第三讲 高考中的圆锥曲线(解答题型)
1．(2014·浙江高考)如图，设椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公
共点P ，且点P 在第一象限．
(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；
(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，
由?????
y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2
＝1，消去y 得
(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0， 即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，
解得点P 的坐标为???
?－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2. 又点P 在第一象限，
故点P 的坐标为P －a 2k b 2＋a 2k 2，b 2
b 2＋a 2k 2
.
(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，
所以点P 到直线l 1的距离d ＝?????
?－a 2k b 2＋a 2k
2＋b 2
k b 2＋a 2k 21＋k 2
，
整理得d ＝a 2－b 2
b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k
2
，
因为a 2k 2＋b
2k
2≥2ab ，
所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k
2
≤
a 2－
b 2
b 2＋a 2＋2ab ＝a －b ， 当且仅当k 2＝b
a
时等号成立．
所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 2．(2014·山东高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知F ????
p 2，0.
设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为????
p ＋2t 4，0.
因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p
2＝???
?t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t 4
＝3，解得p ＝2.
所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1,0)，
设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．
故直线AB 的斜率k AB ＝－y 0
2
.
因为直线l 1和直线AB 平行，
设直线l 1的方程为y ＝－y 0
2x ＋b ，
代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b
y 0
＝0，
由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2
y 0
.
设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4
y 20
.
当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0
x E －x 0
＝－4y 0＋y 04y 20
－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0
y 20－4(x －x 0)，
由y 20＝4x 0
，整理可得y ＝4y 0
y 20－4
(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)． 当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，
所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋????1x 0＋1＝x 0＋1
x 0
＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，
因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1
y 0.
设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 0
2
(x －x 0)，
由于y 0≠0，可得x ＝－2
y 0y ＋2＋x 0，
代入抛物线方程得y 2＋8
y 0
y －8－4x 0＝0.
所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4
x 0
＋x 0＋4.
所以点B 到直线AE 的距离为
d ＝
????
4x 0
＋x 0＋4＋m ????y 0＋8y 0－11＋m 2
＝
4(x 0＋1)x 0
＝
4?
??
?
x 0＋
1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4???
?x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1
x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成
立．
所以△ABE 的面积的最小值为16.
1．圆锥曲线中的范围问题
(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．
(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．
2．圆锥曲线中的存在性问题
(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．
(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由．
3．圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
4．定点问题
(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点．
(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点．
5．定值问题
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
第1课时 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题
[例1] 已知A 、B 、C 是椭圆M ：x 2a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，
0)，BC 过椭圆的中心，且∠OCA ＝90°，|BC |＝2|AC |.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)过点(0，t )的直线(斜率存在)与椭圆M 交于P 、Q 两点，设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．
[师生共研] (1)∵|BC |＝2|AC |且BC 过点(0,0)，则|OC |＝|AC |. ∵∠OCA ＝90°，∴C (3，3)．
由题意知a ＝23，则椭圆M 的方程为x 212＋y 2
b
2＝1，
将点C 的坐标代入得312＋3
b
2＝1，
解得b 2
＝4.
∴椭圆M 的方程为x 212＋y 2
4
＝1.
(2)由题意知D (0，－2)，设直线l 的斜率为k ， 当k ＝0时，显然－2 当k ≠0时，设直线l ：y ＝kx ＋t ， 联立????? x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0， 由Δ>0可得，t 2<4＋12k 2.① 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为H (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t 1＋3k 2 ， ∴H ??? ?－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2. ∵|DP |＝|DQ |，∴DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1 k . ∴t 1＋3k 2＋ 2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，② 由①②得，1 解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的 值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 1．椭圆E ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 2与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，过F 2作与x 轴 垂直的直线l 1与椭圆交于S ，T 两点，与抛物线交于C ，D 两点，且|CD | |ST | ＝2 2. (1)求椭圆E 的方程； (2)若过点M (2,0)的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆E 上一点， 且满足 (O 为坐标原点)，当 <253 时，求实数t 的取值范围． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，则c ＝1，且|CD |＝4，|ST |＝2b 2 a ， ∴|CD ||ST |＝2a b 2＝22，又a 2－b 2＝1， ∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆E 的方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)由题意得，直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －2)， 联立????? x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －2)， 消去y 得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，由Δ>0，得k 2<12 .① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k 2 1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2 ， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝－4k 1＋2k 2 ， 则 ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋k 2 ·8－16k 21＋2k 2 <25 3， ∴k 2>14或k 2<－13 14 (舍去)．② 由①②得14 2 ， 又AB 的中点N ? ????4k 21＋2k 2，－2k 1＋2k 2， ∴ 得P 8k 2 (1＋2k 2)t ，－4k (1＋2k 2)t ，代入椭圆方程得32k 4(1＋2k 2)2t 2＋16k 2 (1＋2k 2)2t 2 ＝1， 即t 2＝32k 4＋16k 2 (1＋2k 2)2＝16k 21＋2k 2＝161 k 2 ＋2， ∵14 [例2] 已知抛物线P ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过点H (4,0)作直线与抛物线P 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)求y 1y 2的值； (2)是否存在常数a ，当点M 在抛物线P 上运动时，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由． [师生共研] (1)∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H (4,0)， ∴(x 2－4，y 2)． ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H (4,0)在一条直线上， ∴(x 1－4)y 2－(x 2－4)y 1＝0. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在抛物线y 2＝4x 上， ∴x 1＝y 214，x 2＝y 22 4， ∴????y 214－4y 2－????y 224－4y 1＝0， 即y 1y 24(y 1－y 2 )＝－4(y 1－y 2)． 根据已知得y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－16. (2)存在． ∵F 是抛物线P 的焦点， ∴F (1,0)． 设M (x ，y )，则MF 的中点为N ???? x ＋12，y 2，|MF |＝1＋x . ∵直线x ＝a 与以MF 为直径的圆相切的充要条件是N ???? x ＋12，y 2到直线x ＝a 的距离等于|MF |2 ， 即?? ? ?x ＋12－a ＝1＋x 2，∴ax ＝a 2－a . ∵对于抛物线P 上的任意一点M ，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切， ∴关于x 的方程ax ＝a 2－a 对任意的x ≥0都要成立． ∴????? a ＝0，a 2－a ＝0，解得a ＝0. ∴存在常数a ，并且仅有a ＝0满足“当点M 在抛物线P 上运动时，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切”． 若(2)中相切改为相交呢？ 解：假设直线x ＝a 与以MF 为直径的圆相交，则有????x ＋12－a ＜x ＋1 2，即0＜a ＜x ＋1对 任意x ≥0恒成立．因此，0＜a ＜1. 存在性问题的解题步骤 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2 2 ，P 是椭圆上一 点，且△PF 1F 2面积的最大值等于2. (1)求椭圆的方程； (2)过点M (0,2)作直线l 与直线MF 2垂直，试判断直线l 与椭圆的位置关系； (3)直线y ＝2上是否存在点Q ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)∵点P 在椭圆上，∴－b ≤y p ≤b ， ∴当|y p |＝b 时，△PF 1F 2面积最大，且最大值为12|F 1F 2|·|y p |＝1 2 ·2c ·b ＝bc ＝2， 又离心率为22，即c a ＝2 2 ， 由????? bc ＝2， c a ＝22， a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得a 2＝4，b 2＝c 2＝2， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1. (2)由(1)知F 2(2，0)，∴kMF 2＝ 2－2 ＝－2，∴直线l 的斜率等于2 2，直线l 的方程为 y ＝2 2 x ＋2.由 ??? x 24＋y 2 2 ＝1，y ＝2 2x ＋2， 消去y ，整理得x 2＋22x ＋2＝0，Δ＝(22)2－8＝0，∴直线 l 与椭圆相切． (3)假设直线y ＝2上存在点Q 满足题意，设Q (m,2)．显然，当m ＝±2时，从Q 点所引的两条切线不垂直，当m ≠±2时，设过点Q 向椭圆所引的切线的斜率为k ，则切线的方程为y ＝k (x －m )＋2. 由????? y ＝k (x －m )＋2，x 24＋y 22 ＝1，消去y ，整理得 (1＋2k 2)x 2－4k (mk －2)x ＋2(mk －2)2－4＝0， ∵Δ＝16k 2(mk －2)2－4(1＋2k 2)[2(mk －2)2－4]＝0， ∴(m 2－4)k 2－4mk ＋2＝0.(*) 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，显然k 1，k 2是方程(*)的两根，故k 1k 2＝2 m 2－4 ＝－1，解 得m ＝±2，点Q 的坐标为(2，2)或(－2，2)，因此，直线y ＝2上存在两点(2，2)和(－2，2)满足题意． [例3] (2014·安徽高考)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和 E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1, E 2分别交于B 1, B 2两点． (1)证明：A 1B 1∥A 2B 2； (2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的 面积分别为S 1与S 2，求S 1 S 2 的值． [师生共研] (1)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由????? y ＝k 1x ， y 2 ＝2p 1x ， 得A 1????2p 1k 21 ，2p 1k 1， 由????? y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ， 得A 2???? 2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1????2p 1k 22 ，2p 1k 2 ，B 2????2p 2k 22 ，2p 2k 2 . 所以＝????2p 1 k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 11k 22－1k 21，1k 2－1 k 1 ， ＝????2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2 1k 22 －1k 21，1k 2－1 k 1. 故＝p 1 p 2 ，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2， 同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥ C 2A 2. 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. 因此S 1 S 2 ＝ 又由(1)中的 故S 1S 2＝p 21p 22. 圆锥曲线中的证明问题的解决方法 解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通 过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 常用的证明方法有： (1)证A 、B 、C 三点共线，可证k AB ＝k AC 或 ； (2)证直线MA ⊥MB ，可证k MA ·k MB ＝－1 或 ； (3)证|AB |＝|AC |，可证A 点在线段BC 的垂直平分线上． 3.如图，F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2 c 于点Q . (1)若点Q 的坐标为(4,4)，求椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)将点P (－c ，y 1)(y 1＞0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得：y 1＝b 2 a ， PF 2⊥QF 2?b 2a －0－c －c ·4－0 4－c ＝－1，即2b 2＝ac (4－c )．① 又Q (4,4)，∴a 2 c ＝4，② c 2＝a 2－b 2(a ，b ，c ＞0)，③ 由①②③得：a ＝2，c ＝1，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. (2)证明：设Q ????a 2c ，y 2.由(1)知P ????－c ，b 2a . ∴kPF 2＝b 2 a －0－c －c ＝－ b 22a c ，kQF 2＝y 2－0a 2c －c ＝cy 2 a 2－c 2. ∴PF 2⊥QF 2?－b 22ac ·cy 2 a 2－c 2＝－1?y 2＝2a ， ∴k PQ ＝2a － b 2a a 2c ＋c ＝c a . 则直线PQ 的方程可表示为： y －b 2a ＝c a (x ＋c )，即cx －ay ＋a 2＝0， 由????? cx －ay ＋a 2 ＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y 可得 a 2x 2＋2ca 2x ＋a 4－a 2 b 2＝0. 因为a >0，所以x 2＋2cx ＋a 2－b 2＝0， 即x 2＋2cx ＋c 2＝0， 此时Δ＝(2c )2－4c 2＝0. 故直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 课题6 方程思想解决直线与圆锥曲线位置关系 [典例] (2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C: x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点， M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3 4 ，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [考题揭秘] 本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力． [审题过程] 第一步：审条件．M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . 第二步：审结论．第(1)问，k MN ＝3 4 条件下求C 的离心率；第(2)问，若直线MN 在y 轴上 的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 第三步：建联系．(1)将M ，F 1的坐标都用椭圆的基本量a ，b ，c 表示，由斜率条件可得到a ，b ，c 的关系式，然后由b 2＝a 2－c 2消去b 2，再“两边同除以a 2”，即得到离心率e 的 二次方程，由此解出离心率；(2)利用“MF 2∥y 轴”及“截距为2”，可得y M ＝b 2 a ＝4，此为 一个方程；再转化条件“|MN |＝5|F 1N |”为向量形式，可得到N 的坐标，代入椭圆得到第二个方程，两方程联立可解得a ，b 的值． [规范解答] (1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ????c ，b 2a ，b 2 a 2c ＝34 ，故2b 2＝3ac . .? 将b 2＝a 2－c 2，代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为1 2 . ? (2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直 线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2 a ＝4，即b 2＝4a .① ? 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ????? 2(－c －x 1)＝c ， －2y 1＝2，即????? x 1＝－32c ，y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 24a 2＋1 b 2＝1. ② ? 将①及a 2－b 2＝c 2 代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. ? [模型归纳] 解决直线与圆锥曲线位置的模型示意图如下： 找关系——寻找椭圆中a ，b ，c 的关系，如步骤? ↓ 求离心率——代入求离心率，如步骤? ↓ 建方程——建关于a ，b ，c 的方程，如步骤?解方程组 ↓ 得结论——将方程①、②联立求a ，b ，得结论，如步骤? [跟踪训练] (2014·陕西高考)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2： y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为3 2 . (1)求a ，b 的值； (2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1,0)是上半椭圆C 1 的左、右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a ＝3 2 及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24 ＋x 2 ＝1(y ≥0)． 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. (*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )， ∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由根与系数的关系，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k k 2＋4 ， ∴点P 的坐标为? ?? ??k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由? ??? ? y ＝kx －k ，y ＝－x 2 ＋y ， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8 3 . 经检验，k ＝－8 3 符合题意， 故直线l 的方程为y ＝－8 3 (x －1)． 1．(2014·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ， 上顶点为B .已知|AB |＝3 2 |F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率； (2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线的斜率． 解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝3 2 |F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2 ，则c 2a 2＝12 . 所以椭圆的离心率e ＝2 2 . (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2 .故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1. 设P (x 0，y 0)，由F 1( －c,0)，B (0，c )， 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20 c 2＝1.② 由①和②可得3x 2 0＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3 ，则 点P 的坐标为??? ?－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)， 则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝2 3 c ， 进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝5 3 c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1| k 2＋1 ＝r ， 即????k ????－2c 3－2c 3k 2＋1 ＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15. 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 2．(2014·海淀模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：x 2＋2y 2＝4上两点，点M 的坐标为(1,0)． (1)当A ，B 关于点M (1,0)对称时，求证：x 1＝x 2＝1； (2)当直线AB 经过点(0,3)时，求证：△MAB 不可能为等边三角形． 解：(1)因为A ，B 在椭圆上， 所以x 21＋2y 2 1＝4，① x 22＋2y 2 2＝4.② 因为A ，B 关于点M (1,0)对称， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝0， 将x 2＝2－x 1，y 2＝－y 1代入②得(2－x 1)2＋2y 21＝4，③ 由①和③消去y 1解得x 1＝1， 所以x 1＝x 2＝1. (2)当直线AB 的斜率不存在时，A (0，2)，B (0，－2)，可得|AB |＝22，|MA |＝3，△MAB 不是等边三角形． 当直线AB 的斜率存在时，显然斜率不为0. 设直线AB ：y ＝kx ＋3，AB 的中点为N (x 0，y 0)， 联立? ???? x 2＋2y 2＝4，y ＝kx ＋3，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋14＝0，Δ＝144k 2－4×14(1＋2k 2)＝32k 2 －56. 由Δ>0，得到k 2>7 4，① 又x 1＋x 2＝－12k 1＋2k 2，x 1·x 2＝14 1＋2k 2 ， 所以x 0＝－6k 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋3＝3 1＋2k 2 ， 所以N ? ?? ? ?－6k 1＋2k 2，31＋2k 2， 假设△MAB 为等边三角形，则有MN ⊥AB ， 又因为M (1,0)， 所以k MN ×k ＝－1，即31＋2k 2 －6k 1＋2k 2 －1×k ＝－1， 化简得2k 2＋3k ＋1＝0， 解得k ＝－1或k ＝－1 2 ， 这与①式矛盾，所以假设不成立． 因此对于任意k ，不能使得MN ⊥AB ，故△MAB 不可能为等边三角形． 3．(2014·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2 ，且椭圆C 上一点与两 个焦点F 1，F 2构成的三角形的周长为2 2＋2. (1)求椭圆C 的方程； (2)过右焦点F 2作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点， 的取值范围． 解：(1)由题意知：c a ＝2 2 ，且2a ＋2c ＝22＋2， 解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)由题意易得直线l 的斜率存在，右焦点F 2(1,0)，可设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)， 由????? y ＝k (x －1)，x 22＋y 2 ＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2 ， 由 得y 1＝λy 2， ∵????? y 1 ＋y 2 ＝k (x 1 ＋x 2 )－2k ＝－2k 1＋2k 2 ，y 1y 2 ＝k 2 (x 1 －1)(x 2 －1)＝－k 2 1＋2k 2 ， ∴????? (λ＋1)y 2＝－2k 1＋2k 2 ， λy 22 ＝－k 2 1＋2k 2 ， ∴λ＋1 λ＋2＝－41＋2k 2 ， 令u (λ)＝λ＋1λ，λ∈[－2，－1)，u ′(λ)＝1－1 λ 2>0，∴u (λ)在[－2，－1)上单调递增，可得 －52≤λ＋1 λ <－2， ∴－12≤λ＋1 λ ＋2<0， 故－12≤－41＋2k 2<0，解得k 2≥72， ＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2＝2k 2－21＋2k 2＋4k 2 1＋2k 2 ＋1＋ －k 21＋2k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2) ，∵k 2≥7 2， ∴0<92(1＋2k 2)≤9 16， ∴4716≤72－92(1＋2k 2)<72， 即 的取值范围是???? 4716，72. 4．(2014·重庆高考)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在 椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2 2 . (1)求该椭圆的标准方程； (2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由． 解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由 |F 1F 2||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22 ＝22c .由DF 1⊥F 1F 2，得S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝2 2c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，故|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22 ＋y 2 ＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交 点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2. 由圆和椭圆的对称性，易知x 2＝－x 1，y 1＝y 2. 由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1) 2 ＋y 21＝0. 由椭圆方程得1－x 21 2 ＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0. 解得x 1＝－4 3 或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在． 当x 1＝－4 3 时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C . 设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5 3 . 圆C 的半径|CP 1|＝ ????－432＋????13－532＝423 . 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋????y －532＝329 . 第2课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题 热点一 圆锥曲线中的定点问题 命 题 角 度 圆锥曲线中的定点问题是高考常考内容之一，一般以解答 题形式出现，难度较大．高考中对该类问题的考查主要有 以下几个角度： (1)证明与圆锥曲线位置有关的直线过定点； (2)探索与圆锥曲线位置满足某种位置关系的直线过定点； (3)判断坐标轴上是否存在满足某种条件的定点. [例1](2014·石家庄模拟)椭圆C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P是直线x＝1上的动点，直线P A与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点． [师生共研](1)依题意，e＝ c a＝ 3 2.过焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1联立解得弦长为 2b2 a＝1，所以椭圆的方程为 x2 4＋y 2＝1. (2)设P(1，t)，则k P A＝ t－0 1＋2 ＝ t 3，直线l P A：y＝ t 3(x＋2)，联立 ? ? ?y＝t3(x＋2)， x2 4＋y 2＝1， 得(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，可知－2x M＝ 16t2－36 4t2＋9 ，所以x M＝ 18－8t2 4t2＋9 ，则 ?? ? ??x M＝18－8t2 4t2＋9 ， y M＝ 12t 4t2＋9 ， 同理 得到 ?? ? ??x N＝8t2－2 4t2＋1 ， y N＝ 4t 4t2＋1 . 由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m,0)，则k MQ＝ 12t 4t2＋9 18－8t2 4t2＋9 －m ，k NQ＝ 4t 4t2＋1 8t2－2 4t2＋1 －m ，k MQ＝k NQ，故(8m－32)t2－6m＋24＝0，m＝4.即直线MN过定点(4,0)． 求解直线和曲线过定点问题的基本思路 把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 1．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设 动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且＝－16，求证：直线AB 恒过定点． 解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1?x 2＝8y . (2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－ 8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 22 64 ＝－8b ＋b 2＝ －16?b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． [例2] (2014·江西高考 )如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)的右焦点F ，点A ，B 分别 在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程； (2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝ 32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF | 恒为定值，并求此定值． [师生共研] (1)设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1， 直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1 a (x －c )，解得B ????c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1 a x ， 则A ????c ，c a ，k AB ＝c a －????－c 2a c －c 2＝3 a . 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·????－1a ＝－1，解得a 2 ＝3，故双曲线C 的方程为x 23 －y 2＝1. (2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x 3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0 . 因为直线AF 的方程为x ＝2， 所以直线l 与AF 的交点为M ? ??? 2，2x 0－33y 0； 直线l 与直线x ＝3 2的交点为N ? ?? ??32， 32x 0－3 3y 0. 则|MF |2|NF |2 ＝(2x 0－3) 2 (3y 0)214＋????32 x 0－32(3y 0)2 ＝(2x 0－3 )29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3) 2 3y 20＋3(x 0－2) 2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20 3 －y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)2 4x 2 0－12x 0＋9＝43.所求定值为|MF ||NF |＝23＝23 3. 求解定值问题的“三个”步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 2．已知椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ? ??? 2，2103在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问：△PF 2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由． 解：(1)由题意，得???? ? a 2 －b 2 ＝1，4a 2＋409b 2＝1， 解得? ???? a 2 ＝9，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 219＋y 2 18 ＝1(|x 1|≤3)，|PF 2|2＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋8????1－x 219＝19(x 1－9)2，∴|PF 2|＝13(9－x 1)＝3－13 x 1. 连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM |2 ＝|OP |2 －|OM |2 ＝x 21＋y 21－8＝x 2 1＋8 ????1－x 2 19－8＝19x 2 1 ， ∴|PM |＝1 3 x 1， ∴|PF 2|＋|PM |＝3－13x 1＋1 3 x 1＝3， 同理可求得|QF 2|＋|QM |＝3－13x 2＋1 3 x 2＝3， ∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝3＋3＝6为定值． [例3] (2014·湖南高考)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点 分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为 e 2.已知e 1e 2＝3 2 ，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程； (2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． [师生共研] (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝3 4 a 4，因此a 2＝ 2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)．于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2，故C 1，C 2 的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22 －y 2 ＝1. (2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1. 由????? x ＝my －1，x 2 2 ＋y 2 ＝1得(m 2＋2)y 2 －2my －1＝0. 易知Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2 ， y 1y 2＝－1 m 2＋2 . 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝ －4m 2＋2，于是AB 的中点为M ? ?? ??－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的 斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2 x ，即mx ＋2y ＝0. 由??? y ＝－m 2 x ， x 2 2－y 2 ＝1 得(2－m 2 )x 2 ＝4，所以2－m 2 >0，且x 2 ＝42－m 2，y 2 ＝m 22－m 2 ，从而|PQ | ＝2x 2 ＋y 2 ＝2m 2＋4 2－m 2 . 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| m 2＋4 . 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2| m 2＋4 . 又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2 －4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2 m 2＋4 . 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2 ＝22·－1＋3 2－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 求圆锥曲线中最值的方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 3.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且 ＝0，PQ 交x 轴于E . (1)求该抛物线的标准方程； 高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为 （A ）π3 2+31 （B ）π32+ 31 （C ）π62+31 （D ）π62 +1 【答案】C 3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1 该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 4、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 5、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为 （A ） （B ） （C ） 90 （ D ）81 【答案】B 6、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________． 7、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二．求值 8、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2 ，体积是 cm 3. 18+54+ 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π 2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______ 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC - u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 专题二三角函数、解三角形与平面向量 第1讲三角函数的图象与性质 「考情研析」 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点. 核心知识回顾 1.同角关系式与诱导公式 (1)同角三角函数的基本关系：□01sin2α＋cos2α＝1，□02sinα cosα＝tanα. (2)诱导公式：在kπ 2＋α，k∈Z的诱导公式中“ □03奇变偶不变，符号看象限”． 2．三种三角函数的性质 3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤 热点考向探究 考向1 同角三角关系式、诱导公式 例1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ? ?? ?? π2＋αtan(π＋α)＝( ) A ．－ 1517 B ． 1517 C ．－817 D ．817 答案 D 解析 sin ? ???? π2＋αtan(π＋α)＝cos αtan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－15 17， 所以sin α＝1－cos 2α＝ 1－? ?? ?? －15172＝817.故选D. (2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－2 2 C ．22 D ．1 答案 A 解析 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，即α＝3π 4，故tan α＝－1. (3)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ? ???? π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π ＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.35 5 B ．377 C ．31010 D ．－353 答案 C 解析 由已知可得， －2tan α＋3sin β＋5＝0， ① tan α－6sin β－1＝0， ② ①×2＋②得tan α＝3.∵α为锐角，∴sin α＝310 10.故选C. (1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解． 1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈? ????π2，π，sin α＝45，则tan ? ? ???α＋π4＝( ) A ．7 B ．17 C ．－7 D ．－17 高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法 第76炼 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 2 。 （1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 成立？若存在， 求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）3 ::323 c e a b c a = =?= 2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ． 2018年11月14日高中数学作业 温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 124．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故 序号123456789101112选项 13141516171819202122232425 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________ 高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________ 高考数学理科考点解析 及考点分布表 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 2018年高考数学（理科）考点解析 一、考核目标与要求 数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法（所谓三基），考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识（五种能力、两种意识）。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》确定。 关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下： 1．知识要求 知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明． 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求． （1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它。 “了解”层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。 （2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。 “理解”层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。 （3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。 “掌握”层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 （2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断。 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ） A ． 300种 B ． 150种 C ． 120种 D ． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A ． 105 B ． 95 C ． 85 D ． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节， 且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A ． 120种 B ． 156种 C ． 188种 D ． 240种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ． 14400 B ． 28800 C ． 38880 D ． 43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有高考数学理试题分类汇编.doc
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