合肥市2020届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}220A x x x =--<,{}210B x x =->,则A B =U ( ).
A.()1-+∞,
B.1 12?? ???,
C.1 22?? ???,
D.1 2??
+∞ ???
,
2.设复数z 满足1i z z -=-(i 为虚数单位),z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( ).
A.y x =-
B.y x =
C.()()22111x y -+-=
D.()()22
111x y +++= 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误..
的是( ). A.这五年,2013年出口额最少
B.这五年,出口总额比进口总额多
C.这五年,出口增速前四年逐年下降
D.这五年,2017年进口增速最快 4.下列不等关系,正确的是( ).
A.234log 3log 4log 5<<
B.243log 3log 5log 4>>
C.243log 3log 5log 4<<
D.234log 3log 4log 5>> 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,13a =-,47329a a +=,则7S 的值等于( ).
A.21
B.1
C.-42
D.0
6.若执行右图的程序框图,则输出i 的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5
7.函数22cos x x
y x x
--=-的图象大致为( ).
8.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116
π
个单位得到的图象对应的函数为()g x ,则下列说法正确的是( ).
A.()g x 的图象关于12
x π
=-
对称 B.()g x 在[]0π,上有2个零点
C.()g x 在区间5 36ππ?? ???,上单调递减
D.()g x 在 02π??
-????,上的值域为 0??????
9.已知双曲线C :22
221x y a b
-=(00a b >>,)的左右焦点分别为12F F ,,圆2F 与双曲线C 的渐近线相
切,M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ?u u u u r u u u u u r
,则双曲线C 的离心率等于( ).
10.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=,其中0I I ,分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为( ).
(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20.6931≈,结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116
11.已知正方体1111ABCD A B C D -,过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ,交棱1CC 于点F ,则: ①平面α分正方体所得两部分的体积相等; ②四边形1BFD E 一定是平行四边形; ③平面α与平面1DBB 不可能垂直; ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ).
A.①④
B.②③
C. ①②④
D. ①②③④
12.已知函数() 01ln 0
x x e x f x xe x x x -?-≤?=?--->??,
,,则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为( )
(e 是自然对数的底数).
A.6
B.5
C.4
D.3
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.已知向量a =r (1,1),() 2b m =-r ,
,且a r ∥()
2a b +r r
,则m 的值等于 . 14.直线l 经过抛物线C :212y x =的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,弦AB 的长为16,则
直线l 的倾斜角等于 .
15.“学习强国”是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中,某时段更新了2篇文章和4个视频,一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频,则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.
16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6,其内有n 个小球,球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切,球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切,如此类推,…,球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切(2n ≥,且n N *∈),则球1O 的体积等于 ,球n O 的表面积等于 .
三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在ABC ?中,内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若2a =,cos cos cos 0a C c A B +=. (1)求B ;
(2)若BC 边的中线AM ,求ABC ?的面积.
18.(本小题满分12分)
“大湖名城,创新高地”的合肥,历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生,在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在
学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响):
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ,求X 的分布列与数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,平面11AAC C ⊥平面ABC ,1AA AC =,AC BC ⊥.
(1)证明:1A C ⊥1AB ;
(2)设2AC CB =,160A AC ∠=o ,求二面角11C AB B --的余弦值.
20.(
本小题满分12分)
设椭圆:
C 22
221x y a b
+=(0a b >>)的左右顶点为12A A ,,上下顶点为12B B ,,菱形1122A B A B 的内切圆
C '. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设M N ,是椭圆上关于原点对称的两点,椭圆上一点P 满足PM PN =,试判断直线PM PN ,与圆C '的位置关系,并证明你的结论.
21.(本小题满分12分)
已知函数()2
1x x f x e
-=(e 为自然对数的底数).
(1)求函数()f x 的零点0x ,以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程;
(2)设方程()f x m =(0m >)有两个实数根1x ,2x ,求证:121212x x m e ?
?-<-+ ?
??
.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B 铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
1
在直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为31x y ?=????
=??(t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.
(1)求曲线C 的直角坐标方程;
(2)设曲线C 与直线l 交于点M N ,,点A 的坐标为(3,1),求AM AN +.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数()2f x x m x =--+(m R ∈),不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞,. (1)求m 的值;
(2)若0a >,0b >,3c >,且22a b c m ++=,求()()()113a b c ++-的最大值.