矩阵的基本性质
矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。
1.矩阵的加减法
（1）,对应元素相加减
（2）矩阵加减法满足的运算法则
a.交换律：
b.结合律：
c.
d.
2.矩阵的数乘
（1），各元素均乘以常数
（2）矩阵数乘满足的运算法则
a.数对矩阵的分配律：
b.矩阵对数的分配律：
c.结合律：
d.
3.矩阵的乘法
（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则
a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有
b.分配律：
c.结合律：
d.数乘结合律：
4.矩阵的转置,
（1）矩阵的幂：,,…,
（2）矩阵乘法满足的运算法则
a.
b.
c.
d.
5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即
（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。
（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。
（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。
（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且.
（5）
6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即
a.
b.
c.
d.
e.
f.（当矩阵可逆时）
7.正交矩阵：若,则是正交矩阵
（1）
（2）
8.酉矩阵：若,则是酉矩阵
（1）
（2）
（3）,
（4）
9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵
10.矩阵的迹和行列式
（1）为矩阵的迹；或为行列式
（2）；注：矩阵乘法不满足交换律
（3）
（4）,为酉矩阵，则
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）,，则其中为奇异分解值的特征值
11.矩阵的伴随矩阵
（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）
（1）A的逆矩阵记作,;
（2）（为非奇矩阵）时，
（3）且，则
（4）由，得
（5）
（6）若
（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则也上（下）三角矩阵
（8）
（9）
（10）
（11）Woodbury恒等式:
（12）
12.对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则为对角矩阵
或，则
;
13.矩阵的导数
（1）
（2）
（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）
正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义1n阶实矩阵A，若满足A A E '=，则称A为正交矩阵. 定义2n阶实矩阵A，若满足AA E '=，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足1 '=，则称A为正交矩 A A- 阵. 定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质
设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵； 当∣A ∣=1时，* A A '= ，即ij ij a A =； 当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-. <3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵. 证明 <1>显然 1A =± () 1 1 11 ()() A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵. <2>1 A A -'= ，显然A '为正交矩阵. 由 1A =±，* 1 A A A A -'== 当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1 A A -'= ，1B B -'= 可知 1 1 1 ()() AB B A B A AB ---'''=== 故A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.
分块矩阵乘法的例子 例 1 用分块法计算,AB 其中 00 51 2414 21,5 31001200 2 0-???? ? ?== ? ? ? ?-? ?? ? A B . 解 B A,如上分块， ???? ??=2221 1211 A A A A A ， ??? ? ??=2322 21 131211 B B B B B B B ， 其中 111221224 21(0,0),(5), ,,0 12????==== ? ?-?? ?? A A A A ()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===??? ? ??-=???? ??=???? ??=B B B B B B ； 令==C AB ??? ? ??232221 131211 C C C C C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+??? ? ??， =+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+???? ??， =+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+???? ??-， =+=2122112121B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ?????? ??-514)0(21511024， =+=2222122122B A B A C ???? ??-=???? ??+???? ?????? ??-332014)20(2113421024， =+=2322132123B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ??-???? ??-04)0(21011024.
M 矩阵的性质、定理及证明 一、M 矩阵的概念 定义1 设n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。 定义2 设n n ij a A ?=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。 引理1 如果n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A ?=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。 二、M 矩阵的判定定理与证明 定理1 若n n ij a A ?=)(为M 矩阵，则R L A ?=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。 证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。由引理1，A 可做三角分解R L A ?=。设 ????????????=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ? ???? ? ??????=nn n n r r r r r r R 00 022211211 则?????? ??????+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 1122 21211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。 因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因 022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。类
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用 0 前言 (1) 1 欧式空间和正交矩阵 (2) 1.1 欧式空间 (2) 1.2 正交矩阵的定义和性质 (2) 1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2) 1.2.2 正交矩阵的性质 (3) 2正交变换的定义和性质 (12) 2.1正交变换定义的探讨 (12) 2.2正交变换的判定 (14) 2.3正交变换的性质 (15) 3正交矩阵的应用 (17) 3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17) 3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22) 3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22) 3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23) 3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25) 3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26) 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35) 4 酉空间和酉矩阵 (38) 4.1 酉空间 (38) 4.1.1 酉空间的定义 (38) 4.1.2 酉空间的重要结论 (38) 4.2 酉矩阵 (40) 4.2.1 酉矩阵的定义 (40) 4.2.2 酉矩阵的性质 (40) 5酉矩阵的应用 (48) 5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48) 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54) 6 正交矩阵与酉矩阵 (57) 7结论 (60) 参考文献 (62) 致谢 (63)
0前言 正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果. 在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础. 在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.
第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质 1.设Ａ＝ 01 11 ?? ?? ?? ，Ｂ＝ 11 23 - ?? ?? -?? ，Ｃ＝ 01 10 ?? ?? ?? 由A、B、C研究矩阵 是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。 结论： 2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。 3.单位矩阵的性质【应用】 1.设Ａ＝ 01 11 ?? ?? ?? ，求Ａ8 2. 【练习：P41】 二、逆变换与逆矩阵 1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法：1 A-，读作Ａ的逆。 【应用】 1.试寻找Ｒ30o的逆变换。
【应用】 1.A＝ 31 42 ?? ? ?? ，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1 A-。 2. A＝ 21 42 ?? ? ?? ，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1 A-。 由以上两题，总结一般矩阵A＝ a b c d ?? ? ?? 可逆的必要条件。 三、逆矩阵的性质 1.二阶矩阵可逆的唯一性。 2.设二阶矩阵A、B均可逆，则A B也可逆，且111 () AB B A --- = 【练习：P50】
【第三讲.作业】 1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B 2.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变， 纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ） A. 0110?? ? ?? B. 0.5001?? ??? C. 0110-?? ??? D. 1010?? ??? 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 5.0110N -??= ??? ，则Ｎ2 ＝ 6. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ??? ＝ 7.1203?? ???2312?? ???4624-?? ?-?? ＝ 8.设1021A ??= ???，0210B ??= ???则向量11?? ?-?? 经过先Ａ再Ｂ的变换后的 向量为 经过先Ｂ再A 的变换后的向量为 9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1 将（1，0）变成点 11.矩阵0111?? ??? 的逆矩阵为 12.设ρ：''x y ?? ???＝1101-?? ?? ?x y ?? ???，点（－2，3）在ρ －1 的作用下的点 的坐标为 13.A ＝1101-?? ?? ?122122?? - ? ? ? ??? ，则1A -= 14.△ABC 的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过 1101?? ???和1011?? ??? 两次变换变成△A ‘B ’C ’,求△A ‘B ’C ’的面积。 15.已知A ＝122122?- ? ? ??? ，B ＝2001?? ??? ，求圆221x y +=在1()AB -变换作用下的图形。 16.已知2102A ??= ??? ，试分别计算：2A ,3A ,4A ,n A
十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指: （1）交换两行(列的位置; （2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指: （1）= 或=
（2）=或= 其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子； (1 = (2 或= 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵；
(2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵 中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于 右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵； (3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当 于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 , 其中 h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l], l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: ,显然成立. 下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行 ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故 ;同理. 所以有==(-1或==（-1） ==或= ==== 定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.
矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,
（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）
8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法 作者戴丽丰 系 (院) 数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级 2010 级本科 学号 100801071 指导教师贾红艳 论文成绩 日期2014年06月
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期
逆矩阵的性质及其若干求法 戴丽丰 （安阳师范学院 数学与统计学院, 浙江 金华 321000) 摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。 关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB 1 引言 矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义 设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵. A 的逆矩阵记作1-A ，即如果A B BA E ==，那么1-=A B . 2.2逆矩阵的性质 性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的. 证明 设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====， 所以A 的逆矩阵是唯一的. 性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111 )(--=A A λ λ. 性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=. 性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明 因为
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal
关于实正交矩阵的某些性质 华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔 正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下： 定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。 本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！ 种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵； 与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
逆矩阵的性质 【填空题1】已知矩阵A=??? ? ??4321,则其逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=21-2312-A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先算出bc -=?ad ，得2-=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式?????? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得???? ??=21-2 31-2-A 1- 【本题结束】 【填空题2】已知矩阵A=??? ? ??1002,则其逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=10021A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先算出bc -=?ad ，得2=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式????? ? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得??? ? ??=10021A 1- 【本题结束】
【填空题3】已知矩阵A=??? ? ??4210,则其逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=02112-A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先算出bc -=?ad ，得2-=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式?????? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得??? ? ??=02112-A 1- 【本题结束】 【填空题4】已知???=+=+6422b a b a ，则A=??? ? ??a b b 2a 2的逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=1-121-A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先解出? ??=+=+6422b a b a 的解为???==11a b ｛步骤⊙｝代入得A=??? ? ??1211，并算出bc -=?ad ，得1-=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式?????? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得??? ? ? ?=1-121-A 1- 【本题结束】
学号 20090501050227 密级 兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：苏志升 指导教师：宋雪梅 二○一三年五月
BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Properties and Applications of Orthogonal Matrix College ：Mathematics College Subject ：Mathematics and Applied Mathematics Name ：Su Zhisheng Directed by ：S ong Xuemei May 2013
郑重声明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名：日期：
摘要 本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。 关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用
ABSTRACT Orthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix. Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。
陕西科技大学 教育实习教案 课题：逆矩阵 学院：职业技术学院 学号： 8070614118 班级：信工 071 姓名：赵进彪
逆矩阵 Ⅱ.教学目的与要求 熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法 Ⅲ.重点与难点 重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念 Ⅳ.教学内容 定义 1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使 E BA AB ==，则说矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。 A 的逆矩阵记为1-A .,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B . ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====?则设唯一性
.. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵 定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A 证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1 ，故11 ==-E A A 所以 0≠A 定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且* 1 1A A A =- 其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵 证 由例1知： E A A A AA ==* * 因0≠A ，故有E A A A A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有* 1 1A A A =- 当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩 阵就是非奇异矩阵。 推论：若E AB =（或E BA =），则1 -=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是
111*)()(---=====A E A AB A B A A EB B 方程的逆 矩阵满足下述运算规律 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且 A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且11 1 ) (--= A A λ λ ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()() 1111----=A BB A A B AB 1 -=AEA ,1E AA ==- ().111 ---=∴A B AB 例2 求方程 ??? ? ? ??=343122321.A 的逆矩阵 解 023********≠=?+?+?=A A A A ，知1-A 存在 2.11=A 6.21 =A 4.31-=A 3.12-=A 6.22-=A 532 =A 2.13=A 2.23=A 2.33-=A 于是.A 的伴随矩阵为 ?? ??? ? ?----=222563462 .* A
11.5逆矩阵 11.5.1逆矩阵的概念 在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。比如零矩阵n m O ?在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：n m n m n m A O A ???=+；单位矩阵n I 在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：n m n n m A I A ??=，n m n m m A A I ??=。 而在数的乘法中，对于任何一个数0≠a 有所谓它的倒数1 -a 存在，适合 111==--a a aa 。下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。 定义11.17 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 I BA AB == 则称矩阵A 为可逆矩阵，而称矩阵B 为A 的逆矩阵。 如果A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的。事实上，如果B 和C 都是A 的逆矩阵，则有 I BA AB ==，I CA AC == 那么 C IC C BA AC B BI B =====)()( 即 C B =。 我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1 -A ，读作A 的逆。注意，1 -A 不能读作A 的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，1 -A 也不能看作 A 1。 1．伴随矩阵求逆法 定义11.18 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称矩阵A 为非奇异的或非退化的。 定理11.11 n 阶矩阵() ij a A =为可逆的充分必要条件是A 为非奇异的，而且 * -= A A A 11 （11.17） 其中 ?? ?? ? ?? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111 （11.18）
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 1前言 (1) 2正交矩阵的性质 (1) 3正交矩阵的相关命题 (3) 4 正交矩阵的应用 (5) 4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6) 4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7) 4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9) 5后记 (10) 参考文献 (10) 致谢 (11)
关于正交矩阵的性质及应用研究 摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用. 关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用 Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool. Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application 1前言 我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？ 我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。 2正交矩阵的性质 本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P 上的矩阵，用n n P ?表示数域P 上n 阶方阵的集合，用E 表示单位矩阵，用A 、1-A 、*A 、'A 分别表示矩阵A 的行列式、逆矩阵（当A 可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵. 定义2.1 n 阶实矩阵A ，若有 E A A =' ，则称A 为正交矩阵. 等价定义1: n 阶实矩阵A ，若有 E A A ='，则称A 为正交矩阵； 等价定义2: n 阶实矩阵A ，若有 1-='A A ，则称A 为正交矩阵； 等价定义3: n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称A 为正交矩阵. 性质2.1 A 为正交矩阵，则其行列式的值为1或1-. 证明： 由正交矩阵的定义知,E A A =' 两边同取行列式，得1=='E A A ，又由于 A A ='，则12 =A ， 即1±=A 性质2.2 A 为正交矩阵，A 的任一行(列)乘以1-得到的矩阵仍为正交矩阵. 证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=，其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然()n j i ββββ,,,,,,1 -也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立. 性质2.3 A 为正交矩阵,A 的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.
矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…, （2）矩阵乘法满足的运算法则 a.
b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2） （3）, 8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4）
9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵 （2） 12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的） （1）A的逆矩阵记作,; （2）（为非奇矩阵）时， （3）且，则 （4）由，得 （5）