一对一教案一元二次方程第一课时

第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第 1 课时一、教学目标1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程及其相关概念．二、教学重点及难点重点：一元二次方程的定义及各项系数的辨别．难点：对一元二次方程定义的理解．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《一元二次方程的定义》微课、《一元二次方程的定义》小结图片．五、教学过程【复习引入】1．什么是方程？什么是一元一次方程？答：含有未知数的等式叫做方程．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程．通常标准形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)．2．指出下列方程哪些是一元一次方程？（1）3x+4=1；（2）6x-5y=7；（3）453x y-=；（4）155y=；（5）x2-70x+825=0；（6）3742y+=-；（7）x(x+5)=150；（8）453x y-=．解：（1）（4）．3．什么是“元”？什么是“次”？答：“元”是指方程中含有的未知数；“次”是指方程中含有的未知数的次数．师生活动：教师提出问题，学生完成解答．设计意图：通过复习方程和一元一次方程的概念为下面学习一元二次方程的概念作知识准备．（二）探究新知想一想1．幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，那么这个宽度应是多少米？如果设这个宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？2．观察等式：102+112+122=132+142．你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数呢？根据题意，你能列出怎样的方程？3．如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？师生活动：教师出示问题，引导学生只列方程，不解方程．答：1．(8-2x)(5-2x)=18；2．x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2；3．(x+6)2+72=102．设计意图：对于具体问题情境的选择，既注意了力求贴近学生的生活实际，又关注了数学本身的要求，让学生体会一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果．感受到研究一元二次方程是现实生活的需要，进一步提高学生学习的积极性．议一议方程(8-2x)(5-2x)=18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2及(x+6)2+72=102有什么共同特点呢？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生先将上述方程化简，然后再观察、讨论它们的共同特点．答：方程(8-2x )(5-2x )=18可化为2x 2-13x +11=0，x 2+(x +1)2+(x +2)2=(x +3)2+(x +4)2可化为x 2-8x -20=0，方程(x +6)2+72=102可化为x 2+12x -15=0．共同特点是：（1）都只含有一个未知数x ；（2）都可化为ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；（3）未知数的最高次数都是2；（4）等号两边都是整式．教师归纳：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．设计意图：旨在通过对三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念．教学中，应先引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述三个方程进行化简，并整理成一般形式；然后让学生对整理后的方程进行观察与思考．本部分由特殊例子出发，由特殊到一般探索出一元二次方程的定义及其相关概念．【典例精析】例1 下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？（1）3x +2=5x -3；（2）4y 2=5y ；（3）；（4）x 2+y =2． 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答．解：（2）是一元二次方程，（1）（3）（4）不是一元二次方程；（1）是一元一次方程， （3）是分式方程，（4）是二元二次方程．例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）x 2=0；（2）4x +1=x 2；（3）2x 2= -3x +1；（4）x (x +3)= -2．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表板演，讲解出现的问题． 解：（1）x 2=0化为一元二次方程的一般形式仍为x 2=0；（2）移项，得一元二次方程的一般形式为x 2-4x -1=0；（3）移项，得一元二次方程的一般形式为2x 2+3x -1=0；21120x x+-=（4）去括号，移项，得一元二次方程的一般形式为x 2+3x +2=0．方程二次项系数 一次项系数 常数项 x 2=01 0 0 4x +1=x 21 -4 -1 2x 2= -3x +12 3 -1 x (x +3)= -2 1 3 2设计意图：加深对一元二次方程概念的理解．本图片是微课的首页截图，本微课资源介绍了一元二次方程的定义与一般形式，并通过典例的讲解了利用一元二次方程的定义求参数，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】一元二次方程的定义.【课堂练习】1．下列关于x 的方程：（1）(m -3)x 2-3x -2=0；（2）k 2x +5k +6=0；（3）23x 24x -12-=0；（4）21320x x +-=．其中是一元二次方程的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有（ ）．①22203x x -=；②121x x x-=-；③kx 2-3x +1=0； ④x 2-x 2(x 2+1)-3=0；⑤(k +3)x 2-3kx +2k -1=0．A ．0B ．1C ．2D ．33．将方程2x 2=1-3x 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）．A ．2，1，-3B ．2，3，-1C ．2，3，1D ．2，1，34．将方程(x -1)(x +3)=12化为ax 2+bx +c =0的形式后，a ，b ，c 的值分别为（ ）．A ．1，-2，-15B ．1，-2，-15C ．1，2，-15D ．-1，2，-155．若方程2(4)810m m x x -+++=是一元二次方程，则m =______．6．把方程(3x +2)2=4(x -3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．7．已知关于x 的方程．（1）当k 为何值时，方程是关于x 的一元二次方程；（2）当k 为何值时，方程是关于x 的一元一次方程．参考答案1．A ．2．B ．3．B ．4．C ．5．4．6．方程(3x +2)2=4(x -3)2化成一元二次方程的一般形式为5x 2+36x -32=0．其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32．7．（1）；（2）．师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结本节课我们主要学习了：1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．22(1)2(1)3(1)0k x k x k -+++-=22(1)2(1)3(1)0k x k x k -+++-=22(1)2(1)3(1)0k x k x k -+++-=1k ≠±1k =七、板书设计2.1 认识一元二次方程（1）1．一元二次方程的概念：2．一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)．。

2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m.根据题意，得x (x ＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2；⑦x 2＋3x －3x＝0；⑧x 2－x ＝2. 解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；(2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－ax －3为一元二次方程；(2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】 一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；(2)x 23－x ＋12＝－x －12； (3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q－p (m ＋n ≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m －n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0(x＜152)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．三、板书设计一元二次方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.。

课题：22.2一元二次方程----公式法（第1课时）教课设计一、教课目的知识与技术:1、认识一元二次方程求根公式的推导过程2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程3、会用根的鉴别式来判断一元二次方程根的状况过程与方法:经历推导求根公式的过程,不只培育了学生推理的谨慎性,并且发展学生的逻辑思想能力.感情态度与价值观:经过运用公式法解一元一次方程,提升学生的运算能力,并让学生在学习中获取成功的体验,与此同时,感觉到公式的对称美,简短美,最后对数学产生热爱的美好感情.二、教课的重、难点(1)教课要点:(2)教课难点:推导一元一次方程求根公式的过程温故而知新1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(1)二次项系数化为1(2)移项(3)配方(4)变形(5)开方(6)求解(7)定解2、用配方法解以下方程：3x2+6x-4=0课题：22.2一元二次方程-----公式法（第1课时）一、学习目标1、认识一元二次方程求根公式的推导过程2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程3、会用根的鉴别式来判断一元二次方程根的状况。

二、自学指导一请仔细看课本P9页“研究”--P11页“例2”以前的全部内容,思虑：1、理解记忆“概括”中的重要结论：在方程ax2bx c0(a)中①b24ac>0时，此方程有两个不相等的实数根；②b24ac<时，此方程有两个相等实数根；③b24ac=0时，此方程没有实数根.2、认识公式法的推导过程并熟记一元二次方程的求根公式.6分钟后比比谁又快又准达成以上问题！公式法的产生你能用配方法解方程ax2bxc0(a)吗?解:x2b x c 0.1.化1:把二次项系数化为1;a ax2bx c.a 2.移项:把常数项移到方程的右侧;b x 22x2b b c.a2a2a a3.配方:方程两边都加前一次项系数绝对值一半的平方;b 2b24ac.x2 a4a24.变形:方程左侧分解因式,右侧归并同类;当b2ac时40,x bb24ac.2 a 2 a5.开方:依据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.自学指导二请仔细看课本P11页“例2”的全部内容：要求：1、联合求根公式看例题；2、利用公式法解一元二次方程的步骤：①把此方程化成一般形式，找出a、b、c的值；②求出△的值，判断根的状况；③把a、b和△的值代入公式中求解.6分钟后比谁又快又准达成自学检测内容！自学检测1、用公式法解方程：2x25x30解:∵a= 2b=5c=-3∴b24ac=52-4×2×(-3)=49＞0x bb24ac54957 2a24x 13x212∴b24ac>0时，此方程有两个不相等的实数根、用公式法解方程：x2323 x2解：移项，得x223x30a1b23c3b4(341302ac2)2x bb24ac(23)03 2a1x 1x23∴b24ac=0时，此方程有两个相等的实数根3、用公式法解方程：x22x4解：移项，得x22x40∵a=-1b=2c=-4b24ac=22-4×(-1)×(-2)=-4<0∴方程没有实根∴b24ac<0时，此方程没有实数根我的收获2用公式法解一元一次方程ax+bx+c=0(a)的一般步骤：b24ac的值.（a）当时，代入求根公式：bb24ac3x=2a求出一元二次方程的根：x1;x2（b）当bb24ac 时，代入求根公式：x=2a求出一元二次方程的根：x1x2（c）当时，此方程无实数根当堂训练必做题:1.达成下边的解题过程：利用求根公式解方程：(1)x2+x-6=0解：a=，b=，c=.b2-4ac==＞0.x=-bb2-4ac=___________________=_________，2ax 1=_________，x1=__________.(2)2x2-26x-3=0解：a=，b=，c=.b2-4ac==.-bb2-4ac，x==___________________=_________2ax1=x2=_________ (3)x2-5x-7=0解：a=，b=，c=.b2-4ac==＜0.方程实数根.2.利用求根公式解以下方程：(1)3x2-4x+2=0(2)4x2-45x+5=0提升题:利用求根公式解以下方程：(x-1)(2x+3)=x。

个性化教学辅导教案学科数学学生姓名邵文琪年级八任课老师李显辉授课时间2013年1 月12 日教学目标教学内容：一元二次方程考点：考点1：一元二次方程的概念（1）定义：这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”（2）．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．考点2：一元二次方程的解法能力与方法：课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:作业认真，知识点运用不够熟练。

过程一．课前交流，了解学生上次课的复习情况三．典型例题：例1解方程025x2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x2=-，25x2=，25x±=，x＝±5．∴5x5x21-==，．例2解方程2)3x(2=+．分析：如果把x＋3看作一个字母y，就变成解方程2y2=了．解：2)3x(2=+，23x±=+，23x23x-=+=+，或，∴23x23x21--=+-=，．例3解方程081)2x(42=--．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x(42=--481)2x (2=-， 292x ±=-， ∴25x 213x 21-==，． 注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0，x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，．解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-，∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--． 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=，∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=．∴2)n 2m (m 3x 2++= 2)n 2m (m 3+±=．把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±． 例6用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+， 023x 27x 2=+-， 0234747x 27x 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2，162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-．∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．四．巩固练习： 一.选择题（每小题3分，共24分）1. 下列方程中，不能用直接开平方法的是_____A. 230x -=B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 一元二次方程230x x +=的解是_____.A. 3x =-B. 120,3x x ==C. 120,3x x ==-D. 3x =3. 方程220(0)x m m +=<的根为_____ A.2m - B.2m -C.22m -±D.2m -± 4. 方程2(3)5(3)x x x -=-的根是_____.A.52x =B. 3x =C. 125,32x x ==D. 52x =- 5. 下列方程中，不适合用因式分解法的是_____.A.2210x x -+=B. 2210x x --=C.2430x x -+=D. 240x -=6. 已知方程220x mx m +-=的一个根为-1，那么方程260x mx -=的根为_____A. 2x =B. 0x =C.122,0x x ==D. 以上答案都不对7. （2008滨州）关于x 的一元二次方程21(1)420mm x x ++++=的解为______ A. 121,1x x ==- B. 121x x ==C. 121x x ==-D. 无解8.已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++= 的根的情况是————A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二.填空题（每小题3分，共24分）1. 当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293x x -+的值为零。

一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。

九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。

2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。

4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。

难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。

即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。

同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。

二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。

方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。

教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。

当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。

在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

一元二次方程教学设计1、教学目标知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．2、学情分析针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机．3、重点难点重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．4、教学过程（这个过程可以酌情增加删减）4.1导入一、情境引入问题1 要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：雕像上部的高度AC ，下部的高度BC 应有如下关系：2BC BC AC = AC BC 22= 解：设雕像下部高x m ，于是得方程()x x -=222通过整理得到方程0422=-+x x问题2 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是 3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm ，则有方程(100－2x )(50－2x )＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm ，则有方程通过整理得到方程．问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛共28场，若设邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x －1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．4.2讲授观察下列得到的方程：（1）0422=-+x x（2）2753500x x -+=；（3）2560x x --=； 学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？结论：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是整式方程．归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0）．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．思考：为什么规定a ≠0强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．4.3活动新知应用例：将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得233510x x x -=+，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100x x --=．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．例 猜测方程2560x x --=的解是什么？学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x ＝8时等号成立，于是x ＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的根） 4.4练习1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x ；（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x ．4.5测试4.6作业（1）下列方程那些是一元二次方程？• 1. 5x-2=x+1 2. 7x 2+6=2x(3x+1)3. 6x 2=x4 . 2x 2=5y 5. -x 2=0（2）将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：2)2()43)(3(+=-+x x x()()221 514 2481x x x -==；；()()()()()34225 43218 3.x x x x x +=-+=- ； 书本第四页复习巩固第1.2题1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：()x x 61312=+ 8154)2(2=+x x 0)5()3(=+x x （4）(2x-2) (x-1)=0 (5)x(x-5) =2x-10 (6)(3x-2) (x+1)=x(2x-1)2. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是2兀平方米，求半径。

个性化教案授课时间：2011年8月日学科：数学年级：初三课时：2课时课题：一元二次方程学生姓名：黄文慧教师姓名: 雷统山教学目标1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观55．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．难点重点1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．BCA如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（2）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．巩固练习：一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．三、综合提高题1．把方程()()223122+=-+yyy化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数，常数项.2．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？3．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？4．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4x2-3x-1 -3 -3所以，________<x<__________第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4x2-3x-1 -0.96 -0.36所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．5．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．学生总结课后记下节课的计划：学生的状况、接受情况和配合程度：给家长的建议：教务主任家长或学生阅读签字。

一元二次方程(第一课时)教学设计一、教学目标:（一）知识技能：1、理解一元二次方程的概念。

2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。

（二）教学思考：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。

2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。

3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

（三）解决问题：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

（四）情感态度：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

二、重点：一元二次方程的概念及一般形式。

三、难点：1、由实际问题向数学问题的转化过程。

2、正确识别一般式中的“项”及“系数”。

四、教学过程：（利用电脑多媒体课件教学）（一）复习引入：复习以前我们学过一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程引入新课。

（二）传授新知：1、由课本引言，引导学生列出方程x2＋2x－4=0，这和我们以前学过的方程不同，这是什么方程呢？怎么解决这个问题呢？引发学生兴趣，让学生带着问题完成本节课学习。

（提示学生注意方程未知数的个数和未知数的最高次数。

）2、同样引导学生思考课本的两个问题，让学生建立数学模型，把实际生活中的问题转化为数学问题，增强学生解决实际问题的能力。

我们得到两个方程：x2－75x+350=0 ，x2-x-56=0。

（提示学生注意方程未知数的个数和未知数的最高次数。

）3、学生思考：三个方程x2＋2x－4=0，x2－75x+350=0，x2-x-56=0它们有什么共同的特点？引导学生归纳出一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【学习重点】一元二次方程的概念．【学习难点】如何把实际问题转化为数学方程．情景导入生成问题1．单项式和多项式统称为整式．2．含有未知数的等式叫做方程．3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．自学互研生成能力知识模块一探索一元二次方程先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8－2x)m，宽可以表示为(5－2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8－2x)(5－2x)＝18．2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得(x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)21．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？2．问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？答：问题1由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600；问题2由题意可列出方程：(x＋6)2＋72＝102.3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？(1)(100－2x)(50－2x)＝3600(2)(x＋6)2＋72＝102归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．知识模块二一元二次方程有关概念的应用解答下列各题：1．下列方程中，是一元二次方程的是( C)A．x2＋2y－1＝0 B．x＋2y2＝5 C．2x2＝2x－1 D．x2＋1x－2＝0 2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为x2－2x＋9＝0，其二次项系数为__1__，一次项系数是__－2__，常数项是__9__．典例讲解：关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可．解：由mx2－3x＝x2－mx＋2得到(m－1)x2＋(m－3)x－2＝0，所以m－1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足m≠1.对应练习：1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是a≠1．2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足m＝－2时，它是一元一次方程；当m满足m≠－2时，它是一元二次方程．3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二次方程，那么m的值是( C)A．2 B．±2 C．－2 D．1交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索一元二次方程知识模块二一元二次方程有关概念的应用检测反馈达成目标1．在下列方程中，是一元二次方程的有( A)①2x2－1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－3)＝x2－3；④2x2－1x＝0.A．1个B．2个C．3个D．4个2．把方程(x－5)(x＋5)＋(2x－1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( A)A．5x2－4x－4＝0 B．x2－5＝0 C．5x2－2x＋1＝0 D．5x2－4x＋6＝03．阅读材料，解答问题：有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：(1)如果设小正方形的边长为x cm，那么盒子底面的长为(80－2x)cm；宽为(60－2x)cm，根据题意，所列方程为(80－2x)(60－2x)＝1500．(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．一般形式为x2－70x＋825＝0，是一元二次方程．二次项系数为1，一次项系数为－70，常数项为825课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。