看了的页数÷天数4天=平均每天看的页数）（76页）③、小强从图书馆借一本320页的故事书。每天看15页，看了12天，还有多少页没有看？（数量关系：天数×每天看的页数=看了的页数，总页数－看了的页数=没有看的页数）（140页） 六、修路问题
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<三年级数学下册思维训练应用题26道
三年级下册思维训练综合题 姓名 1、学校给三年级订了许多课外读物,平均分给三年级的6个班,最后每个班分到12本,还有5本剩余。学校给三年级一共订了多少本课外读物？ 2、老师买来许多五彩缤纷的气球,去掉2个,剩下的分给26个学生,每个学生3个。老师一共买了多少个气球？ 3、有一根绳子,长23米,剪下4米,剩下的每2米做一根跳绳,可以做几根跳绳？还剩多少米？ 4、一个班级,学生人数不超过30人,让所有学生排成一排,按1、2、3、4、5循环报数,最后一个报的数是2,问这个班级最多有多少人？ 5、两个整数相除,商是23,余数是5,除数最小是几？被除数最小是几？ 6、学校图书馆有科技书、故事书、文艺书苦干本,科技书和故事书共150本,故事书和文艺书共170本,科技书和文艺书共180本。学校图书馆里共有这三类书多少本？ 7、工地用8辆同样规格的卡车运水泥,每天可运128吨,后来增加了同样规格的卡车3辆,这样每天共运水泥多少吨？ 8、甲、乙两人共有图书60本,如果甲给乙5本,则两人图书相同。问两人原来各有多少本图书？ 9、学校报刊阅览室在36名学生看报,女生人数是男生人数的2倍。再来几名男生,女生人数比男生人数少8人？ 10、一项家具加工工程原计划20天完成,加快工作速度之后每天多做10件,只需18天完成。问原来每天做多少件？ 11、小强和小玲共有30张游戏卡,小玲的卡片是小强的4倍。小玲、小强各有多少张卡片？ 12、商店原有苹果重量是桔子的5倍,现在苹果卖掉40千克,桔子又买进8千克,则苹果与桔子相等。问商店原有苹果和桔子各多少千克？
13、苹果和桔子共重150千克,苹果比桔子多8千克。苹果和桔子各重多少千克？ 14、学校二年级与三年级学生共180人,三年级学生是二年级人数的两倍。那么,二年级学生与三年级学生各多少人？ 15、甲、乙两个建筑队修路, 10天共修1200米,甲队修的速度是乙队的5倍。甲、乙两个建筑队每天各修路多少米？ 16、一瓶色拉油连瓶共重800克,吃去一半油后,连瓶还重410克。瓶里原有油多少克？空瓶重多少克？ 17、植树节,中心小学四年级、五年级学生共植树106棵,五年级比四年级多植树24棵。问：四年级、五年级各植树多少棵？ 18、开家长会时,如果教师少去4人,则教师人数是家长人数的一半。如果家长少去2 5人,则教师人数与家长人数相同。问教师和家长各有几人？19、小明参加期终考试,语文和数学的平均成绩为97分,语文比数学少了6分。问：语文和数学各得了几分？ 20、小明沿一个正方形草坪的边跑了5圈,一共跑了600米。求这个正方形草坪的边长是多少米？ 21、学校买了2个篮球和2个足球,共用去1 80元,每个足球比篮球贵6元。问足球与篮球单价各是多少元？ 22、甲、乙仓库共有粮食360吨,从甲仓库运40吨到乙仓库之后,两仓库的粮食两样多。问甲、乙两仓库原有粮食多少吨？ 23、A、B两地相距150千米,一辆汽车与一辆卡车分别从A、B两地出发相向而行,相遇时共用了5小时。已知汽车速度是卡车的两倍。那么汽车速度与卡车速度分别是多少？ 24、小张的期终考试成绩如下：语文和数学的平均成绩是94分,数学和英语的平均成绩是88分,英语和语文的平均成绩是86分。问：小张的语文、数学、英语各得多少分？ 25、小红的期终考试成绩单不小心弄污了,已知语、数、英三门功课的平均成绩是94
应用题专项训练
应用题专项训练 ----统计类、方程，不等式（组）类、函数类、几何类12.13 例1. （2014年江苏镇江2分）一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y（千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a= （小时）． 例2．（2014?资阳市，第22题，9分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
课堂训练： 1.李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量（千克）14 21 27 17 18 20 19 23 19 22 据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别为【】 A、200千克，3000元 B、1900千克，28500元 C、2000千克，30000元 D、1850千克，27750元 2.某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的240名同学中任选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量(单位：吨) 1 1.2 1.5 2 2.5 同学数 4 5 6 3 2 用所学的统计知识估计这240名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是【】 A、240吨 B、300吨 C、360吨 D、600吨 3. 如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=450，∠ACB=450， BC=60米，则点A到岸边BC的距离是米。 4. 列方程或方程组解应用题： 在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下： 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”； 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”。 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少。
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5
北师大版新精选小升初小学数学期末复习应用题(40题)和答案
北师大版新精选小升初小学数学期末复习应用题(40题)和答案 一、北师大小学数学解决问题六年级下册应用题 1．在一幅比例尺是1：2000000地图上，量得北京到武汉的距离是60cm，北京到武汉的实际距离是多少千米？ 2．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是3dm，高与底面半径的比是2：1。制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 3．新民小区有个圆柱形喷泉池，喷泉池底面半径10米，深0.8米。 （1）这个喷泉池的容积是多少立方米? （2）喷泉池的侧面与底面粉刷了水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米? 4．操作题 （1）在下面的方格图中画出一个三角形，3个顶点的位置分别A（3，3）、B（1，4）、C （1，3）。 （2）画出三角形按2：1放大后的图形。 （3）放大后的三角形与原三角形面积之比是________ 5．向阳小学食堂买来1800千克面粉，5天吃了150千克。照这样计算，这些面粉共能吃多少天？（用比例的知识解答） 6．做一个底面周长是18.84分米、高10分米的圆柱形无盖铁皮水桶， （1）水桶的占地面积多大？ （2）水桶可以容纳多少升水？ 7．装订一批练习本，如果每本用纸24页，可以装订250本；如果每本用纸30页，可以装订多少本？（用比例知识解答） 8．求下列立体图形的体积。 9．如图是校园一角的平面图，过A点有一根水管与长方形草坪的长边平行．
（1）请在平面图中用直线画出这根水管． （2）从A点到下水道挖一条排水沟，要使其长度最短．请在平面图中用线段画出这条水沟． （3）草坪长边的实际长度是________米． 10．修建一个圆柱形的沼气池，底面直径是3m，深2m．在池的内壁与下底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 11．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表：每个小正方形的面积/cm24916 所需小正方形的数量/个2169654 ________比例关系． （2）如果采用面积是36cm2的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 12．一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是2m，高 2.5m。如果每立方米稻谷重500kg，这个粮囤能装多少吨稻谷？ 13．一幅地图的图上距离和实际距离的关系如下： 图上距离（cm）1234567…… 实际距离（km）481216202428……
五年级思维训练12 分数应用题(原卷+解析版)
五年级思维训练12 分数应用题 1.全世界胡杨90%在中国，中国胡杨90%在新疆，新疆胡杨90%在塔里木，塔里木的胡杨占全世界的____% 2.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1．一个字节由8个“位”，组成，记为B ．常用KB 、MB 等记存储空间的大小，其中1KB=1024B, 1MB=1024KB ．现将240MB 的教育软件从网上下载，已经下载了70%．如果当前的下载速度为每秒72KB ，则下载完毕还需要______分钟．（精确到分钟） 3.奶奶说：“如果不算星期天的话，我的年龄就只有84岁．”她实际上有_____岁. 4.小明带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了12.5%，如果他带的钱恰好可以比原来多买13支，那么降价前这些钱可以买_________支签字笔． 5.甲、乙两根同样长的绳子，甲绳先剪去31，再剪去31米；乙绳先剪去3 1米，再剪去剩下部分的3 1．两根绳子剩下部分的长度相比较是________ A.甲绳剩下的部分长 B ．乙绳剩下的部分长 C ．甲绳与乙绳剩下的部分同样长 D ．不能确定 6.果园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的31又10筐，第二天摘了余下的5 2又3筐，
这样还剩下63筐荔枝没有摘，则共有荔枝_______筐． 7.四位小朋友合购一个价值600元的生日礼物送给同学．第一位小朋友付的钱是其他小朋友付的总数的31；第二位小朋友付的钱是其他小朋友付的总数的41；第三位小朋友付的钱是其他小朋友付的总数的5 1．请问第四位小朋友付多少钱？ 8.林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了3 1，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了3 1，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的________（用分数表示）． 9.将1997减去它的 21，再减去余下的31，再减去余下的4 1，再减去余下的51，……依此类推，直至最后减去余下的19971，最后的结果是_______. 10.丢番图是古希腊的大数学家，生活在公元3世纪.
