双曲线的标准方程及其简单的几何性质
一、选择题
1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2
1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )
A ．－1 B ．k >0 C ．k ≥0 D ．k >1或k <－1 3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线 4．以椭圆x 23＋y 2 4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23 －y 2 ＝1 B ．y 2 －x 23＝1 C.x 23－y 2 4 ＝1 D.y 23－x 2 4 ＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 2 3 ＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24 －y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4 ＝1 7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 2 7 ＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14 5，双曲线的方程是( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 2 12＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.x 212－y 2 24 ＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 2 12 ＝1 D.x 224－y 2 12 ＝1 11．若0 b 2＝1有( ) A ．相同的实轴 B ．相同的虚轴 C ．相同的焦点 D ．相同的渐近线 12．中心在坐标原点，离心率为5 3 的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±3 4 x 13．双曲线x 2b 2－y 2 a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32 14．双曲线x 29－y 2 16＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题 15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 2 4＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________． 17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1的焦点相同，那么a ＝________. 18．双曲线x 24＋y 2 b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2 ＝1焦点相同，则a ＝________. 20．双曲线以椭圆x 29＋y 2 25 ＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为 ________． 双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案） 1、[答案] D 2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1 3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2， 由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支． 4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2 ＝3，双曲线方程为y 2 －x 2 3 ＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0?曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线?ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 2 7 ＝1(x >0) 8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝4 5， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 2 12 ＝1. 10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2 ＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2 －2λ ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 2 24＝1. 11、[答案] C [解析] ∵0 12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2 a 2＝259，∴ b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝3 4 . 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±3 4x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ， ∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2 a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2. 14、[答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝4 3x 的距离为4. 15、[答案] x 273－y 275 ＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) 又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴??? 9a 2 －4 b 2＝1 4a 2 －1 b 2 ＝1 ，∴??? a 2＝7 3b 2 ＝7 5 . 16、[答案] 83 3 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由????? x ＝7x 23－y 24 ＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为83 3. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 18、[答案] －12 2 ∈(1,2)，∴－12 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62 . 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝8 5 ， ∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 2 1＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 239 4＝1. 20、[答案] y 2 254 － x 2394 ＝1 [解析] 椭圆x 29＋y 2 25＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2 ＝16，
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