杆件的塑性变形
15.1 概 述
工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。
15.2 金属材料的塑性性质
图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有
p e εεε+= （15.1）
弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。
图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线
图15.2 弹塑性应力-应变
有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。
n εσc =
15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析
现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是
b a Pa
R b a Pb
R +=
'
+=
21
(a)
P 力作用点的位移是
()b a EA Pab
EA a R +=
=1δ
(b)
如a b >则21R R >。随着P 的增加，
AC 段
图
图图
图
图
图
的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷
为1P
，载荷作用点的位移为1δ，由（a ）、（b ） 两式求得
()
b b a A P A b
a b P R +=
=+=
s 1,
S 111σσ E a
s 1σδ=
由平衡方程可知
S 2σA P R -= (c)
载荷作用点c 的位移为
()EA
b
P P 11-+
=δδ (d)
CB 段也进入塑性阶段时，S 2σA R =，由（c ）式求出相应的载荷为
S 22σA P =
载荷达到2P 后，整个杆件都已进入塑性变形。
例18.1 在图15.9a 所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同
为A 。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P
、极限载荷p P 。 解：以1N 和2N 分别表AC 和AD 杆的轴力，3N 表AB 杆的轴力。令s 1E E =，
s 1A A =，得
图
αα
α
3332212cos 1,
cos 21cos +=
+==P
N P N N (e)
当载荷逐渐增加时，AB 杆的应力首先达到s σ，这时的载荷即为1P
。由（e ）式的第二式得
ασ31
S 3cos 21+=
=P A N
由此解出
()
ασ3
S 1cos 21+=A P
载荷继续增加，中间杆的轴力s N 保持为S σA ,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力1N 也达到S σA ，相应的载荷即为极限载荷P P 。这时由节点A 的平衡方程知
()1cos 2cos 2S S S P +=+=ασσασA A A P
加载过程中，载荷P 与A 点位移的关系已表示于图15.9b 中。
15.4 圆轴的塑性扭转
圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即
P I T ρ
τ= (a)
随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限s
τ（图15.10a ）。若相应的扭矩为1T ，由（a ）式知
S 3
P
S 121τπτr r
I T =
=
(b)
极限扭矩P T ，其值为
?=A
s p A
d T τρ
取ρπρd dA 2=代入上式后完成积分，得
s 3P 32
τπr T =
(15.4)
达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。
例18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11a 所示，并可近似地表为
γτB =m
式中m 和B 皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。
图
解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（b ）式，求得横截面上任意点处的剪应变为
dx d φ
ρ
γρ= (d)
式中dx d φ
是扭转角沿轴线的变化率，ρ为横截面上一点到圆心的距离，ργ即为该
点剪应变。（d ）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11b ）。由（c ）、（d ）两式求出
ρ
φ
τ?=dx d B
m ρ (e)
或者写成
m
1
??? ???=ρφτρdx d B (f) 横截面上的扭矩应为
??=A
ρdA
T τρ
取ρρπd A d 2=,并以(f)式代入上式，
m
13m m
1
m 12m m
1
+++??
?
? ??=?
?
?
??=?
r m m dx d B d dx d B T 1
322r o
φπρ
ρ
φπ (g)
从（f ）和（g ）两式中消去m 1
?
?? ??dx d B φ，得剪应力的计算公式
m
1
3
132??? ??+?=r m m r T ρπτρ (h) 令r =ρ，得最大剪应力为
图
15.1
m m I Tr m m r T 41
3132P 3
max +?=+?
=
πτ
当1=m 时，材料变为线弹性的，上式变为
P max
I r T ?=
τ
由（e ）式知
r
dx d B m ?=φτ
max
故有
m
P max
4131???? ??+?==m m I Tr r B r B dx d m τφ 积分求得相距为l 的两个横截面的相对扭转为
r l
m m I Tr B m
P 4131???? ??+?=φ (i) 当1=m ，G B =时，上式化为
P GI l
T =
φ
这就是公式（3.17）。
15.5 塑性弯曲和塑性铰
15．5．1纯弯曲
根据平面假设，横截面上距中性轴为y 的点的应变为
ρεy
=
(a)
式中ρ1
是曲线的曲率。静力方程：
?=A
0A d σ (b)
?
=A
M
A d y σ (c)
在线弹性阶段，有
I y
M =
σ (d)
若以1M 表示开始出现塑性变形时的弯距，由（d ）式知
max S
1y σI M =
(e)
载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为S σ（图15.12b ）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有
S σσ=
如以1A 和2A 分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（b ）化为
()2
1A
A A 21s s s 1
2
A A A A A d A d A d ==-=-
=
?
?
?
σσσσ
若整个横截面面积为A ，则应有
A A A =+21
故有
221A
A A =
= (15.5)
极限情况下的弯矩即为极限弯矩p M ，由静力方程（c ）得
()?
?
?
+=???
?
?
+
==
A 2121s A A s s p 1
2
y A y A ydA ydA A d y M σσσ
式中1y 和2y 分别是1A 和2A 的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成
()21S P 21
y y A M +=
σ (15.6)
【例15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变
图
图
形时的弯矩1M 和极限弯距p M 。
解：对矩形截面梁（图15.13），由（e ）式得开始出现塑性变形的弯矩1M 为
S
2
max S 16σσbh y I M ==
由公式（15.13）求得极限弯矩p M 为
()S
2
S 21S P 4442121σσσbh h h bh y y A M =??? ??+=+=
1M 和p M 之比为
5.11
P
=M M
所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%。 对圆截面梁,
S
3
max S 14σπσr y I M ==
()S
3
S 321S P 3434342121σππσπσr r r r y y A M =??? ??+?=+=
7.1316
1P ==πM M
从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。
15.5.2 横力弯曲
横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14a 中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为x 的横截面上的应力分布情况放大成图15.14b 。在这一截面的塑性区
图
内，S σσ=；弹性区内，
ησσy
S
=。η为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距
离。故截面上的弯矩应为
S 22σηη
σσση
η
???
?
??-
=??+?==
?
?
?342
2
A
S
h/2
S h b bdy
y
y bdy y dA y M (15.7)
还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为
???
??-=
x l P M 22
令以上两式相等，得
S 22342
2ση???? ??-=???
??-h b x l P (f) 这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为a ，在（f ）式中，令a x =，
2h
=
η，得
S 2
622σbh
a l P =
??? ??-
由此求得塑性区的长度为
????
??-=???? ???-=max 1S 214612M M l Pl bh l a σ
式中
4,
6
max S 2
1Pl M bh M =
=σ
随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值p M 。
15.6 梁的塑性分析
对图15.14a 中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为
4max Pl
M =
。当max M 达
到极限弯矩p M 时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性铰。这就是梁的极限状态，
这时的载荷
也就是极限载荷p P 。
若梁的截面为矩形，S
2
P 4σbh M =，于是极限载荷为
l bh P S
2P σ=
对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。
以图15.15a 所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。 根据塑性铰上的力偶矩为p M ，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。由图15.15d 所示极限状态为例，由BC 段的平衡方程0=∑C m ，得
l M R P B 2=
再由整条梁的平衡方程0A =∑m ，得
021
P P B =+?
-M P l R
把B R 的值代入上式后，解出
图15.1
l M P P P 6=
例15．4 在均布载荷作用下的静不定梁如图15.16a 所示。试求载荷q 的极
限值p q 。
解：梁的极限状态一般是跨度AB 或跨度BC 变成机构。现将上述两种情况分别进行讨论。
要使AB 跨变成机构，除A 、B 两截面形成塑性铰外，还必须在跨度内的某一截面D 上形成塑性铰（图15.16b ）。由于对称的原因，塑性铰D 一定在跨度
中点，且
2B A ql
R R =
=。再由AD 部分的平衡方程0D =∑m ，得
22222
P A =???
??--?l q M l R
将A R 代入上式，解出
2P
16l M q =
（a ）
这是使AB 跨达到极限状态时的均布载荷。
现在讨论跨度BC 。要使它变成机构，除支座截面B 要成为塑性铰外，还要在跨度内的某一截面E 上形成塑性铰。设截面E 到支座C 的距离为a
。这样可把
图
BC 跨分成图15.16d 中的BE 和EC 两部分。对这两部分分别列出以下平衡方程：
()?
????=--=∑-=∑0
2
2,
0m 2,02P B 2
P a l q
M a q
M m α （b ）
从以上两式中消去P M ，得
()
l a l l a a 210222±-==-+
显然应取2前的正号，即
(
)
l a 12-=
将a 的值代入（b ）式的第一式，即
(
)
2
P 2
2P
/6.11122l M l
M q =-=
（c ）
这是使BC 跨达到极限状态时的均布载荷。比较（a ）、（c ）两式，可见整个静不
定梁的极限载荷是2
P P /66.11l M q =。
15.7 残余应力的概念
载荷作用下的构件，当其某些局部的应力超过屈服极限时，这些部位将出现塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷解除，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相互作用的应力，这种应力称为残余应力。
例15.6在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应力。设材料是理想弹塑性的。
解：当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图15.14b 。根据公式（15.7），截面上的弯矩为
?
???
??-=3422S ησh b M
这时梁内的最大应力为S σ。
卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且它引起的应力按线弹性公式计算，即最大应力为
????
??-=???
? ??-?==22s 22s 2432346
h h b bh W M ησησσ
叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为
????
??-=-22S S 412h ησσσ
由正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图15.18d 所示。
15.8 塑性条件和塑性曲面
受力构件一点处的应力状态，由它的三个主应力来表示。
按照第三强度理论，如对主应力的记号采取321σσσ≥≥的规定，材料开始屈服的塑性条件为公式（15.2）。如对主应力的记号不采取321σσσ≥≥的规定，即321,,σσσ中的任一个都可能是最大或最小的主应力，这时塑性条件（15.2）应写成
??
?
??
=-=-=-313332321σσσσσσσσσ （a ）
在二向应力状态下，03=σ，以上条件变为
图 15.18 残余应力
321σσσ=-，32σσ=，31σσ= （b ）
塑性条件（b ）在21σσ平面中是一个六角形，如图15.19所示。在三向应力的情况下，塑性条件（a ）在应力空间中是六个平面。这就是特雷斯卡塑性条件的几何表示。如图15.20所示。柱面以内的点代表不发生塑性形变的应力状态，而柱面上的点代表进入塑性形变的应力状态。这样的柱面称为塑性曲面。
按照第四强度理论，材料的塑性条件为公式（15.3），即
()()()2S 2132322212σσσσσσσ=-+-+- （c ）
在二向应力状态下，03=σ，以上塑性条件化为
2
S
222121σσσσσ=+- （d ）
在21σσ平面内（图15.19），由（d ）式所表示的塑性条件是上述六角形的外接椭圆①。在三向应力状态下，（c ）式即为塑性曲面的方程式，它是上述六角柱形面的外接圆柱面（图15.21，a ）。由第三强度理论和第四强度理论确定的这两个塑性曲面有共同的轴线，其方向余弦是
31=
==n m l
图15.21（)a 在主应力空间中的米泽斯塑性条件 （)b 当0321
=++σσσ时的塑性条件
图15.19 当
03=σ时的塑性条件 图15.20
第2章 金属塑性变形的物性方程 物性方程又称本构方程，是εσ-关系的数学表达形式。弹性变形阶段有广义Hooke 定律，而塑性变形则较为复杂。在单向受力状态下，可由实验测定εσ-曲线来确定塑性本构关系。但在复杂受力情况下实验测定困难，因此只能在一定的实验结果基础上，通过假设、推理，建立塑性本构方程。为了建立塑性本构方程，首先需弄清楚塑性变形的开始条件——屈服，以及进入塑性变形后的加载路径等问题。 §2.1 金属塑性变形过程和力学特点 2.1.1 变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特 点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀 塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视s σ为 弹塑性变形的分界点。当s σσ<时， σ与ε存在统一的关系，即εσE =。 当s σσ≥以后，变形视作塑性阶段。 εσ-是非线性关系。当应力达到b σ之后， 变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。 b σ点的力学条件为0d =σ或d P =0。经短暂的不 稳定变形，试样以断裂告终。 若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一 部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段εσ-呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的εσ-关系是塑性变形的两个基本特征。 由于加载、卸载规律不同，导致εσ-关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的εσ-关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。 事实上，s σσ>以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g 点为例，若卸载则εσ-关系为弹性。卸载后再加载，只要g σσ<点，εσ-关系仍为弹性。一旦超过g 点，εσ-呈非线性关系，即g 点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有s g σσ>，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩s σ与拉伸s σ基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger 效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger 效应。 Bridgman 等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线图2-1 应力应变曲线
弹性理论与塑性理论，弹性材料与塑性材料浅析 经过一学期，弹性与塑性力学这门课程的学习结束了。学习完弹性与塑性力学以后，我对弹性力学与塑性力学，弹性材料与塑性材料的区别与联系的认识进一步加深了。 首先谈一下有关弹性理论的基本知识。 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。 数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如，把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 弹性力学的基本假定如下： 1．假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。 2．假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变与引起该应变的那个应力分量成比例。 3．假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。 4．假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。5．假定位移和形变是微小的。 以下是塑性理论的基本知识：
一、弹性和塑性的概念 可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；当外力一旦超过弹性极限荷载时，这时再卸除荷载，固体也不能恢复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段称为塑性阶段。 根据上述固体受力变形的特点，所谓弹性，就定义为固体在去掉外力后恢复原来形状的性质；而所谓塑性，则定义为在去掉外力后不能恢复原来形状的性质。“弹性（Elastici ty）”和“塑性（Plasticity）”是可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于以下两个方面： 1）变形是否可恢复 ．．．．．．．：弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是一个可逆的过程；塑性变形则是不可恢复的，塑性变形过程是一个不可逆的过程。 2）应力和应变之间是否一一对应 ．．．．．．．．．．．．．：在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是非线性关系（这种非线性称为物理非线性）。 工程中，常把脆性和韧性也作为一对概念来讲，它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小，若变形很小就破坏，这种性质称为脆性；能够经受很大变形才破坏的，称为韧性或延性。通常，脆性固体的塑性变形能力差，而韧性固体的塑性变形能力强。 二、弹塑性力学的研究对象及其简化模型 弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力
塑性变形的力学基础 录入: 151dreamhow 来源: 日期: 2008-2-6,10:14 金属成形时，外力通过模具或其它工具作用在坯料上，使其内部产生应力，并且发生塑性变形。由于外力的作用状况坯料的尺寸与模具的形状千差万别，从而引起材料内各点的应力与应变也各不相同。因此必须研究变形体内各点的应力状态、应变状态以及产生塑性变形时各应力之间的关系与应力应变之间的关系。 一、点的应力与应变状态 在变形物体上任意点取一个微量六面单元体，该单元体上的应力状态可取其相互垂直表面上的应力来表示，沿坐标方向可将这些应力分解为九个应力分量，其中包括三个正应力和六个剪应力，如图 1a 所示。相互垂直平面上的剪应力互等，t xy=t yx，t yz=t zy，t zx=t xz。因此若已知三个正应力和三个剪应力，那么该点的应力状态就可以确定了。改变坐标方位，这六个应力分量的大小也跟着改变。对任何一种应力状态，总是存在这样一组坐标系，使得单元体各表面上只有正应力而无剪应力，如图 1b 所示。这三个坐标轴就称应力主轴，三个坐标轴的方向称主方向，这三个正应力就称为主应力，三个主应力的作用面称为主平面。 图1 点的应力状态 a）任意坐标系b）主轴坐标系 三个主方向上都有应力存在称为三向应力状态，如宽板弯曲变形。但板料大多数成形工序，沿料厚方向的应力s t与其它两个互相垂直方向的主应力（如径向应力s r与切向应力s q）相比较，往往很小，可以忽略不计，如拉深、翻孔和胀形变形等，这种应力状态称为平面应力状态。三个主应力中只有一个有值，称为单向应力状态，如板料的内孔边缘和外形边缘处常常是自由表面，s r、s t为零。 除主平面不存在剪应力之外，单元体其它方向上均存在剪应力，而在与主平面成45°截面上的剪应力达到极值时，称为主剪应力。s1≥s2≥s3时，最大剪应力为t =±（s1一s3）／2，最大剪应力与材料的塑性变形关系很大。 max 应力产生应变，应变也具有与应力相同的表现形式。单元体上的应变也有正应变与剪应变，当采用主轴坐标时，单元体六个面上只有三个主应变分量e1、e2和 e ，而没有剪应变分量。塑性变形时物体主要是发生形状的改变，体积变化很小，3 可忽略不计，即： e +e2+e3=0 （1） 1 此即为塑性变形体积不变定律。它反映了三个主应变值之间的相互关系。根据体积不变定律可知：塑性变形时只可能有三向应变状态和平面应变状态，而不可能有单向应变状态。在平面应变状态时若 e2=0 ，另外两个应变的绝对值必然相等，而符号相反。 二、屈服准则（塑性条件） 当物体受单向应力作用时，只要其主应力达到材料的屈服极限，该点就进入塑性状态。而对于复杂的三向应力状态，就不能仅根据某一个应力分量来判断该点是
塑性变形的力学原理 element of mechanics of plasticity 从认定塑性变形体为均质连续体出发，依据宏观的实验结果，研究变形体内的应力、应变以及它们和变形温度、速度等条件之间的关系（见金属塑性变形）。 应力-应变曲线在材料试验中，常用圆棒受拉,短柱受压,薄壁管受扭转,以测定负载和变形的关系；然后分别算出单位面积上的负载（称为应力,常用ζ表示）和单位长度的变形（称为应变,常用ε表示）。材料的ζ和ε间的对应关系称为应力-应变曲线（ζ-ε曲线）。最常用的试验是试样受拉时，由原始长 度l0增加到l,常称比值为工程应变或应变,而称自然对数值l n (l/l )为对数应 变或真应变。若在外力P的作用下,受拉试样由原始截面积A 减小到每一瞬间的 值A，则称比值P/A 为习惯应力，P/A为真应力。常见的延性金属的应力-应变曲线，按有无明显的屈服点，分为两类（见金属力学性能的表征）。 对于小变形量,用工程应力-应变曲线即可；而对于大变形量,需用真应力-应变曲线。在一次受拉试验中,我们可以得到材料的特征性的ζ-ε曲线，此外,还可以得到材料的屈服应力(ζs)、断裂应力(ζb)、截面收缩率(ψ%)、延伸率即伸长率(δ％)和弹性模量(E)等特性指标。 常用ζs作为材料塑性变形时的抗力,ψ％和δ％为其承受塑性变形的能力（塑性指标）。但对塑性加工而言，由于变形量大、变形条件复杂，所以上述指标值不能直接应用，而只能表示某个可以单独测定的条件（如温度、变形速率等）对变形抗力和塑性指标的影响。因此我们常用ζ0来表示材料在简单应力状态条件下的变形抗力，用ζ表示在某个复杂条件下的变形抗力;在高变形速率的实验 中，由于ζ s 和ζ b 难于分别测定,所以有时也用ζb的变化来代表变形抗力的变 化。 塑性加工总是在复杂的应力状态条件下实现的。早在1911年卡门(T.von Karman)就用实验证明在高流体静压力下，通常认为是“脆性的”花岗岩可以有相当大的塑性变形。但是从一个简单的试验结果出发来定量地描述各种加工条件下的塑性指标，是很困难的；因而必须用接近于加工条件的方式进行实测，测得的数值称为塑性加工性指标（见金属塑性加工）。我们用塑性变形条件来计算应力状态条件对于变形抗力的影响。 复杂应力下的塑性变形有两个论题：如何用最简化的数学语言叙述复杂应力状态？在这样的背景下如何叙述进入塑性变形状态的条件？ 应力状态条件取均质连续体内一点（或不考虑力分布的单元体）作受力分析的对象，则可证明存在着一组唯一的三维直角坐标系，不论外部的作用力如何分布，在此系内沿坐标面在单元体上的切应力为零。此坐标系称为主坐标系，垂直于坐标面的正应力称为主应力，常用ζ1、ζ2、ζ3表示。这样,任何复杂的
第四章塑性变形（含答案） 一、填空题（在空白处填上正确的内容） 1、晶体中能够产生滑移的晶面与晶向分别称为________和________，若晶体中这种晶面与晶向越多，则金属的塑性变形能力越________。 答案：滑移面、滑移方向、好（强） 2、金属的再结晶温度不仅与金属本身的________有关，还与变形度有关，这种变形度越大，则再结晶温度越________。 答案：熔点、低 3、晶体的一部分沿一定晶面和晶向相对于另一部分发生滑动位移的现象称为________。答案：滑移 4、由于________和________的影响，多晶体有比单晶体更高的塑性变形抗力。 答案：晶界、晶粒位向（晶粒取向各异） 5、生产中消除加工硬化的方法是________。 答案：再结晶退火 6、在生产实践中，经冷变形的金属进行再结晶退火后继续升高温度会发生________现象。答案：晶粒长大 7、金属塑性变形后其内部存在着残留内应力，其中________内应力是产生加工硬化的主要原因。 答案：第三类（超微观） 8、纯铜经几次冷拔后，若继续冷拔会容易断裂，为便于继续拉拔必须进行________。 答案：再结晶退火 9、金属热加工时产生的________现象随时被再结晶过程产生的软化所抵消，因而热加工带来的强化效果不显著。 答案：加工硬化 10、纯铜的熔点是1083℃，根据再结晶温度的计算方法，它的最低再结晶温度是________。答案： 269℃ 11、常温下，金属单晶体塑性变形方式有________和________两种。 答案：滑移、孪生 12、金属产生加工硬化后会使强度________，硬度________；塑性________，韧性________。答案：提高、提高、降低、降低 13、为了合理地利用纤维组织，正应力应________纤维方向，切应力应________纤维方向。答案：平行（于）、垂直（于） 14、金属单晶体塑性变形有________和________两种不同形式。 答案：滑移、孪生 15、经过塑性变形的金属，在随后的加热过程中，其组织、性能和内应力将发生一系列变化。大致可将这些变化分为________、________和________。 答案：回复、再结晶、晶粒长大 16、所谓冷加工是指金属在________以下进行的塑性变形。 答案：再结晶温度
杆件的塑性变形 15.1 概 述 工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。 15.2 金属材料的塑性性质 图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 p e εεε+= （15.1） 弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。 图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 图15.2 弹塑性应力-应变
有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。 n εσc = 15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析 现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是 b a Pa R b a Pb R += ' += 21 (a) P 力作用点的位移是 ()b a EA Pab EA a R += =1δ (b) 如a b >则21R R >。随着P 的增加， AC 段 图15.8 两端固支杆 图15.3 理想弹塑性材料模型 图15.4刚塑性材料模型 图15.6刚塑性线性强化材料模型 图15.5线性强化材料模型 图15.7幂强化材料模型
的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷 为1P ，载荷作用点的位移为1δ，由（a ）、（b ） 两式求得 () b b a A P A b a b P R += =+= s 1, S 111σσ E a s 1σδ= 由平衡方程可知 S 2σA P R -= (c) 载荷作用点c 的位移为 ()EA b P P 11-+ =δδ (d) CB 段也进入塑性阶段时，S 2σA R =，由（c ）式求出相应的载荷为 S 22σA P = 载荷达到2P 后，整个杆件都已进入塑性变形。 例18.1 在图15.9a 所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同 为A 。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P 、极限载荷p P 。 解：以1N 和2N 分别表AC 和AD 杆的轴力，3N 表AB 杆的轴力。令s 1E E =， s 1A A =，得 图15.9 三杆桁架
弹性板塑性板计算区别 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
关于弹性法和塑性法计算板的区别 两个简单认识： 1、塑性变形金属零件在外力作用下产生不可恢复的永久变形。通过塑性变形不仅可以把金属材料加工成所需要的各种形状和尺寸的制品，而且还可以改变金属的组织和性能。一般使用的金属材料都是多晶体，金属的塑性变形可认为是由晶内变形和晶间变形两部分组成。 2、弹性变形材料在受到外力作用时产生变形或者尺寸的变化，而且能够恢复的变形叫做弹性变形。 五种计算理论： 1.线弹性分析方法。我们结构设计大多数都是按线弹性分析的。国内外所有设计软件在分析的时候，也都是作线弹性分析。按弹性理论结构分析方法认为，结构某一截面达到承载力极限状态，结构即达到承载力极限状态。 2.塑性重分布方法。我国规范和软件中，单向板、梁等，都是此种方法。这种方法其实只是在线弹性分析结果上的一种内力调整。结构承载力的可靠度低于按弹性理论设计的结构，结构的变形及塑性绞处的混凝土裂缝宽度随弯矩调整幅度增加而增大。 3.塑性极限方法。双向板一般按这种方法设计。但是双向板也可以按 弹性分析结果设计，在PMCAD里可以选择。按塑性理论结构分析方法 认为，结构出现塑性绞后，结构形成几何可变体系，结构即达到承载 力极限状态．机构设计从弹性理论过渡到塑性理论使结构承载力极限状态的概念从单一截面发展到整体结构 4.非线性分析方法。有几何非线性和材料非线性分析之分，原理及内 容较多，需看相关书籍。但一般设计很少做非线性分析，只有少数情 形需要，如特殊结构特殊作用。比如罕遇地震分析，p-delta分析， push分析等。 5.试验分析方法。国外对复杂结构一般进行模型试验分析。国内很少 做。 规范规定：
第三章塑性变形的基本规律 1、体积不变定律的概念 在金属压力加工的理论研究和实际计算中，通常认为变形前后金属的体积保持不变，它是变形计算的基本依据之一。若设变形前金属的体积为V0，变形后的体积为V1，则有： V0 = V1 =常数 2、最小阻力定律的内容 实践证明：物体在变形过程中，其质点有向各个方向移动的可能时，则物体内的各质点将是沿着阻力最小的方向移动，这就是通常所讲的最小阻力定律的定义。 3、弹塑性共存定律的概念和实际意义 A 概念 我们把金属塑性变形在加工中一定会有弹性变形存在的情况，称之为弹塑性共存定律。 B 实际意义 弹塑性共存定律在轧钢中具有很重要的实际意义，可用以指导我们生产的实践。 （1）用以选择工具 （2）由于弹塑性共存，轧件的轧后高度总比预先设计的尺寸要大 4、极限状态理论 A 极限状态的类型 第一种极限状态是屈服，第二种极限状态是破坏。屈服是金属由弹性变形转变为塑性变形的转折点，是塑性变形的开端。破坏则是金属塑性变形过程的终结。 B 金属屈服极限σs与金属屈服的概念 （1）金属屈服极限σs的概念：它是在特定条件下测得的，即是在室温下，慢速单向拉伸或单向压缩（线应力状态）时测定的金属发生屈服时的单向拉伸或单向压缩的应力值。 （2）金属的屈服：金属发生塑性变形时所需的外力大，则我们说金属难屈服，它的变形抗力就大，即不容易变形；金属发生塑性变形时所需的外力小，则我们说金属容易屈服，它的变形抗力就小，即容易变形。
C 在线应力状态下由拉伸实验建立的屈服条件 拉伸一试样，当主应力σ1的数值达到该材料的屈服极限（σ1=σs ）时，试样开始发生塑性变形。 D 极限状态理论 它是研究弹性变形终了、塑性变形即将开始时主应力与屈服极限间关系的理论。 E 主应力差理论（Tresca 屈服条件） Tresca 屈服条件为： （3-6） F 能量理论（Mises 屈服条件） 其屈服条件表达式为： （3-7） Mises 屈服条件的简化形式： （3-8） 式中的m=1～1.155。 s m σσσ=-31s σσσσσσσ=-+-+-21323222121）（）（）（s σσσ=-31
第一章塑性变形的力学基础 1、塑性加工时所受的外力 金属在发生塑性变形时，作用在变形物体上的外力有两种：作用力和约束反力。第二讲塑性变形的力学基础返回首页 2、作用力 通常把压力加工设备可动工具部分对变形金属所作用的力叫作用力或主动力。用实际例子加以说明： （1）锻压时锤头对工件的压力（图1-1a中之P）； （2）挤压加工时活塞对金属推挤的压力（图1-1b中之P）； （3）拉拔加工时，工件所承受的拉力（图1-1c中之P）。 图1-1 基本压力加工过程的受力图和应力状态图 （a）镦粗；（b）挤压；（c）拉拔；（d）轧制 3、约束反力 工件在主动力的作用下，其运动将受到工具阻碍而产生变形。金属变形时，其质点的流动又会受到工件与工具接触面上摩擦力的制约，因此工件在主动力的作用下，其整体运动和质点流动受到工具的约束时就产生约束反力。这样，在工件和工具的接触表面上的约束反力就有正压力和摩擦力。 （1）正压力 沿工具和工件接触表面法线方向阻碍工件整体移动或金属流动的力，它的方向和接触面垂直，并指向工件，如图1-1中之N。 （2）摩擦力 沿工具和工件接触面切线方向阻碍金属流动的力，它的方向和接触面平行，并与金属质点流动方向和流动趋势相反。如图1-1中之T。
4、轧制压力 轧件对轧辊总的正压力和摩擦力的合力值等于轧辊对轧件的总压力，我们把轧件对轧辊总压力的垂直分力叫轧制压力，也就是轧机压下螺丝承受的力。 5、内力的概念和内力产生的原因 （1）内力的概念：当物体在外力作用下，并且物体的运动受到阻碍时，为了平衡外力而在物体内部产生的力叫内力 （2）内力产生的原因： 为了平衡外部的机械作用所产生的内力。在生产加工（轧制）过程中，由于不均匀变形、不均匀加热或冷却（物理过程）及金属内的相变（物理-化学过程）等，都可以促使金属内部产生内力。 6、应力、应力集中 (1)应力的概念：内力的强度称为应力，或者说是内力的大小以应力来度量，即以单位面积上所作用的内力大小表示之。应力的单位一般用N/m2（Pa）或N/mm2（MPa）表示之。 (2)应力集中的概念： 当金属内部存在应力，其表面又有尖角、缺口、结疤、折迭、划伤、裂纹等缺陷存在时，应力将在这些缺陷处集中分布，使这些缺陷部位的实际应力比正常的应力高出数倍。这种现象叫做应力集中。 金属内部的气泡、缩孔、裂纹、夹杂物等对应力的反应与物体的表面缺陷相同，在应力作用下，也会发生应力集中。 (3)应力集中的危害： 应力集中在很大程度上降低了金属的塑性，金属的破坏往往从应力集中的地方开始。 7、弹性变形和塑性变形的概念 (1)弹性变形的概念： 去掉所加的力后，变形也就消失，物体恢复到原来的形状和尺寸。 (2)塑性变形的概念： 去掉所加的力后，在宏观上产生了不能复原的永久变形，这就是塑性变形。 8、应力状态 （1）应力状态的定义 所谓物体处于应力状态，就是物体内的原子被迫偏离其平衡位置的状态。
一、弹性与塑性的概念 可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点,固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段:当外力小于某一限值(通常称之为弹性极限荷载)时,在引起变形的外力卸除后,固体能完全恢复原来的形状,这种能恢复的变形称为弹性变形,固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段;当外力一旦超过弹性极限荷载时,这时再卸除荷载,固体也不能恢复原状,其中有一部分不能消失的变形被保留下来,这种保留下来的永久变形就称为塑性变形,这一阶段称为塑性阶段。 根据上述固体受力变形的特点,所谓弹性,就定义为固体在去掉外力后恢复原来形状的性质;而所谓塑性,则定义为在去掉外力后不能恢复原来形状的性质。“弹性(Elasticity)”与“塑性(P lasticity)”就是可变形固体的基本属性,两者的主要区别在于以下两个方面: 1)变形就是否可恢复 ．．．．．．．．:弹性变形就是可以完全恢复的,即弹性变形过程就是一个可逆的过程;塑性变形则就是不可恢复的,塑性变形过程就是一个不可逆的过程。 2)应力与应变之间就是否一一对应 ．．．．．．．．．．．．．．:在弹性阶段,应力与应变之间存在一一对应的单值函数关系,而且通常还假设就是线性关系;在塑性阶段,应力与应变之间通常不存在一一对应的关系,而且就是非线性关系(这种非线性称为物理非线性)。 工程中,常把脆性与韧性也作为一对概念来讲,它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小,若变形很小就破坏,这种性质称为脆性;能够经受很大变形才破坏的,称为韧性或延性。通常,脆性固体的塑性变形能力差,而韧性固体的塑性变形能力强。 二、弹塑性力学的研究对象及其简化模型 弹塑性力学就是固体力学的一个分支学科,它由弹性理论与塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题,塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力
丝材变形程度表示方法及计算 信息来源：金属制品网日期：2013-3-20 点击：489 文字大小：[大][中][小] 1. 丝材变形程度表示方法及计算 拉拔时丝材通过模孔变形的结果是截面积减少而长度增长。变形程度愈大，上述变化愈大。为衡量拉拔变形程度的大小，经常采用下列参数： 1.1．延伸系数 延伸系数（拉伸系数）代号为μ，表示拉拔后丝材长度与原长度之比，或表示为拉拔后截面积减小的倍数： （1） 式中l o——拉拔前长度；l K——拉拔后长度；A o——拉拔前截面积； A K——拉拔后截面积；d o——拉拔前直径；d K——拉拔后直径 由于拉拔过程中截面积总是减小的，所以丝材拉拔的延伸系数μ＞1 1.2．减面率 减面率（压缩率）代号为Q（q），表示丝材在拉拔后截面积减小的绝对量与拉拔前截面积之比。由于拉拔过程中丝材截面总是减小的，所以减面率的数值小于1（q＜1），通常用百分数表示。 （2）
减面率是制定拉拔工艺时经常用到的一个参数。他能准确地反应变形程度的大小，当减面率相同时，尽管粗丝和细丝直径变化绝对值相差很大，但变形程度是一样的。 1.3. 延伸系数自然对数 延伸对数代号为ε，等于延伸系数的自然对数lnμ，引入延伸系数自然对数概念的作用是将乘方、开方运算简化为加减运算，便于配模计算，也为拉拔力和拉拔功的计算提供方便。 （3） ε总＝ε1＋ε2＋ε3＋……＋εk 1.4. 伸长率 在实际生产中，除用μ、q和ε表示变形程度外，有时还用伸长率来表示变形程度。伸长率代号为λ，表示拉拔过程中的绝对伸长与原来长度之比。当变形程度不大时，伸长率数值小于1，因此伸长率也常用百分比表示： （4） 上述四个变形程度参数之间有一定的关系（），可以相互转换。这种关 系是建立在被拉丝材体积不变定律基础上的。例如延伸系数与其它变形参数的关系式如下： （5） 为便于计算，将各参数換算关系式列于表1。
1.简单立方晶体(100)面有1 个[]010=b 的刃位错 (a)在(001)面有1 个b =[010]的刃位错和它相截，相截后2 个位错产生扭折结还是割阶？ (b)在(001)面有1 个b =[100]的螺位错和它相截，相截后2 个位错产生扭折还是割阶？ 解：两位错相割后，在位错留下一个大小和方向与对方位错的柏氏矢量相同的一小段位错，如果这小段位错在原位错的滑移面上，则它是扭折；否则是割阶。为了讨论方便，设(100)面上[]010=b 的刃位错为A 位错，(001)面上b =[010]的刃位错为B 位错，(001)面上b =[100]的螺位错为C 位错。 (a) A 位错与B 位错相割后，A 位错产生方向为[010]的小段位错，A 位错的滑移面是(100)，[010]?[100]=0，即小段位错是在A 位错的滑移面上，所以它是扭折；而在B 位错产生方向为[ 010 ]的小段位错，B 位错的滑移面是(001)， [010]?[001]=0 ，即小段位错在B 位错的滑移面上，所以它是扭折。 (b)A 位错与C 位错相割后，A 位错产生方向为[100]的小段位错，A 位错的滑移面是(100)，[100]?[100]≠0 ，即小段位错不在A 位错的滑移面上，所以它是割阶；而在C 位错产生方向为[]010的小段位错，C 位错的滑移面是(001)，[] []0001010=?，即小段位错在B 位错的滑移面上，所以它是扭折。 2.下图表示在同一直线上有柏氏矢量相同的2 个同号刃位错AB 和CD ，距离为x ，他们作F-R 源开动。 (a)画出这2 个F-R 源增殖时的逐步过程，二者发生交互作用时，会发生什么情况？ (b)若2 位错是异号位错时，情况又会怎样？ 解：(a)两个位错是同号，当位错源开动时，两个位错向同一方向拱弯，如下图(b)所示。在外力作用下，位错继续拱弯，在相邻的位错段靠近，它们是反号的，互相吸引，如上图(c)中的P 处所示。两段反号位错相吸对消后，原来两个位错连接一起，即形成AD 位错，余下一段位错，即BC 位错，这段位错和原来的位错反号，如上图(d)所示。在外力作用下，BC 位错也作位错源开动，但它的拱弯方向与原来的相反，如上图(e)所示。两根位错继续拱弯在如图(f)的O 及O'处再相遇，因为在相遇处它们是反号的，所以相吸对消。最后，放出一个大位错环，并回复原来的AB 和CD 两段位错，如上图(g)所示。这个过程不断重复增值位错。
杆件的塑性变形 15.1 概 述 工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。 15.2 金属材料的塑性性质 图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 p e εεε+= （15.1） 弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。 图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 图15.2 弹塑性应力-应变
有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。 n εσc = 15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析 现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是 b a Pa R b a Pb R += ' += 21 (a) P 力作用点的位移是 ()b a EA Pab EA a R += =1δ (b) 如a b >则21R R >。随着P 的增加， AC 段 图15.3 理想弹塑性材料模型 图15.4刚塑性材料模型 图15.6刚塑性线性强化材料模型 图15.5线性强化材料模型 图15.7幂强化材料模型
的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷 为1P ，载荷作用点的位移为1δ，由（a ）、（b ） 两式求得 () b b a A P A b a b P R += =+= s 1, S 111σσ E a s 1σδ= 由平衡方程可知 S 2σA P R -= (c) 载荷作用点c 的位移为 ()EA b P P 11-+ =δδ (d) CB 段也进入塑性阶段时，S 2σA R =，由（c ）式求出相应的载荷为 S 22σA P = 载荷达到2P 后，整个杆件都已进入塑性变形。 例18.1 在图15.9a 所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A 。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P 、极限载荷 p P 。 解：以1N 和2N 分别表AC 和AD 杆的轴力，3N 表AB 杆的轴力。令s 1E E =， s 1A A =，得 图15.9 三杆桁架
冷冲压工艺及模具设计 NO.1第1章冷冲压变形基本知识 1.1塑性变形理论基础 1.2冷冲压材料
本章主要内容 金属塑性与塑性变形概念，塑性变形时的应力与应变，加工硬化与硬化曲线，冲压成形中的变形趋向性及其控制，冲压材料及其冲压成形性能。 本章学习目的要求 熟悉金属塑性变形的性质、影响因素、变形规律及冲压变形 趋向性的控制，初步掌握冲压材料的成形性能、性能试验方法、冲压对材料的基本要求及材料的选用原则。 本章重点 影响金属塑性的因素，塑性变形时应力应变关系，硬化与卸载规律，变形趋向性控制，材料的冲压成形性能及选用
1.1塑性变形理论基础 1.1.1金属塑性变形概述 1.1.2塑性变形时的应力与应变 1.1.3加工硬化与硬化曲线 1.1.4 冲压成形中的变形趋向性及其控制
1.1.1金属塑性变形概述 1.塑性变形、塑性与变形抗力的概念 塑性变形：物体在外力作用下产生变形，外力去除以后，物体 并不能完全恢复自己的原有形状和尺寸的变形。 塑性：物体具有塑性变形的能力。 变形抗力：在一定的变形条件（加载状况、变形温度及速度）下，引起物体塑性变形的单位变形力。 注意： 1）变形抗力反映了物体在外力作用下抵抗塑性变形的能力。 2）塑性不仅与物体材料的种类有关，还与变形方式和变形条件有关。 3）金属塑性的高低通常用塑性指标[延伸率δ和断面收缩率ψ]来衡量。
1.1.1金属塑性变形概述 2.塑性变形对金属组织和性能的影响 (1)形成了纤维组织当变形程度很大时，多晶体晶粒便显著地沿变形方 向被拉长。形成的纤维组织会使变形抗力增加，且会产生明显的各向异性。 (2)形成了亚组织随着变形程度的增加，一些位错互相纠缠在一起，密 集的位错纠结在晶粒内围成细小的粒状组织。亚组织的形成使得位错运 动更加困难，导致变形抗力的增加。 (3)产生了内应力由于变形不均，会在材料内部产生内应力，变形后作 为残余应力保留在材料内部。内应力的存在，将导致金属的开裂和变形 抗力的增加。 (4)产生了加工硬化随着变形程度的增加，金属的强度和硬度逐渐增加，而塑性和韧性逐渐降低。加工硬化在生产中具有很大的实际意义。
第二章 2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =?? ?? ??????1003100031001000000 （应力单位） 求出： （a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位； （c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。 解答： (a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n T i ，得 n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n T 3=σ3j n j =157.31 所以，应力矢量n T 的大小为 =n T [(n T 1 )2 +(n T 2 )2 +(n T 3)2]1/2=314.62 (b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0 其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3 其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， μ0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0） 注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d ）由式（2.96），可算 σotc =1/3（0+100+300）=133.3 τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56 (e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =200
"塑性变形力学基础与轧制原理" 参考书："塑性变形力力学基础及轧制及原理"曹鸿德等主编，机械工业出版社。 学生应掌握的主要内容： 点的应力状态的张量性质：已知主方向和主应力，求斜面应力：画出主应力图示；写出主应力平面的方向余弦，主切应力平面的法应力， 主切应力；什么是八面体平面，写出八面体平面法向应力及剪应力分式：写出平衡微分方程式；推导体积应力及不可压缩性条件，画出主应变图示：试述均匀变形的定义和特点，对数应变系数和条件应变系数的关系；试述塑性表面的概念；试述最大剪应力等于常值的塑性条件，写出公式：试述单位弹性形态改变势能等于常值的塑性条件，写出公式：试述两个塑性条件的差别和联系。 试述平面问题的概念，写出平面问题的方程式：如何选定滑移线的参变量和确定滑移线的方向，对简单的实际问题能给出滑移线的正方向：推导汉基积分（4一17）式及（4一18）式：试述滑移线的几何性质；证明汉基第一定理（画图）：画出窄锤头冲压厚板时的滑移线场，并求解单位压力 P；试述何为几何可能位移和静力可能的屈服应力状态；求各种典型压力加工情况的上限解。 试述在平面镦粗和轧制时的单位摩擦力的分布规律；推导卡尔曼近似平衡微分方程式(6-46)及单位压力基本平衡微分方程式（4-49）并分析求解此方程式的基本方法；推导奥洛万近似的平衡微分方程式（6 -69)；画图说明各种因素对单位压力的影响；导出计算咬入角及变形区 长度的公式；试述中性角的概念；前滑的概念及前滑公式，如何测定前滑系数；写出轧件的工程常用变形系数；试述位移体积的概念及导出其表达式，导出以对数变形系数表示的体积不变条件；简述变形抗力的概念；简述各种因素对变形抗力的影响，了解强化强度，变形速度的概念；试述滑动摩擦的种类及概念，基本滑动摩擦机理；导出斯通公式；阐述轧机传动力矩的组成及概念；画图说明在简单轧制，带张力轧制及单辊传动时金属对轧辊作用力的方向。
第一章一维条件下的弹塑性变形 一、教学目标 了解塑性力学中的两个基本实验：单向拉伸实验和静水压力实验； 掌握塑性强化材料和理想弹塑性材料的应力应变曲线异同； 了解刚塑性模型和幂次强化模型； 掌握包氏效益应力-应变变化过程，两种强化模型：随动强化和等向强化模型； 了解塑性变形的细观机理和等效比拟； 明确弹塑性力学与弹性力学解题的差异：应力-应变过程相依关系； 掌握塑性强化和理想弹塑性材料的本构关系：增量本构和全量本构。 二、教学内容 介绍金属的单向拉伸压缩实验和静水压力实验结果——应力-应变曲线，讲解两种不同材料拉伸曲线异同和简化模型，介绍静水压力对变形过程的影响； 介绍应变强化现象，讲解两种强化模型的后继屈服限的异同； 介绍弹塑形变形的细观机理和一维变形行为的等效模型，更直观的说明材料在拉压和加卸载时的变形； 介绍弹性和塑形应力-应变曲线的异同，过程相依的概念； 讲解塑形强化材料和理想弹塑性材料的一维增量本构关系和全量本构关系。 三、重点难点 1)重点： 两种材料模型，及相应的应力-应变简化曲线；两个强化模型；两种细观机理；两种本构关系。 2)难点： 本构关系的推导。
四、 讲课提纲 五、 讲课内容 1一维应力条件下的弹塑性变形 1.1金属材料基本实验 在塑性力学中有两个基本实验：单向拉伸（或压缩）实验；材料在静水压力作用下物体体积变形的实验。这两个实验的结果是建立各种塑性理论的基础，现分别介绍： 1.1.1金属材料受单轴拉伸和压缩 引例： 材料力学中低碳钢试样的拉伸实验。以标准形状（尺寸）的试件在材料试验机上进行，试件在受到拉力F 作用时可以认为其中一段是处于均匀的单向应力状态。 真实应力曲线 本质 细观机理 等效模型 弹性 滑移（塑性） 理论公式化 增量本构关系 一维增量本构关系 全量本构关系 一维全量本构关系 0 d d σ ε 两种增量 可恢复变形 体积改变 永久变形 体积不变 拉压对称 现象 金属材料简单拉压 两种材料 模型 静水压力 体积变化基本是弹性的 理想弹塑形 屈服平台 塑性强化 屈服后任抵抗变形 应变强化 随动强化 （包氏效应） 等向强化 两种强化模型 σ ε
塑性力学与弹性力学的区别与联系固体力学就是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(荷载、温度变化等)下的力学响应的科学,按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正就是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学就是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为,包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)与位移的分布,以及与之相关的原理、理论与方法;塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性与塑性性质,当外载较小时,材料呈现为弹性的或基本上就是弹性的;当载荷渐增时,材料将进入塑性变形阶段,即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性与塑性,只就是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型;同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此,所谓弹性材料或弹性物体就是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性与塑性性质,特别就是在塑性变形阶段,变形中既有可恢复的弹性变形,又有不可恢复的塑性变形,因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料与结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论与方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学与弹性力学的区别在于,塑性力学考虑物体内产生的永久变形,而弹性力学不考虑;与流变学的区别在于,塑性力学考虑的永久变形只与应力与应变的历史有关,而不随时间变化,而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 一、基本假定 1、弹性力学: (1)假设物体就是连续的。就就是说物体整个体积内,都被组成这种物体的物质填满,不留任何空隙。这样,物体内的一些物理量,例如:应力、应变、位移等,才可以用坐标的连续函数表示。 (2)假设物体就是线弹性的。就就是说当使物体产生变形的外力被除去以后,物体能够完全恢复原来形状,不留任何残余变形。而且,材料服从虎克定律,应力与应变成正比。 (3)假设物体就是均匀的。就就是说整个物体就是由同一种质地均匀的材料组成的。这样,整个物体的所有部分才具有相同的物理性质,因而物体的弹性模量与泊松比才不随位置坐标而变。 (4)假设物体就是各向同性的。也就就是物体内每一点各个不同方向的物理性质与机械性质都就是相同的。 2、塑性力学: (1)材料就是连续的,均匀的。 (2)平均正应力(静水压力)不影响屈服条件与加载条件。 (3)体积的变化就是弹性的。 (4)不考虑时间因素对材料性质的影响。 二、基本内容 (一)弹性力学 弹性力学问题的求解主要就是基于以下几个理论基础。 1、Newton定律 弹性力学就是一门力学,它服从Newton所提出的三大定律,即惯性定律﹑运动定律,以及作用与反作用定律。质点力学与刚体力学就是从Newton定律演绎出来的,而弹性力学不同于理论力学,它还有新假设与新定律。