抓不变量解题
1．甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5。那么两包糖果重量的总和是多少？
2。小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3 ：5。这本书共有多少页？
3。运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4。如果再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3 ：7。这批货物共多少吨？
4。六年级二班同学分成两个小组做游戏，开始时甲、乙两个组的人数比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢到了乙组，这时甲、乙两组人数比是1：2．甲组原有同学多少人?
5。甲、乙两书架的数量比是4：1，如果从甲书架取出13本书放入乙书架，甲、乙两书架的数量比变为7：5，那么两书架的数量总和是多少本？
6。修一条公路，已修长度和未修长度的比是1：5，又修了490米后，已修长度和未修长度的比是3：1，这时未修公路的长度为多少米？
7。甲、乙两人原来钱数的比是3：4，后来
甲原来有多少元？
8。一条公路，已修的与剩下的比是1：3，再修20千米，已修的与全长的比是2：5，这条公路长多少千米？
9.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的
4，后来又从乙组调16人到甲组，
5
这是乙组人数是甲组的
3，甲、乙两组原来
4
各有多少人？
10.甲、乙两校原有篮球只数的比是2︰1，如果甲校给乙校4只篮球，甲、乙两校篮球只数的比就是4︰3。原来甲校有篮球多少只？
11.小明读一本书，第一天读了全书的20%，第二天读了28页，这时读的页数与剩下页数的比是5：6，小明读的这本书共有多少页？
12.小明看一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是2：7，第二天读了68页，已读的和未读的页数比是4：5．这本书共有多少页？
13.张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与未完成的个数比是1：4，如果再加工15个，就完成了这批零件的一半，张师傅第一天完成了多少个零件？
14.甲、乙两箱苹果的个数之比是5：2，如果从甲箱取出5个放入乙箱后，甲、乙两箱苹果的数量比是9：5，则两箱苹果共有多少个？
15.如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两仓库各存货物多少吨？
16.小明和小芳星期天一起到新华书店去买书，所带钱数的比是11：3，如果小明给15元小芳，那么小明、小芳的钱数比就是4：
3．小明和小芳各带了多少钱？
17.六（2）班同学报名参加绘画兴趣组，
一开始有1
3的人报名，后来又有5人报名，
这样，参加人数与不参加人数的比是4：5，六（2）班共有多少个同学？
18.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的4/5，后来又从乙组调16人到甲组，这是乙组人数是甲组的3/4，甲、乙两组原来各有多少人？
19. 乙队原有人数是甲队的。现在从甲队派１０人到乙队，则乙队人数是甲队人数的。甲、乙两队原来各有多少人？
20. 有两缸金鱼，如果从第一缸内取出15尾放入第第二缸，这时第一缸内的金鱼正好是第二缸的
；如果从第二缸内取出17尾放人第一缸，这时第二缸内的金鱼也正好是第一缸的。第一缸原有金鱼多少尾？
21。甲乙二人各有若干元，甲对乙说：“如果你给我10元，则我的钱比你多5倍。”，
7332
7575
乙对甲说“如果你给我10元，我们的钱就一样多。”，甲乙各有多少元？
22.甲乙各有若干元，甲对乙说：“如果你给我10元，我和你的钱的比是9:5.”，乙对甲
说“如果你给我14元，我的钱是你的323倍”。
甲乙各有多少元？
23. 如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两仓库各存货物多少吨？
24．甲乙二人各有若干元，甲对乙说“若你给我10元，那么我的钱是你的2倍。”乙对甲说“若你给我10元，那么我的钱比你多10
1。”。甲乙各有多少元？
25。甲、乙二人去卖米，甲说：“你给我100千克，咱俩的米同样多。”乙说：“你给我100千克，我与你的米的质量比为5：1。”请你算一算，甲、乙二人各有多少千克米。
26.图书室看书的男女同学各有若干名，走了
6名男同学，女同学的人数是男同学的65，
又走了4名女同学，这时男同学人数是女同学的2倍。图书室原来一共有多少人看书？
27.图书室原来有一些同学在看书，走了5名女同学，男同学是女同学的2.5倍，又走了10名男同学，男同学是女同学的1.5倍。原来图书室有多少人看书？
28.图书室原来有一些同学在看书，来了10名男同学，男同学的人数是女同学的3
11倍，又来了1名女同学，现在女同学人数是男同学的54。最初在图书室看书的男女同学各有多少人？
29.一杯盐水，加入10克盐，浓度变为30%，再加入20克水，浓度为24%，这杯盐水原来的浓度是多少？
30.一杯盐水，加入10克盐，浓度为32%，再加入14克水，浓度为25%。这杯盐水原来的浓度是多少？
31.一杯盐水，加入8克盐，浓度为25%，再加入12克水，浓度为20%。这杯盐水原来的浓度是多少？
32．操场上玩游戏的男女同学各有若干人，来了3名男生，男生和女生人数比是5:3，又走了4名女生，这时男生人数是女生的3倍。原来操场上玩游戏的男女生各有多少人？
抓住不变量解题练习 一、抓住和不变 1．甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原 来各有多少吨？ 2．某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1 4 ，后来又有2个同学主动参加，实 际参加的人数是未参加人数的1 3 ，问某班五年级有学生多少人? 3．甲、乙两人原有钱的比是3∶4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1 2 ，原来两 人各有多少元钱? 二、抓住部分量不变 4．有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1 9 ，现在又买来一些科技书，此时 科技书占总数的1 6 。又买来多少本科技书？ 5．有10千克蘑菇，它们的含水量是99%，稍经晾晒，含水量下降到98%，晾晒后的蘑菇重多少千克? 6．现有浓度为20%的食盐水80克。把这些食盐水变为浓度为75%的食盐水，需要再加食盐多少克? 三、抓住差不变 7．王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3∶2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9∶4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？ 8．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个？ 抓住不变量解题过关练习1
1．甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1 3 给乙，甲还比乙多 1 5 ，甲乙原来各 有多少吨？ 2．明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3 4 ，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的 只数同样多，这群鸭子有多少只? 3．煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户 数的1 8 。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的 1 6 ，这幢楼有多少住户? 4．有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放16块水果糖后，奶糖就占25%，那么，这堆糖中奶糖有多少块? 5．在阅览室里，女生占全室人数的1 3 ，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的 5 13 ，阅览室原有多少人？ 6．现有浓度为20%的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75%的食糖水，需加食糖多少克? 7．乙队原有人数是甲队的3 7 。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的 2 3 。 甲乙两队原来各有多少人？ 8．有一堆糖果，其中奶糖占9 20 ，再放入16块水果糖后，奶糖就只占 1 4 。这一堆糖果 原来共有多少块？ 9．新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48人，六年二班有学生56人，两个班 各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2 11 ，两个班各转出多少人？ 抓住不变量解题过关练习2
六年级教案 课题抓不变量解分数（比的）应用题 我们已经学过比的有关知识，都知道比和分数、除法有着密切的关系，所有比、分数与除法都能互相转化。运用这些方法解决一些实际问题就可以使问题化 教学内容 难为易，化繁为简 , 有时还要根据题意，抓住题中不变量，找出不变量占单位“ 1”的 分率，从而解决问题。 教学内容 题型一、抓住和不变 例题：甲、乙两人原有钱的比是3∶ 4，后来甲又给乙50 元，这时甲的钱是乙的1 ，原来两人各2 有多少元钱 练习一 1．甲车间的人数是乙车间的3 ，从乙车间抽调 42 人到甲车间后，甲、乙两车间的人数之比是2:3 ，7 求甲、乙两车间原来一共有多少人 2．某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1 ，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人4 数是未参加人数的1 ，问某班五年级有学生多少人3 二、抓住部分量不变 例题：某厂共有职工120 人，其中女职工占全厂的1 ，后来这个厂又从下岗女工中招收了一些5 人，这时女职工人数占全厂的 1 ，这个厂现有职工多少人新招收的女工多少人 4
练习二 1.育才小学有科技书和文艺书共 360 本，其中科技书占总数的1 ，现在又买来一些科技书，此时9 科技书占总数的1 。又买来多少本科技书6 2．张庄小学六年级学生中女生占 7 ，后来又转来了 15 名女生，这样女生占六年级总人数的 3 ，125 六年级原来有多少名学生 3.一杯糖水，其中糖的质量占总质量的1 ，再放入15克水后，糖的质量占总质量的 1 。那么原45 来这杯糖水有多重 三、抓住差不变 例题：王叔叔和李叔叔每月工资收入比为 3∶2，他们两家每月支出为 2400 元，两家每月结余的钱数比为 9∶4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元 练习三 1、今年妈妈 36 岁，女儿 9 岁，当女儿的年龄是妈妈年龄的2 时，女儿多少岁5
第二十一周 抓“不变量”解题 专题简析： 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 例1． 将4361 的分子与分母同时加上某数后得7 9 ，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以， 原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的7 9 ， 由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－7 9 ）＝81 分子：81×7 9 ＝63 81-61＝20或63-43＝20 解法二：4361 的分母比分子多18，79 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将7 9 的 分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。 ① 7 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） ② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63 81 ③ 所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。 练习1： 1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 5 ，那么减去的数是多少？ 2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得3 5 ，那么同加的这个数是多少？ 3、 319 的分子、分母加上同一个数并约分后得5 7 ，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 3 ，那么减去的数是多少？ 例2： 将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得2 3 ，求这个分数。 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4 5 ”可 知，分母比分子的54 倍还多2。由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的3 2 倍少1，从而将 原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（32 －5 4 ）=12 分母：12×3 2 -1＝17 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
（ 抓不变量解答分数应用题 一、抓住和不变 1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨， 甲乙原来各有多少吨 练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨 2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动 参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户 2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱 3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只 数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只 ， 二、抓住部分不变 1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书 练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克 2、现有质量分数为20％的食盐水80克。把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克 练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块 2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人 三、抓住差不变 王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元 % 综合练习： 1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个 2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克 3、乙队原有人数是甲队的3/7。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的2/3。甲乙两队原来各有多少人 4、有一堆糖果，其中奶糖占9/20，再放入16块水果糖后，奶糖就只占1/4。这一堆糖果原来共有多少块
第二十一周 抓“不变量”解题 专题简析： 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 例1． 将4361 的分子与分母同时加上某数后得7 9 ，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子 是分母的7 9 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－7 9 ）＝81 分子：81×7 9 ＝63 81-61＝20或63-43＝20 解法二：4361 的分母比分子多18，7 9 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所 以将7 9 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。 ① 7 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） ② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63 81 ③ 所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。 练习1： 1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 5 ，那么减去的数是多少？ 2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得3 5 ，那么同加的这个数是多少？ 3、 319 的分子、分母加上同一个数并约分后得5 7 ，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 3 ，那么减去的数是 多少？ 例2：
将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得2 3 ，求这个分数。 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2 得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的3 2 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12 分母：12×3 2 -1＝17 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 ① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。23 ＝46 ＝1218 ，45 ＝12 15 ② 原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 答：这个分数为12 17 。 练习2： 1、 将一个分数的分母加上2得79 ，分母加上3得3 4 。原来的分数是多少？ 2、 将一个分数的分母加上2得34 ，分母加上2得4 5 。原来的分数是多少？ 3、 将一个分数的分母加上5得37 ，分母加上4得4 9 。原来的分数是多少？ 4、 将一个分数的分母减去9得58 ，分母减去6得7 4 。原来的分数是多少？ 例3： 在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5 7 。如果在它的分子上减去同一个 数，这个分数就等于1 2 ，求原来的最简分数是多少。 解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即57 =10 14 ， 12 =714 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想1014 和7 14 的分子和分母再乘以2。所以 57 ＝1014 ＝2028 ，12 ＝714 ＝14 28 故原来的最简分数是17 28 。 解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以 （57 +12 ）÷2＝17 28
抓住不变量解分数应用题的方法 例1、甲乙两个班，甲班的人数是乙班的 5 4 ，现在从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是乙班的4 3 。 甲班原有多少人？ 分析与解答：解决这道题的关键就是抓住两班的总人数不变，由于甲班的人数是乙班的5 4 ，则甲班人数是两班总人数的 454+=9 4，同理从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是两班总人数的433+=73 ，这时乙班男 生人数比甲班男生人数多了总数的73-94=63 1 ，则总人数 的63 1 就是从甲班调2位男生到乙班的人数所对应的分 率，那么两班的总人数就是2÷63 1 =126（人），再由甲 班的人数是乙班的54可知，甲班人数占总人数的94 ，因 此甲班有126×9 4 =56（人）。 例2、六（1）班男生是女生的5 4 ，后来又招来2名女 生，现在男生是女生的4 3 。六（1）原来有多少人？ 分析与解答：解决这道题的关键是抓住招聘前后的男生人数不变，由于招聘前男生是女生的5 4 ，则女生人数是男生人数的4 5 ，后来又招来2名女生后女生人数是男生人数的 3 4 ，这时女生人数就比男生人数多了34-45 =12 1，那么男生人数有2÷121=24（人），由男生是 女生的54可知，男生人数是全班人数的454+=9 4 ，所以六 （1）原来有24÷9 4 =54（人）。
例3、六年级男生占全年级人数的 5 2，现在男生和女生各增加100人，这时男生人数占全年级人数的12 5 。现 在六年级男生、女生各有多少人？ 分析与解答：解决这道题的关键是抓住男女生人数差 不变，增加前，男女人数差占全年级的 5 23-=51=102 (差相同)，增加后，男女人数差占全年级的12 57-=122 ，因为男 生和女生各增加100人，那么总人数就增加了100×2=200（人），由上面分析可知，总人数增加200人以后，总人数增加了12-10=2（份），说明每份就是200÷2=100（人），又因为男生和女生各增加100人后男生人数占全年级人数的 12 5 ，说明现在男生人数占5份，女生人数占12-5=7份，所以现在男生人数有100×5=500（人），女生有100×7=700（人）。 例4、小东今年9岁，他的爸爸今年39岁，多少年后 小东的年龄是爸爸的3 1 ？ 分析与解答：这属于年龄问题，解决此类问题的关键是抓住年龄差不变，根据题意可知，小东和爸爸的年龄差是39-9=30（岁），要多少年后小东的年龄是爸爸 的31，就是求多少年后爸爸和小东的年龄差是1-31=3 2， 所以爸爸的年龄是30÷32 =45（岁），所以45-39=6（年） 后小东的年龄是爸爸的3 1 。 例5、一个工厂，女工是全厂职工的158 ，现在又招来 60名女工，这时女工占全厂职工的9 5 ，求现在有女工 多少人？ 分析与解答：解决这道题的关键就是抓住男职工人数
【关键字】思路、条件、问题、主动、加大、统一、发现、关键、关系、解决 应用题中的不变量 一、部分量不变 例1、育红小学六年级图书角原来有科技书与文艺书本数比是5∶6，借出10本科技书后，科技书与文艺书本数比是3∶4。科技书原来有多少本？ 解法一：本题文艺书本数不变。由原来有科技书是文艺书本数的5 6，现在科技书是文艺书本数的 3 4， 则文艺书本数是10÷（5 6－ 3 4）本，得科技书原来有的本数。 10÷（ 5 6－ 3 4）× 5 6 ＝10÷ 1 12× 5 6 ＝100（本） 解法二：本题文艺书本数不变。由科技书与文艺书本数比。 原来5∶6＝10∶12 现在3∶4＝9∶12 则文艺书本数的份数12不变，得科技书原来有的本数。 10÷（10－9）×10＝100（本） 例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱？ [思路点拔]：题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”，再根据题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是100÷1/3=300(元)，小军原有钱数是300×3/4=400（元） 例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ [思路点拔]：从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名) 例4、有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖? [思路点拔]：糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克，所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620克那么要加糖:620-600=20克 例5、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？ [思路点拔]：首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，算出其只数80×(1－)=44只。 然后，计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1－=）。接着，算出变化后的总只数：44÷=100只。最后，对比变化前后总只数，得出结论：100－80=20只。 二、两个量和不变 例6、实验学校组织学生大扫除，六年级学生参加大扫除的人数是未参加的1 4，后来又有12名学生
抓住不变量解分数应用题 例1、公园里有杨树、柳树、桃树和梅树，已知杨树占其他三种树的 31，柳树占其他三种树的53，桃树占其他三种树的11 1，梅树有14课，问公园里杨树、柳树、桃树和梅树共有多少课？ 分析：这里的分率31、53、11 1的标准量各不相同，很难直接参加列式。但我们应观察到四种树的总量不变，故可对条件进行转化，统一标准量。“杨树占其他三种树的31”可转化为“杨树占四种树的4 1”； “柳树占其他三种树的53”可转化为“柳树占四种树的83”；“桃树占其他三种树的111”可转化为“桃树占四种树的12 1”。由此可推出，梅树占四种树的1-41-83-121=247。又知道，梅树有14课。本题可简化为：四种树总数的24 7是14棵，求四种树共有多少棵？ 列式：14÷（1-41-83-121）=14÷24 7=48（棵） 例2、某班原来女生是男生的85，后来又调进4名女生，这时女生是男生的4 3，求这个班原有男生多少人？ 分析：抓住男生的人数不变进行分析，分析增加的4名女生占男生的几分之几，再列式计算。 列式：4÷（ 43-85）=4÷81=32（人） 例3、有两条绳子，一条长21米，一条长13米，把两条绳子剪下同样长的一段后，发现短绳子剩下部分是长绳子剩下部分的13 8，求两条绳子各剪下多少米？ 分析：抓住两条绳子的差不变进行分析，先分析这个差（8米）占长绳子剩下部分的 135，求出长绳子剩下部分的长度，再求出剪去的长度。 列式：21-（21-13）÷（1-138）=21-8÷13 5=21-2054=51（米） 练习精选 1. 甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？ 【思路点拨】 现在甲是(180+10)÷2=95吨 所以, 原来甲95÷(1-1/3)=142.5吨 乙 180-142.5=37.5吨 2.现有质量分数为20％的食盐水80克。把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克? 【思路点拨】 盐水80克，则含盐80*0.20=16克，含水80-16=64克 变为75%盐水后水量不变，总重变为64/0.25=256克 256-80=176克， 即加盐176克 3. 乙队原有人数是甲队的3/7。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的2/3。甲乙两队原来各有多少人？ 【思路点拨】 甲队占总人数的7/（7+3）＝7/10 派30人到乙队后占总人数的3/（3+2）＝3/5 少了总数的7/10-3/5＝1/10 所以总人数为30/（1/10）＝300人 甲＝300*7/10＝210人 乙＝300-210＝90人
抓不变量解答分数应用题 一、抓住和不变 1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨， 甲乙原来各有多少吨？ 练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？ 2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动 参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户? 2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱? 3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只 数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只? 二、抓住部分不变 1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书？ 练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克? 2、现有质量分数为20％的食盐水80克。把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克? 练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块? 2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？ 三、抓住差不变 王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？ 综合练习： 1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个? 2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克? 3、乙队原有人数是甲队的3/7。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的2/3。甲乙两队原来各有多少人？ 4、有一堆糖果，其中奶糖占9/20，再放入16块水果糖后，奶糖就只占1/4。这一堆糖果原来共有多少块？
找不变量解应用题 1、工程队修一条公路,已修了全长的1 5 ,如果再修300米,已修的是全长的 1 4 。这天公路长 多少米？ 2、工程队修一条公路，已修的占未修的1 3 ，如果再修250米，已修的占未修的 1 2 。这条公 路长多少米？ 3、某小学组织学生参加清扫环境卫生活动，其中女生是男生的4 5 ，后来因有别的任务，需 要调走22名女生，又调入同样多的男生，这时女生是男生的1 4 ，这个小学原来参加活动的 有多少人？ 4、某饲养场白兔是黑兔的5 7 ，如果黑兔增加10只，白兔是黑兔的 2 3 。饲养场原来有黑兔 和白兔各多少只？ 5、一杯糖水，糖占糖水的1 5 ，再加16克糖后，糖占糖水的 1 4 ，原来的糖水有多少克？ 6、六（5）班原计划安排全班人数的1 5 参加活动，后因人手不够，临时又抽调两人参加， 使实际参加的人数是剩下人数的1 3 。原计划抽调多少人参加活动？ 7、修一段公路，第一天修了全长的1 4 ，第二天修了3千米，这时已修的是未修的 2 3 ，这段 公路全长是多少千米？ 8、一筐苹果卖掉1 5 后，又卖掉6千克，这时卖出的重量刚好是剩下的 1 2 。这筐苹果原来有 多少千克？ 9、男生比全班人数的3 5 多60人，女生人数是男生的 1 3 ，这个年纪一个有多少人？ 10、修路队修一条公路，第一天修了全长的1 7 ，第二天比第一天多修了50千米，这时已修 的是未修米数的一半。求这条公路全长是多少米？ 11、一辆小汽车从东莞开往韶关，行了一段路程后，离韶关还有120千米，接着又行了全 程的1 5 ，这时未行路程是已行路程的 2 3 。求东莞离韶关有多远？ 12、六年级一班有两个植树小组，第一小组是第二小组人数的5 3 倍，如果第一小组调14人 到第二小组，那么第一小组是第二小组人数的1 2 。原来两个小组各多少人? 13、甲乙两人收集的伤害世博会吉祥物”海宝”的数量之比是3:1,如果甲给乙6个,则两人的”海宝”数量之比变为2:1,两人共收集了多少个”海宝”? 14、小明读一本书,第一天读了全书的1 5 ,第二天比第一天多读了6页,这时读的页数与剩下
应用题中的不变量 一、部分量不变 例1、育红小学六年级图书角原来有科技书与文艺书本数比是5∶6，借出10本科技书后，科技书与文艺书本数比是3∶4。科技书原来有多少本？ 解法一：本题文艺书本数不变。由原来有科技书是文艺书本数的5 6，现在科技书是文艺书本数的 3 4， 则文艺书本数是10÷（5 6－ 3 4）本，得科技书原来有的本数。 10÷（ 5 6－ 3 4）× 5 6 ＝10÷ 1 12× 5 6 ＝100（本） 解法二：本题文艺书本数不变。由科技书与文艺书本数比。 原来5∶6＝10∶12 现在3∶4＝9∶12 则文艺书本数的份数12不变，得科技书原来有的本数。 10÷（10－9）×10＝100（本） 例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱？ [思路点拔]：题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”，再根据题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是100÷1/3=300(元)，小军原有钱数是300×3/4=400（元） 例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ [思路点拔]：从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名) 例4、有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖? [思路点拔]：糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克，所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620克那么要加糖:620-600=20克 例5、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？ [思路点拔]：首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，算出其只数80×(1－)=44只。 然后，计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1－=）。接着，算出变化后的总只数：44÷=100只。最后，对比变化前后总只数，得出结论：100－80=20只。 二、两个量和不变 例6、实验学校组织学生大扫除，六年级学生参加大扫除的人数是未参加的1 4，后来又有12名学生 主动参加，现在参加大扫除的人数是未参加的1 3，那么六年级有学生多少人？
巧抓不变量解题 一、基础题 (1)、修一条公路，已修的和未修的比是4:3， 已修了全长的（ ）。4 /7 (2)、苹果的质量比梨少27 ，苹果与梨质量的比是 （ ）. 5:7 (3)、一个三角形三个内角度数的比是1：2：3，这三个内角分别是 （ ）度，（ ）度和（90）度。 (4)、把一堆煤按3:5分给甲、乙两个食堂，甲 比乙 少分了2.4吨， 甲食堂分了（ ），乙食堂分了（6 ）。 (5)、一桶油，用去了 37 ，用去的与剩下的比是（ ）。 3:4 果园里有梨树、苹果树共150棵、梨树与苹果树棵树的比是 3:2，梨树有多少颗？ 一批货物，按4:5 分给甲、乙两个车队来运，乙对共运95吨，甲对共运多少吨？ 95x 45 =76 知识导航 在解决分数应用题时，有些时候需要找准题目的不变量，抓不变量来解决。共有三种形式：一是抓住和不变；二是抓住部分不变；三是抓住差不变。以不变应万变。 例1：有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖?(部分量不变) 分析 糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克，所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620克 那么要加糖:620-600=20克 练习 有含盐率15％的盐水200千克，要使含盐率降为5％，需要加水多少千克？ 400 例2：某校合唱队人数是舞蹈队人数的32 ，如果将合唱队队员调10人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的78，原合唱队有多少人？ （和不变） 分析 根据合唱队与舞蹈队的前后人数之比可知，合唱队原来占全体人数的33+2 ,后来调出10人后， 占全体人数的77+8,，则全体人数有：10÷(33+2 -77+8),求出全体人数后，就能根据原来占全体人数的比求出合唱队原来有多少人了． 练习 某校一年级有两个班，一班人数是二班人数的35，从二班调5人到一班后，一班人数是二班的人数的79，求原来一、二班共有多少人？ 一班有30人,二班原来有50 例3:母亲比女儿大30岁，3年后，母亲的年龄是女儿的4倍，女儿今年多少岁？ 解： 3年后妈妈的年龄是女儿的4倍，即妈妈的年龄比女儿大4倍（4－1＝3倍），刚好是她们年龄的差（30岁）。所以3年后女儿的年龄应该是： 30÷（4－1）＝10（岁）； 今年女儿的年龄是：10－3＝7（岁）， 今年妈妈的年龄是：7+30＝37（岁）， 答：今年女儿的年龄是：7岁， 练习 1、母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍? 解：(1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37-7=30(岁)
抓不变量解答分数应用题 一、和不变: 1、一段路，已修的与未修的长度的比是1：3，再修300米后，已修的长度与未修的长度的比是1：2。这段路全长多少米？ 练习：某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 2、某班四个中队救灾捐款，甲中队捐款数是另三个中队捐款总数的1/2，乙中队捐款数是另三个中队捐款总数的1/3，丙中队捐款数是另三个中队捐款总数的1/4，丁中队捐款169元。那么四个中队共捐款多少元？ 练习：甲乙丙三人合做一批零件。甲做的零件个数是乙丙的1/2，乙做的个数是甲丙的1/3，丙做了540个。这批零件一共有多少个？ 二、部分量不变: 1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书？
练习：测得55克盐水中含盐量是1/11，现在盐水中加水，使盐水含盐量达到5%，应加水多少克？ 2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲用去50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱? 练习：甲乙两个书架的书的本数的比是4：5，当从甲书架借出100本后，两个书架的书的本数的比是7：10。原来两个书架各有多少本书？ 三、差不变: 1、王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？ 练习：今年，乙的年龄是甲的7/4 ，5年以后，甲、乙两人年龄的比是8∶5。问两人今年各多少岁? 一、抓住和不变 1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙， 甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？ 练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？ 2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第15讲——抓“不变量”解题 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想教学目标 解决现实生活中的问题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。 典例分析 考点一：总量不变 题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。 例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?
例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱？ 例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 ?课堂狙击 1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？
抓不变量解题 1．甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5。那么两包糖果重量的总和是多少？ 2。小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3 ：5。这本书共有多少页？ 3。运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4。如果再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3 ：7。这批货物共多少吨？
4。六年级二班同学分成两个小组做游戏，开始时甲、乙两个组的人数比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢到了乙组，这时甲、乙两组人数比是1：2．甲组原有同学多少人? 5。甲、乙两书架的数量比是4：1，如果从甲书架取出13本书放入乙书架，甲、乙两书架的数量比变为7：5，那么两书架的数量总和是多少本？
6。修一条公路，已修长度和未修长度的比是1：5，又修了490米后，已修长度和未修长度的比是3：1，这时未修公路的长度为多少米？ 7。甲、乙两人原来钱数的比是3：4，后来 甲原来有多少元？
8。一条公路，已修的与剩下的比是1：3，再修20千米，已修的与全长的比是2：5，这条公路长多少千米？ 9.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的 4，后来又从乙组调16人到甲组， 5 这是乙组人数是甲组的 3，甲、乙两组原来 4 各有多少人？ 10.甲、乙两校原有篮球只数的比是2︰1，如果甲校给乙校4只篮球，甲、乙两校篮球只数的比就是4︰3。原来甲校有篮球多少只？
11.小明读一本书，第一天读了全书的20%，第二天读了28页，这时读的页数与剩下页数的比是5：6，小明读的这本书共有多少页？ 12.小明看一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是2：7，第二天读了68页，已读的和未读的页数比是4：5．这本书共有多少页？ 13.张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与未完成的个数比是1：4，如果再加工15个，就完成了这批零件的一半，张师傅第一天完成了多少个零件？
=1 -—— 50 抓不变量解分数应用题的分析方法 1、小玉的爸爸是某工厂的质检部门的质量检测员，检测一批产品，发现次品件 1 数是正品件数的-，后来又经过复检，发现正品中又有一件不合格，这时次 9 3 品是正品的一，这批产品共有多少个？ 22 分析：无论次品的多与少，产品的总量是不变的，第一次检测时次品件数是正品 1 1 件数的-，次品1份，正品9份，产品总量是9+1=10份，而次品占总数的一， 9 10 3 第二次复检时发现1件次品，这时次品是正品的，产品总数是3+22=25份, 3 3 1 次品占总数的-，那么这1个次品对应的分数就应该是产品总数的（卫-丄）， 25 25 10 单位“T是未知的，用除法就可以求出这批产品共有多少个了 3 1 解：1 *（一 - 一） 25 10 =50 （个）答：这批产品共有50个 2、去年王爷爷栽了一枇桃树和梨树，桃树和梨树的比是 5: 3，今年春季王爷爷 5 又种了 7棵梨树，这样梨树占两种树总数的 -，求现在两种有多少棵？ 11 分析：本题的关键在于由于梨树棵数的增加，两种树的总数也发生变化，而始终没有发生变化的是桃树，这是解决问题的突破口，从去年的桃树和梨树的比是5 : 5 5 3可得桃树是原来两种树的5，又种了7棵梨树后，梨树占现在两种树的17，那 5 6 5
么现在桃树占两种树的（1需）=后，原来两种树的总数X -=现在两种树的总 数X —，贝原来两种树的总数：现在两种树的总数=一：- =48 : 55，共有 11 118 48+55=103 份，而梨树有55-48=7份，这就是后来栽的7棵数的份数，则每 份是7十7=1棵，总数就非常明显了。 ◎ 5 6 解：—：一=55 : 48 8 11 7-（55-48 ） X（48+55 ） =7 -7 X103 =103 （棵） 答：现在两种有103棵。 3、国庆节前夕，六（2）班同学分成两个组打扫卫生，第一组和第二组人数比 是7: 3，后来发现第二组人手明显不够，于是卫生委员从第一组派5名同学到第二组，这时一、二两组人数比是 3 : 2，求六（2）班共有多少名同学？ 分析：卫生委员从第一组派5名同学到第二组后，两组的人数发生了变化，但总 人数没有发生变化。开始，第一组和第二组人数比是7 : 3，第一组占总数的-， 10 从第一组派5名同学到第二组后，第一组和第二组人数比是 3 : 2，第一组占总 3 7 3 1 数的3，那么5人对应的分率是 --3 =-，六（2）班一共有多少人就迎忍而 5 10 5 10 解了。 7 3 解：5-（丄-3） 10 5
第5讲 巧抓不变量解题 知识导航 在解决分数应用题时，有些时候需要找准题目的不变量，抓不变量来解决。共有三种形式：一是抓住和不变；二是抓住部分不变；三是抓住差不变。 精典例题 例1：有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入 多少克糖？ 思路点拨 模仿练习 有含盐率15％的盐水200千克，要使含盐率降为5％，需要加水多少千克？ 例2：某校合唱队人数是舞蹈队人数的2 3，如果将合唱队队员调10人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的8 7，原合唱队有多少人？ 思路点拨 模仿练习 某校一年级有两个班，一班人数是二班人数的5 3，从二班调5人到一班后，一班人数是二班的人数的9 7，求原来一、二班共有多少人？ 例3：将40千克含盐25%和60千克含盐10%的两种盐水混合在一 起，求混合后盐水的浓度。 思路点拨 模仿练习 浓度为 70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克混合后所得的酒精溶液的浓度是多少？ 例4：某校六年级有学生260人，其中男生占全年级总数的13 8 ，为了让女生至少能占总人数的7 3，那么至少还要招多少名女生？
模仿练习 一个装有各种颜色钢笔的盒中，共装有36支，其中黑色钢笔支数占总数的 125，后来又放进一些黑色钢笔，这时黑色钢笔占总数的3 2 ，后来放进多少支黑色钢笔？现在共有黑色钢笔多少支？ 拓展练习 1. 五一班原计划抽5 1的人参加大扫除，临时又有2人主动参加，使实际参加大扫除的人数是余下人数的3 1，则原计划抽出多少人参加大扫除？ 2.某学校开学时中学生占 100 61 ，后来有50名小学生转入，这样中学生就只占全校人数的5 3。那么开学时有小学生多少人？ 家庭作业 1. 把含盐10％的盐水20千克，改制成含盐20％的盐水。需要加盐多少千克？ 2. 有盐水750千克，含盐20％，加了一些水后含盐8％，加水多少千克？ 3. 将80千克含盐25%和20千克含盐10%的两种盐水混合在一起，求 混合后盐水的浓度。 4.乙包糖的重量是甲包糖重量的4 1，如果从甲包中取出10克放入乙包后，乙包的重量就变为甲包的7 5。两包糖一共重多少克？ 5.一堆棋子有黑、白两种颜色，其中黑子占 17 6 ，若取走14枚白子，这时黑子占9 4 ，那么这堆棋子原来有多少枚？（2009年成外小升初试题） 思维点拨：可以抓黑子不变，用列方程来解
六年级奥数——抓“不变量”解题 一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练 【例题1】 437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”97分母：（61-43）÷（1－）＝81 97分子：81×＝63 981-61＝20或63-43＝20 437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。 1 练习1： 9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分
母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？ 【例题2】 42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。 534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。35分子：（2+1）÷（－）=12 243分母：12× -1＝17 2解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 2412412①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝36185152 ②原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 12 答：这个分数为。17练习2： 731、将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是多少？94342、将一个分数的分母加上2得，分母加上2得。原来的分数是多少？ 45343、将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是多少？ 79574、将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是多少？ 84 【例题3】 5在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，71这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。2510解法