概率论与数理统计期末复习重要知识点
第二章知识点：
1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）：
若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为
12{},{}1(01)
P X x p P X x p
p ====-<<，
则称X 服从
12
,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)
P X x p P X x p
p ====-<<
两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-
（2）二项分布：
若一个随机变量X 的概率分布由式
{}(1),0,1,...,.
k k
n k n P x k C p p k n -==-=
给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.
k k
n k n P x k C p p k n -==-=
二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-
（3）泊松分布：
若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...
!
k
P X k e
k k λ
λλ-==>=，则称X 服从参
数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)
泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...
!
k
P X k e
k k λ
λλ-==>=
泊松分布的期望：
()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=
4.连续型随机变量：
如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数
()f x ，使得对于任意实数x ，有
(){}()x
F x P X x f t dt
-∞
=≤=?
，则称X 为连续型随机变量，称
()f x 为X 的概率密度函数，
简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：
（1）均匀分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为?????<<-=其它,
0,1)(b
x a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服
从均匀分布，记为X~U(a,b)
均匀分布的概率密度：?????<<-=其它,
0,1
)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a b
E X +=
；均匀分布的方差：
2()()12b a D X -= （2）指数分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为
00
()0x
e x
f x λλλ-?>>=?
?，则称X 服从参数为
λ的指数分布，记为X~e (λ)
指数分布的概率密度：
00
()0x
e x
f x λλλ-?>>=?
?
指数分布的期望：1
()E X λ=
；指数分布的方差：
21
()D X λ=
（3）正态分布：
若连续型随机变量X
的概率密度为
22
()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞
则称X 服从参数为μ和2
σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)
正态分布的概率密度：
22
()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞
正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：
2
()D X σ=
（4）标准正态分布：
2
0,1μσ==
，2
22
2
()()x t x
x x e dt
?φ--
-∞
=?
标准正态分布表的使用： （1）
()1()x x x φφ<=--
（2）
~(0,1)
{}{}{}
{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-
（3）
2~(,),~(0,1),
X X N Y N μ
μσσ
-=
故
(){}{
}()X x x F x P X x P μμμ
φσσσ---=≤=≤=
{}{
}(
)(
)
a b b a P a X b P Y μ
μμ
μ
φφσ
σσσ
----<≤=≤≤
=-
定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μ
σ-=
6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
分布函数的重要性质：
12212112120()1
{}{}{}()()()()()1,()0
F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-
7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布
（1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤： ①根据X 写出Y 的所有可能取值； ②对Y 的每一个可能取值
i
y 确定相应的概率取值；
③常用表格的形式把Y 的概率分布写出
（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数()
X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数
()
Y F y
②由
()
Y F y 求导可得Y 的概率密度函数
（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度
()
(,)
X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可导且恒
有'()0g x >（或恒有'()0g x <），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为
'[()]|()|,()0
Y f h y h y y f y αβ
?<<=?
?；其中
()x h y =是y=g(x)的反函数，且
min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞
练习题：
2.4 第7、13、14
总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19
第三章重要知识点：
1.离散型二维随机变量X 与Y 的联合概率分布表：
（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63 例2 （2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；
类似P71 例3
（3）要会根据联合概率分布表求形如
{,}
P a X b c Y d
<<<<
的概率；
（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。
2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:
设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对
任意实数（x,y），有
(,)(,)
y
x
F x y f s t dsdt
-∞-∞
=??
，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。
(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；
(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如
{}
P X Y
<
等联合概
率值;P64 例3
(3)要会根据联合概率密度求出,x y
的边缘密度;类似P64 例4
(4)要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。
3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：
（1）
1
ij
i j
p=
∑∑
；（2）
(,)1
f x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=
??
要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。
4.常用的连续型二维随机变量分布
二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率
密度函数
1(,)
(,)
A x y G
f x y
∈
?
=?
?，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。
5.独立性的判断：
定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为
()
X
F x
，
()
Y
F y
，若对任
意实数x,y，有
{,}{}{} P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤
（1）离散型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；
②所有可能取值(,)
i j
x y
，有
(,)()()
i j i j
P X x Y y P X x P Y y
=====
，..
ij i j
p p p
=
则
X与Y相互独立。
（2）连续型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；
②联合概率密度
(,)
f x y
，边缘密度
()
X
f x
，
()
Y
f y
,x y ?
有
(,)()()
X Y
f x y f x f y
=
几乎处处成立, 则X 与Y相互独立。
(3)注意与第四章知识的结合
X与Y相互独立?
()()()
()()()
(,)0
XY
E XY E X E Y
D X Y D X D Y
Cov X Y
ρ
=
±=+
=
=
因此
()()()
()()()
(,)0
XY
E XY E X E Y
D X Y D X D Y
Cov X Y
ρ
≠
±≠+
≠
≠?X与Y不独立。
6．相互独立的两个重要定理
定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独
立，即，对任意实数集A，B，有
{,}{}{} P X A Y B P X A P X B ∈∈=∈∈
定理2 如果随机变量X与Y独立，则对任意函数1()
g x
，2()
g y
相互独立。（1）要求会使用这两个定理解决计算问题
练习题：
习题2-3 第3、4题
习题2-4 第2题
习题3.2 第5，7，8题
总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13
第四、五章知识点
设总体密度函数如下，12,,...n x x x 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。
1
(;,),,0x p x e
x μ
θ
θμμθθ
--
=
>>
（1）
02
2
2
2
2
22
1
1
1
()1
1
1
1
1
()()
222x t
t
x t
t
t
t
E X x e
dx t
e dt e dt E X x
e
dx t e dt t
e dt t e dt e dt μ
θ
θ
θμ
μ
θ
θ
θ
θ
θ
μ
μθμ
θ
θ
θ
μμμ
θμθμθ
θ
θ
θ
θ
--
-
-
+∞
+∞
+∞
--
-
-
-
-
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
==+=+==+=++=++?
??
?
????
222()()[()]D X E X E X θ=-=
，由此可推出()E X θμ==，
从而参数θ，μ的矩估计值为,s x s θμ∧
==- （2）似然函数为：(1)
1
1
1
()()exp{()},n
n
i
i L x x
θμμθθ
==-
->∑
其对数似然函数为：1
()
ln (,)ln n
i
i x L n μθμθθ
=-=--
∑
由上式可以看出，ln (,)L θμ是μ的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x μ>，这给出的最大似然估计值为(1)x μ∧
= 将ln (,)L θμ关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然方程
1
2
()ln (,)0n
i i x d L n d μθμθθθ=-=-+=∑，解得1
(1)()
n
i
i x x x n
μθ∧
∧=-=
=-∑
第四章重要知识点：
1.随机变量X 数学期望的求法：
（1）离散型 1
()i i i E X x p ∞
==∑ ；（2）连续型 ()()E X xf x dx +∞
-∞
=?
2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：
（1）离散型 1
()()i i i E X g x p ∞
==
∑；
（2）连续型 ()()()E X g x f x dx +∞
-∞
=?
3.二维随机向量期望的求法： （1）离散型 11
[(,)](,)i
j
ij
j i E g X Y g x y p
∞∞
===
∑∑；
（2）连续型 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=??
4.随机变量X 方差的求法：
（1）简明公式 222
()[()]()()D X E X E X E X E X =-=- （2）离散型 2
1
()[()]
i
i i D X x E X p ∞
==
-∑
（3）连续型 2()[()]()D X x E X f x dx +∞
-∞
=
-?
5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：
（1）简明公式 (,){[()]}{[()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- （2）离散型 ,(,)[()][()]i
j
ij i j
Cov X Y x E X y
E Y p =--∑
（3）连续型 (,)[()][()](,)Cov X Y x E X y E Y f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=--??
（4）
XY ρ=
6.数学期望、方差、协方差重要的性质： (1) 1212()()()E X X E X E X +=+
(2) 设X 与Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =
(3) ()()()2{[()][()]}()()2(,)
D X Y D X D Y
E X E X Y E Y D X D Y Cov X Y ±=+±--=+±
若X 与Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+ (4) 2
()()D CX C D X =
(5) 1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ （6）(,)(,)Cov aX bY abCov X Y = 若X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =
(7) 若（X,Y ）服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当0XY ρ= 7.
n 维正态分布的几个重要性质：
（1）n 维正态变量（12,,...,n X X X ）的每个分量
i
X （
1,2,...i n =）都是正态变量，反之，
若12,,...,n X X X 都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,n X X X ）是n 维正态变量。 （2）n 维随机向量（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布的充分必要条件是12,,...,n X X X 的任意线性组合均服从一维正态分布1122...n n l X l X l X +++均服从一维正态分布（其中
12,,...n
l l l 不全为零）。
（3）若（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，设12,,...,k Y Y Y 是(1,2,...)j X j n =的线性函数，则（12,,...,k Y Y Y ）服从k 维正态分布。
（4）设（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，则“12,,...,n X X X 相互独立”等价于“12,,...,n X X X 两两不相关” 练习题：
1. 设（X,Y ）的联合密度函数为24(1),01,0(,)0
x y x y x
f x y -<<<
解：1
1
30003()(,)24(1)12(1)5
x
E X xf x y dxdy x xydydx x x dx +∞
+∞
-∞-∞=
=-=-=
???
?? 11222
40002()(,)24(1)12(1)5
x E X x f x y dxdy x x ydydx x x dx +∞+∞-∞-∞==-=-=?????
222231
()()()()5525
D X
E X E X =-=-=
同理
12002
()(,)24(1)5x
E Y xf x y dxdy x y dydx +∞
+∞
-∞-∞==-=
?
??
?
12
3001()(,)24(1)5
x E Y xf x y dxdy x y dydx +∞+∞-∞-∞==-=????
又因1004
()[24(1)]15
x E XY xy x y dydx =-=??
从而462(,)()()()152575Cov X Y E XY E X E Y =-=-= 2752
1253XY ρ=
== 2. 习题4.3第10题
8.中心极限定理
（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理） 设随机变量
12,,...,...n X X X 相互独立，并且都服从参数为p 的两点分布，则对任意实数x ，
有22
lim }()n
t i
x
n X
np
P x dt x -
→∞
-≤==Φ∑?
（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量
12,,...,...
n X X X 相互独立，服从同一分布，且
2
(),()(1,2,...),
i i E X D X i μσ
===
则22
lim }n
t i
x
n X
n P x dt μ
-
→∞
-≤=∑?
练习题：习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题
第五章重要知识点
确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布
（1）2
χ分布：：设12,,...n X X X 是取自总体N(0,1)的样本，称统计量222212...n
X X X χ=+++服从自由度为n 的2
χ分布。
（2）t 分布：设X~N(0,1), 2
~()Y n χ，且X 与Y
相互独立，则称t =n 的t 分布。
（3）F 分布：设22
~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则称//X m
F Y n
=服从自由度为（m,n ）的F 分布。 2.三大抽样分布
（1）设总体2
12~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，
则有2
~(,/)X N n μσ
，~(0,1)X U N =
（2）定理2设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2
S 为该样
本的样本均值与样本方差，则有2
2
22
2
2
1
1
1
()~(1)n
i i n S X X n χχσσ=-=
=
--∑， X 与2S 相互独立
（3）定理3 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2
S 为该样
本的样本均值与样本方差，则有2
222
1
1
()~()n
i i X n χμχσ==-∑
，~(1)X T t n =
-
练习题：
1.设122,...n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的样本，求统计量
Y =
解：因为2
1321...~(0,)n X X X N n σ-+++
~(0,1)N
~(0,1),1,2, (2i)
X N i n σ
=
由样本的独立性及2
χ分布的定义，有222222
4
(
)(
)...(
)~()n
X X X n χσ
σ
σ
+++
再由样本的独立性以及t 分布的定义，有
~()Y t n =
=
2． 总习题五 14题
3.求样本函数相关的概率问题
练习题：习题5-3 2 总习题五 16、17
第六章重要知识点：
1.矩估计的求法： 设总体X 的分布函数
1(;,...,)
k F x θθ中含有k 个未知参数的函数1
,...,k θθ，则
（1）求总体X 的k 阶矩
1,...k
μμ它们一般都是
是这k 个未知参数的函数，记为1(,...),1,2,...i i k g i k μθθ==
（2）从（1）中解得1,...(),1,2,...j j k h j k
θμμ==
（3）再用
(1,2,...)i i k μ=的估计量i A 分别代替上式中的i μ，
即可得(1,2,...)j
j k θ=的估计量：
^
1,...(),1,2,...j j k h A A j k
θ==
注：求1,...,k
v v ，类似于上述步骤，最后用
1,...,k
B B ，代替1,...,k
v v ，求出矩估计
^
(1,2,...)
j j k θ=
2.最大似然估计的求法：
求最大似然估计的一般方法： （1） 写出似然函数
12()(,,...;)
n L L x x x θθ=
（2） 令()0
dL d θθ=或ln ()0d L d θθ=，求出驻点
（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估
计值。比如P154 例4—6。 3. 估计量的优良性准则 （1）无偏性
定义1 设
^1(,...)n X X θ是未知参数θ的估计量，若^
()E θθ=,则称^
θ为的无偏估计量。
（2）有效性
定义 2 设
^
^
111(,...)n X X θθ=和^
^
221(,...)n X X θθ=都是参数θ的无偏估计量，若
^
^
12()()D D θθ<,则称^
1θ较^
2θ有效。
4 置信区间
（1）双侧置信区间:
设θ为总体分布的未知参数，
12,,...n
X X X 是取自总体X 的一个样本，对给定的数1α-，
01α<<，若存在统计量12(,,...)
n X X X θθ--=，
12(,,...)n X X X θθ-
-
=，使得_
{}1P θθθα-
<<=-，则称随机区间_(,)θθ-
为θ
的
1α-双侧置信区间，称1α-为置信度，又分别称_θ
与θ-
为θ的双侧置信下限与双侧置
信上限。
（2）单侧置信区间：
设θ为总体分布的未知参数，
12,,...n
X X X 是取自总体X 的一个样本，对给定的数
1α-，01α<<，若存在统计量12(,,...)
n X X X θθ-
-
=，
满足
{}1P θθα
-
<=-，则称
(,)
θ-+∞为θ的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ
-为
θ
的单侧置信下限；若存在统计量
12(,,...)n X X X θθ-
-
=，满足{}1P θθα-
<=-
则称
(,)θ-
-∞为θ的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ-
为θ的单侧置信上限。
5.寻求置信区间的方法： 一般步骤：
（1） 选取未知参数θ的某个较优估计量θ∧
（2）围绕θ∧
构造一个依赖于样本与参数θ的函数12(,,...,)
n U U X X X θ=
（3）对给定的置信水平1α-，确定
1
λ与
2λ，使12{}1P U λλα≤≤=-
通常可选取满足1{}2P U α
λ≤=
与
2{}2P U α
λ≥=
的1λ与2λ，在常用分布情况下，这可由分位
数表查得。
（4）对不等式
12U λλ≤≤作恒等变形后化为{}1P θθθα-
-<<=-
则
(,)
θθ-
-
就是θ的置信度1α-为的双侧置信区间。
6.置信区间的公式：
(1)0-1分布参数的置信区间：
222
11
(
((22(),2(),()b b a a
a n u
b nX u
c n X αα--+=+=--=
(2)设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，
μ而为未知参数，12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。
均值
μ的1α-置信区间为：
（
2
X n ασ
μ-，
X n ασ
μ+）
(3)设总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ未知， 12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。
均值
μ的1α-置信区间为：
（
(1)
S X t n n α--，2(1)S
X t n n
α+-）
(4)设总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ未知， 12,,...n X X X 是取自总体X 的一
个样本。
方差
2
σ
的
1α
-置信区间为：
22
22
212
(1)(1)
(,)
(1)(1)
n S n S
n n
αα
χχ
-
--
--
σ
的1α
-
置信区间为：
练习题：
习题6-2 第1，2，5，6题
习题6-3 第3，4，5，6题
习题6-4 第4题
总习题六第7，8，9，10，16，17，18，20，21题
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，
第一章 概率论的基本概念 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 随机试验： 具有下述三个特点的试验： 1.可以在相同的条件下重复地进行 2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间： 将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点： 样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。 随机事件： 一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 必然事件： 样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件： 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。 事件间的关系与运算： 设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。 1.若B A ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。 若B A ?且A B ?,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。 2.事件{x B A =?｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生。 类似地，称n k U 1 =k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞ =1 为可列个事件,,21A A … 的和事件。 3.事件B A ?=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ?发生。B A ?记作AB 。
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <
我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?
《概率论与数理统计》读书感想 班级： 学号： 姓名：本学期我们开设了《概率论与数理统计》这门课程。在正式学习这门课程之前，我对于它的了解仅限于高中时期所学习的简单的概率与统计相关的定义、概型以及运算。在学习了这门课程之后，我对于将数学知识运用到实践中有了更加深刻的认识。 本门课程总共八章。在第一章中，我在复习到的高中时期基础知识的基础上更加深入的学习了随机事件与概率相关知识，其中我感觉比较重要的就是条件概率与乘法公式、全概率公式和被贝努力公式以及事件的独立性和N重贝努利概型。在第二章中，我理解了随即变量及其概率分布的概念、连续型随机变量及其概率密度的概念，了解了泊松定理的结论和应用条件并学会了用泊松分布近似的表示二项分布，还学会了均匀分布、指数分布、正太分布及其应用。在第三章中，我们学习了二维随机变量及其分布，其中二位二维离散随机变量和二维连续型随机变量以及二维随机变量函数的分布是我感觉比较陌生的。学起来也比较吃力。第四章是随机变量的数字特征，其中数学期望、方差都是高中学过的，学起来比较简单，而协方差、相关系数和矩则是比较新的知识了。第五章是大数定律和中心极限定理，都是新内容，这期间，我掌握了切比雪夫不等式的条件和结论、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律以及辛钦大数定律成立的条件和结论，并能运用切比雪夫不等式进行简单的概率估计，另外还学习了独立同分布的中心极限定理以及棣莫弗—拉普拉斯定理的条件与结论。第六章中，主要学习了数理统计的基本概念：总体、个体、简单随机样本、统计量的概念、样本均值、样本方差和样本矩。第七章是参数估计的相关知识，重点是点估计、估计量以及估计值得相关概念还有矩估计法和极大似然估计法，另外，我还掌握了两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。在最后的第八章，我们主要学习了假设检验，我掌握了假设检验的基本概念，学会了对单正态总体参数的假设检验和对双正态总体均值方差的假设检验。 通过对本门课程的学习，我对概率论和数理统计有了更加深刻的了解，我相信这将对我以后的学习大有裨益。
概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1
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概率论学习心得 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论是十七世纪因保险事业发展而产生的，与博弈实践有关；数理统计学源于对天文和测地学中的误差分析以及中世纪欧洲流行黑死病的统计。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系就是基于统计数据的随机性。 概率论与数理统计具有很强的实用性，科学研究与社会活动都需要进行数据的收集、整理以及精炼的形式表达，并以此为基础进行定量或定性估计、描述和解释，预测其未来可能的发展状况。而对大量随机数据进行整理并描述评估、预测其发展正是数理统计学与概率论的重要内容。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 二战后随着科技的发展特别是计算机的发展，概率论与数理统计在新的实践条件下得以迅猛发展，其理论日益完善与深入，其手段日益先进和便利，其作用日益重要和广泛，大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域，许多新兴科学都是以概率论与数理统计作为基础的，如信息论、对策论、排队论、控制论等。 概率论与数理统计不仅在自然科学中发挥重要作用，实证的方法就是基于数据分析整理并推理预测，而且在社会实践中发挥着重要的不可替代的作用，这是因为： 1、人类活动的各个领域都不同程度与数据打交道，都有如何收集和分析数据的问题，因此概率论与数理统计学的理论和方法，与人类活动的各个领域都有关联。 2、组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等，都有很大的变异性、不确定性，如果说，在自然现象中尚有一些严格的、确定性的规律，在社会现象中
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量
probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律
《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数
概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:
数理统计培训心得体会 篇一：《概率论与数理统计》课程学习心得 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。
生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。就像前面提到的抽奖一样，25％、33％和50％这些概率只不过是外界针对这个群体给出的。25％的机率同样能中奖，50％的机率也会不中奖，对于抽奖者个人而言，没有概率大小之分，只有中与不中之分。别人说做这件事相当容易，切莫掉以轻心，也许你做这件事
一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的
学习概率论与数理统计感想 作者：丁彦军学号：1130610816 班级：1306108 摘要：概率论与数理统计是一门与生活息息相关的学科，在生活中很多方面都有很广泛的应用，通过本学期对于这门课程的学习，我更加深刻的体会到了这一点。同时，了解一些概率论的发展历史和现状有助于我们更好的理解和学习这门课程的研究对象和方法，也有助于我们掌握这门课程的精髓。 关键词：概率论起源发展应用 通过这学期对概率论与数理统计这门课的学习，我认识到，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。 了解这些后，我对概率论和数理统计的起源和发展历史以及它目前的发展情况产生了浓厚的兴趣。英国数学家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾经说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于我们加深对这门课程研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训,启迪我们更好地学习这门课程。 下面介绍概率论的起源和发展历史: 1.古典概率时期（十七世纪）
概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。十七世纪末,瑞士数学家伯努利对惠更斯没有解决的问题给出了解答,并第一次用到了母函数概念。伯努利的成就主要是从理论上证明了大数定理。伯努利的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型。由于这种概型研究的是只有两个可能结果的试验,并经多次重复的结果。因此具有很普遍的意义。至今,在许多概率论专著中仍把独立重复试验概型称为“伯努利概型”。 2.初等概率时期(十八世纪) 十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。法国杰出的数学家德莫哇佛尔(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当 1的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以p=q= 2 后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。英国数学家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的问题中有一个对产品剔
第五章 数理统计的基本概念 一. 填空题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 ), 且随机变量)1(~) (22 1 χ∑==n i i X C Y , 则常数 C=___. 解. ∑=n i i X 1 ~ N(0, n σ2 ), )1,0(~1 N n X n i i σ ∑= 所以 2 1,1σ σ n c n c = = . 2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且2 43221)43()2(X X b X X a Y -+-=, 则a = ______, b = ______时, Y 服从χ2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100) )1,0(~2022 1N X X -, )1,0(~1004343N X X - 20 1 ,20 1 = = a a ; 100 1,100 1 = = b b . Y 为自由度2的χ2分布. 3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n)的分布, 则._____)(______,)(==X D X E 解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n), 所以 E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n) ,)(n X E = 22) ()(2 2 1=?= =∑=n n n n X D X D n i i 二. 单项选择题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 )的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1 2 21的方差为 (A) σ2 (B) n 2 σ (C) n 42σ (D) n 4 σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, σ2), 所以
概率论与数理统计的学习心得 步入大二，我们开始学习『概率论与数理统计』这门课程。如名称所述，课程内容分为两部分：概率论和数理统计。这两部分是有着紧密联系的。在概率论中，我们研究的随机变量，都是在假定分布已知的情况下研究它的性质和特点；而在数理统计中，实在随机变量分布未知的前提下通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，并对观察值对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。因此，概率论可以说是数理统计的基础。在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了不少对于学习数学这门课程的体会。 一、课程的价值及作用 我们接触概率这一概念应该是从初中开始的，那时所认为的概率不过是简单的乘除法，像是一个骰子有六面，掷到每一面的概率是一样的，就是六分之一。到了高中，才陆续接触了期望方差，还有各种类型的分布等等，才知道概率论也是一门专业学科，有自己独特的概念和方法，内容丰富，在数学这个大家庭中也是不输于任何其他分支的存在。上到大学，在学习了更深层次的内容后，对于概率论的理解也就更深刻，同时也意识到概率论在日常生活和其他学科中的重要应用。因此，学会概率论，对我们的学习生活都十分重要。 概率论与数理统计是一门在大学数学中极为重要的课程。以我个人的理解，如果说微积分、线性代数只是分析数学、或是说解题的工具，那么概率论才是真正把实际问题转换为数学问题的学问，因为它解决的并非纯数学问题，不是给你一个命题让你去解决，而恰恰是让你去构思命题，进而构建模型来想方设法解决实际问题。假设检验就是一个典型的例子，要解决问题，你要先建立假设，还要估计总体的分布，如果是大样本问题，可以近似看作正态分布……学习概率论和数理统计，我很大的一个感受就是和实际问题联系很紧密，对问题需要有更深层次的思考，因而学起来也比微积分和线代更吃力。 在大学中，概率论与数理统计是理工科及经管类学科的必修课之一，因其与生活实践和科学试验有着非常紧密的联系，而且是许多新发展的前沿学科(如信息论、人工智能等)的基础。若能掌握好概率的思想和数理统计的方法，对将来解决各种专业性的问题（如金融业的风险预测、企业的产品检验及天气预报等），都能起到不可估量的作用。