第5章思考题与习题 5-1 什么是被控过程的数学模型 解答： 被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。 5-2 建立被控过程数学模型的目的是什么过程控制对数学模型有什么要求解答： 1）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数； ○2指导生产工艺及其设备的设计与操作； ○3对被控过程进行仿真研究； ○4培训运行操作人员； ○5工业过程的故障检测与诊断。 2）要求：总的原则一是尽量简单，二是正确可靠。阶次一般不高于三阶，大量采用具有纯滞后的一阶和二阶模型，最常用的是带纯滞后的一阶形式。 5-3 建立被控过程数学模型的方法有哪些各有什么要求和局限性解答：P127 1）方法：机理法和测试法。 2）机理法： 测试法： 5-4 什么是流入量什么是流出量它们与控制系统的输入、输出信号有什么区别与联系 解答： 1）流入量：把被控过程看作一个独立的隔离体，从外部流入被控过程的物质或能量流量称为流入量。 流出量：从被控过程流出的物质或能量流量称为流出量。 2）区别与联系： 控制系统的输入量：控制变量和扰动变量。 控制系统的输出变量：系统的被控参数。
5-5 机理法建模一般适用于什么场合 解答：P128 对被控过程的工作机理非常熟悉，被控参数与控制变量的变化都与物质和能量的流动与转换有密切关系。 5-6 什么是自衡特性具有自衡特性被控过程的系统框图有什么特点 解答： 1）在扰动作用破坏其平衡工况后，被控过程在没有外部干预的情况下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。 2）被控过程输出对扰动存在负反馈。 5-7 什么是单容过程和多容过程 解答： 1）单容：只有一个储蓄容量。 2）多容：有一个以上储蓄容量。 5-8 什么是过程的滞后特性滞后又哪几种产生的原因是什么 解答： 1）滞后特性：过程对于扰动的响应在时间上的滞后。 2）容量滞后：多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞 后。 纯滞后：在生产过程中还经常遇到由（物料、能量、信号）传输延迟引 起的纯滞后。 5-9 对图5-40所示的液位过程，输入量为1Q ，流出量为2Q 、3Q ，液位h 为被控参数，水箱截面为A ，并设2R 、3R 为线性液阻。 （1）列写液位过程的微分方程组； （2）画出液位过程的框图； （3）求出传递函数)()(1s Q s H ，并写出放大倍数K 和时间常数T 的表达式。 解答：
第一章 ●管理：就是合理组织人力、物力、财力、时间、信息协调各种关系和各项工作，高效益 地实现预定目标的活动过程。管理包括领导、指挥活动和协调、组织、运筹的活动。 ●教育管理是社会管理的更重要组织部分。教育管理包括国家教育的行政管理，即宏观管 理，和学校内部的管理，即学校管理，亦称微观管理。 ●教育管理是管理者通过组织协调教育队伍，充分发挥教育人力、财力、物力和信息的作 用，利用教育内部各种有利条件，高效率地实现教育管理目标的活动过程。教育管理的二重性即自然属性和社会属性。 ●教育管理学包括（教育行政学）和学校管理两大分支。 ●20世纪初，泰勒的科学管理运动及其在教育行政中的运用，推动了教育管理学科的发 展。 ●现代教育管理学科研究的对象，大体有以下几种观点：1、主张研究教育管理现象，以 教育管理现象为其研究对象；2、以教育管理过程发展的规律为研究对象；3、以教育管理既不是研究对象，也不是研究规律，而是研究教育管理中的问题。争论虽多，但大家比较认同的是，教育管理学是研究教育管理现象及其发展规律的学说。 ●教育管理学的学习方法：首先要认真读一点书；其次，要认真研究问题；再次要认真总 结教育管理实践的经验。 第二章教育管理的特点 ●什么是一般意义上的管理呢？学术办的认识并不一致，有些专家认为，管理的特点就是 安排；有些专家认为，管理的特点就是处理关系；有些专家认为，管理的特点就是确立目标；有些专家认为，管理的特点就是讲效率；此外，还有一些认识，如认为管理就是一种系统工程，就是信息的输入、存贮和输出，就是一种信息的控制，等等。 ●管理包括三层意思：正确的目标（核心）；有合理的组织措施（主体）；要讲效率（生命 力所在） ●教育管理的特点：管理内容的教育性；管理对象和“产品”的主体性；管理过程的复杂 性 ●教育管理的主要矛盾：在教育管理过程中，管理者是人，管理的主要对象和培养目标都 是人，处理人与人之间的矛盾关系，是教育管理的主要矛盾。 ●教育管理的基本范畴：（1）主体与客体；（2）共性和个性；（3）质量与数量；（4）有效 与无效；（5）集权与分权；（6）权威与服从。 ●共性：即事物共同具有的性质，它反映了事物及其发展过程矛盾的普遍性；个性：即事 物的特性，它反映了事物及其发展过程矛盾的特殊性。 ●有效管理（放大效应）：科学的教育管理，能使教育的人、财、物形成合理的结构，能 发挥人的潜能，能提高物的使用效率，能使时、空、信息得到充分运用….这就是管理的系统功能和放大效应。 ●无效管理：投入大量人力、财力、物力，付出辛勤劳动而达不到预期管理效果的管理， 叫无效管理。 ●集权：就是大权独揽，统一管理，集中指挥；分权：就是小权分散，向下级科室授权， 充分发挥下级和基层的主动性和积极性。 ●教育权威：指教育管理过程中使全体教育人员信服的力量和威望。服从：指教育管理中 遵照和听从教育权威意见的行力。 第三章教育管理目标 ●目标：是人们的行力想要达到的目的和标准。由于目标是在人们行动之前确定的，具有
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
过程控制系统第二章（对象特性）习题 2-1．什么是被控过程的数学模型 2-1解答： 被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。 2-2．建立被控过程数学模型的目的是什么过程控制对数学模型有什么要求 2-2解答： 1）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数； ○2指导生产工艺及其设备的设计与操作； ○3对被控过程进行仿真研究； ○4培训运行操作人员； ○5工业过程的故障检测与诊断。 2）要求：总的原则一是尽量简单，二是正确可靠。阶次一般不高于三阶，大量采用具有纯滞后的一阶和二阶模型，最常用的是带纯滞后的一阶形式。 2-2．简述建立对象的数学模型两种主要方法。 2-2解答： 一是机理分析法。机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)，在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。 二是实验测取法。实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。 5-12 何为测试法建模它有什么特点 2-3解答： 1）是根据工业过程输入、输出的实测数据进行某种数学处理后得到数学模型。
2）可以在不十分清楚内部机理的情况下，把被研究的对象视为一个黑匣子，完全通过外部测试来描述它的特性。 2-3．描述简单对象特性的参数有哪些各有何物理意义 2-3解答： 描述对象特性的参数分别是放大系数K 、时间常数T 、滞后时间τ。 放大系数K 放大系数K 在数值上等于对象处于稳定状态时输出的变化量与输入的变 化量之比，即 输入的变化量 输出的变化量=K 由于放大系数K 反映的是对象处于稳定状态下的输出和输入之间的关系，所以放大系数是描述对象静态特性的参数。 时间常数T 时间常数是指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变 化，达到新的稳态值所需的时间。或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63．2％所需时间。 时间常数T 是反映被控变量变化快慢的参数，因此它是对象的一个重要的动态参数。 滞后时间τ滞后时间τ是纯滞后时间0τ和容量滞后c τ的总和。 输出变量的变化落后于输入变量变化的时间称为纯滞后时间，纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递需要一段时间引起的。容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。 滞后时间τ也是反映对象动态特性的重要参数。 5-6 什么是自衡特性具有自衡特性被控过程的系统框图有什么特点 2-3解答： 1）在扰动作用破坏其平衡工况后，被控过程在没有外部干预的情况下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。 2）被控过程输出对扰动存在负反馈。
§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份
第四章过程特性与数学模型 教学要求：了解过程特性的类型的四种类型 掌握描述过程特性的参数的物理意义及对控制通道、扰动通道的影响 学会一阶对象、二阶对象的建模 掌握机理分析法建模的一般步骤 了解实验测试法 重点：描述过程特性的参数的物理意义及对控制通道、扰动通道的影响 运用机理分析法建模 难点：时间常数的物理意义 过程特性的参数对控制通道、扰动通道的影响 过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构及其特性所决定。过程即为被控对象，它是否易于控制，对整个系统的运行情况有很大影响。 §4.1过程特性 被控过程的种类常见的有：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉 等。这些被控过程的特性是由工艺生产过程和工艺设备决 定的。 被控过程特性-----指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。通道------被控过程的输入量与输出量之间的信号联系 控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系 扰动通道-----扰动变量至操纵变量的信号联系 一、过程特性的类型 多数工业过程的特性可分为下列四种类型： 1.自衡的非振荡过程 2. 无自衡的非振荡过程 3. 有自衡的振荡过程 4. 具有反向特性的过程 二、描述过程特性的参数 用放大系数K、时间常数T、滞后时间τ三个物理量来定量的表示过程特性。（主要针对自衡的非振荡过程） 1.放大系数K ⑴K的物理意义 K的物理意义：如果有一定的输入变化量ΔQ作用于过程，通过过程后被放大了K倍，变为输出变化量ΔW。
⑵放大系数K对系统的影响 对控制通道的影响 对扰动通道的影响 2. 时间常数T ⑴时间常数T的物理意义 时间常数是被控过程的一个重要的动态参数，用来表征被控变量的快慢程度。 时间常数T的物理意义还可以理解为：当过程受到阶跃输入作用后，被控变量保持初始速度变化，达到新的稳态值所需要的时间就是时间常数T。 ⑵时间常数T对系统的影响 对控制通道的影响 对扰动通道的影响 3. 滞后时间τ ⑴纯滞后τ0（P142） ⑵容量滞后τn ⑶滞后时间τ对系统的影响 对控制通道的影响 对扰动通道的影响 §4.2 过程数学模型的建立 过程的（动态）数学模型---是指表示过程的输出变量与输入变量间动态关系的数学描 述。 过程的输入是控制作用u（t）或扰动作用f（t）, 输出是被控变量ｙ（t）． 数学模型：非参数模型，即用曲性或数据表格来表示，如阶跃响应曲线、脉冲响应曲线 和频率特性曲线；另一种是 参数模型，即用数学方程式来表示，如微分方程（差分方程）、传递函数、 状态空间表达式等。本节所涉及的模型均为用微分方程描述的 线性定常动态模型。 建立数学模型的基本方法 机理分析法-----通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或化学变化规律， 在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方 程，用微分方程或代数方程。这种方法完全依赖于足够的先验 知识，所得到的模型称为机理模型。机理分析法一般只能用于 简单过程的建模。机理分析法 实验测试法-----由过程的输入输出数据确定模型的结构和参数。 4.2.1机理分析法 微分方程建立的步骤归纳如下： ⑴根据实际工作情况和生产过程要求，确定过程的输入变量和输出变量。 ⑵依据过程的内在机理，利用适当的定理定律，建立原始方程式。 ⑶确定原始方程式中的中间变量，列写中间变量与其他因素之间的关系。 ⑷消除中间变量，即得到输入、输出变量的微分方程。 ⑸若微分方程是非线性的，需要进行线性化处理。
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法
为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
第二章 数学模型作业与习题解答 2-1 试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压1u 和位移1x 为输入量，电压2u 和位移2x 为输出量；k 、1k 和2k 为弹性系数；f 为阻尼器的阻尼系数。 解： 1212 2 211u idt u u i u C C u u iR i R ?=+?=+????=?=??? 2211 u u u RC + = 21()1()1U s s RCs U s RCs s RC == ++
221fx kx fx += 21()()1f s X s fs k f X s fs k s k ==++ 1111 ()()()1c R Cs U s I s U s R Cs ? =?++ 22()()U s R I s = 22111221()(1) ()U s R R Cs U s R R R R Cs +=++ 12212212121()R R u R R Cu R R Cu R u ++=+ 1222111211 R R u u u u R R R C ++ =+
22 2211 1121212121() (1) 1() 1 1U s R R R R Cs R U s R R R R Cs R R Cs R Cs R R Cs +=== ++? + ++ + 21222111fx k x k x k x fx ++=+ 112121112 12 1()()1k f s k k k x s fs k f x s fs k k s k k ??+ ? ++??= ++++＝ 22211212 1()1 1( )()1 R U s R Cs Cs U s R R Cs R R Cs + +== ++++
15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为 s 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车 获得的功率 P 与 v 、S 、 的关系 . 解: 设 P 、 v 、 S 、 的关系为 f ( P, v, s, ) 0 ， 其量纲表达式为 : [P]= ML 2T 3 , [ v ]= LT 1 ,[ s ]= L 2 ,[ ]= ML 3 , 这里 L, M ,T 是基本量纲 . 量纲矩阵为： 2 1 2 3 ( L) A= 1 0 0 1 ( M ) 3 1 (T ) ( P) (v) (s) ( 齐次线性方程组为： 2 y 1 y 2 2y 3 3y 4 y 1 y 4 0 3y 1 y 2 它的基本解为 y ( 1,3 ,1,1) 由量纲 P i 定理得 P 1v 3 s 1 1 ， P v 3s 1 1 ， 其中 是无量纲常数 . 16．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的定义 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比， 比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 . 解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0. 其量纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=L -3 MT 0， -2 -1 L -1 -1 -2 -2 -2 -1 -1 0 -2 , 其中 L ，M ， T 是基本量纲 . [ ]=MLT （ LT ） L =MLL T T=L MT ， [ g ]=LM T 量纲矩阵为 1 3 1 1 ( L) A= 0 1 1 0 ( M ) 1 0 1 2 (T ) (v) ( ) ( ) ( g) 齐次线性方程组 Ay=0 ，即 y 1 - 3y 2 - y 3 y 4 0 y 2 y 3 - y 1 - y 3 - 2y 4 的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲 P i 定理 得 v 3 1 g . v 3 g ，其中 是无量纲常数 .
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
过程特性与数学模型 过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构及其特性所决定。过程即为被控对象，它是否易于控制，对整个系统的运行情况有很大影响。 §4.1过程特性 被控过程的种类常见的有：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉 等。这些被控过程的特性是由工艺生产过程和工艺设备决 定的。 被控过程特性-----指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。通道------被控过程的输入量与输出量之间的信号联系 控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系 扰动通道-----扰动变量至操纵变量的信号联系 一、过程特性的类型 多数工业过程的特性可分为下列四种类型： 1.自衡的非振荡过程 2. 无自衡的非振荡过程 3. 有自衡的振荡过程 4. 具有反向特性的过程 二、描述过程特性的参数 用放大系数K、时间常数T、滞后时间τ三个物理量来定量的表示过程特性。（主要针对自衡的非振荡过程） 1.放大系数K ⑴K的物理意义 K的物理意义：如果有一定的输入变化量ΔQ作用于过程，通过过程后被放大了K倍，变为输出变化量ΔW。 ⑵放大系数K对系统的影响 对控制通道的影响 对扰动通道的影响 2. 时间常数T ⑴时间常数T的物理意义 时间常数是被控过程的一个重要的动态参数，用来表征被控变量的快慢程度。 时间常数T的物理意义还可以理解为：当过程受到阶跃输入作用后，被控变量保持初始速度变化，达到新的稳态值所需要的时间就是时间常数T。 ⑵时间常数T对系统的影响 对控制通道的影响
对扰动通道的影响 3. 滞后时间τ ⑴纯滞后τ0（P142） ⑵容量滞后τn ⑶滞后时间τ对系统的影响 对控制通道的影响 对扰动通道的影响 §4.2 过程数学模型的建立 过程的（动态）数学模型---是指表示过程的输出变量与输入变量间动态关系的数学描 述。 过程的输入是控制作用u（t）或扰动作用f（t）, 输出是被控变量ｙ（t）． 数学模型：非参数模型，即用曲性或数据表格来表示，如阶跃响应曲线、脉冲响应曲线 和频率特性曲线；另一种是 参数模型，即用数学方程式来表示，如微分方程（差分方程）、传递函数、 状态空间表达式等。本节所涉及的模型均为用微分方程描述的 线性定常动态模型。 建立数学模型的基本方法 机理分析法-----通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或化学变化规律， 在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程， 用微分方程或代数方程。这种方法完全依赖于足够的先验知识， 所得到的模型称为机理模型。机理分析法一般只能用于简单过 程的建模。机理分析法 实验测试法-----由过程的输入输出数据确定模型的结构和参数。 4.2.1机理分析法 微分方程建立的步骤归纳如下： ⑴根据实际工作情况和生产过程要求，确定过程的输入变量和输出变量。 ⑵依据过程的内在机理，利用适当的定理定律，建立原始方程式。 ⑶确定原始方程式中的中间变量，列写中间变量与其他因素之间的关系。 ⑷消除中间变量，即得到输入、输出变量的微分方程。 ⑸若微分方程是非线性的，需要进行线性化处理。 ⑹标准化。即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并按将幂排序。 例4.1 试列写图４.13所示RC无源网络的动态数学模型。设u i为输入变量，u o为输出变量。例4.2 图4.14所示为一测温热电偶，它可将被测温度转换为热电势E。图中介质的温度为T i，热电偶热端温度为T o。试列写热电偶的微分方程。 例4.3 一个串联液体贮槽，通过改变贮槽2的流出量Q out来控制其液位h2在一定高度。图中A1 、A2分别为两贮槽的截面积；R1、R2分别为阀1、阀2的阻力系数。是建立串联液体贮槽
学习目标 （1）了解数学建模的方法和步骤以及数学模型的分类。 （2）具备数学建模常用思维方法及能力。 根据研究目的，对研究的过程和现象（称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构。所谓“数学化”，指的就是构造数学模型通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法，简称为MM方法。 数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学建模有广义和狭义两种解释。广义的说，数学概念，如数、几何、向量、方程都可称为数学模型；狭义的说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方式。数学模型大致可以分为两类：（1）描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是微分方程、积分方程和差分方程等；（2）描述客体或然现象的随机性模型。其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80m左右、体重70kg左右，100m成绩10s左右或更好等。 用字母、数字和其它数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内在联系或与外界联系的模型，它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有利工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。 知识链接 一、数学模型的分类 数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。例如： （1）按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。 （2）安研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、 经济模型、社会模型等。 （3）按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。 （4）按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。 （5）按应用离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。 （6）按人们对事物发展过程的了解程度分：黑箱模型、灰箱模型、白箱模型。 白箱模型指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的 工程技术问题。 灰箱模型指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程 度上都还有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。 黑箱模型指一些内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学 等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂、也可以简化为灰箱模型来研究。 二、数学建模的一般方法 建立数学模型的方法没有一定的模式，但一个理想的模型应该反映系统的全部 重要特征，模型应具有可靠和实用性。 建模的一般方法 1.机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机