全等三角形中的动点问题(教师版)

全等三角形中的动点问题

全等三角形的判断与定义

1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：

(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．

(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；

(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；

(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．

（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S△AED=AE?DF，S△DGC=CG?DM，

∴=，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以

1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴AE=2tcm，CG=tcm，

∴=2，

即=2，

∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．

（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，

①当M在线段CG的延长线上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，

即10-2t=4-t，

解得：t=6，

当t=6时，MG=-2，所以舍去；

②当M在线段CG上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），

即10-2t=t-4，

解得：t=，

综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．

（3）∵t=，

∴AE=2t=（cm），

∵DF=DM，

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，

∵AC=14cm，

∴AB=（cm），

∴BF=AB-AF=-10=（cm），

∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，

∴S△BDF=（cm2）．

解析：

（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．

（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．

（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．

(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？

(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分

线上．

②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．

（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6

和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；

（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；

②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．

解；（1）设经过x秒．

在Rt△ABC中，

根据题意得；

当x≤6时，（8-x）x=××8×6

解得：

当6＜x≤8时，（8-x）×6=37

解得：x=7

答：经过7秒或秒．

（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，

∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，

∴x2=（8-x）2+62

解得：x=，

∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上

②如图，作QD⊥AB于点D，

∵点Q在∠BAC的平分线上，

∴QD=QC，

设经过x秒，

则CQ=x，则QD=（6-x），

∴x=（6-x），解得：x=，

∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．

3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止

运动，则三角形APQ的最大面积是()

A.8cm2

B.16cm2

C.24cm2

D.32cm2

解：根据题意

沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出

发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，

∴AP=2t，AQ=t，

S△APQ=t2，

∵0＜t≤4，

∴三角形APQ的最大面积是16．

故选B．

4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、

③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)

(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)

(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动

点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．

∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如图2

过点P作FP∥AC，

∴∠PAC=∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB

=∠PAC+∠PBD；

解法三：如图3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）

当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，

∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：

如图4，连接PA，连接PB交AC于M．

∵AC∥BD，

∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：如图5

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．

选择（c）证明：

如图6，连接PA，连接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．

∵∠PAC=∠APF+∠PFA，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．

6、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF．

(1)试说明BF=CE的理由；

(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由．

证明：（1）∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

∵AE=DF，

∴AE+AD=DF+AD，

即AF=DE，

在△ABF和△DCE中，，

∴△ABt≌△DCE（SAS），

∴BF=CE；

（2）相等．

在△ABC和△DCB中，，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

∴BF=CE．

解析：

（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明∠BAD=∠CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明

BF=CE．

（2）利用边角边定即证明△ABC和△DCB全等，再根据全等三

角形对应边相等即可证明

7、如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果

点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同

时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的

运动速度相等，点M是AB的中点．

(1)在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；

(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；

(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．

解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：

∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，

∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，

∴在△APM与△CQM中，，

∴△APM与△CQM（SAS）；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变

化，其面积是32厘米2，理由如下：

由（1）知，△APM与△CQM，

∴S△APM=S△CQM，

∴S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC=AC?BC=×8×8=32（厘米

2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变

化，其面积是32厘米2；

（3）AP2+BQ2=PQ2．证明如下：

∵由（1）知，△APM与△CQM，

∴AP=CQ，

又AC=BC，

∴PC=BQ，

∴AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2．即AP2+BQ2=PQ2．

解析：

（1）通过SAS证得△APM与△CQM；

（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC；

（3）AP2+BQ2=PQ2．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ2．

8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点

D为AB的中点．

(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运

动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

解：（1）①∵t=1秒，

∴BP=CQ=3×1=3厘米，

∵AB=10厘米，点D为AB的中点，

∴BD=5厘米．

又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，

∴PC=8-3=5厘米，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP．（SAS）

②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，

∴点P，点Q运动的时间秒，

∴厘米/秒；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得x=3x+2×10，

解得．

∴点P共运动了×3=80厘米．

∵80=56+24=2×28+24，

∴点P、点Q在AB边上相遇，

∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．

解析：

（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．

②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．

9、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，

BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．

（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或

BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．

解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，

∵△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知

PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；

①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；

②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；

故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．

点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

10、在△ABC中，AB=AC，

(1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；

(2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？

解：（1）证明：在△ABC中，

∵∠BAC=45°，CE⊥AB，

∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，

在△AEH和△CEB中，，

∴△AEH≌△CEB（ASA），

∴AH=BC，

∵BC=BD+CD，且BD=CD，

∴BC=2BD，

∴AH=2BD．

（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP

当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，

∴点P，点Q运动的时间秒，

∴厘米/秒．

当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，

∴V Q=V P=3厘米/秒．

此时PC=BM=5，t=秒．

综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．

解析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；

（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B

11、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将

△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：

(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是______；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；

(2)若AB=k?AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明

分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；

②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△

ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k?AN，∠MAN=∠BAC．

解答：解：（1）①BD=CE；

②AM=AN，∠MAN=∠BAC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD，

在△BAD和△CAE中

∵

∴△CAE≌△BAD（SAS），

∴∠ACE=∠ABD，

∵DM=BD，EN=CE，

∴BM=CN，

在△ABM和△ACN中，

∵

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM=AN，

∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；

（2）AM=k?AN，

∠MAN=∠BAC．

点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．

12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且

OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m＞0)

(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；

(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；

(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：

(i)∠APQ+∠PBQ的度数和不变；

(ii)∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说

法，并求这个不变的值．

解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠ACB=90°，

又△ABC的面积为9，

∴OA=OC=OB=3，

∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；

（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．

理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，

∵D（-m，-m），

∴DM=DN=OM=ON=m，

∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，

∴DC=DO，

∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，

∴△PCD≌△BOD （SAS），

∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

∴∠BDP=∠ODC=90°，

即DP⊥DB．

（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．

∵∠PQA=60°，

∴△QSP是等边三角形，

∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

∵PO是AB的垂直平分线，

∴PA=PB 而PA=AB，

∴PA=PB=AB，

∴∠APB=60°，

∴∠APS=∠BPQ，

∴△APS≌△BPQ，

∴∠PAS=∠PBQ，

∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠

PAS=120°．

解析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；

（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；

（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．

13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于

点E，PF⊥CD于点F．

(1)求证：BP=DP；

(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．

分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；

（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．

解答：（1）证明：

证法一：在△ABP与△ADP中，

∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP=DP．（2分）

证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）

（2）解：不是总成立．（3分）

当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）

说明：未用举反例的方法说理的不得分．

（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，

，

在图1中，由正方形ABCD可证：

AC平分∠BCD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PE=PF，∠BCD=90°，

∴四边形PECF为正方形．（7分）

∴CE=CF，

∵∠DCF=∠BCE，

BC=CD，

∴△BEC≌△DFC，

∴BE=DF．（8分）

点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．

14、如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=∠C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE．若要使△ABD≌△DCE，

①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；

②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？

解：①DC=5，

理由是：∵BC=8，CD=AB=5，

∴BD=8-5=3，

即CE=BD=3，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE，

即当CD=5时，△ABD≌△DCE．

②∠ADE=∠C，

理由是：∵△ABD≌△DCE，

∴∠BDA=∠DEC，

∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-∠ADB-∠EDC，

∵∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，

∴∠ADE=∠C．

解析：

①CD=5时，根据SAS推出△ABD≌△DCE即可．

②根据全等三角形性质得出∠BDA=∠DEC，根据三角形内角和定理求出∠C=180°-∠ADB-∠EDC，求出∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，即可得出答案．

15、如图：△ABC中，AB=AC=5(即有∠B=∠C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与

B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE．

(1)点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；

(2)若要使△ABD≌△DCE，

①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；

②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？

（1）根据BD边逐渐增长可得∠BAD逐渐增大，又

因为∠B的大小固定不变，结合三角形内角和定理

∠B+∠BAD+∠ADB=180°可得∠ADB逐渐减小．

（2）①根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；

②根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再根据∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，可得∠ADE=∠B，进而得到∠ADE=∠C．

解：（1）∵点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，

∴∠BAD逐渐增大，

∵∠B的大小固定不变，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，

∴∠ADB逐渐减小；

（2）①∵△ABD≌△DCE，

∴DC=AB=5，CE=DB，

∵BC=8，

∴CE=DB=8-5=3；

②∠ADE=∠C；

理由：∵△ABD≌△DCE，

∴∠1=∠2，

∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，

∴∠ADE=∠B，

∵∠B=∠C，

∴∠ADE=∠C．

17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．

(1)求证：EF+AC=AB；

(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥

A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道

EF+AE=AB．

（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化

简为E1F1+A1C1=AB．

（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．

解答：（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD 于点E．

∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴EF=MF，

又∵AF=AF，

∴Rt△AMF≌Rt△AEF，

∴AE=AM，

∵∠MFB=∠ABF=45°，

∴MF=MB，MB=EF，

∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．

（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB

证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，

∵A1F1平分∠BA1C1点/sub>，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版） 一、单选题（共10道，每道10分） 1?如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ?设点P的运动时间为t秒， 当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形. A D A.5 B.- 10 C.4 D.- 答案：D 解题思路：

点只。速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题 的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注： g ② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、 时间范围， 如图； ③ 表达线段长，建等式. 点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/； 点Q 已走路程CQ=t. ^PQC 是以尸。为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r 即 10-2t=t r 故选D. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 2?已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每 秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接 DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题： 0

t的取值范围为（） —y J C.0W￡W12 D.0W（W18 答案：A 解题思路： 根据题意列动点运动的路线图为乂 （3/s）P\B 45>C F秒 （￡Z/S）O:C----- A 对应的F的取值范围为OGW 4?故选A. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的 A.t=2，CQ=9 B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 答案：B 解题思路： ①要使△ BPD^2ACOP, 则需BD^CP且 .”=1 "：C0 = 3 ②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG ^3r=12-3r .\t-2 "\CQ = 9 综上z=l?口2=3或戶2, CQ=9. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（） （1）根据点P的运动，对应的

全等三角形动点问题分析教案

学思堂教育个性化辅导授课案 教师： 学生： 时间： 2016 年 月 日 段 授课内容：全等三角形中动点问题的处理 教学目标：培养学生对运动变化、分类讨论思想等的数学综合运用能力 教学重难点：寻找运动规律，分析问题 （1）质点的运动形成全等三角形 通过全等三角形的性质：对应边相等，（对应角相等，面积相等），来确定质点运动的速度或时间，注意分类讨论思想的运用。 （2）几何问题中三角板旋转形成的全等三角形 三角板是学生最常用的学习工具，以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐。 1．如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ A Q C D B P

全等三角形经典培优之动点问题(讲义及答案)

三角形全等之动点问题（讲义） ?课前预习 已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点 同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间 为t秒，请解答下列问题： （1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）； （2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______． ?知识点睛 由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题． 动点问题的解决方法： 1.研究_____________； 2.分析_____________，分段； 3.表达_____________，建等式． ?精讲精练 1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且 AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC A E D 向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒． （1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由； （2）当t为何值时，△DCP≌△CDE． B C P A E D B C

2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动 点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ． Q P D C B A D C B A

全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题（一） 1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 2、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证

B A O D C E 图8 4. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米． （1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？ 5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小； 6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. C B O D 图7 A E

八年级数学全等三角形之动点问题

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习 解答题(本大题共8小题，共120分) 1.(本小题15分)如图，在等边△ABC的顶点A、C处 各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬 行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始 终相等吗？ （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”， 改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件 不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请 利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行， 连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中， DF始终等于EF是否正确． 核心考点:运动变化型问题 2.(本小题15分)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 核心考点:正数和负数 3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

初二全等三角形动点问题

25、.已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系 7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． Q P O B E D C A E D C B A B A C E F Q P D

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？ 若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 3.在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC， AM⊥BD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF 的形状，并加以证明。

9.如图1，Rt△ABC 中AB = AC，点D、E 是线段AC 上两动点，且AD = EC，AM⊥BD，垂足为M， AM 的延长线交BC 于点N，直线BD 与直线NE 相交于点F。 试判断△DEF 的形状，并加以证明。 说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3 步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 注意：选取①完成证明得10 分；选取②完成证明得5 分。 ①画出将△BAD 沿BA 方向平移BA 长，然后顺时针旋转90°后图形； ②点K 在线段BD 上，且四边形AKNC 为等腰梯形(AC∥KN，如图2)。 附加题：如图3，若点D、E 是直线AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由。

八年级数学全等三角形之动点问题(精品)

全等三角形培优练习之动点问题 一.选择填空题 1．如图1，已知AD ，BC 相交于O 点，AB AC =，BD CD =，写出图中另一对相等线段______． 2．如图2，AB ∥DE ，AB DE =，AE ，BD 相交于C 点，在BC ，CD 上分别取M ，N 两点，使AM EN =，则AM 和EN 一定平行，这个说法正确吗？答：______． 3．如图3，点D ，E 是BC 上两点，且=AB AC ，=AD AE ，要使ABE ACD △≌△，根据SSS 的判定方法还需要给出的条件是______或______． 4．如图4，宽为50cm 的长方形图案由20个全等的直角三角形拼成，其中一个直角三角形的面积为______． 5．如图5，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______． 6.如图6，在△ABC 中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′ 的位置, 使得 CC ′∥AB, 则∠B ′AB = _________ 7．如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是ABC △的角平分线，DE AB DF AC ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ．则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到边AB ，AC 的距离相等；③BD ＝CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE ＝∠CDF ．其中，正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．下列命题中，错误的是（ ） A ．全等三角形对应边上的中线相等 B ．面积相等的两个三角形是全等三角形 C ．全等三角形对应边上的高线相等 D ．全等三角形对应角的平分线相等 二.解答题 1. 如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ A D E C B A D O C B A E C B A D C B A D E C B F

全等三角形之动点问题(简单题)

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm. (1)求AB的长; (2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形? 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求：(1)△PAB为等腰三角形的t值; (2)△PAB为直角三角形的t值; (3) 若AB=5且∠ABM=45。，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值 三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题 3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由; (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等? 四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题 4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?; (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

中考数学专题复习教案 全等三角形中动点问题-word文档

A B C D E F 个性化辅导授课案 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课题 全等三角形的动点问题分析讲解 学情分析 .动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学目标 考点分析 思路： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学 重点 难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题 教学方法 教师引导，自主思考 教学过程 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落 在点P1，P2，P3，P4，…，P2019的位 置．试写出P1，P3，P50，P2019的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形 5、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60

全等三角形中动点问题例题精讲

A B C D E F 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、如图，在等边ABC ?的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中CQE ∠ 的大小不变，求证：?=∠60CQE （3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确

x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 3、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形，为什么？ 4、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）． （1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ； （2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3

全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题（一） 1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A出发,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B出发,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时间为t 秒,用t表示线段PQ的长度为_____;若P,Q两点相距6厘米,则经过的时间t=______. 2、已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C 出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动 的时间为t秒.若△BPA≌△ADB,则t的值为 3、已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10. 动点P从点B出发,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P 运动的时间为t秒.若运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,则t的值为 4、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 5、如图，在等边ABC 的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 6、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明 7.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；

八年级数学易错题：全等三角形动点问题提高题

八年级数学易错题 全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且E F=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接A P，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系． [来源学科网]

(完整)全等三角形动点问题提高题

全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA 上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给

出证明；若不成立，请说明理由. 3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE 的关系．

全等三角形动点问题

全等三角形动点问题

A B C E F 全等三角形动点问题 一）、知识回顾 动态几何题，是指以几何知识和几何 图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而 通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观 察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数 学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型； 解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规 律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静， 以静制动． 热身练习： 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点 （不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足 分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 二）、例题辨析 例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°， AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF. （2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形. （3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的

面积是否保持不变？试说明理由． （4）、求△CDE面积的最大值． 例2如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP 的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。 （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

全等三角形之动点类型试题和答案汇编

全等三角形之动点问题（综合测试）1、如图，在直角三角形ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ的面积为9cm2？ 第1题图第2题图第3题图 2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别 沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点 C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）填空：△ABC的面积为 （2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说 明理由． (4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值 3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速 度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明 理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件 不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出 相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动， 终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作 PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。 5、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24厘米, BC=16,点D为 AB的中点，如果点P在线段BC 上 从4厘米/ 秒的速度由B向C运动,同时,点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多少厘 米/秒时,能在某一时刻使三角形BPD与三角形CQP全等. 第4题图第5题图第6题图 6、如图，在长方形ABCD中，BC=8cm，AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点 中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )时， △PQC是以PQ为底的等腰三角形． 7 、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC 上以每 秒3个单位的速度由B点向C 点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A 点匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题： （1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( ) A. B. C. D. （2）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( ) A.t=2，CQ=9 B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 （3）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( ) A. B.2 C.3 D.

三角形全等之动点问题(习题及答案)

三角形全等之动点问题（习题） 例题示范 例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6． 【思路分析】 1．研究背景图形，标注 四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°．2．分析运动过程，分段 ①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围． ②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需 要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式 ①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上， 此时AP =2t ，AD =4， 12 ADP S AD AP =??△，即16422 t =??，32 t =，符合题意．

②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上， 此时1144822 ADP S AD AB =??=??=△，不符合题意，舍去． ③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上， 此时DP =12-2t ，AD =4， 12 ADP S AD DP =??△，即164(122)2 t =??-，92 t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92 时，△ADP 的面积为6．

巩固练习 1.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一 点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC． 2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒 1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动， 点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．

全等三角形中的动点问题(教师版)

全等三角形中的动点问题 全等三角形的判断与定义 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2.判定： (1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 (2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 (3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 (4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) (5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 3.性质： (1)全等三角形的对应角相等。 (2)全等三角形的对应边相等。 (3)全等三角形的对应边上的高对应相等。 (4)全等三角形的对应角的角平分线相等。 (5)全等三角形的对应边上的中线相等。 (6)全等三角形面积相等。 (7)全等三角形周长相等。 (8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。 1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC； (2)当取何值时，△DFE与△DMG全等； (3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD． （1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM，

全等三角形动点问题

A B C D E F 全等三角形动点问题 一）、知识回顾 动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动． 热身练习： 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点 （不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 二）、例题辨析 例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF. （2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形. （3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由． （4）、求△CDE 面积的最大值． 例2如图，△ABC 的边BC 在直线 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△EFP 的边FP 也在直线 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP 。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。 练习：1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积

七年级下册数学三角形全等动点问题(最新整理)

初一数学 全等三角形之动点问题专题（B 类） 一、考点、热点回顾 动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和 具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的 平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活 多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析 能力。 《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动， 由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能 力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。 本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，

P P 还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。 二、典型例题 1、单动点问题 A 引例：已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 A B 向点 B 运动. 设点 P 的运动时间为（s ），那么 t= 时，△PB C 是直角 三角形？ B C 2、双动点问题 引例：已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 向点B 运动，动点 Q 从点B 出发，沿 BC 向点C 运动，如果动点 P 、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t （s ），那么 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? A B Q C 巩固练习，拓展思维 已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于 D. 如果动点 P 、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为 t （s ），那么 当 t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形? A B C Q P D