第一章一维条件下的弹塑性变形
一、教学目标
了解塑性力学中的两个基本实验：单向拉伸实验和静水压力实验；
掌握塑性强化材料和理想弹塑性材料的应力应变曲线异同；
了解刚塑性模型和幂次强化模型；
掌握包氏效益应力-应变变化过程，两种强化模型：随动强化和等向强化模型；
了解塑性变形的细观机理和等效比拟；
明确弹塑性力学与弹性力学解题的差异：应力-应变过程相依关系；
掌握塑性强化和理想弹塑性材料的本构关系：增量本构和全量本构。
二、教学内容
介绍金属的单向拉伸压缩实验和静水压力实验结果——应力-应变曲线，讲解两种不同材料拉伸曲线异同和简化模型，介绍静水压力对变形过程的影响；
介绍应变强化现象，讲解两种强化模型的后继屈服限的异同；
介绍弹塑形变形的细观机理和一维变形行为的等效模型，更直观的说明材料在拉压和加卸载时的变形；
介绍弹性和塑形应力-应变曲线的异同，过程相依的概念；
讲解塑形强化材料和理想弹塑性材料的一维增量本构关系和全量本构关系。
三、重点难点
1)重点：
两种材料模型，及相应的应力-应变简化曲线；两个强化模型；两种细观机理；两种本构关系。
2)难点：
本构关系的推导。
四、 讲课提纲
五、 讲课内容
1一维应力条件下的弹塑性变形
1.1金属材料基本实验
在塑性力学中有两个基本实验：单向拉伸（或压缩）实验；材料在静水压力作用下物体体积变形的实验。这两个实验的结果是建立各种塑性理论的基础，现分别介绍：
1.1.1金属材料受单轴拉伸和压缩
引例：
材料力学中低碳钢试样的拉伸实验。以标准形状（尺寸）的试件在材料试验机上进行，试件在受到拉力F 作用时可以认为其中一段是处于均匀的单向应力状态。
真实应力曲线
本质 细观机理 等效模型 弹性 滑移（塑性） 理论公式化 增量本构关系 一维增量本构关系 全量本构关系 一维全量本构关系 0
d d σ
ε
两种增量
可恢复变形 体积改变 永久变形 体积不变 拉压对称 现象
金属材料简单拉压 两种材料 模型 静水压力 体积变化基本是弹性的 理想弹塑形 屈服平台
塑性强化 屈服后任抵抗变形 应变强化 随动强化
（包氏效应）
等向强化
两种强化模型
σ
ε
比例弹性 非线性弹性 屈服 强化 局部变形
弹性 塑性
屈服阶段：试样经过抛光可观察到与轴线成45?方向的条纹，材料沿试样的最大切应力面发生滑移，出现不可恢复变形。
强化阶段：材料在塑性变形过程中不断发生强化，试件的抗力不断增长，横向尺寸明显缩小。 局部变形：横截面面积显著收缩（颈缩），主要是（颈缩）部位伸长。
金属材料的拉伸曲线大致归纳为两种类型:弹塑性强化材料（低碳钢）和理想塑性材料， 1) 塑形强化材料：比例弹性 非线性弹性 弹塑性（弹性应变+塑性应变）
塑形强化材料应力-应变曲线和简化曲线：
（P3，图1-2；P5，图1-3）
加载到达B σ前卸载，材料的应力-应变状态仍沿加载时走过路径退回出发点O ；超过弹性极限点，如到达M ，将延MN 线下行至N 点，此时0,0N N σε=≠而（残余应变），说明
e p M εεε=+（弹+塑）
e p εε 可恢复，弹性部分； 不可恢复，塑形部分。
a) 拉伸加载，应力超出弹性极限后，体元变形为弹塑性性质（此前为弹性性质），其中含不可恢复变
形（塑性变形）；
b) 弹塑性加载段， =,e p
d d d d σεεε+应力增量造成应变增量由两部分构成弹性应变部分仍 服从胡克定律。
为处理问题方便，此类拉伸曲线简化为两段，A 点是屈服极限点（比例、弹性极限点合并），对应应力为拉升屈服限，对应应变为屈服应变值。E 为弹性模量，E ’为弹塑性模量。AB 段有
e =/'/ /'//e p p e E E
E E h
εσεεεσεεεσσσ??=?+??=??=?-?=?-?=?其中
(此处，1
11'''EE h E E E E -??
=-=
?-??
) 2) 理想弹塑性材料：线弹性 塑形流动（屈服平台、无弹性应变）
理想弹塑性材料应力-应变曲线和简化曲线：
（P6，图1-4、1-5）
按弹性规律上升至屈服点A 后，进入屈服平台BB ’（塑形流动段），应变有很长的发展，后上抬至C 迅
速破断。在流动过程中卸载,延MN 下行，残余应变ON 基本与AM 长度相等，AM 段变形都是塑形变形性质。
此类拉伸曲线也简化为两段，根据有：A 、B 两点接近，且体元塑性流动段变形可以很大（弹性变形20倍）。
3) 线性强化刚塑性/理想刚塑性:
弹性变形比塑性变形小的多，可忽略，其它部分与塑性强化材料和理想弹塑性材料相对应。
线性强化刚塑性
幂次强化
()01n A n σε
=<<，解析式简单，但不能准确表示材料性质
n=1表示理想弹性体模型，n=0表示理想塑性体模型
1.1.2压缩实验
以上塑性强化材料和理想弹塑性材料的单向压缩实验表明其弹塑性变形行为与拉伸时表现大致相同，认为材料单向拉压时屈服限（屈服应力）绝对值相等，强化和流动表现相同，卸载表现也相同。
静水压力（各向均匀受压）实验对变形过程的影响：体积应变与静水压力成正比；对于一般金属，体积变化基本是弹性的，除去静水压后体积变形可以完全恢复；在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比可忽略，所以假设材料不可压缩。
1.1.3应变强化
应变强化现象：塑性强化材料的加载—卸载—再加载实验 （理想弹塑形材料初始屈服限与后继屈服限重合）
塑性强化材料在到达屈服后仍有抵抗变形的能力（拉伸曲线继续上抬）。应变强化性质：材料的现期塑性应变会造成后继受载时，屈服应力发生改变的现象。
两种强化模型:随动强化（包氏效应）和等向强化（P11） 包氏效应过程：加载—卸载—反向加载—卸载
（P9,图1-9）
讨论对象：后继拉伸屈服限，后继压缩屈服限
随动：后继拉伸屈服限与后继压缩屈服限的改变量相等 等向：后继拉伸屈服限与后继压缩屈服限绝对值相等
1.2塑性力学的细观机理与应变强化现象（本质）
1.2.1细观机理（金属/均匀各向同性）（P7）
弹性：原子间距离改变、可恢复、晶粒体积改变
滑移（塑性）：滑移面、滑移方向、永久性、体积不变
1.2.2等效模型（一维）：（P8）
弹性元件 不同的串并连组合可以构成理想
弹塑性、线性强化 弹塑性 滑移元件 刚塑性 刚塑性 也可以解释包氏效应。
1.3本构关系
1.3.1基本概念
不同于弹性本构关系的重要原因：加卸载过程应力-应变非一一对应
过程相依 （
P12）
全量本构关系
增量本构关系
1.3.2一维弹塑性本构关系
一维弹塑性全量本构关系：
线性强化：
()()()()()()()()
0==+' 0==+' S S S S S S S S E E E E εεεσσεσεεεεεεεσσεσεεεε≤≤???
->??-≤≤???-+<-??单调拉单调压弹性变形
塑形变形（单调拉压）
根据应力的发展过程确定应变的发展过程 d d σε→ 根据应变的发展过程确定应力的发展过程 d d εσ→
理想弹塑性： ()()()()()()
0== 0== S S S S S S E E εεεσσεσεεεεεσσεσεε≤≤???>??-≤≤???-<-??单调拉单调压
一维弹塑性增量本构关系：
线性强化： 理想弹塑性：
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()()() / 0d /E 0 0d /E 0 0 0E 0S O S O O S O O S S O S O S O d d E d d d d d d d d d d d E d d d d d d d σσσεσλσσσεσσεσσλσσσσεσσσσσσεεεσσσσεεσσ??
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第2章 金属塑性变形的物性方程 物性方程又称本构方程，是εσ-关系的数学表达形式。弹性变形阶段有广义Hooke 定律，而塑性变形则较为复杂。在单向受力状态下，可由实验测定εσ-曲线来确定塑性本构关系。但在复杂受力情况下实验测定困难，因此只能在一定的实验结果基础上，通过假设、推理，建立塑性本构方程。为了建立塑性本构方程，首先需弄清楚塑性变形的开始条件——屈服，以及进入塑性变形后的加载路径等问题。 §2.1 金属塑性变形过程和力学特点 2.1.1 变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特 点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀 塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视s σ为 弹塑性变形的分界点。当s σσ<时， σ与ε存在统一的关系，即εσE =。 当s σσ≥以后，变形视作塑性阶段。 εσ-是非线性关系。当应力达到b σ之后， 变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。 b σ点的力学条件为0d =σ或d P =0。经短暂的不 稳定变形，试样以断裂告终。 若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一 部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段εσ-呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的εσ-关系是塑性变形的两个基本特征。 由于加载、卸载规律不同，导致εσ-关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的εσ-关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。 事实上，s σσ>以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g 点为例，若卸载则εσ-关系为弹性。卸载后再加载，只要g σσ<点，εσ-关系仍为弹性。一旦超过g 点，εσ-呈非线性关系，即g 点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有s g σσ>，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩s σ与拉伸s σ基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger 效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger 效应。 Bridgman 等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线图2-1 应力应变曲线
弹塑性力学简答题 2002年 1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量、、不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。
卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？协调方程和边界条件。 8薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。 10什么是随动强化？试用单轴加载的情况加以解释？ 2004 1对于各项同性线弹性材料，应用广义胡克定律说明应力与应变主轴重合？ ，当某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零，这说明应力的主方向与应变的主方向重合。 2应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3虚位移原理等价于哪两组方程？这说明了什么？
弹塑性力学总结 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 一、弹性力学 1、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。 （3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。 （4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 （5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
一、弹性和塑性的概念 可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；当外力一旦超过弹性极限荷载时，这时再卸除荷载，固体也不能恢复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段称为塑性阶段。 根据上述固体受力变形的特点，所谓弹性，就定义为固体在去掉外力后恢复原来形状的性质；而所谓塑性，则定义为在去掉外力后不能恢复原来形状的性质。“弹性（Elastici ty）”和“塑性（Plasticity）”是可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于以下两个方面： 1）变形是否可恢复 ．．．．．．．：弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是一个可逆的过程；塑性变形则是不可恢复的，塑性变形过程是一个不可逆的过程。 2）应力和应变之间是否一一对应 ．．．．．．．．．．．．．：在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是非线性关系（这种非线性称为物理非线性）。 工程中，常把脆性和韧性也作为一对概念来讲，它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小，若变形很小就破坏，这种性质称为脆性；能够经受很大变形才破坏的，称为韧性或延性。通常，脆性固体的塑性变形能力差，而韧性固体的塑性变形能力强。 二、弹塑性力学的研究对象及其简化模型 弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力
塑性变形的力学基础 录入: 151dreamhow 来源: 日期: 2008-2-6,10:14 金属成形时，外力通过模具或其它工具作用在坯料上，使其内部产生应力，并且发生塑性变形。由于外力的作用状况坯料的尺寸与模具的形状千差万别，从而引起材料内各点的应力与应变也各不相同。因此必须研究变形体内各点的应力状态、应变状态以及产生塑性变形时各应力之间的关系与应力应变之间的关系。 一、点的应力与应变状态 在变形物体上任意点取一个微量六面单元体，该单元体上的应力状态可取其相互垂直表面上的应力来表示，沿坐标方向可将这些应力分解为九个应力分量，其中包括三个正应力和六个剪应力，如图 1a 所示。相互垂直平面上的剪应力互等，t xy=t yx，t yz=t zy，t zx=t xz。因此若已知三个正应力和三个剪应力，那么该点的应力状态就可以确定了。改变坐标方位，这六个应力分量的大小也跟着改变。对任何一种应力状态，总是存在这样一组坐标系，使得单元体各表面上只有正应力而无剪应力，如图 1b 所示。这三个坐标轴就称应力主轴，三个坐标轴的方向称主方向，这三个正应力就称为主应力，三个主应力的作用面称为主平面。 图1 点的应力状态 a）任意坐标系b）主轴坐标系 三个主方向上都有应力存在称为三向应力状态，如宽板弯曲变形。但板料大多数成形工序，沿料厚方向的应力s t与其它两个互相垂直方向的主应力（如径向应力s r与切向应力s q）相比较，往往很小，可以忽略不计，如拉深、翻孔和胀形变形等，这种应力状态称为平面应力状态。三个主应力中只有一个有值，称为单向应力状态，如板料的内孔边缘和外形边缘处常常是自由表面，s r、s t为零。 除主平面不存在剪应力之外，单元体其它方向上均存在剪应力，而在与主平面成45°截面上的剪应力达到极值时，称为主剪应力。s1≥s2≥s3时，最大剪应力为t =±（s1一s3）／2，最大剪应力与材料的塑性变形关系很大。 max 应力产生应变，应变也具有与应力相同的表现形式。单元体上的应变也有正应变与剪应变，当采用主轴坐标时，单元体六个面上只有三个主应变分量e1、e2和 e ，而没有剪应变分量。塑性变形时物体主要是发生形状的改变，体积变化很小，3 可忽略不计，即： e +e2+e3=0 （1） 1 此即为塑性变形体积不变定律。它反映了三个主应变值之间的相互关系。根据体积不变定律可知：塑性变形时只可能有三向应变状态和平面应变状态，而不可能有单向应变状态。在平面应变状态时若 e2=0 ，另外两个应变的绝对值必然相等，而符号相反。 二、屈服准则（塑性条件） 当物体受单向应力作用时，只要其主应力达到材料的屈服极限，该点就进入塑性状态。而对于复杂的三向应力状态，就不能仅根据某一个应力分量来判断该点是
杆件的塑性变形 15.1 概 述 工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。 15.2 金属材料的塑性性质 图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 p e εεε+= （15.1） 弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。 图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 图15.2 弹塑性应力-应变
有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。 n εσc = 15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析 现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是 b a Pa R b a Pb R += ' += 21 (a) P 力作用点的位移是 ()b a EA Pab EA a R += =1δ (b) 如a b >则21R R >。随着P 的增加， AC 段 图15.8 两端固支杆 图15.3 理想弹塑性材料模型 图15.4刚塑性材料模型 图15.6刚塑性线性强化材料模型 图15.5线性强化材料模型 图15.7幂强化材料模型
的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷 为1P ，载荷作用点的位移为1δ，由（a ）、（b ） 两式求得 () b b a A P A b a b P R += =+= s 1, S 111σσ E a s 1σδ= 由平衡方程可知 S 2σA P R -= (c) 载荷作用点c 的位移为 ()EA b P P 11-+ =δδ (d) CB 段也进入塑性阶段时，S 2σA R =，由（c ）式求出相应的载荷为 S 22σA P = 载荷达到2P 后，整个杆件都已进入塑性变形。 例18.1 在图15.9a 所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同 为A 。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P 、极限载荷p P 。 解：以1N 和2N 分别表AC 和AD 杆的轴力，3N 表AB 杆的轴力。令s 1E E =， s 1A A =，得 图15.9 三杆桁架
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）
第一章塑性变形的力学基础 1、塑性加工时所受的外力 金属在发生塑性变形时，作用在变形物体上的外力有两种：作用力和约束反力。第二讲塑性变形的力学基础返回首页 2、作用力 通常把压力加工设备可动工具部分对变形金属所作用的力叫作用力或主动力。用实际例子加以说明： （1）锻压时锤头对工件的压力（图1-1a中之P）； （2）挤压加工时活塞对金属推挤的压力（图1-1b中之P）； （3）拉拔加工时，工件所承受的拉力（图1-1c中之P）。 图1-1 基本压力加工过程的受力图和应力状态图 （a）镦粗；（b）挤压；（c）拉拔；（d）轧制 3、约束反力 工件在主动力的作用下，其运动将受到工具阻碍而产生变形。金属变形时，其质点的流动又会受到工件与工具接触面上摩擦力的制约，因此工件在主动力的作用下，其整体运动和质点流动受到工具的约束时就产生约束反力。这样，在工件和工具的接触表面上的约束反力就有正压力和摩擦力。 （1）正压力 沿工具和工件接触表面法线方向阻碍工件整体移动或金属流动的力，它的方向和接触面垂直，并指向工件，如图1-1中之N。 （2）摩擦力 沿工具和工件接触面切线方向阻碍金属流动的力，它的方向和接触面平行，并与金属质点流动方向和流动趋势相反。如图1-1中之T。
4、轧制压力 轧件对轧辊总的正压力和摩擦力的合力值等于轧辊对轧件的总压力，我们把轧件对轧辊总压力的垂直分力叫轧制压力，也就是轧机压下螺丝承受的力。 5、内力的概念和内力产生的原因 （1）内力的概念：当物体在外力作用下，并且物体的运动受到阻碍时，为了平衡外力而在物体内部产生的力叫内力 （2）内力产生的原因： 为了平衡外部的机械作用所产生的内力。在生产加工（轧制）过程中，由于不均匀变形、不均匀加热或冷却（物理过程）及金属内的相变（物理-化学过程）等，都可以促使金属内部产生内力。 6、应力、应力集中 (1)应力的概念：内力的强度称为应力，或者说是内力的大小以应力来度量，即以单位面积上所作用的内力大小表示之。应力的单位一般用N/m2（Pa）或N/mm2（MPa）表示之。 (2)应力集中的概念： 当金属内部存在应力，其表面又有尖角、缺口、结疤、折迭、划伤、裂纹等缺陷存在时，应力将在这些缺陷处集中分布，使这些缺陷部位的实际应力比正常的应力高出数倍。这种现象叫做应力集中。 金属内部的气泡、缩孔、裂纹、夹杂物等对应力的反应与物体的表面缺陷相同，在应力作用下，也会发生应力集中。 (3)应力集中的危害： 应力集中在很大程度上降低了金属的塑性，金属的破坏往往从应力集中的地方开始。 7、弹性变形和塑性变形的概念 (1)弹性变形的概念： 去掉所加的力后，变形也就消失，物体恢复到原来的形状和尺寸。 (2)塑性变形的概念： 去掉所加的力后，在宏观上产生了不能复原的永久变形，这就是塑性变形。 8、应力状态 （1）应力状态的定义 所谓物体处于应力状态，就是物体内的原子被迫偏离其平衡位置的状态。
塑性变形的力学原理 element of mechanics of plasticity 从认定塑性变形体为均质连续体出发，依据宏观的实验结果，研究变形体内的应力、应变以及它们和变形温度、速度等条件之间的关系（见金属塑性变形）。 应力-应变曲线在材料试验中，常用圆棒受拉,短柱受压,薄壁管受扭转,以测定负载和变形的关系；然后分别算出单位面积上的负载（称为应力,常用ζ表示）和单位长度的变形（称为应变,常用ε表示）。材料的ζ和ε间的对应关系称为应力-应变曲线（ζ-ε曲线）。最常用的试验是试样受拉时，由原始长 度l0增加到l,常称比值为工程应变或应变,而称自然对数值l n (l/l )为对数应 变或真应变。若在外力P的作用下,受拉试样由原始截面积A 减小到每一瞬间的 值A，则称比值P/A 为习惯应力，P/A为真应力。常见的延性金属的应力-应变曲线，按有无明显的屈服点，分为两类（见金属力学性能的表征）。 对于小变形量,用工程应力-应变曲线即可；而对于大变形量,需用真应力-应变曲线。在一次受拉试验中,我们可以得到材料的特征性的ζ-ε曲线，此外,还可以得到材料的屈服应力(ζs)、断裂应力(ζb)、截面收缩率(ψ%)、延伸率即伸长率(δ％)和弹性模量(E)等特性指标。 常用ζs作为材料塑性变形时的抗力,ψ％和δ％为其承受塑性变形的能力（塑性指标）。但对塑性加工而言，由于变形量大、变形条件复杂，所以上述指标值不能直接应用，而只能表示某个可以单独测定的条件（如温度、变形速率等）对变形抗力和塑性指标的影响。因此我们常用ζ0来表示材料在简单应力状态条件下的变形抗力，用ζ表示在某个复杂条件下的变形抗力;在高变形速率的实验 中，由于ζ s 和ζ b 难于分别测定,所以有时也用ζb的变化来代表变形抗力的变 化。 塑性加工总是在复杂的应力状态条件下实现的。早在1911年卡门(T.von Karman)就用实验证明在高流体静压力下，通常认为是“脆性的”花岗岩可以有相当大的塑性变形。但是从一个简单的试验结果出发来定量地描述各种加工条件下的塑性指标，是很困难的；因而必须用接近于加工条件的方式进行实测，测得的数值称为塑性加工性指标（见金属塑性加工）。我们用塑性变形条件来计算应力状态条件对于变形抗力的影响。 复杂应力下的塑性变形有两个论题：如何用最简化的数学语言叙述复杂应力状态？在这样的背景下如何叙述进入塑性变形状态的条件？ 应力状态条件取均质连续体内一点（或不考虑力分布的单元体）作受力分析的对象，则可证明存在着一组唯一的三维直角坐标系，不论外部的作用力如何分布，在此系内沿坐标面在单元体上的切应力为零。此坐标系称为主坐标系，垂直于坐标面的正应力称为主应力，常用ζ1、ζ2、ζ3表示。这样,任何复杂的
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学）
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 306.768 6.77() 104 sin 2cos 2sin 602cos 6022 1 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα=----+= ?+= ?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ xy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 602 2 1 32 3.598 3.60()2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+=----+=- ?+=- ?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-????+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τ n 。 题—图 16
杆件的塑性变形 15.1 概 述 工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。 15.2 金属材料的塑性性质 图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 p e εεε+= （15.1） 弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。 图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 图15.2 弹塑性应力-应变
有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。 n εσc = 15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析 现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是 b a Pa R b a Pb R += ' += 21 (a) P 力作用点的位移是 ()b a EA Pab EA a R += =1δ (b) 如a b >则21R R >。随着P 的增加， AC 段 图15.3 理想弹塑性材料模型 图15.4刚塑性材料模型 图15.6刚塑性线性强化材料模型 图15.5线性强化材料模型 图15.7幂强化材料模型
的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷 为1P ，载荷作用点的位移为1δ，由（a ）、（b ） 两式求得 () b b a A P A b a b P R += =+= s 1, S 111σσ E a s 1σδ= 由平衡方程可知 S 2σA P R -= (c) 载荷作用点c 的位移为 ()EA b P P 11-+ =δδ (d) CB 段也进入塑性阶段时，S 2σA R =，由（c ）式求出相应的载荷为 S 22σA P = 载荷达到2P 后，整个杆件都已进入塑性变形。 例18.1 在图15.9a 所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A 。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P 、极限载荷 p P 。 解：以1N 和2N 分别表AC 和AD 杆的轴力，3N 表AB 杆的轴力。令s 1E E =， s 1A A =，得 图15.9 三杆桁架
弹塑性力学 弹塑性力学 绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。 弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方
应用弹塑性力学读书报告 姓名： 学号： 专业：结构工程 指导老师：
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
"塑性变形力学基础与轧制原理" 参考书："塑性变形力力学基础及轧制及原理"曹鸿德等主编，机械工业出版社。 学生应掌握的主要内容： 点的应力状态的张量性质：已知主方向和主应力，求斜面应力：画出主应力图示；写出主应力平面的方向余弦，主切应力平面的法应力， 主切应力；什么是八面体平面，写出八面体平面法向应力及剪应力分式：写出平衡微分方程式；推导体积应力及不可压缩性条件，画出主应变图示：试述均匀变形的定义和特点，对数应变系数和条件应变系数的关系；试述塑性表面的概念；试述最大剪应力等于常值的塑性条件，写出公式：试述单位弹性形态改变势能等于常值的塑性条件，写出公式：试述两个塑性条件的差别和联系。 试述平面问题的概念，写出平面问题的方程式：如何选定滑移线的参变量和确定滑移线的方向，对简单的实际问题能给出滑移线的正方向：推导汉基积分（4一17）式及（4一18）式：试述滑移线的几何性质；证明汉基第一定理（画图）：画出窄锤头冲压厚板时的滑移线场，并求解单位压力 P；试述何为几何可能位移和静力可能的屈服应力状态；求各种典型压力加工情况的上限解。 试述在平面镦粗和轧制时的单位摩擦力的分布规律；推导卡尔曼近似平衡微分方程式(6-46)及单位压力基本平衡微分方程式（4-49）并分析求解此方程式的基本方法；推导奥洛万近似的平衡微分方程式（6 -69)；画图说明各种因素对单位压力的影响；导出计算咬入角及变形区 长度的公式；试述中性角的概念；前滑的概念及前滑公式，如何测定前滑系数；写出轧件的工程常用变形系数；试述位移体积的概念及导出其表达式，导出以对数变形系数表示的体积不变条件；简述变形抗力的概念；简述各种因素对变形抗力的影响，了解强化强度，变形速度的概念；试述滑动摩擦的种类及概念，基本滑动摩擦机理；导出斯通公式；阐述轧机传动力矩的组成及概念；画图说明在简单轧制，带张力轧制及单辊传动时金属对轧辊作用力的方向。
第一章一维条件下的弹塑性变形 一、教学目标 了解塑性力学中的两个基本实验：单向拉伸实验和静水压力实验； 掌握塑性强化材料和理想弹塑性材料的应力应变曲线异同； 了解刚塑性模型和幂次强化模型； 掌握包氏效益应力-应变变化过程，两种强化模型：随动强化和等向强化模型； 了解塑性变形的细观机理和等效比拟； 明确弹塑性力学与弹性力学解题的差异：应力-应变过程相依关系； 掌握塑性强化和理想弹塑性材料的本构关系：增量本构和全量本构。 二、教学内容 介绍金属的单向拉伸压缩实验和静水压力实验结果——应力-应变曲线，讲解两种不同材料拉伸曲线异同和简化模型，介绍静水压力对变形过程的影响； 介绍应变强化现象，讲解两种强化模型的后继屈服限的异同； 介绍弹塑形变形的细观机理和一维变形行为的等效模型，更直观的说明材料在拉压和加卸载时的变形； 介绍弹性和塑形应力-应变曲线的异同，过程相依的概念； 讲解塑形强化材料和理想弹塑性材料的一维增量本构关系和全量本构关系。 三、重点难点 1)重点： 两种材料模型，及相应的应力-应变简化曲线；两个强化模型；两种细观机理；两种本构关系。 2)难点： 本构关系的推导。
四、 讲课提纲 五、 讲课内容 1一维应力条件下的弹塑性变形 1.1金属材料基本实验 在塑性力学中有两个基本实验：单向拉伸（或压缩）实验；材料在静水压力作用下物体体积变形的实验。这两个实验的结果是建立各种塑性理论的基础，现分别介绍： 1.1.1金属材料受单轴拉伸和压缩 引例： 材料力学中低碳钢试样的拉伸实验。以标准形状（尺寸）的试件在材料试验机上进行，试件在受到拉力F 作用时可以认为其中一段是处于均匀的单向应力状态。 真实应力曲线 本质 细观机理 等效模型 弹性 滑移（塑性） 理论公式化 增量本构关系 一维增量本构关系 全量本构关系 一维全量本构关系 0 d d σ ε 两种增量 可恢复变形 体积改变 永久变形 体积不变 拉压对称 现象 金属材料简单拉压 两种材料 模型 静水压力 体积变化基本是弹性的 理想弹塑形 屈服平台 塑性强化 屈服后任抵抗变形 应变强化 随动强化 （包氏效应） 等向强化 两种强化模型 σ ε
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?